생성 집합

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 다른 분야에서의 생성자
참조

1. 개요

생성 집합은 범주 이론에서 사용되는 개념으로, 범주 내의 사상을 구별하는 데 사용되는 대상들의 집합을 의미한다. 구체적으로, 범주 $\mathcal C$ 의 생성 집합 $\mathfrak G$ 는 임의의 두 사상 $f, g: X \to Y$ 에 대해 $f \ne g$ 이면, $f \circ h \ne g \circ h$ 를 만족하는 대상 $G \in \mathfrak G$ 와 사상 $h: G \to X$ 가 존재해야 한다. 생성 집합의 개념은 쌍대 생성 집합으로 확장되며, 특히 대수 구조 다양체의 범주, 위상 공간의 범주, 가군의 범주 등 다양한 수학적 구조에서 중요한 역할을 한다. 또한 미분 방정식, 리 군, 확률 과정, 연속 대칭 등 물리학에서도 유사한 개념이 사용된다.

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2. 정의

범주 $\mathcal C$ 내에서, 특정 대상들의 집합 $\mathfrak G$ 가 다른 모든 대상을 구별하는 데 사용될 수 있을 때, 이를 '''생성 집합'''이라고 한다. 더 정확히는, 임의의 서로 다른 두 사상 $f, g\colon X\to Y$ 에 대해, $f \circ h \neq g \circ h$ 를 만족하는 사상 $h\colon G\to X$ (여기서 $G \in \mathfrak G$ )가 존재해야 한다.^[4] 이는 생성 집합의 원소로부터 나가는 사상들을 통해 대상과 사상들을 충분히 '탐색'할 수 있음을 의미한다.

이 개념의 쌍대로서 '''쌍대 생성 집합'''(cogenerating set^영어, coseparating set^영어)도 정의된다. 이는 임의의 서로 다른 두 사상 $f, g\colon X\to Y$ 에 대해, $h \circ f \neq h \circ g$ 를 만족하는 사상 $h\colon Y\to G$ (여기서 $G \in \mathfrak G$ )가 존재하는 대상들의 집합 $\mathfrak G$ 를 말한다.^[4] 이는 쌍대 생성 집합의 원소로 들어오는 사상들을 통해 대상과 사상들을 구별할 수 있음을 의미한다.

국소적으로 작은 범주와 같이 특정 조건을 만족하는 범주에서는 이러한 생성 집합 및 쌍대 생성 집합의 개념을 함자의 충실성이나 대상의 표현(예: 몫 대상 또는 부분 대상)과 연관지어 설명할 수 있다.

2. 1. 생성 집합

범주

\mathcal C

속의 대상들의 집합

\mathfrak G

가 다음 조건을 만족시킨다면,

\mathcal C

의 '''생성 집합'''이라고 한다.^[4]

임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $f\ne g$ 라면, $f\circ h\ne g\circ h$ 가 되는 대상 $G\in\mathfrak G$ 및 사상 $h\colon G\to X$ 가 존재한다.
: $G\overset{\exists h}\to X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon X\mapsto \prod_{G\in\mathfrak G}\hom(G,X)$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon G\to X)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(f\circ h_G\colon G\to Y)_{G\in\mathfrak G}\right)$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.
: $\pi=\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(G,X)}h$
: $\pi\colon\coprod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(G,X)}G\to X$

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합

\mathfrak G=\{G\}

가 한원소 집합이라면,

G

를

\mathcal C

의 '''생성 대상'''(generating object^영어, generator^영어)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 '''쌍대 생성 집합'''(cogenerating set^영어, coseparating set^영어)과 '''쌍대 생성 대상'''(cogenerating object^영어, cogenerator^영어, coseparator^영어)을 정의할 수 있다. 범주

\mathcal C

속의 대상들의 집합

\mathfrak G

가 다음 조건을 만족시킨다면,

\mathcal C

의 '''쌍대 생성 집합'''이라고 한다.^[4]

임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $f\ne g$ 라면, $h\circ f\ne h\circ g$ 가 되는 대상 $G\in\mathfrak G$ 및 사상 $h\colon Y\to G$ 가 존재한다.
: $X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y\overset{\exists h}\to G$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon X\mapsto\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(X,G)$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon Y\to G)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(h_G\circ f\colon X\to G)_{G\in\mathfrak G}\right)$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
: $\pi=\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(X,G)}h$
: $\pi\colon X\to\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(X,G)}G$

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

2. 2. 쌍대 생성 집합

\mathcal C

속의 대상들의 집합

\mathfrak G

가 다음 조건을 만족시킨다면,

\mathcal C

의 '''쌍대 생성 집합'''이라고 한다.^[4]

임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $f\ne g$ 라면, $h\circ f\ne h\circ g$ 가 되는 대상 $G\in\mathfrak G$ 및 사상 $h\colon Y\to G$ 가 존재한다.
: $X\underset g{\overset f\rightrightarrows}Y\overset{\exists h}\to G$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon X\mapsto\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(X,G)$
: $\prod_{G\in\mathfrak G}\hom_{\mathcal C}(-,G)\colon(X\overset f\to Y)\mapsto\left((h_G\colon Y\to G)_{G\in\mathfrak G}\mapsto(h_G\circ f\colon X\to G)_{G\in\mathfrak G}\right)$

만약

\mathcal C

가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

모든 대상 $X\in\mathcal G$ 에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
: $\pi=\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom_{\mathcal C}(X,\mathfrak G)}h$
: $\pi\colon X\to\prod_{G\in\mathfrak G,h\in\hom(X,G)}G$

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

2. 3. 대수 구조의 경우

대수 구조 다양체의 범주

\mathcal V

는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자

:

\operatorname{Forget}\colon\mathcal V\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Free}

를 생각해 볼 수 있다. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상

\operatorname{Free}(\{\bullet\})

은 항상

\mathcal V

의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이 되는데, 즉 모든 집합

S

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\coprod_{s\in S}\operatorname{Free}(\{s\})\cong\operatorname{Free}(S)

따라서,

\operatorname{Free}(\{\bullet\})

이 생성 대상이라는 것은

\mathcal V

에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 의미한다.

대수

A

를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을

A

의 '''표시'''(presentation^영어)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

:

A\cong\langle S|(t_1=t_2)_{(t_1,t_2)\in\sim}\rangle

여기서

$S$ 는 집합이다.
$\sim$ 은 전사 사상 $\operatorname{Free}(S)\to A$ 를 정의하는, $\operatorname{Free}(S)$ 위의 합동 관계이다. 즉, $S$ 의 원소와 대수 구조 다양체 $\mathcal V$ 의 연산들로 적을 수 있는 두 항 $t_1,t_2\in\operatorname{Free}(S)$ 에 대한 등식 $t_1=t_2$ 의 꼴로 적을 수 있다.

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우이다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

3. 예

범주 $\operatorname{Set}\times\operatorname{Set}$ 는 생성 대상을 갖지 않지만, 집합 $\left\{(\{\bullet\},\varnothing),(\varnothing,\{\bullet\})\right\}$ 는 이 범주의 생성 집합을 이룬다.^[4]

어떤 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않기도 한다. 예를 들어 다음과 같은 범주들이 있다.^[4]

군의 범주 $\operatorname{Grp}$ : 단순군의 크기에 상한이 없기 때문이다.
환의 범주 $\operatorname{Ring}$ : 단순환(특히 체)의 크기에 상한이 없기 때문이다.
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{HausTop}$

이 외에도 생성 집합의 개념은 여러 수학 분야에서 다양하게 활용된다.

벡터 공간을 생성하는 생성 집합
군 전체를 생성하지만 어떤 진부분군에도 포함되지 않는 생성 집합
환 $A$ 의 부분 집합 $S$ 가 $S$ 를 포함하는 가장 작은 부분환이 $A$ 자신이 되도록 하는 생성 집합
환의 아이디얼을 생성하는 집합
가군을 생성하는 집합
범주론에서 사상들을 구별하는 데 사용되는 대상인 생성자
위상 공간의 위상을 생성하는 집합들의 모임인 준기저
위상 대수 $A$ 의 부분 집합 $S$ 가 $S$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 부분 대수가 $A$ 자신이 되도록 하는 생성 집합
부분 집합들의 모임으로부터 σ-대수를 생성하는 집합

3. 1. 집합

집합

S

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 의 생성 대상이다.
공집합이 아니다.

집합

S

에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[4]

집합과 함수의 범주 $\operatorname{Set}$ 의 쌍대 생성 대상이다.
공집합이나 한원소 집합이 아니다.

3. 2. 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주

\operatorname{Top}

는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간

\{\bullet\}

은 생성 대상이다.

구체적으로 설명하면, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이다. 임의의 위상 공간

X

에 대하여,

X

의 점 집합

\operatorname{Points}(X)

에 이산 위상을 부여한 공간을

\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))

라고 하자. 이때 집합의 범주

\operatorname{Set}

과

\operatorname{Top}

사이에는 수반 함자 관계

:

\operatorname{Points}\colon\operatorname{Top}\rightleftarrows\operatorname{Set}\colon\operatorname{Disc}

가 존재한다. 여기서

\operatorname{Points}

는 위상 공간을 그 점들의 집합으로 대응시키는 함자이고,

\operatorname{Disc}

는 집합에 이산 위상을 부여하여 위상 공간으로 만드는 함자이다. 이 수반 함자 쌍의 쌍대단위원

:

\eta\colon\operatorname{Disc}\circ\operatorname{Points}\Rightarrow\operatorname{Id}_{\operatorname{Top}}

은 각 위상 공간

X

에 대해 연속 함수

:

\eta_X\colon\operatorname{Disc}(\operatorname{Points}(X))\to X

를 정의한다. 이 함수는 항등 함수의 집합론적 이미지를 가지므로 전단사 함수이며, 따라서 범주론적으로 전사 사상이자 단사 사상이다. 이는 모든 위상 공간이 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 표현될 수 있음을 의미한다. 한원소 공간들의 쌍대곱이 이산 공간이므로, 결국 한원소 공간이

\operatorname{Top}

의 생성 대상임을 알 수 있다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[4]

위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 의 쌍대 생성 대상이다.
콜모고로프 공간이 아니다.

3. 3. 가군

모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 가정한다.

환

R

위의 왼쪽 가군의 범주

_R\operatorname{Mod}

는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군

_RR

는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로,

R_R

는 오른쪽 가군의 범주

\operatorname{Mod}_R

의 생성 대상을 이룬다.

환

R

위의 왼쪽 가군의 범주

_R\operatorname{Mod}

는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환

R

의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼

_R\mathfrak M

에 대한

_RR

의 몫가군

R/\mathfrak M

)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

:

\bigoplus_{_R\mathfrak M}{}E(_RR/\mathfrak M)

을

_R\operatorname{Mod}

의 '''표준 쌍대 생성 가군'''(canonical cogenerator|캐노니컬 코제너레이터^영어)이라고 하며, 이는

_R\operatorname{Mod}

의 쌍대 생성 대상을 이룬다.^[5] 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군

_RR

는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환

R

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[5]

모든 충실한 $R$ -왼쪽 가군은 $_R\operatorname{Mod}$ 의 쌍대 생성 대상이다.
$_RR$ 는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
$_RR$ 는 단사 가군이며, $R$ 의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(left Kasch ring|레프트 카슈 링^영어)이다.)
$_RR$ 는 $_R\operatorname{Mod}$ 의 쌍대 생성 대상이며, $R$ 의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, $R$ 는 오른쪽 카슈 환이다.)
$_RR$ 는 $_R\operatorname{Mod}$ 의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.

이 조건을 만족시키는 환을 '''왼쪽 유사 프로베니우스 환'''(left pseudo-Frobenius ring|레프트 슈도 프로베니우스 링^영어)이라고 한다.

3. 4. 아벨 군

아벨 군의 개념은 정수환

\mathbb Z

위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군

\mathbb Z/p

이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군

\mathbb Z(p^\infty)

이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군

:

\mathbb Q/\mathbb Z=\bigoplus_p\mathbb Z(p^\infty)

이다.^[5] 즉, 모든 아벨 군

G

는 직접곱

:

\prod_

(\mathbb Q/\mathbb Z)

의 부분군이다.

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역

D

에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군

(\operatorname{Frac}D)/D

이다.^[5]

3. 5. (쌍대) 생성 집합이 없는 범주

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.^[4]

군의 범주 $\operatorname{Grp}$ . (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
환의 범주 $\operatorname{Ring}$ . (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{HausTop}$

4. 다른 분야에서의 생성자

생성 집합의 개념은 대수학뿐만 아니라 다른 수학 및 물리학 분야에서도 유사하게 확장되어 사용된다. 예를 들어, 미분 방정식 연구에서는 다양체를 이해하기 위해 접선 공간의 벡터를 '생성자'로 간주하기도 하며, 리 군 이론에서는 리 대수의 원소를 군의 '생성자'라고 부르기도 한다.^[1] 또한, 확률 과정 이론의 무한소 생성자나 뇌터 정리와 관련된 연속 대칭의 '생성자'(때로는 전하라고도 불림) 역시 이러한 확장된 개념의 예시이다.^[3]

이러한 다양한 분야에서의 '생성자'는 원래의 대수적 정의와는 차이가 있을 수 있으며, 각 분야의 맥락에 따라 구체적인 의미가 달라진다. 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

4. 1. 미분 방정식

미분 방정식, 특히 물리학 분야에서 다양체를 연구할 때, infinitesimal displacement|무한소 변위^eng 개념을 사용한다. 이는 적분을 통해 다양체 전체 또는 일부를 이해하는 데 도움을 준다. 접선 공간의 벡터를 지오데식 경로를 따라 지수 사상을 이용해 주변의 열린 집합으로 확장하는 방식으로 다양체를 이해하는데, 이때 접선 공간의 벡터, 즉 무한소 변위를 나타내는 요소들을 해당 다양체의 '''생성자'''라고 부르기도 한다.

다양체가 특정 대칭성을 가질 경우, 이와 관련된 "전하"나 "전류" 같은 개념이 등장하는데, 이들 역시 때때로 생성자라고 불린다. 엄밀히 말해 전하는 접선 공간의 요소는 아니다.

생성자 개념은 다양한 분야에서 활용된다.

리 군의 리 대수에 속하는 원소들은 물리학자들에 의해 종종 "군의 생성자"로 불린다.^[1] 리 대수는 지수 사상을 통해 국소적으로 군을 생성하는 무한소 벡터로 간주될 수 있지만, 엄밀한 의미의 생성 집합은 아니다.^[2]
확률 과정 이론에서 이토 확산이나 더 일반적인 이토 과정은 무한소 생성자를 가진다.
뇌터 정리에 따르면 모든 연속 대칭에는 연관된 '''생성자'''가 존재한다. 리 군의 생성자는 이러한 생성자의 특수한 경우이다. 이때 생성자는 전하 또는 뇌터 전하라고도 불린다. 구체적인 예는 다음과 같다.
* 회전 대칭의 생성자는 각운동량이다.^[3]
* 공간 이동 대칭의 생성자는 선운동량이다.^[3]
* 전자기학에서 U(1) 게이지 대칭의 생성자는 전기 전하이다.
* 양자 색역학에서 쿼크의 색전하는 SU(3) 색 대칭의 생성자이다.

보다 정확하게는, "전하"라는 용어는 리 군의 근계와 관련된 맥락에서 사용되는 것이 적절하다.

4. 2. 리 군

리 군과 관련된 맥락에서 리 대수의 요소는 종종 "군의 생성자"라고 불리는데, 특히 물리학 분야에서 이러한 용어를 사용하는 경우가 많다.^[1] 이는 리 대수의 원소들을 지수 사상을 통해 리 군의 일부(국소적인 부분)를 만들어내는 무한히 작은 변화(무한소 벡터)로 생각할 수 있기 때문이다. 하지만 수학적으로 엄밀하게 정의할 때, 리 대수가 생성 집합의 정의에 정확히 들어맞는 생성 집합이라고 보기는 어렵다.^[2]

4. 3. 확률 과정

확률 과정에서 이토 확산 또는 더 일반적인 이토 과정은 무한소 생성자를 갖는다.

4. 4. 연속 대칭과 보존 법칙

뇌터 정리에 따르면, 모든 연속 대칭에는 그에 해당하는 생성자가 존재한다. 이는 리 군의 생성자가 특수한 경우에 해당한다. 이러한 연속 대칭의 생성자는 때때로 전하 또는 뇌터 전하라고 불리기도 한다. 대표적인 예시는 다음과 같다.

각운동량: 회전 대칭의 생성자이다.^[3]
선운동량: 공간적 평행 이동 대칭의 생성자이다.^[3]
전기 전하: 전자기학에서 U(1) 대칭군의 생성자이다.
쿼크의 색전하: 양자 색역학에서 SU(3) 색 대칭의 생성자이다.

보다 엄밀하게 말하면, "전하"라는 용어는 리 군의 근계와 관련하여 사용되는 것이 더 정확하다.

참조

_[1] 서적 Quantum Field Theory Mc Graw Hill
_[2] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics https://archive.org/[...] Mc Graw Hill
_[3] 서적 Quantum Mechanics Addison Wesley
_[4] 저널 Abstract and concrete categories: the joy of cats http://www.tac.mta.c[...] 2006
_[5] 서적 Lectures on modules and rings Springer

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생성 집합
일반 정보
정의 (수학)	수학적 대상을 생성하는 집합
정의 (그룹 이론)	그룹의 모든 원소를 생성할 수 있는 부분 집합
생성 집합
정의	수학적 구조의 모든 원소를 생성하는 부분 집합
예시 (그룹 이론)	그룹의 모든 원소를 생성하는 원소의 집합 유한 생성 그룹: 유한한 생성 집합을 갖는 그룹
예시 (벡터 공간)	벡터 공간의 모든 벡터를 선형 결합으로 생성하는 벡터의 집합 기저: 선형 독립인 생성 집합
그룹 이론에서의 생성 집합
정의	그룹의 모든 원소가 생성 집합의 원소와 그 역원들의 곱으로 표현될 수 있는 부분 집합
표기법	`~~` 또는 `grp(S)` (S는 생성 집합)~~
최소 생성 집합	더 작은 부분 집합으로는 그룹을 생성할 수 없는 생성 집합
자유 그룹	모든 원소가 생성 집합의 원소와 그 역원들의 유한한 곱으로 유일하게 표현되는 그룹
생성자	그룹을 생성하는 원소
유한 생성 그룹	유한한 생성 집합을 갖는 그룹
예시	정수 집합 Z는 1 또는 -1로 생성됨. 순환군 Z/nZ는 1로 생성됨.
모노이드에서의 생성 집합
정의	모노이드의 모든 원소가 생성 집합의 원소들의 곱으로 표현될 수 있는 부분 집합