변추이

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1. 개요
2. 아이소톡살 다각형
3. 아이소톡살 다면체 및 타일링
참조

1. 개요

변추이는 모든 변의 길이가 같지만 모든 각의 크기가 같지 않은 다각형을 의미하며, 짝수 개의 변을 가지고 인접한 두 변이 이루는 각이 두 종류로 번갈아 나타나는 다각형이다. 아이소톡살 다각형은 정다각형의 일반화된 형태로, 별 다각형을 포함하며, 균일 타일링 및 등각 타일링에 사용될 수 있다. 아이소톡살 다면체는 모든 모서리의 길이가 같지만, 모든 면이 합동이거나 모든 꼭짓점이 동일한 환경을 갖지 않는 다면체로, 준정다면체, 케플러-푸앵소 다면체 등이 포함된다.

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2. 아이소톡살 다각형

아이소톡살 다각형은 모든 변의 길이가 같지만, 모든 각의 크기가 같지 않은 다각형을 의미한다. 아이소톡살 다각형은 짝수 변을 가지는 정다각형이지만, 모든 정다각형이 아이소톡살 다각형인 것은 아니다. 아이소톡살 다각형의 쌍대는 등각 다각형이다. 아이소톡살 $4n$ -각형은 점대칭이므로 존오곤이기도 하다.

"균일한" 타일링에서 아이소톡살 다각형을 사용할 수 있다.

style="text-align:center;"|비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	2×2	2×3	2×4	2×5	2×6	2×7	2×8
$\{n_\alpha\}$ 볼록: $\beta < 180^\circ.$ 오목: $\beta > 180^\circ.$	마름모 $\{2_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 육각형 오목 아이소톡살 육각형 $\{3_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 팔각형 오목 아이소톡살 팔각형 $\{4_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 십각형 오목 아이소톡살 십각형 $\{5_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 십이각형 별모양 아이소톡살 십이각형 $\{6_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 십사각형 오목 아이소톡살 십사각형 $\{7_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 십육각형 오목 아이소톡살 십육각형 $\{8_\alpha\}$
2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	--	별모양 아이소톡살 육각형 $\{(3/2)_\alpha\}$	마름모 2개의 합성물 $2\{2_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십각형 별모양 아이소톡살 십각형 $\{(5/2)_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 육각형 2개의 합성물 오목 아이소톡살 육각형 2개의 합성물 $2\{3_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십사각형 별모양 아이소톡살 십사각형 $\{(7/2)_\alpha\}$	볼록 아이소톡살 팔각형 2개의 합성물 오목 아이소톡살 팔각형 2개의 합성물 $2\{4_\alpha\}$
3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	--	--	별모양 아이소톡살 팔각형 $\{(4/3)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십각형 $\{(5/3)_\alpha\}$	마름모 3개의 합성물 $3\{2_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십사각형 별모양 아이소톡살 십사각형 $\{(7/3)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십육각형 오목 별모양 아이소톡살 십육각형 $\{(8/3)_\alpha\}$
4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	--	--	--	별모양 아이소톡살 십각형 $\{(5/4)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 육각형 2개의 합성물 $2\{(3/2)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십사각형 $\{(7/4)_\alpha\}$	마름모 4개의 합성물 $4\{2_\alpha\}$
5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	--	--	--	--	별모양 아이소톡살 십이각형 $\{(6/5)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십사각형 $\{(7/5)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 십육각형 $\{(8/5)_\alpha\}$
6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	별모양 아이소톡살 십사각형 $\{(7/6)_\alpha\}$	별모양 아이소톡살 팔각형 2개의 합성물 $2\{(4/3)_\alpha\}$
7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	--	별모양 아이소톡살 십육각형 $\{(8/7)_\alpha\}$

2. 1. 아이소톡살 다각형의 정의

아이소톡살 다각형은 짝수 개의 변을 가지며, 인접한 두 변이 이루는 각이 두 종류로 번갈아 나타나는 다각형이다. 정다각형은 모든 각의 크기가 같으므로 아이소톡살 다각형의 특수한 경우이다.^[1]

일반적으로 아이소톡살

2n

-각형은

\mathrm{D}_n, (^*nn)

이변 대칭을 가진다. 예를 들어, 마름모는

\mathrm{D}_2, (^*22)

대칭을 가진 아이소톡살 사각형이다. 모든 정

n

-각형은 아이소톡살 다각형이며, 최소 대칭 차수의 두 배를 가진다. 즉, 정

n

-각형은

\mathrm{D}_n, (^*nn)

이변 대칭을 가진다.^[1]

아이소톡살

\bold{2}n

-각형은 외각

\alpha

를 사용하여

\{n_\alpha\}

로 표시할 수 있다. 내각

(\beta)

은

180

{\color{royalblue}^\mathsf{o}},

보다 작거나 클 수 있으며, 이에 따라 볼록 또는 오목 다각형이 된다.^[1]

별

{\color{royalblue}\bold{2}n}

-각형도 아이소톡살이 될 수 있으며,

\{(n/q)_\alpha\}

로 표시한다. 여기서

q \le n - 1

이고, 최대공약수

\gcd(n,q) = 1

이며,

q

는 회전수 또는 밀도이다.^[1] 오목 내부 꼭짓점은

q < n/2

에 대해 정의할 수 있다. 만약

D = \gcd(n,q) \ge 2

이면,

\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}

는

\{(m/p)_\alpha\}

의

D

회전 사본의 합성물인

D \{(m/p)_\alpha\}

로 축소된다.^[1]

비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	2×2	2×3	2×4	2×5	2×6	2×7	2×8
$\{n_\alpha\}$	$\{2_\alpha\}$	$\{3_\alpha\}$	$\{4_\alpha\}$	$\{5_\alpha\}$	$\{6_\alpha\}$	$\{7_\alpha\}$	$\{8_\alpha\}$
2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	--	$\{(3/2)_\alpha\}$	$2\{2_\alpha\}$	$\{(5/2)_\alpha\}$	$2\{3_\alpha\}$	$\{(7/2)_\alpha\}$	$2\{4_\alpha\}$
3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	--	--	$\{(4/3)_\alpha\}$	$\{(5/3)_\alpha\}$	$3\{2_\alpha\}$	$\{(7/3)_\alpha\}$	$\{(8/3)_\alpha\}$
4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	--	--	--	$\{(5/4)_\alpha\}$	$2\{(3/2)_\alpha\}$	$\{(7/4)_\alpha\}$	$4\{2_\alpha\}$
5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	--	--	--	--	$\{(6/5)_\alpha\}$	$\{(7/5)_\alpha\}$	$\{(8/5)_\alpha\}$
6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	$\{(7/6)_\alpha\}$	$2\{(4/3)_\alpha\}$
7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	--	$\{(8/7)_\alpha\}$

2. 2. 아이소톡살 다각형의 종류

아이소톡살 다각형은 내각의 크기에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

^[1]

2. 3. 아이소톡살 다각형의 대칭성

일반적으로 아이소톡살

2n

-각형은

\mathrm{D}_n, (^*nn)

이변 대칭을 가진다.^[1] 예를 들어, (비정사각형) 마름모는

\mathrm{D}_2, (^*22)

대칭을 가진 아이소톡살 "

2

×

2

-각형" (사변형)이다. 모든

{\color{royalblue}n}

-정다각형 (홀수

n

도 포함)은 아이소톡살 다각형이며, 최소 대칭 차수의 두 배를 가진다. 즉, 정

n

-각형은

\mathrm{D}_n, (^*nn)

이변 대칭을 가진다.^[1]

아이소톡살

4n

-각형은 점대칭이므로 존오곤이다.^[1]

외각

\alpha

를 가진 아이소톡살

\bold{2}n

-각형은

\{n_\alpha\}

로 표시할 수 있다. 내각

(\beta)

은

180

{\color{royalblue}^\mathsf{o}},

보다 작거나 클 수 있으며, 각각 볼록 또는 오목 다각형을 만든다.^[1]

별

{\color{royalblue}\bold{2}n}

-각형도 아이소톡살이 될 수 있으며,

\{(n/q)_\alpha\}

로 표시하고,

q \le n - 1

이며, 최대공약수

\gcd(n,q) = 1

이고, 여기서

q

는 회전수 또는 밀도이다.^[1] 오목 내부 꼭짓점은

q < n/2

에 대해 정의할 수 있다. 만약

D = \gcd(n,q) \ge 2,

이면

\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}

는

\{(m/p)_\alpha\}

의

D

회전 사본의 합성물인

D \{(m/p)_\alpha\}

로 "축소"된다.^[1]

style="text-align:center;"|비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	2×2	2×3	2×4	2×5	2×6	2×7	2×8
$\{n_\alpha\}$ 볼록: $\beta < 180^\circ.$ 오목: $\beta > 180^\circ.$	$\{2_\alpha\}$	$\{3_\alpha\}$	$\{4_\alpha\}$	$\{5_\alpha\}$	$\{6_\alpha\}$	$\{7_\alpha\}$	$\{8_\alpha\}$
2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	--	$\{(3/2)_\alpha\}$	$2\{2_\alpha\}$	$\{(5/2)_\alpha\}$	$2\{3_\alpha\}$	$\{(7/2)_\alpha\}$	$2\{4_\alpha\}$
3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	--	--	$\{(4/3)_\alpha\}$	$\{(5/3)_\alpha\}$	$3\{2_\alpha\}$	$\{(7/3)_\alpha\}$	$\{(8/3)_\alpha\}$
4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	--	--	--	$\{(5/4)_\alpha\}$	$2\{(3/2)_\alpha\}$	$\{(7/4)_\alpha\}$	$4\{2_\alpha\}$
5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	--	--	--	--	$\{(6/5)_\alpha\}$	$\{(7/5)_\alpha\}$	$\{(8/5)_\alpha\}$
6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	$\{(7/6)_\alpha\}$	$2\{(4/3)_\alpha\}$
7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	--	$\{(8/7)_\alpha\}$

2. 4. 아이소톡살 다각형의 표현

외각

\alpha

를 가진 아이소톡살

2n

-각형은

\{n_\alpha\}

로 표현할 수 있다.^[1] 내각

(\beta)

은

180

{\color{royalblue}^\mathsf{o}},

보다 작거나 클 수 있으며, 각각 볼록 또는 오목 다각형을 만든다.

별

{\color{royalblue}\bold{2}n}

-각형도 아이소톡살이 될 수 있으며,

\{(n/q)_\alpha\}

로 표시하고,

q \le n - 1

이며, 최대공약수

\gcd(n,q) = 1

이고, 여기서

q

는 회전수 또는 밀도이다.^[1] 오목 내부 꼭짓점은

q < n/2

에 대해 정의할 수 있다. 만약

D = \gcd(n,q) \ge 2,

이면

\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}

는

\{(m/p)_\alpha\}

의

D

회전 사본의 합성물인

D \{(m/p)_\alpha\}

로 "축소"된다.

style="text-align:center;"|비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	$\{n_\alpha\}$ 볼록: $\beta < 180^\circ.$ 오목: $\beta > 180^\circ.$	2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$
2×2	$\{2_\alpha\}$	--	--	--	--	--	--
2×3	$\{3_\alpha\}$	$\{(3/2)_\alpha\}$	--	--	--	--	--
2×4	$\{4_\alpha\}$	$2\{2_\alpha\}$	$\{(4/3)_\alpha\}$	--	--	--	--
2×5	$\{5_\alpha\}$	$\{(5/2)_\alpha\}$	$\{(5/3)_\alpha\}$	$\{(5/4)_\alpha\}$	--	--	--
2×6	$\{6_\alpha\}$	$2\{3_\alpha\}$	$3\{2_\alpha\}$	$2\{(3/2)_\alpha\}$	$\{(6/5)_\alpha\}$	--	--
2×7	$\{7_\alpha\}$	$\{(7/2)_\alpha\}$	$\{(7/3)_\alpha\}$	$\{(7/4)_\alpha\}$	$\{(7/5)_\alpha\}$	$\{(7/6)_\alpha\}$	--
2×8	$\{8_\alpha\}$	$2\{4_\alpha\}$	$\{(8/3)_\alpha\}$	$4\{2_\alpha\}$	$\{(8/5)_\alpha\}$	$2\{(4/3)_\alpha\}$	$\{(8/7)_\alpha\}$

2. 5. 별모양 아이소톡살 다각형

별모양 아이소톡살 다각형은

\{(n/q)_\alpha\}

로 표시한다. (

n

과

q

는 서로소)^[1] 회전수 또는 밀도 (

q

)는 다각형의 별 모양 정도를 나타낸다.^[1] 오목 내부 꼭짓점은

q < n/2

에 대해 정의할 수 있다.^[1] 만약

D = \gcd(n,q) \ge 2,

이면,

\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}

는

\{(m/p)_\alpha\}

의

D

회전 사본의 합성물인

D \{(m/p)_\alpha\}

로 "축소"된다.^[1]

비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$
2×3	$\{(3/2)_\alpha\}$	--	--	--	--	--
2×4	$2\{2_\alpha\}$	$\{(4/3)_\alpha\}$	--	--	--	--
2×5	$\{(5/2)_\alpha\}$	$\{(5/3)_\alpha\}$	$\{(5/4)_\alpha\}$	--	--	--
2×6	$2\{3_\alpha\}$	$3\{2_\alpha\}$	$2\{(3/2)_\alpha\}$	$\{(6/5)_\alpha\}$	--	--
2×7	$\{(7/2)_\alpha\}$	$\{(7/3)_\alpha\}$	$\{(7/4)_\alpha\}$	$\{(7/5)_\alpha\}$	$\{(7/6)_\alpha\}$	--
2×8	$2\{4_\alpha\}$	$\{(8/3)_\alpha\}$	$4\{2_\alpha\}$	$\{(8/5)_\alpha\}$	$2\{(4/3)_\alpha\}$	$\{(8/7)_\alpha\}$

2. 6. 균일 타일링과의 관계

균일 타일링 및 등각 타일링에서 아이소톡살 다각형을 사용할 수 있다. 아래는 비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예시를 나타낸 표이다.

style="text-align:center;"|비정규 아이소톡살 다각형 및 합성물의 예
변의 수: $2n$	2×2	2×3	2×4	2×5	2×6	2×7	2×8
$\{n_\alpha\}$ 볼록: $\beta < 180^\circ.$ 오목: $\beta > 180^\circ.$	$\{2_\alpha\}$	$\{3_\alpha\}$	$\{4_\alpha\}$	$\{5_\alpha\}$	$\{6_\alpha\}$	$\{7_\alpha\}$	$\{8_\alpha\}$
2-회전 $\{(n/2)_\alpha\}$	--	$\{(3/2)_\alpha\}$	$2\{2_\alpha\}$	$\{(5/2)_\alpha\}$	$2\{3_\alpha\}$	$\{(7/2)_\alpha\}$	$2\{4_\alpha\}$
3-회전 $\{(n/3)_\alpha\}$	--	--	$\{(4/3)_\alpha\}$	$\{(5/3)_\alpha\}$	$3\{2_\alpha\}$	$\{(7/3)_\alpha\}$	$\{(8/3)_\alpha\}$
4-회전 $\{(n/4)_\alpha\}$	--	--	--	$\{(5/4)_\alpha\}$	$2\{(3/2)_\alpha\}$	$\{(7/4)_\alpha\}$	$4\{2_\alpha\}$
5-회전 $\{(n/5)_\alpha\}$	--	--	--	--	$\{(6/5)_\alpha\}$	$\{(7/5)_\alpha\}$	$\{(8/5)_\alpha\}$
6-회전 $\{(n/6)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	$\{(7/6)_\alpha\}$	$2\{(4/3)_\alpha\}$
7-회전 $\{(n/7)_\alpha\}$	--	--	--	--	--	--	$\{(8/7)_\alpha\}$

3. 아이소톡살 다면체 및 타일링

아이소톡살 다면체는 모든 모서리의 길이가 같지만, 모든 면이 합동이거나 모든 꼭짓점이 동일한 환경을 갖지 않는 다면체이다.

아이소톡살 다면체 및 타일링의 예시, 성질, 종류(볼록 및 비볼록), 화합물, 유클리드 및 쌍곡 평면에서의 타일링에 대한 자세한 내용은 각각의 하위 섹션을 참조하라.

3. 1. 아이소톡살 다면체의 예시

준정다면체인 깎은 정육면체와 이십이십면체는 등각이고 등변적이지만, 등면적이 아니다. 이들의 쌍대 다면체인 마름모십이면체와 마름모삼십면체는 등면적이고 등변적이지만, 등각이 아니다.

정다각형으로 구성된 모든 다면체 또는 2차원 테셀레이션이 등변적인 것은 아니다. 예를 들어, 깎은 정이십면체(축구공)는 육각형-육각형과 육각형-오각형의 두 가지 모서리 유형을 가지며, 고체의 대칭으로 육각형-육각형 모서리를 육각형-오각형 모서리로 이동할 수 없기 때문에 등변적이 아니다.

3. 2. 아이소톡살 다면체의 성질

등변적인 다면체는 모든 모서리에 대해 동일한 이면각을 갖는다.^[2]

등변적인 다면체의 쌍대 다면체도 등변적인 다면체이다. (쌍대 다면체 문서 참조.)

3. 3. 볼록 및 비볼록 아이소톡살 다면체

정다면체는 등면적(면 추이), 등각(꼭짓점 추이), 등변적(모서리 추이)이다.

등변적인 볼록 다면체에는 다섯 개의 정다면체, 쌍대 정다면체의 두 개의 (준정) 공통 코어, 그리고 그들의 두 쌍대를 포함하여 9개가 있다.^[2]

등변적인 비볼록 다면체에는 네 개의 (정) 케플러-푸앵소 다면체, 쌍대 케플러-푸앵소 다면체의 두 개의 (준정) 공통 코어, 그들의 두 쌍대, 세 개의 준정 이중삼각 (3 | ''p q'') 별 다면체, 그리고 그들의 세 쌍대를 포함하여 14개가 있다.^[2]

3. 4. 아이소톡살 다면체 화합물

적어도 다섯 개의 다포체 화합물과 그들의 쌍대 다면체 (또는 하나의 키랄 쌍)가 있다.^[2]

3. 5. 유클리드 및 쌍곡 평면에서의 아이소톡살 타일링

유클리드 평면에는 적어도 5개의 등변 다각형 타일링이 존재한다. 쌍곡 평면에는 무한히 많은 등변 다각형 타일링이 존재하는데, 여기에는 정규 쌍곡 타일링 {p,q}와 비직각 (p q r) 그룹에서의 와이토프 작도가 포함된다.

참조

_[1] 서적 Tilings and patterns 1987
_[2] 웹사이트 duality http://maths.ac-noum[...] 2020-09-30

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변추이
정의
설명	모든 변이 동등한 도형 또는 타일링을 나타냄
관련 용어
쌍대	등면체 도형
꼭짓점 추이	등각 도형
면 추이	등면체 도형
그래프 이론
관련 개념	변추이 그래프

종류	설명	예시
볼록 아이소톡살 다각형	모든 내각이 180도보다 작다.
오목 아이소톡살 다각형	180도보다 큰 내각이 하나 이상 존재한다.
별모양 아이소톡살 다각형	변이 서로 교차한다.