준등거리사상

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 기하학적 군론의 응용
- 4.1. 준지오데식과 모스 보조정리
5. 준등거리사상 불변량
참조

1. 개요

준등거리사상은 두 거리 공간 사이의 함수로, 거리를 일정한 범위 내에서 유지하며 공간의 "모양"을 보존하는 변환이다. 두 거리 공간 사이에 준등거리사상이 존재하면 이 두 공간을 준등거리동형이라고 하며, 이는 동치 관계를 이룬다. 준등거리사상은 기하학적 군론에서 군의 불변량을 연구하는 데 사용되며, 케일리 그래프의 준등거리동형 동치류를 통해 군의 특성을 파악할 수 있다. 준등거리사상 불변량으로는 쌍곡성, 성장률, 끝, 가측성, 점근 원뿔 등이 있다.

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준등거리사상

2. 정의

$f$ 가 (연속일 필요는 없는) 거리 공간 $(M_1, d_1)$ 에서 거리 공간 $(M_2, d_2)$ 으로 가는 함수라고 하자. $f$ 가 $(M_1, d_1)$ 에서 $(M_2, d_2)$ 로 가는 준등거리사상임은 다음 조건을 만족하는 것으로 정의된다.^[2] 적당한 상수 $A\ge 1$ , $B\ge 0$ , $C\ge 0$ 가 존재하여,

# $\forall x,y\in M_1: \frac{1}{A}\; d_1(x,y)-B\leq d_2(f(x),f(y))\leq A\; d_1(x,y)+B.$

# $\forall z\in M_2:\exists x\in M_1: d_2(z,f(x))\le C.$

두 거리 공간 $(M_1, d_1)$ , $(M_2, d_2)$ 간에 준등거리사상이 존재하면 '''준등거리동형'''(quasi-isometric) 또는 '''준거리동형'''이라고 한다. 이 정의는 약간의 고찰을 통해 순서에 무관하다고 볼 수 있고(즉, 준등거리동형 관계는 대칭관계이다), 나아가 준등거리동형 관계는 동치관계가 됨을 쉽게 보일 수 있다.

사상은 첫 번째 조건을 만족하지만 두 번째 조건은 반드시 만족하지 않는 경우 (즉, 대략적으로 립시츠이지만, 대략적으로 전사일 수 없는 경우) '''준등거리 임베딩'''이라고 한다. 즉, 사상을 통해 $(M_1, d_1)$ 이 $(M_2, d_2)$ 의 부분 공간과 준등거리일 경우이다.

두 거리 공간 $M_1$ 과 $M_2$ 는 준등거리사상 $f:M_1\to M_2$ 가 존재할 경우, $M_1\underset{q.i.}{\sim} M_2$ 로 표기하며, '''준등거리'''라고 한다.

만약 $f:M_1\mapsto M_2$ 가 준등거리사상이면, 준등거리사상 $g:M_2\mapsto M_1$ 가 존재한다.

항등 사상이 준등거리사상이고, 두 준등거리사상의 합성 역시 준등거리사상이므로, 준등거리적인 속성은 거리 공간의 클래스에서 동치 관계처럼 동작한다.

3. 예시

유클리드 거리를 갖는 $\mathbb{R}^2$ 에서 맨해튼 거리를 갖는 동일한 집합으로의 항등 함수는 준등거리사상이다. 이때 거리는 최대 $\sqrt 2$ 배 차이난다.
유클리드 거리를 사용하는 함수 $f:\mathbb{Z}^n\mapsto\mathbb{R}^n$ 를 자연스러운 일대일 함수라고 하면, 이 함수 역시 준등거리사상이다. 거리는 정확히 보존되며, 임의의 실수 순서쌍들은 어떤 정수 순서쌍에서 최대 $\sqrt{n/4}$ 만큼 떨어져 있다.
유한 집합이거나 유계 집합인 거리 공간들의 임의 쌍은 준등거리동형이다. 실제로, 여기서는 임의의 함수가 준등거리사상이 된다.^[2]

4. 기하학적 군론의 응용

유한 생성 군 ''G''의 유한 생성집합 ''S''가 주어지면 케일리 그래프를 만들 수 있다. 모든 모서리의 길이를 1이라고 하면 이 그래프는 거리 공간이 된다. ''G''의 다른 유한 생성집합 ''T''를 이용하여 다른 케일리 그래프를 만들더라도, 두 케일리 그래프는 준등거리사상이 된다.^[3] 따라서 케일리 그래프의 준등거리사상 동치류는 ''G''에만 의존하며, 이를 통해 군의 불변량을 얻을 수 있어 기하학적 방법으로 군론을 연구할 수 있다.

'''슈바르츠-밀너 보조정리'''는 군 ''G''가 적절 측지 공간 ''X''에서 조밀한 몫을 가지며 적절하게 불연속적으로 작용하면 ''G''는 ''X''와 준등거리사상이라는 것을 보여준다. 이는 ''G''의 모든 케일리 그래프에 대해서도 마찬가지이다.^[4]

슈바르츠-밀너 보조정리에 따른 예시는 다음과 같다.

''G' ''가 ''G''의 유한 지수를 갖는 부분군이면, ''G' ''는 ''G''와 준등거리사상이다.
''G''와 ''H''가 같은 차원 ''d''을 갖는 두 개의 콤팩트한 쌍곡 다양체의 기본군이면, 두 군 모두 쌍곡 공간 '''H'''^''d''와 준등거리사상이며, 따라서 서로 준등거리사상이다.

4. 1. 준지오데식과 모스 보조정리

계량 공간

(X, d)

에서 '''준지오데식'''은

\mathbb R

을

X

에 준등거리적으로 임베딩하는 것이다. 더 정확하게는, 다음 조건을 만족하는 맵

\phi: \mathbb R \to X

를 의미한다.

$C, K > 0$ 가 존재하여 모든 $s, t \in \mathbb R$ 에 대해 다음 부등식을 만족하면 $(C,K)$ -준지오데식이라고 부른다.

:

C^{-1} |s - t| - K \le d(\phi(t), \phi(s)) \le C|s - t| + K

호의 길이에 의해 매개화된 지오데식은 준지오데식이다.

일부 공간에서 모든 준지오데식이 참된 지오데식으로부터 유계 거리 내에 머무른다는 사실을 '''모스 보조정리'''(미분 위상수학의 모스 보조정리와 혼동하지 말 것)라고 한다. 공식적으로 이 정리는 다음과 같다.

$\delta, C, K > 0$ 이고 $X$ 가 적절한 δ-쌍곡 공간이라고 하자. 모든 $(C, K)$ -준지오데식 $\phi$ 에 대해, 모든 $t \in \mathbb R$ 에 대하여 $d(\phi(t), L) \le M$ 을 만족하는 지오데식 $L$ 이 $X$ 에 존재하도록 하는 $M$ 이 존재한다.

이는 기하학적 군론에서 중요한 도구이다. 즉각적인 응용 예시로, 적절한 쌍곡 공간 사이의 임의의 준등거리는 그 경계 사이의 동형사상을 유도한다. 이 결과는 모스토우 강성 정리의 증명에서 첫 번째 단계이다.

또한, 이 결과는 구글 지도와 유사한 응용 프로그램의 사용자 상호 작용 디자인을 분석하는 데 유용하다.

5. 준등거리사상 불변량

준등거리사상에 의해 변하지 않는 군의 성질, 즉 불변량은 다음과 같다:^[1]

쌍곡성: 어떤 케일리 그래프가 δ-쌍곡 공간이면 그 군은 쌍곡군이다. 쌍곡군은 단어 문제를 풀 수 있으며, 자동군이자 쌍자동군이다.
성장률: 군의 성장률은 생성 집합에 대해 군 내의 공의 크기를 설명한다. 그로모프의 다항식 성장 군 정리에 따르면 다항식 성장 군은 준 멱영군이다.
끝(Ends): 유한 생성군의 끝은 해당 케일리 그래프의 끝으로 정의된다. 유한 생성 무한군은 0, 1, 2, 또는 무한히 많은 끝을 가질 수 있으며, 스탈링스의 군의 끝에 관한 정리는 둘 이상의 끝을 가진 군에 대한 분해를 제공한다. 두 유사 등거리 유한 생성군은 동일한 수의 끝을 가진다.^[7]
가측성(Amenability): 존 폰 노이만이 처음 소개한 개념으로, 군 요소에 의한 이동에 대해 불변인 평균 연산을 갖는 군을 의미한다.^[8] 군이 Følner 수열을 가지면 가측 군이다.
점근 원뿔(Asymptotic cone): 초극한의 일종으로, 기하학적 군론에서 유사 등거리 불변량을 제공하는 데 중요한 역할을 한다.^[9] 상대 쌍곡 군 연구에도 유용하다.^[10]

5. 1. 쌍곡성

어떤 케일리 그래프가 어떤 δ에 대해 δ-쌍곡 공간이면, 그 군을 '''쌍곡군'''이라고 부른다. 쌍곡성에 대한 여러 정의를 번역할 때 δ의 특정 값은 변경될 수 있지만, 결과적으로 쌍곡군의 개념은 동일하게 된다.^[1]

쌍곡군은 단어 문제를 풀 수 있다.^[1] 이는 자동군이며 쌍자동군이다.^[1] 실제로, 이는 강하게 측지선적으로 자동인데, 이는 단어 수용자가 받아들이는 언어가 모든 측지선 단어의 집합인 군에 대한 자동 구조가 있음을 의미한다.^[1]

5. 2. 성장률

'''성장률'''은 군에서 대칭 생성 집합에 대해 군 내의 공의 크기를 설명한다. 군 내의 모든 원소는 생성원의 곱으로 표현될 수 있으며, 성장률은 길이 ''n''의 곱으로 표현될 수 있는 원소의 개수를 센다.^[1]

그로모프 정리에 따르면 다항식 성장 군은 준 멱영군이다. 즉, 유한 지수를 갖는 멱영 부분군을 가지고 있다. 특히, 다항식 성장 차수

k_0

는 자연수여야 하며, 실제로

\#(n)\sim n^{k_0}

이다.^[1]

\#(n)

이 지수 함수보다 더 느리게 증가하면, ''G''는 '''준지수 성장률'''을 갖는다. 이러한 군은 모두 가환 군이다.^[1]

5. 3. 끝(Ends)

위상 공간의 '''끝'''은 대략적으로 말해, 공간의 "이상적인 경계"의 연결 성분이다. 즉, 각 끝은 공간 내에서 무한대로 이동하는 위상적으로 구별되는 방식을 나타낸다. 각 끝에 점을 추가하면 원래 공간의 콤팩트화가 생성되며, 이를 '''끝 콤팩트화'''라고 한다.

유한 생성군의 끝은 해당 케이리 그래프의 끝으로 정의된다. 이 정의는 유한 생성 집합의 선택에 독립적이다. 모든 유한 생성 무한군은 0, 1, 2, 또는 무한히 많은 끝을 가지며, 스탈링스의 군의 끝에 관한 정리는 둘 이상의 끝을 가진 군에 대한 분해를 제공한다.

두 개의 연결된 국소 유한 그래프가 유사 등거리이면, 동일한 수의 끝을 가진다.^[7] 특히, 두 개의 유사 등거리 유한 생성군은 동일한 수의 끝을 가진다.

5. 4. 가측성(Amenability)

'''가측 군'''은 국소 콤팩트 위상군 ''G''로, 유계 함수에 대한 일종의 평균 연산을 갖는데, 이 연산은 군 요소에 의한 이동에 대해 불변이다. 유한 가법적 불변 측도(또는 평균)를 ''G''의 부분 집합에 적용하는 원래 정의는 1929년 존 폰 노이만이 messbar|메스바^de("가측"을 의미)라는 이름으로 소개하였으며, 이는 바나흐-타르스키 역설에 대한 응답이었다.^[8] 1949년 Mahlon M. Day는 언어유희로 보이는 영어 번역 "amenable"을 도입했다.^[8]

이산군론에서, ''G''가 이산 위상을 갖는 경우 더 간단한 정의가 사용된다. 이 설정에서, 군은 주어진 부분 집합이 ''G''의 어떤 비율을 차지하는지 말할 수 있다면 가측 군이다.

군이 Følner 수열을 가지면 자동으로 가측 군이다.

5. 5. 점근 원뿔(Asymptotic cone)

초극한의 중요한 부류에는 점근 원뿔이 있다. (''X'',''d'')를 거리 공간, ''ω''를

\mathbb N

에 대한 비주요 초여과기, ''p_n'' ∈ ''X''를 기점의 수열이라고 하면, 수열

(X, \frac{d}{n}, p_n)

의 ''ω''–초극한은 ''ω''와

(p_n)_n\,

에 대한 ''X''의 점근 원뿔이라고 하며

Cone_\omega(X,d, (p_n)_n)\,

로 표기한다. 기점 수열을 상수, 즉 ''p_n'' = ''p''로, 어떤 ''p ∈ X''에 대해 설정하는 경우가 많은데, 이 경우 점근 원뿔은 ''p ∈ X''의 선택에 의존하지 않으며

Cone_\omega(X,d)\,

또는 단순히

Cone_\omega(X)\,

로 표기한다.^[9]

점근 원뿔의 개념은 기하학적 군론에서 중요한 역할을 한다. 점근 원뿔 (또는 더 정확하게는 그들의 위상 유형과 쌍 립시츠 유형)은 일반적으로 거리 공간과 특히 유한 생성 군의 유사 등거리 불변량을 제공하기 때문이다. 점근 원뿔은 또한 상대 쌍곡 군과 그 일반화 연구에 유용한 도구임이 밝혀졌다.^[10]

참조

_[1] 서적 The Princeton Companion to Mathematics Princeton University Press
_[2] 서적 Topics in geometric group theory University of Chicago Press
_[3] 서적 Handbook of Geometric Topology North-Holland
_[4] 논문 The Quasi-Isometry Classification of Rank One Lattices http://www.numdam.or[...] 1995
_[5] 논문 Navigating the Negative Curvature of Google Maps https://link.springe[...] 2023-05-08
_[6] 논문 Artin groups of finite type are biautomatic
_[7] 논문 Quasi-isometries and ends of groups
_[8] 간행물 Means on semigroups and groups http://projecteuclid[...]
_[9] 서적 Lectures on Coarse Geometry American Mathematical Society
_[10] 간행물 Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups

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