축소환

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1. 개요

축소환은 0이 아닌 원소가 멱영원이 아닌 환이다. 축소환은 영역들의 직접곱의 부분환과 동치이다. 대수기하학에서 축소환은 축소 스킴을 정의하는 데 중요한 역할을 하며, 축소환의 개념은 축소 아핀 스킴과 축소 스킴으로 일반화된다. 축소환은 부분환, 직적, 국소화에 대해 닫혀 있으며, 영근기가 영 아이디얼인 가환환과 동치이다. 체, 정역, 자명환 등이 축소환의 예시이며, $K[x]/(x^n)$ 는 축소환이 아니다.

축소환

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 축소 스킴
3. 성질
4. 예

2. 정의

(곱셈 단위원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 축소환이라고 한다.

* 0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소 $r\in R\setminus\{0\}$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $r^n\ne0$ 이다.
* 임의의 0이 아닌 원소 $r\in R\setminus\{0\}$ 및 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 에 대하여, $r^2\ne0$ 이다.
* (유한 개 또는 무한 개의) 영역들의 직접곱의 부분환이다. (0개의 환의 직접곱은 자명환이다.)

환 $R$ 이 멱영이라는 것은 모든 $r\in R$ 에 대해 $r^n = 0 \iff r = 0$ 이 성립하는 것을 말하며, 이는 다음과 동치이다.

* 모든 $r\in R$ 에 대해 $r^2 = 0 \iff r = 0$ 이 성립한다.
* 환의 베키영근기는 영 아이디얼이다: $\sqrt{(0)}= (0)$ .

2.1. 축소 스킴

대수기하학에서 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다.

축소 아핀 스킴(reduced affine scheme^영어)은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이다. 축소 스킴(reduced scheme^영어)은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다.

모든 대수다양체는 (정의에 따라) 축소 스킴을 이룬다. 축소환은 대수기하학에서 기본적인 역할을 수행하며, 여기서 이 개념은 축소 스킴의 개념으로 일반화된다.
스키마 $(X,\mathcal{O}_X)$ 가 기약적이라는 것은 임의의 열린 집합 $U \subset X$ 에 대해 환 $\mathcal{O}_X(U)$ 가 멱영원을 갖지 않을 때를 말한다. 이는 다음 조건과 동치이다. 모든 $x \in X$ 에 대해 국소환(줄기)
: $\mathcal R_x=\operatorname{lim}_{V\ni x}\mathcal F(V)$
가 기약적이다.

3. 성질

축소환은 부분환, 직적, 국소화에서 닫혀있다. 잉여환 R/I가 축소인 것과 I가 근기 아이디얼인 것은 동치이다. R이 뇌터 환일 때, R이 축소인 것과 영 아이디얼의 준소 분해에서 그 성분으로서 (극소) 소 아이디얼만 나타나는 것은 동치이다.

축소성은 국소적인 성질이다. 즉, 환 R이 축소인 것과 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 에 대하여 $R_\mathfrak{m}$ 이 축소인 것은 동치이다.

스키마가 정인 것과, 기약이고 축소인 것은 동치이다. 양의 표수의 가환환이 축소인 것과 프로베니우스 자기 준동형 사상이 단사인 것은 동치이다 (cf. 완전체).

3.1. 함의 관계

다음 함의 관계가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
좌·우 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

👆

좌우로 밀어서 보기

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
좌·우 원시환		소환		반소환

3.2. 닫힘 성질

축소환은 부분환, 직접곱, 국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환, 국소화 및 축소환들의 곱 역시 축소환이다.

3.3. 영근기

가환환에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* 축소환이다.
* 영근기가 영 아이디얼이다.

가환환 $R$ 에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.

환 R이 멱영이라는 것은 모든 r ∈ R에 대해,
: $r^n = 0 \iff r = 0$
이 성립하는 것을 말한다. 이는 다음과 동치이다.

* 모든 r ∈ R에 대해 다음이 성립한다:
*: $r^2 = 0 \iff r = 0.$
* 환의 베키영근기는 영 아이디얼이다:
*: $\sqrt{(0)}= (0).$
* 축소환의 부분환, 직적, 국소화는 축소이다.
* 잉여환 R/I가 축소인 것과 I가 근기 아이디얼인 것은 동치이다.
* R이 뇌터 환일 때, 다음이 성립한다.
*: R이 축소인 것과, 영 아이디얼의 준소 분해에서 그 성분으로서 (극소) 소 아이디얼만 나타나는 것은 동치이다.

* 축소성은 국소적인 성질이다. 즉:
*: 환 R이 축소인 것과, 모든 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 에 대하여 $R_\mathfrak{m}$ 이 축소인 것은 동치이다.

* 스키마가 정인 것과, 기약이고 축소인 것은 동치이다.
* 양의 표수의 가환환이 축소인 것과 프로베니우스 자기 준동형 사상이 단사인 것은 동치이다 (cf. 완전체).

4. 예

자명환은 (자명하게) 축소환이다.

모든 정역은 축소환이다. 예를 들어 정수환 $\mathbb Z$ 이나 모든 체는 축소환이다. 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $\mathbb Z\times\mathbb Z$ 는 정역이 아니지만 축소환이다.

축소환이 아닌 환으로는 예를 들어 체 $K$ 에 대하여 $K[x]/(x^n)$ ( $n>0$ )가 있다. 이 경우, $(x^{n-1})^2=0$ 이므로 $x^{n-1}$ 은 멱영원을 이룬다.

$\mathbb Z/n\mathbb Z$ 가 축소환일 필요충분조건은 $n$ 이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.

소수 표수 p를 갖는 가환 환 R은 그 프로베니우스 자기 준동형 사상이 단사일 때에만 축소 환이다.