정규 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

정규 공간은 위상 공간의 일종으로, 서로소인 두 닫힌 집합을 서로소인 열린 집합으로 분리할 수 있는 공간을 의미한다. 이는 닫힌 집합을 근방으로 분리하는 것과 실함수로 분리하는 것이 동치임을 의미하며, 우리손 보조정리와 티체 확장 정리와 같은 중요한 정리를 통해 특징지어진다. 정규 공간은 분리 공리 중 하나이며, 완전 정규 공간, T₄ 공간, T₅ 공간, T₆ 공간 등과 같은 다양한 관련 개념들이 존재한다. 정규 공간은 닫힌 집합, 연속 함수, 곱 공간 등의 연산에 대한 닫힘 성질을 가지며, 거리 공간, 가측화 가능 공간, 콤팩트 공간 등 다양한 공간들이 정규 공간의 예시에 해당한다. 정규 공간의 개념은 1923년 하인리히 티체에 의해 처음 도입되었으며, 우리손과 다우커 등의 수학자들에 의해 연구되었다.

더 읽어볼만한 페이지

위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.

정규 공간
일반 정보
유형	위상 공간
속성	T}} (정규 하우스도르프) T}} (완전 정규 하우스도르프) T}} (완전 정규 하우스도르프)
정의
정의	임의의 서로소인 닫힌 집합에 대해, 각각을 포함하는 서로소인 열린 집합이 존재한다면, 그 공간은 정규 공간이다.
속성
티체 확장 정리	티체 확장 정리는 정규 공간에서 정의된 연속 함수를 더 큰 공간으로 확장할 수 있음을 보여준다.
우리손 보조정리	우리손 보조정리는 정규 공간에서 서로소인 닫힌 집합을 분리하는 연속 함수가 존재함을 보장한다.
예시
예시	모든 거리 공간 모든 콤팩트 하우스도르프 공간 모든 이산 공간 모든 스톤-체흐 콤팩트화 모든 정칙 공간은 국소적으로 정규 공간이다.
관련 개념
관련 개념	분리공리

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족하면 '''정규 공간'''이라고 한다.

임의의 두 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $E\subset U$ , $F\subset V$ 인 서로소 열린집합 $U,V\subset X$ 가 존재한다.

2. 1. 정규 공간의 정의

위상 공간

X

가 다음 네 가지 조건을 만족하면, '''정규 공간'''이라고 한다. 이 조건들은 서로 동치이다.

임의의 두 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $E\subset U$ , $F\subset V$ 인 서로소 열린집합 $U,V\subset X$ 가 존재한다.
('''우리손 보조정리''', Urysohn lemma^영어) 임의의 두 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $f|_E=0$ 이자 $f|_F=1$ 인 연속 함수 $f\colon X\to[0,1]$ 가 존재한다.^[7]
(실수 '''티체 확장 정리''') 임의의 닫힌집합 $E\subseteq X$ 및 연속 함수 $f\colon E\to\mathbb R$ 에 대하여, $\tilde f|_E=f$ 가 되는 연속 함수 $\tilde f\colon X\to\mathbb R$ 가 존재한다.^[7]
(폐구간 '''티체 확장 정리''') 임의의 닫힌집합 $E\subseteq X$ 및 폐구간 $[a,b]\subseteq\mathbb R$ 및 연속 함수 $f\colon E\to[a,b]$ 에 대하여, $\tilde f|_E=f$ 가 되는 연속 함수 $\tilde f\colon X\to[a,b]$ 가 존재한다.^[7]

즉, 두 닫힌집합을 근방으로 분리하는 것은 실함수로서 분리하는 것과 같다.

2. 2. 완전 정규 공간

위상 공간

X

가 다음 세 조건을 만족하면 '''완전 정규 공간'''(完全正規空間, perfectly normal space^영어)이라고 한다.^[7]

임의의 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $f^{-1}(0)=E$ 이자 $f^{-1}(1)=F$ 인 연속 함수 $f\colon X\to[0,1]$ 가 존재한다.
임의의 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X$ 에 대하여, $f^{-1}(0)=E$ 이자 $f^{-1}(1)=F$ 인 연속 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 가 존재한다.
정규 공간이며, 모든 닫힌집합 $E\subseteq X$ 은 G_δ 집합이다.

완전 정규 하우스도르프 공간을 '''T₆ 공간'''(T₆空間, ''T''₆ space^영어)이라고 한다.

2. 3. T₄ 공간과 T₅ 공간, T₆ 공간

위상 공간 ''X''가 정규이고 T₁ 공간이면 '''T₄ 공간'''이라고 한다. 이는 ''X''가 정규이고 하우스도르프인 것과 같다.

''X''의 모든 부분 공간이 정규 공간이면 '''완전 정규 공간''' 또는 '''유전적 정규 공간'''이라고 한다. ''X''는 두 개의 분리 집합이 근방에 의해 분리될 수 있는 경우에만 완전 정규이다. 또한, ''X''는 ''X''의 모든 열린 부분 집합이 부분 공간 위상을 가진 정규 공간인 경우에만 완전 정규이다.

완전 정규 T₁ 공간 ''X''를 '''T₅ 공간''' 또는 '''완전 T₄ 공간'''이라고 하며, 이는 ''X''가 하우스도르프임을 의미한다. 즉, ''X''의 모든 부분 공간은 T₄ 공간이어야 한다.

위상 공간

X

에서 모든 두 개의 서로소인 닫힌 집합

E

와

F

가 연속 함수

f

(

X

에서 구간

[0,1]

로 가는)가 존재하여

f^{-1}(\{0\})=E

및

f^{-1}(\{1\})=F

를 만족하는 의미에서 함수에 의해 정확히 분리될 수 있으면, '''완전 정규 공간'''이라고 한다.^[1] ''X''는 ''X''가 정규이고 모든 닫힌 집합이 G_δ 집합인 경우에만 완전 정규인 것으로 밝혀졌다. 동등하게, ''X''는 모든 닫힌 집합이 연속 함수의 영 집합인 경우에만 완전 정규이다. 이 세 가지 특성 사이의 등가성은 '''Vedenissoff의 정리'''라고 불린다.^[2]^[3] 모든 완전 정규 공간은 완벽한 정규성이 유전적 성질이기 때문에 완전 정규이다.^[4]^[5]

'''T₆ 공간''' 또는 '''완전 T₄ 공간'''은 완전 정규 하우스도르프 공간이다.

"정규 공간" 및 "T₄"라는 용어와 파생된 개념은 때때로 다른 의미를 가질 수 있다는 점에 유의해야 한다. 여기에 주어진 정의는 오늘날 일반적으로 사용되는 정의이다.

3. 성질

정규 공간은 서로소(서로 만나지 않는) 닫힌집합들을 근방으로 분리할 수 있을 뿐만 아니라, 연속 함수를 통해 분리할 수 있다는 중요한 성질을 가진다.

우리스존의 보조정리에 따르면, 정규 공간 ''X''에서 서로소인 두 닫힌집합 ''A''와 ''B''가 주어졌을 때, ''A''의 모든 점에서는 0, ''B''의 모든 점에서는 1의 값을 가지는 연속 함수 ''f'': ''X'' → '''R'''를 항상 찾을 수 있다. 더 나아가, 이 함수의 값을 단위 구간 [0,1] 사이로 제한할 수도 있다.

티체 확장 정리는 우리손 보조정리를 확장한 것으로, 정규 공간 ''X''의 닫힌 부분집합 ''A''에서 정의된 연속 함수 ''f'': ''A'' → '''R'''가 주어졌을 때, 이 함수를 전체 공간 ''X''로 확장한 연속 함수 ''F'': ''X'' → '''R'''가 항상 존재한다는 것을 보여준다. 즉, ''A''의 모든 점 ''x''에 대해 ''F''(''x'') = ''f''(''x'')가 성립한다.

정규 공간은 국소 유한 열린 덮개에 대해 단위 분할이 존재하며, 이는 파라콤팩트성과의 관계를 보여준다.

정규 공간의 닫힌 부분 공간은 정규 공간이며, 정규 공간의 연속적이고 닫힌 상(image) 역시 정규 공간이다.^[7] 하지만, 정규 공간들의 곱은 정규 공간이 아닐 수 있다. 소르겐프레이 평면이 그 예시이다.^[8]

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[7]

:거리화 가능 공간 ⊊ 완전 정규 하우스도르프 공간(T₆) ⊊ 완비 정규 하우스도르프 공간(T₅) ⊊ 정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

:완전 정규 공간 ⊊ 완비 정규 공간 ⊊ 정규 공간

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다. 모든 완전 정규 공간은 가산 파라콤팩트 공간이다. 모든 정규 무어 공간은 완전 정규 공간이다.

3. 2. 정칙성 과의 관계

정규 공간이 정칙 공간일 필요는 없다. 그러나 정규 공간에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

R₀ 공간이다.
완비 정칙 공간이다.

즉, 정규성에 R₀ 공간이라는 아주 약한 조건을 추가하면 (완비) 정칙성을 함의한다.

모든 파라콤팩트 정칙 공간은 정규 공간이다. 정규 공간이 R₀이면, 실제로 완전 정칙 공간이다. 따라서 "정규 R₀"부터 "정규 완전 정칙"까지는 일반적으로 '정규 정칙'이라고 부르는 것과 같다. 콜모고로프 몫을 취하면, 모든 정규 T₁ 공간은 티호노프 공간임을 알 수 있다. 이것이 일반적으로 '정규 하우스도르프' 공간이라고 부르는 것이다.

3. 3. 연산에 대한 닫힘

정규 공간의 닫힌집합은 정규 공간이다. 그러나 임의의 부분 공간에 대해서는 성립하지 않을 수 있다. 모든 부분 공간이 정규 공간인 위상 공간을 '''완비 정규 공간''' 또는 '''유전 정규 공간'''이라고 한다.

정규 공간들의 곱공간은 정규 공간이 아닐 수 있다.^[8] 심지어, 정규 공간

X

에 대하여,

X\times[0,1]

이 정규 공간이 아닐 수도 있다.^[9]^[10]

4. 예시

모든 거리 공간(그리고 모든 가측화 가능 공간)은 완전 정규 하우스도르프 공간이다.^[12]
모든 의사 거리 공간(그리고 모든 의사 가측화 가능 공간)은 완전 정규 정칙 공간이지만, 일반적으로 하우스도르프 공간은 아니다.^[12]
모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.^[12]
특히, 스톤-체흐 콤팩트화는 티호노프 공간의 정규 하우스도르프 공간이다.^[12]
위의 예시들을 일반화하면, 모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이며, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 정규 공간이다.^[12]
모든 파라콤팩트 위상 다양체는 완전 정규 하우스도르프 공간이다. 하지만, 정규 공간조차 아닌 비파라콤팩트 다양체도 존재한다.^[12]
전순서 위상의 모든 전순서 집합은 유전 정규 하우스도르프 공간이다.^[12]
모든 정칙 제2 가산 공간은 완전 정규 공간이며, 모든 정칙 린델뢰프 공간은 정규 공간이다.^[12]

또한 모든 완전 정규 공간은 정규 공간이다(정칙 공간이 아니더라도). 시에르핀스키 공간은 정규 공간이지만 정칙 공간이 아닌 예시다.^[12]

정규 공간이 아닌 위상의 중요한 예시로 대수 기하학에서 사용되는 대수적 다양체 또는 환의 스펙트럼에 대한 자리스키 위상이 있다.^[12]

해석학적으로 관련성이 있는 정규 공간이 아닌 공간은 실수선 '''R'''에서 자신으로 가는 모든 함수의 위상 벡터 공간으로, 점별 수렴 위상을 갖는다.^[12]

더 일반적으로, 아서 해롤드 스톤의 정리에 따르면 가산할 수 없는 비콤팩트 공간인 거리 공간들의 곱 위상은 절대로 정규 공간이 될 수 없다.^[12]

5. 역사

정규 공간의 개념은 1923년에 오스트리아의 수학자 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(1880~1964)가 도입하였다.^[15]

티체 확장 정리는 원래 라위트전 브라우어르와 앙리 르베그가 유클리드 공간에 대하여 증명하였고, 이후 티체가 이를 임의의 거리화 가능 공간에 대하여 일반화하였다. 이후 파벨 사무일로비치 우리손이 1925년에 우리손 보조정리를 사용하여 이를 임의의 정규 공간에 대하여 증명하였다.^[13]

1951년에 클리퍼드 휴 다우커는 정규 공간 $X$ 에 대하여, $X\times[0,1]$ 이 정규 공간이 아니라면, $X$ 가 여러 특수한 성질들을 갖는다는 것을 보였다.^[14] 다우커는 이러한 공간들이 존재하지 않는다고 추측하였으나, 1971년에 메리 엘런 루딘이 이러한 공간들이 실재함을 증명하였다.^[9]^[10]

참조

_[1] 문서 Willard, Exercise 15C
_[2] 문서 Engelking, Theorem 1.5.19. This is stated under the assumption of a T₁ space, but the proof does not make use of that assumption.
_[3] 웹사이트 Why are these two definitions of a perfectly normal space equivalent? https://math.stackex[...]
_[4] 문서 Engelking, Theorem 2.1.6, p. 68
_[5] 문서 Munkres
_[6] 웹사이트 separation axioms in nLab https://ncatlab.org/[...] 2021-10-12
_[7] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[8] 저널 On the topological product of paracompact spaces
_[9] 저널 A normal space ''X'' for which ''X''×''I'' is not normal 1971-03
_[10] 저널 A normal space ''X'' for which ''X''×''I'' is not normal https://web.archive.[...] 2016-06-21
_[11] 서적 General topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970
_[12] 저널 Paracompactness and product spaces
_[13] 저널 Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen https://web.archive.[...] 2016-06-21
_[14] 저널 On countably paracompact spaces 1951
_[15] 서적 Topologie générale. Chapitres 5 à 10 Hermann 1974

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com