점추이

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1. 개요
2. 등각 다각형과 아페이로곤
- 2.1. 등각 아페이로곤
- 2.2. 등각 어긋난 아페이로곤
3. 등각 다면체와 2D 타일링
- 3.1. 점추이 다면체의 분류
4. N차원: 등각 다포체와 테셀레이션
5. k-등각 및 k-균일 도형
참조

1. 개요

점추이는 모든 꼭짓점이 동일한 종류의 대칭을 갖는 기하학적 도형을 의미한다. 등각 다각형, 아페이로곤, 다면체 및 다포체는 꼭짓점의 추이성을 기반으로 분류되며, 균일 다면체와 테셀레이션은 점추이의 특성을 갖는다. 또한, k-등각 및 k-균일 도형은 꼭짓점의 추이 클래스 수에 따라 분류될 수 있다.

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점추이
일반 정보
정의	모든 꼭짓점이 동일한 다면체 또는 쪽매붙임
관련 용어
관련 용어	꼭짓점 추이 그래프 등각 다면체

2. 등각 다각형과 아페이로곤

모든 정다각형, 아페이로곤, 정다각형 별은 ''등각''이다. 등각 다각형의 쌍대 다각형은 등변 다각형이다.

두 변의 길이를 번갈아 가며 나타내는 일부 짝수 변의 다각형과 아페이로곤(예: 직사각형)은 ''등각''이다.

모든 평면 등각 2''n''각형은 변의 중간점을 가로지르는 반사선을 갖는 이면각 대칭(D_''n'', ''n'' = 2, 3, ...)을 갖는다.

D₂	D₃	D₄	D₇
	6개의 동일한 꼭짓점과 2개의 변 길이를 갖는 등각 육각별 ^[2]		^[3]

2. 1. 등각 아페이로곤

모든 정다각형, 아페이로곤 및 정다각형 별은 ''등각''이다. 등각 다각형의 쌍대 다각형은 등변 다각형이다.

두 변의 길이를 번갈아 가며 나타내는 일부 짝수 변의 다각형과 아페이로곤(예: 직사각형)은 ''등각''이다.

모든 평면 등각 2''n''각형은 변의 중간점을 가로지르는 반사선을 갖는 이면각 대칭(D_''n'', ''n'' = 2, 3, ...)을 갖는다.

D₂	D₃	D₄	D₇
	^[2]		^[3]

2. 2. 등각 어긋난 아페이로곤

3. 등각 다면체와 2D 타일링

점추이 다면체와 2차원 타일링은 단일 종류의 꼭짓점을 갖는다. 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체는 균일 다면체이며, 각 꼭짓점 주변의 면을 순서대로 나열하는 꼭짓점 배치 표기법으로 나타낼 수 있다. 균일 다면체와 타일링의 기하학적 왜곡 변형도 꼭짓점 배치를 가질 수 있다.

점추이 타일링
왜곡된 정사각형 타일링
왜곡된 절단된 정사각형 타일링

점추이 다면체
D_3d, 차수 12	T_h, 차수 24	O_h, 차수 48
4.4.6	3.4.4.4	4.6.8	3.8.8
왜곡된 육각 기둥 (사각뿔 기둥)	왜곡된 마름모 입방 팔면체	얕은 절단된 입방 팔면체	과절단된 정육면체

3. 1. 점추이 다면체의 분류

정다면체는 면추이(면 전이적) 및 변추이(모서리 전이적)이기도 하다. 이는 모든 면이 동일한 종류의 정다각형임을 의미한다.
준정다면체는 변추이(모서리 전이적)이지만 면추이(면 전이적)는 아니다.
준정다면체는 모든 면이 정다각형이지만 면추이(면 전이적) 또는 변추이(모서리 전이적)가 아니다. (정의는 저자마다 다르며, 예를 들어 일부는 이면각 대칭을 가진 도형이나 비볼록 도형을 제외한다.)
균일 다면체는 모든 면이 정다각형, 즉 정다면체, 준정다면체 또는 준정다면체이다.
준균일은 그 요소가 점추이이기도 하다.
스칼리폼은 모든 모서리의 길이가 같다.
노블 다면체는 또한 면추이(면 전이적)이다.

4. N차원: 등각 다포체와 테셀레이션

이러한 정의는 더 높은 차원의 다포체와 벌집으로 확장될 수 있다. 모든 균일 다포체는 등각이다. 예를 들어 균일 4-다포체와 볼록 균일 벌집이 있다.

등각 다포체의 쌍대 다포체는 등면체 도형이며, 이는 해당 면에 대해 추이적이다.

5. k-등각 및 k-균일 도형

다면체 또는 타일링은 꼭짓점이 ''k''개의 추이 클래스를 형성하는 경우 '''''k''-등각'''이라고 할 수 있다. 더 제한적인 용어인 '''''k''-균일'''은 정다각형만으로 구성된 ''k-등각 도형''으로 정의된다. 이것들은 서로 다른 균일 색칠을 통해 시각적으로 색상으로 표현될 수 있다.

이 절단된 롬비 정십이면체는 꼭짓점의 두 개의 추이 클래스를 포함하므로 2-등각이다. 이 다면체는 정사각형과 평평한 육각형으로 만들어졌다.

이 반정규 타일링 역시 2-등각(및 2-균일)이다. 이 타일링은 정삼각형과 정육각형 면으로 구성된다.

2-등각 9/4 에네아그램 (정십이면체의 최종 별 모양의 면)

참조

_[1] 논문 Isogonal prismatoids
_[2] 서적 The Densities of the Regular Polytopes II
_[3] 간행물 The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History

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