점추이

1. 개요

점추이는 모든 꼭짓점이 동일한 종류의 대칭을 갖는 기하학적 도형을 의미한다. 등각 다각형, 아페이로곤, 다면체 및 다포체는 꼭짓점의 추이성을 기반으로 분류되며, 균일 다면체와 테셀레이션은 점추이의 특성을 갖는다. 또한, k-등각 및 k-균일 도형은 꼭짓점의 추이 클래스 수에 따라 분류될 수 있다.

2. 등각 다각형과 아페이로곤

모든 정다각형, 아페이로곤, 정다각형 별은 등각이다. 등각 다각형의 쌍대 다각형은 등변 다각형이다.

두 변의 길이를 번갈아 가며 나타내는 일부 짝수 변의 다각형과 아페이로곤(예: 직사각형)은 등각이다.

모든 평면 등각 2n각형은 변의 중간점을 가로지르는 반사선을 갖는 이면각 대칭(D_n, n = 2, 3, ...)을 갖는다.

2.1. 등각 아페이로곤

모든 정다각형, 아페이로곤 및 정다각형 별은 등각이다. 등각 다각형의 쌍대 다각형은 등변 다각형이다.

두 변의 길이를 번갈아 가며 나타내는 일부 짝수 변의 다각형과 아페이로곤(예: 직사각형)은 등각이다.

모든 평면 등각 2n각형은 변의 중간점을 가로지르는 반사선을 갖는 이면각 대칭(D_n, n = 2, 3, ...)을 갖는다.

2.2. 등각 어긋난 아페이로곤

3. 등각 다면체와 2D 타일링

점추이 다면체와 2차원 타일링은 단일 종류의 꼭짓점을 갖는다. 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체는 균일 다면체이며, 각 꼭짓점 주변의 면을 순서대로 나열하는 꼭짓점 배치 표기법으로 나타낼 수 있다. 균일 다면체와 타일링의 기하학적 왜곡 변형도 꼭짓점 배치를 가질 수 있다.

3.1. 점추이 다면체의 분류

* 정다면체는 면추이(면 전이적) 및 변추이(모서리 전이적)이기도 하다. 이는 모든 면이 동일한 종류의 정다각형임을 의미한다.
* 준정다면체는 변추이(모서리 전이적)이지만 면추이(면 전이적)는 아니다.
* 준정다면체는 모든 면이 정다각형이지만 면추이(면 전이적) 또는 변추이(모서리 전이적)가 아니다. (정의는 저자마다 다르며, 예를 들어 일부는 이면각 대칭을 가진 도형이나 비볼록 도형을 제외한다.)
* 균일 다면체는 모든 면이 정다각형, 즉 정다면체, 준정다면체 또는 준정다면체이다.
* 준균일은 그 요소가 점추이이기도 하다.
* 스칼리폼은 모든 모서리의 길이가 같다.
* 노블 다면체는 또한 면추이(면 전이적)이다.

4. N차원: 등각 다포체와 테셀레이션

이러한 정의는 더 높은 차원의 다포체와 벌집으로 확장될 수 있다. 모든 균일 다포체는 등각이다. 예를 들어 균일 4-다포체와 볼록 균일 벌집이 있다.

등각 다포체의 쌍대 다포체는 등면체 도형이며, 이는 해당 면에 대해 추이적이다.

5. k-등각 및 k-균일 도형

다면체 또는 타일링은 꼭짓점이 k개의 추이 클래스를 형성하는 경우 k-등각이라고 할 수 있다. 더 제한적인 용어인 k-균일은 정다각형만으로 구성된 k-등각 도형으로 정의된다. 이것들은 서로 다른 균일 색칠을 통해 시각적으로 색상으로 표현될 수 있다.