초대칭 양자역학

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1. 개요

초대칭 양자역학은 해밀토니안과 초대칭 연산자를 포함하는 양자역학 모형이다. 이 모형은 초대칭 대수를 만족하며, 연산자들의 교환자와 반교환자를 통해 정의된다. 초대칭 양자역학은 양자장 이론의 초대칭성 연구에서 파생되었으며, 수소 원자 스펙트럼 계산, 조화 진동자 문제 해결 등에 활용된다. 또한, 형상 불변성을 통해 다양한 포텐셜 문제에 대한 해를 제공하며, 2021년에는 양자 금융 분야의 옵션 가격 결정 및 시장 분석에도 적용되었다.

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초대칭 양자역학
개요
초대칭을 통한 계층 문제의 해결
기본 개념
관련 개념	초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
관련 이론	베스-추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론
초대칭 깨짐
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2. 정의

초대칭 양자역학은 초대칭 대수를 만족하는 해밀토니언과 초대칭 연산자를 가진 양자역학 모형을 다룬다. 양자장 이론이 아닌 양자역학에 초대칭 수퍼대수를 적용하여, 대칭성 파괴와 같이 기존에 풀기 어려웠던 문제를 해결하기 위해 개발되었다. 더 간단한 환경에서 초대칭성의 결과를 연구하면 새로운 이해를 얻을 수 있을 것으로 기대되었으며, 실제로 양자역학 자체 내에서 새로운 연구 분야를 창출하는 성과를 거두었다.^[1]

일반적으로 수소 원자를 슈뢰딩거 방정식에 쿨롱 포텐셜을 넣어 푸는 과정은 복잡한 미분 방정식을 통해 라게르 다항식에 대한 재귀 관계를 유도해야 하는 어려운 작업이다. 하지만 초대칭 양자역학의 아이디어를 활용하면 조화 진동자를 푸는 데 연산자 방법을 사용하는 것과 유사하게, 훨씬 더 쉽게 최종 결과(수소 원자 에너지 상태의 스펙트럼)를 얻을 수 있다.^[1] 이와 유사한 초대칭적 접근은 디랙 방정식을 사용하여 수소 스펙트럼을 더 정확하게 찾는 데에도 사용될 수 있다.^[2]

흥미롭게도 이러한 접근 방식은 에르빈 슈뢰딩거가 처음 수소 원자를 해결했던 방식과 유사하다.^[3]^[4] 다만 슈뢰딩거는 당시 초대칭 개념이 없었기 때문에 자신의 해를 초대칭적이라고 부르지는 않았다.

초대칭 양자역학은 특정 수학적 관계를 공유하는 해밀토니안 쌍을 다루며, 이를 ''파트너 해밀토니안''이라고 한다. 하나의 해밀토니안의 모든 고유 상태에 대해, 파트너 해밀토니안은 (0 에너지 고유 상태를 제외하고) 동일한 에너지를 가진 해당 고유 상태를 갖는다. 이러한 특징은 고유 상태 스펙트럼의 여러 속성을 추론하는데 유용하게 활용된다.

초대칭 개념은 보어-조머펠트 양자화 조건의 수정된 형태를 통해 WKB 근사에 유용한 확장을 제공하며, 포커-플랑크 방정식을 통해 비양자 통계 역학에도 적용되었다.

2. 1. 초대칭 대수

N

개의 초대칭을 가진 모형은 해밀토니언

H

와 '''초대칭 연산자'''

Q_i

(

i=1,\dots,N

)를 가진다. 이들은 모두 에르미트 연산자이며, 다음 관계를 만족한다.

:

\{Q_i,Q_j\}=2H\delta_{ij}

:

[H,Q_i]=0

.

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타다. 이 관계를 '''초대칭 대수'''(supersymmetry algebra|초대칭 대수^영어) 또는 '''초대수'''(superalgebra|초대수^영어)라고 부른다.

N=2

초대칭의 경우에는 다음과 같이 통상적으로

Q

와

Q^\dagger

를 정의한다.

:

Q=(Q_1+iQ_2)/\sqrt{2}

:

Q^\dagger=(Q_1-iQ_2)/\sqrt{2}

.

따라서

:

Q^2=Q^{\dagger2}=0

:

\{Q,Q^\dagger\}=2H

가 된다. (

Q

는 에르미트 연산자가 아니다.)

기본적인 양자역학에서 연산자 대수는 연산자들 간의 교환자 관계에 의해 정의된다. 예를 들어, 위치와 운동량의 정준 연산자는 교환자

[x,p]=i

를 갖는다. (플랑크 상수를 1로 설정하는 "자연 단위" 사용) 더 복잡한 예는 각운동량 연산자의 대수이다. 이들은 3차원 공간의 회전 대칭과 관련되어 있다. 이 개념을 일반화하기 위해 일반적인 교환자와 동일한 방식으로 연산자를 연결하지만 반대 부호를 갖는 ''반교환자''를 정의한다.

:

\{A,B\} = AB + BA.

연산자들이 교환자뿐만 아니라 반교환자에 의해서도 관련되어 있다면, 그들은 ''리 초대수''의 일부라고 한다. 해밀토니안

\mathcal{H}

와

N

개의 연산자

Q_i

의 집합으로 설명되는 양자 시스템에서 다음 반교환 관계가 모든

i,j = 1,\ldots,N

에 대해 유효하다면 이 시스템을 ''초대칭''이라고 한다.

:

\{Q_i,Q^\dagger_j\} = \mathcal{H}\delta_{ij}.

이 경우,

Q_i

를 시스템의 ''초전하''라고 부른다.

3. 역사적 배경

초대칭성(SUSY)은 원래 양자장 이론에서 연구되었으나, 그 수학적 어려움과 대칭성 파괴 문제로 인해 물리학자들은 양자역학에 초대칭성을 적용하는 "초대칭 양자역학"을 개발했다. 이 접근 방식은 기존 양자역학 문제 해결에 새로운 통찰력을 제공하고, 새로운 연구 분야를 개척하는 데 기여했다.^[1]

예를 들어, 수소 원자의 스펙트럼을 구하는 복잡한 미분 방정식 풀이 과정을 초대칭 개념을 통해 훨씬 간단하게 해결할 수 있게 되었다. 이는 에르빈 슈뢰딩거가 초기에 수소 원자를 해결했던 방식과 유사하다.^[3]^[4]

초대칭 양자역학은 특정 수학적 관계를 공유하는 해밀토니안 쌍을 포함하며, 이를 '파트너 해밀토니안'이라고 한다. 이 개념은 보어-조머펠트 양자화 조건의 수정된 형태를 통해 WKB 근사에 유용한 확장을 제공했고, 포커-플랑크 방정식을 통해 비양자 통계 역학에도 적용되었다.

3. 1. 슈뢰딩거 방정식과 초대칭

슈뢰딩거 방정식을 통해 수소 원자를 "해결"하는 일반적인 과정은 쿨롱 포텐셜을 삽입하고, 여러 미분 방정식을 사용하여 상당한 작업을 거쳐 라게르 다항식에 대한 재귀 관계를 생성하는 것이다. 그 결과는 양자수 ''n''과 ''l''로 표시되는 수소 원자 에너지 상태의 스펙트럼이다. 초대칭(SUSY)에서 얻은 아이디어를 사용하면 조화 진동자를 푸는 데 연산자 방법을 사용하는 것과 거의 같은 방식으로 최종 결과를 훨씬 더 쉽게 도출할 수 있다.^[1] 유사한 초대칭적 접근 방식은 디랙 방정식을 사용하여 수소 스펙트럼을 더욱 정확하게 찾는 데에도 사용될 수 있다.^[2] 이는 에르빈 슈뢰딩거가 처음으로 수소 원자를 해결한 방식과 유사하다.^[3]^[4]

3. 2. 형상 불변 포텐셜

초대칭 양자역학은 형상 불변 포텐셜이라는 개념을 도입하여, 특정 조건을 만족하는 포텐셜에 대한 일반적인 해를 제공한다.

SUSY 양자역학에서, 특정 수학적 관계를 공유하는 해밀토니안 쌍을 ''파트너 해밀토니안''이라고 부른다. 이 해밀토니안들에서 나타나는 포텐셜 에너지 항은 ''파트너 포텐셜''이라고 불린다. 하나의 해밀토니안의 모든 고유 상태에 대해, 파트너 해밀토니안은 0 에너지 고유 상태를 제외하고 동일한 에너지를 가진 해당 고유 상태를 갖는다.

형상 불변 포텐셜의 경우, 보존적 해밀토니안과 페르미온 해밀토니안은 유사한 형태를 가진다. 이 경우, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

V_{+} (x, a_1 ) = V_{-} (x, a_2) + R(a_1)

여기서

a

는 매개변수이다.

예를 들어, 각운동량

l

을 갖는 수소 원자 포텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2} - E_0

이는 슈퍼퍼텐셜에 대한

V_{-}

에 해당한다.

:

W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{e^2}{2 4\pi \epsilon_0 (l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}

:

V_+ = \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{e^4 m}{32 \pi^2 h^2 \epsilon_0^2 (l+1)^2}

이것은 상수만큼 이동된

l+1

각운동량에 대한 포텐셜이다.

l=0

바닥 상태를 푼 후, 초대칭 연산자를 사용하여 나머지 결합 상태 스펙트럼을 구성할 수 있다.

일반적으로,

V_-

와

V_+

는 파트너 포텐셜이므로, 하나의 추가적인 바닥 에너지를 제외하고 동일한 에너지 스펙트럼을 공유한다. 형상 불변 조건으로 파트너 포텐셜을 찾는 과정을 계속하면, 포텐셜의 매개변수를 사용하여 에너지 준위에 대한 다음 공식을 얻을 수 있다.

:

E_n=\sum\limits_{i=1}^n R(a_i)

여기서

a_i

는 여러 파트너 포텐셜에 대한 매개변수이다.

4. 주요 특징

초대칭 양자역학(SUSY)은 양자장 이론 대신 양자역학에 초대칭 수퍼대수를 적용하여, 기존에 풀기 어려웠던 문제들에 대한 새로운 해법을 제시했다. 특히, 수소 원자 문제를 훨씬 쉽게 해결할 수 있는 방법을 제공한다.^[1]

SUSY 접근 방식은 에르빈 슈뢰딩거가 처음 수소 원자를 해결했던 방식과 유사하며,^[3]^[4] 조화 진동자를 푸는 연산자 방법과 비슷한 방식으로 수소 스펙트럼을 도출한다.^[1] 이 방법은 디랙 방정식을 사용한 더 정확한 수소 스펙트럼 계산에도 활용될 수 있다.^[2]

이러한 SUSY 해는 ''형상 불변 포텐셜''이라는 더 일반적인 범주의 솔루션의 한 예시이며, 이는 양자역학에서 다루는 대부분의 포텐셜을 포함한다. 또한, 초대칭 양자역학은 WKB 근사에도 유용하게 활용된다.

4. 1. 보존과 페르미온

초대칭 양자역학은 특정 수학적 관계를 공유하는 해밀토니안 쌍을 포함하며, 이를 ''파트너 해밀토니안''이라고 한다. 해밀토니안에서 발생하는 포텐셜 에너지 항은 ''파트너 포텐셜''이라고 한다. 소개 정리에 따르면 하나의 해밀토니안의 모든 고유 상태에 대해, 파트너 해밀토니안은 (0 에너지 고유 상태를 제외하고) 동일한 에너지를 가진 해당 고유 상태를 갖는다. 이 사실은 고유 상태 스펙트럼의 많은 속성을 추론하는 데 활용될 수 있다. 이것은 보존과 페르미온을 언급한 SUSY의 원래 설명과 유사하다. 이론의 다양한 보존이 고유 상태인 "보존 해밀토니안"을 상상할 수 있다. 이 해밀토니안의 SUSY 파트너는 "페르미온"이 될 것이고, 그 고유 상태는 이론의 페르미온이 될 것이다. 각 보존은 동일한 에너지를 가진 페르미온 파트너를 갖지만, 상대론적 세계에서는 에너지와 질량이 상호 교환 가능하므로 파트너 입자가 동일한 질량을 갖는다고 쉽게 말할 수 있다.

4. 2. WKB 근사

보어-조머펠트 양자화 조건을 수정하여, 초대칭(SUSY) 개념은 WKB 근사에 유용한 확장을 제공한다.^[1]

5. 예시: 조화 진동자

초대칭 양자역학은 조화 진동자 문제를 연산자 방법을 사용하여 해결하는 과정을 단순화하고, 에너지 고유 상태를 쉽게 도출할 수 있도록 한다.

조화 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.^[1]

: $H^{\rm HO} \psi_{n}(x) = \bigg(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{m \omega^{2}}{2}x^{2}\bigg) \psi_{n}(x) = E_{n}^{\rm HO} \psi_{n}(x),$

여기서 $\psi_{n}(x)$ 는 에너지 $E_{n}^\text{HO}$ 를 갖는 $H^\text{HO}$ 의 $n$ 번째 에너지 고유 상태이다. 이때 에너지 고유값 $E_{n}^{\rm HO}$ 는 $E_{n}^{\rm HO} = \hbar \omega (n + 1/2)$ 이다.

5. 1. 초전위 (Superpotential)

다음과 같은 연산자를 정의한다.

:

A = \frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x)

:

A^{\dagger} = -\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x),

여기서

W(x)

는

H^{\rm HO}

의 초전위(Superpotential)라고 불린다.

파트너 해밀토니안

H^{(1)}

과

H^{(2)}

는 다음과 같이 정의한다.

:

H^{(1)} = A^{\dagger} A  = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} - \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x)

:

H^{(2)} = A A^{\dagger} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x).

조화 진동자의 바닥 상태

\psi_{0}(x)

를 알고 있다고 가정하면, 초전위

W(x)

는 다음과 같이 주어진다.

:

W(x) = \frac{-\hbar}{\sqrt{2m}} \bigg(\frac{\psi_{0}^{\prime}(x)}{\psi_{0}(x)}\bigg) = x \sqrt{m \omega^{2}/2}

이때,

H^{(1)}

과

H^{(2)}

는 다음과 같다.

:

H^{(1)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} - \frac{\hbar \omega}{2}

:

H^{(2)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} + \frac{\hbar \omega}{2}.

따라서,

:

H^{(1)} = H^{(2)} - \hbar \omega = H^{\rm HO} - \frac{\hbar \omega}{2}.

이것을 통해

H^{\rm HO}

의 스펙트럼은

E_{n}^{\rm HO} = \hbar \omega (n + 1/2)

임을 알 수 있다.

5. 2. 형상 불변성 (Shape Invariance)

조화 진동자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.^[1]

:

H^{\rm HO} \psi_{n}(x) = \bigg(\frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{m \omega^{2}}{2}x^{2}\bigg) \psi_{n}(x) = E_{n}^{\rm HO} \psi_{n}(x),

여기서

\psi_{n}(x)

는 에너지

E_{n}^\text{HO}

를 갖는

H^\text{HO}

의

n

번째 에너지 고유 상태이다.

E_{n}^{\rm HO}

를

n

의 함수로 표현하기 위해 다음과 같은 연산자를 정의한다.^[1]

:

A = \frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x)

:

A^{\dagger} = -\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+W(x),

여기서

W(x)

는

H^{\rm HO}

의 초전위라고 불린다. 또한 파트너 해밀토니안

H^{(1)}

과

H^{(2)}

를 다음과 같이 정의한다.^[1]

:

H^{(1)} = A^{\dagger} A  = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} - \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x)

:

H^{(2)} = A A^{\dagger} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{\hbar}{\sqrt{2m}} W^{\prime}(x) + W^{2}(x).

H^{(1)}

의 0 에너지 바닥 상태

\psi_{0}^{(1)}(x)

는 다음 방정식을 만족한다.^[1]

:

H^{(1)} \psi_{0}^{(1)}(x) = A^{\dagger} A \psi_{0}^{(1)}(x)= A^{\dagger} \bigg(\frac{\hbar}{\sqrt{2m}}\frac{d}{dx}+ W(x)\bigg) \psi_{0}^{(1)}(x) = 0.

조화 진동자의 바닥 상태

\psi_{0}(x)

를 알고 있다고 가정하면,

W(x)

는 다음과 같다.^[1]

:

W(x) = \frac{-\hbar}{\sqrt{2m}} \bigg(\frac{\psi_{0}^{\prime}(x)}{\psi_{0}(x)}\bigg) = x \sqrt{m \omega^{2}/2}

그러면 다음을 얻는다.^[1]

:

H^{(1)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} - \frac{\hbar \omega}{2}

:

H^{(2)} = \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} + \frac{m \omega^{2}}{2} x^{2} + \frac{\hbar \omega}{2}.

이제 다음 관계가 성립함을 알 수 있다.^[1]

:

H^{(1)} = H^{(2)} - \hbar \omega = H^{\rm HO} - \frac{\hbar \omega}{2}.

이것은 형상 불변성의 특수한 경우이다.

H^{(1)}

의 스펙트럼은

E_{0} = 0

에서 시작하여

\hbar \omega

간격으로 증가한다.

H^{(2)}

및

H^{\rm HO}

의 스펙트럼은 동일한 간격을 갖지만 각각

\hbar \omega

및

\hbar \omega / 2

만큼 위로 이동한다. 따라서

H^{\rm HO}

의 스펙트럼은

E_{n}^{\rm HO} = \hbar \omega (n + 1/2)

이다.^[1]

6. SUSY QM 초대수

초대칭 양자역학에서 초대칭 대수(초대수)는 교환자와 반교환자를 사용하여 정의된다. 기본적인 양자역학에서는 연산자 대수가 교환자 관계에 의해 정의되는 것을 배운다. 예를 들어 위치와 운동량의 정준 연산자는 교환자 $[x, p] = i$ 를 갖는다. (여기서 플랑크 상수는 1로 설정하는 자연 단위를 사용한다.) 더 복잡한 예시는 각운동량 연산자의 대수인데, 이들은 3차원 공간의 회전 대칭과 밀접하게 관련되어 있다.

이 개념을 확장하여, 일반적인 교환자와 동일한 방식으로 연산자를 연결하지만 반대 부호를 갖는 반교환자를 정의한다.

: $\{A,B\} = AB + BA.$

$N=2$ 초대칭의 경우, 통상적으로 다음과 같이 $Q$ 와 $Q^\dagger$ 를 정의한다.

: $Q=(Q_1+iQ_2)/\sqrt{2}$

: $Q^\dagger=(Q_1-iQ_2)/\sqrt{2}$ .

이에 따라 다음 관계가 성립한다.

: $Q^2=Q^{\dagger2}=0$

: $\{Q,Q^\dagger\}=2H$

( $Q$ 는 에르미트 연산자가 아니라는 점에 유의해야 한다.)

6. 1. 초전하 (Supercharge)

N

개의 초대칭을 가진 모형은 해밀토니언

H

뿐만 아니라 초대칭 연산자

Q_i

(

i=1,\dots,N

)를 가진다. 이들은 에르미트 연산자이며, 다음과 같은 관계를 만족한다.

:

\{Q_i,Q_j\}=2H\delta_{ij}

:

[H,Q_i]=0

.

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다. 이 관계를 '''초대칭 대수'''(supersymmetry algebra^영어) 또는 '''초대수'''(superalgebra^영어)라고 한다.

만약 연산자들이 교환자뿐만 아니라 반교환자에 의해서도 관련되어 있다면, 이들은 ''리 초대수''의 일부라고 한다. 해밀토니안

\mathcal{H}

와

N

개의 연산자

Q_i

의 집합으로 설명되는 양자 시스템에서 다음 반교환 관계가 모든

i,j = 1,\ldots,N

에 대해 유효하다면 이 시스템을 ''초대칭''이라고 한다.

:

\{Q_i,Q^\dagger_j\} = \mathcal{H}\delta_{ij}.

이때,

Q_i

를 시스템의 ''초전하''라고 부른다.

1차원 비상대론적 입자의 예시를 보면, "스핀"이라는 2차원 내부 자유도를 가진 입자가 "스핀 업" 입자를 "스핀 다운" 입자로 변환하는 연산자

b

와 수반 연산자

b^\dagger

는 스핀 다운 입자를 스핀 업 입자로 변환한다. 연산자는 반교환자

\{b,b^\dagger\}=1

이 되도록 정규화되며,

b^2=0

이다.

p

는 입자의 운동량이고

x

는 위치이며,

[x,p]=i

이다.

W

("초전위(superpotential)")는

x

의 임의의 복소 해석 함수이고, 다음과 같은 초대칭 연산자를 정의한다.

:

Q_1=\frac{1}{2}\left[(p-iW)b+(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]

:

Q_2=\frac{i}{2}\left[(p-iW)b-(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]

Q_1

과

Q_2

는 자기 수반이며, 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{(p+\Im\{W\})^2}{2}+\frac^2}{2}+\frac{\Re\{W\}'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b)

여기서 ''W''′는 ''W''의 도함수이다. 또한 = 0이며, ''N'' = 2 초대칭이다.

\Im\{W\}

는 전자기 벡터 포텐셜처럼 작용한다.

6. 2. 1차원 비상대론적 입자의 예시

N=2

초대칭을 갖는 1차원 비상대론적 입자의 예시를 살펴보자. 이 입자는 "스핀"이라 불리는 두 가지 상태(스핀 업, 스핀 다운)를 가지는 내부 자유도를 갖는다. 실제 스핀은 3차원 입자의 속성이기 때문에 여기서 말하는 "스핀"은 실제 스핀과는 다르다.

'''"스핀 업" 입자를 "스핀 다운" 입자로 변환하는 연산자''': $b$
'''"스핀 다운" 입자를 "스핀 업" 입자로 변환하는 연산자''': $b^\dagger$ ( $b$ 의 수반 연산자)

이 연산자들은 다음 관계를 만족하도록 정규화된다.

$\{b,b^\dagger\}=1$
$b^2=0$

p

는 입자의 운동량,

x

는 위치이며,

[x,p]=i

이다.

W

(초전위(superpotential))는

x

의 임의의 복소 해석 함수이다.

초대칭 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

Q_1=\frac{1}{2}\left[(p-iW)b+(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]

:

Q_2=\frac{i}{2}\left[(p-iW)b-(p+iW^\dagger)b^\dagger\right]

Q_1

과

Q_2

는 자기 수반 연산자이다. 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{(p+\Im\{W\})^2}{2}+\frac^2}{2}+\frac{\Re\{W\}'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b)

여기서

W'

는

W

의 도함수이다. 또한

\{Q_1,Q_2\}=0

이며, 이는

N=2

초대칭을 만족한다.

\Im\{W\}

는 전자기 벡터 포텐셜처럼 작용한다.

"스핀 다운" 상태는 "보존적", "스핀 업" 상태는 "페르미온적"이라고 부르는데, 이는 양자장 이론에 비유한 것이며 문자 그대로 받아들여서는 안 된다.

Q_1

과

Q_2

는 "보존적" 상태를 "페르미온적" 상태로, 또는 그 반대로 변환한다.

초대칭 연산자를 다음과 같이 다시 정의할 수 있다.

:

Q=(p-iW)b

:

Q^\dagger=(p+iW^\dagger)b^\dagger

이들은 다음 관계를 만족한다.

:

\{Q,Q\}=\{Q^\dagger,Q^\dagger\}=0

:

\{Q^\dagger,Q\}=2H

연산자가 "보존적"이면 "보존적" 상태와 "페르미온적" 상태를 각각 자기 자신으로 매핑한다. 반면, "페르미온적" 연산자는 "보존적" 상태를 "페르미온적" 상태로, 또는 그 반대로 매핑한다. 모든 연산자는 고유하게 보존적 연산자와 페르미온적 연산자의 합으로 표현될 수 있다. 초교환자 [,}는 두 개의 보존적 연산자 사이 또는 보존적 연산자와 페르미온적 연산자 사이에서는 교환자이지만, 두 개의 페르미온적 연산자 사이에서는 반교환자로 정의된다.

x

와

p

는 보존적 연산자이고,

b

,

b^\dagger

,

Q

및

Q^\dagger

는 페르미온적 연산자이다.

x

,

b

및

b^\dagger

가 시간의 함수인 하이젠베르크 그림에서 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

[Q,x\}=-ib

:

[Q,b\}=0

:

[Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-i\Re\{W\}

:

[Q^\dagger,x\}=ib^\dagger

:

[Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+i\Re\{W\}

:

[Q^\dagger,b^\dagger\}=0

이 관계는 일반적으로 비선형적이다.

\Re\{W\}

가

x

에 대해 선형적이지 않기 때문에,

x(t)

,

b(t)

및

b^\dagger(t)

는 선형 SUSY 표현을 형성하지 않는다. 이 문제를 해결하기 위해 자기 수반 연산자

F=\Re\{W\}

를 정의하면, 선형 SUSY 표현을 얻을 수 있다.

:

[Q,x\}=-ib

:

[Q,b\}=0

:

[Q,b^\dagger\}=\frac{dx}{dt}-iF

:

[Q,F\}=-\frac{db}{dt}

:

[Q^\dagger,x\}=ib^\dagger

:

[Q^\dagger,b\}=\frac{dx}{dt}+iF

:

[Q^\dagger,b^\dagger\}=0

:

[Q^\dagger,F\}=\frac{db^\dagger}{dt}

"형식적" 수량

\theta

및

\bar{\theta}

(

\bar{\theta}

는

\theta

의 수반 연산자)를 도입하면 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.

:

\{\theta,\theta\}=\{\bar{\theta},\bar{\theta}\}=\{\bar{\theta},\theta\}=0

\theta

와

\bar{\theta}

는 보존적 연산자와 교환하지만, 페르미온적 연산자와는 반교환한다.

슈퍼필드

f(t,\bar{\theta},\theta)

를 다음과 같이 정의한다.

:

f(t,\bar{\theta},\theta)=x(t)-i\theta b(t)-i\bar{\theta}b^\dagger(t)+\bar{\theta}\theta F(t)

f

는 자기 수반 연산자이며, 다음 관계를 만족한다.

:

[Q,f\}=\frac{\partial}{\partial\theta}f-i\bar{\theta}\frac{\partial}{\partial t}f,

:

[Q^\dagger,f\}=\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}}f-i\theta \frac{\partial}{\partial t}f.

이 모형은 U(1)_R 대칭을 갖는다.

p

,

x

,

W

는 R-전하가 0이고,

b^\dagger

는 R-전하가 1,

b

는 R-전하가 -1이다.

7. 형상 불변성 (Shape Invariance)

만약 $W$ 가 모든 실수 $x$ 에 대해 실수라고 가정하면, 해밀토니안에 대한 식은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

: $H = \frac{(p)^2}{2}+\frac{{W}^2}{2}+\frac{W'}{2}(bb^\dagger-b^\dagger b)$

슈퍼퍼텐셜( $W$ )에 특정 조건이 만족되면, 보존적 해밀토니안과 페르미온 해밀토니안은 유사한 형태를 갖게 된다. 이러한 관계를 형상 불변성이라고 부르며, 구체적인 조건은 다음과 같다.^[1]

: $V_{+} (x, a_1 ) = V_{-} (x, a_2) + R(a_1)$

여기서 $a$ 는 매개변수이다.

$V_-$ 와 $V_+$ 는 파트너 퍼텐셜이므로, 일반적으로 이들은 하나의 추가적인 바닥 에너지를 제외하고 동일한 에너지 스펙트럼을 공유한다.^[1]

7. 1. 수소 원자 퍼텐셜의 예시

각운동량

l

을 갖는 수소 원자 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

:

\frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 l (l+1)} {2m} \frac{1}{r^2} - E_0

이는 슈퍼퍼텐셜에 대한

V_{-}

에 해당한다.^[1]

:

W = \frac{\sqrt{2m}}{h} \frac{e^2}{2 4\pi \epsilon_0 (l+1)} - \frac{h(l+1)}{r\sqrt{2m}}

:

V_+ = \frac{-e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r} + \frac{h^2 (l+1) (l+2)} {2m} \frac{1}{r^2} + \frac{e^4 m}{32 \pi^2 h^2 \epsilon_0^2 (l+1)^2}

이것은 상수만큼 이동된

l+1

각운동량에 대한 퍼텐셜이다.

l=0

바닥 상태를 푼 후, 초대칭 연산자를 사용하여 나머지 결합 상태 스펙트럼을 구성할 수 있다.^[1]

일반적으로,

V_-

와

V_+

는 파트너 퍼텐셜이므로, 하나의 추가적인 바닥 에너지를 제외하고 동일한 에너지 스펙트럼을 공유한다. 형상 불변 조건으로 파트너 퍼텐셜을 찾는 과정을 계속할 수 있으며, 퍼텐셜의 매개변수를 사용하여 에너지 준위에 대한 다음 공식을 제공한다.^[1]

:

E_n=\sum\limits_{i=1}^n R(a_i)

여기서

a_i

는 여러 파트너 퍼텐셜에 대한 매개변수이다.^[1]

8. 응용

2021년, 초대칭 양자역학은 옵션 가격 결정과 시장 분석 등 양자 금융 분야에 적용되었고,^[5] 금융 네트워크에도 적용되었다.^[6]

8. 1. 양자 금융 (Quantum Finance)

2021년, 초대칭 양자역학은 옵션 가격 결정과 시장 분석 등 양자 금융 분야에 적용되었고,^[5] 금융 네트워크에도 적용되었다.^[6]

참조

_[1] 간행물 Eigensolution of the Coulomb Hamiltonian via supersymmetry http://link.aip.org/[...] AAPT
_[2] 서적 The Dirac Equation Springer
_[3] 간행물 A Method of Determining Quantum-Mechanical Eigenvalues and Eigenfunctions Royal Irish Academy
_[4] 간행물 Further Studies on Solving Eigenvalue Problems by Factorization Royal Irish Academy
_[5] 논문 Non-Equilibrium Skewness, Market Crises, and Option Pricing: Non-Linear Langevin Model of Markets with Supersymmetry 2021-01-14
_[6] 학술지 The physics of financial networks https://www.nature.c[...] 2021-06-10

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