크리핑 유동

1. 개요

크리핑 유동은 관성력을 무시하여 나비에-스토크스 방정식을 선형화하여 얻는 스토크스 방정식으로 기술되는 유체 흐름이다. 스토크스 방정식은 비압축성 뉴턴 유체의 경우 나비에-스토크스 방정식을 단순화한 형태로, 레이놀즈 수가 매우 작은 흐름, 즉 점성력이 지배적인 유동을 설명한다. 이 방정식은 시간 가역성, 스토크스 역설 등의 특징을 가지며, 헬레-쇼 흐름, 세장체 이론과 같은 다양한 기하학적 형태의 유동을 분석하는 데 사용된다. 또한, 스토크스 해, 헬름홀츠 최소 소산 정리, 로렌츠 상호 정리, 팍센의 법칙 등과 같은 이론적 개념을 통해 크리핑 유동을 이해하고, 미생물 주변 유동, 윤활 베어링 내 윤활유 흐름 등과 같은 실제 현상에 적용한다.

2. 스토크스 방정식

크리핑 유동은 나비에-스토크스 방정식에서 관성 항을 무시하여 얻어지는 선형화된 방정식인 스토크스 방정식으로 기술된다.

우리 주위나 몸속 미생물의 유동을 예로 들 수 있다. 미생물은 크기가 매우 작고, 공기나 물에서 느리게 움직이기 때문에 크리핑 유동 영역에서만 살게 된다. 윤활 베어링의 틈 사이 윤활유 유동 또한 크리핑 유동의 예시인데, 틈이 매우 작고 점도가 크기 때문이다.

크리핑 유동에서는 무차원화된 나비에-스토크스 방정식을 근사법을 통해 정의할 수 있다. 중력 효과를 무시하고, 스트로할(Strouhal) 수가 1 이하이며, 레이놀즈(Reynolds) 수가 매우 작다고 가정하면, 무차원화된 방정식에서 대류항과 비정상 가속도 항을 무시할 수 있다.

그 결과, 유동에서의 압력은 점성력과 균형을 이루게 된다. 이때, 압력차의 척도는 $\backslash rho\; V^2$ (베르누이 방정식)가 아닌 $\{\backslash mu\; V\backslash over\; L\}$ (점성력이 지배적인 유동)가 된다. 따라서 나비에-스토크스 방정식의 모든 관성항은 크리핑 유동에서 사라지며, 밀도는 더 이상 필요하지 않게 된다.

정상 상태 나비에-스토크스 방정식을 선형화하면 스토크스 유동의 운동 방정식을 얻을 수 있다. 관성력을 무시하면 스토크스 방정식의 운동량 균형으로 축소된다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash sigma\; +\; \backslash mathbf\{f\}\; =\; \backslash boldsymbol\{0\}$

여기서 $\backslash sigma$는 응력 (점성 및 압력 응력의 합)이고, $\backslash mathbf\{f\}$는 작용하는 체적력이다.

또한, 질량 보존 방정식도 포함된다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash nabla\backslash cdot(\backslash rho\backslash mathbf\{u\})\; =\; 0$

여기서 $\backslash rho$는 유체 밀도이고 $\backslash mathbf\{u\}$는 유체 속도이다. 비압축성 유동의 경우 밀도 $\backslash rho$는 상수이다. 비정상 스토크스 방정식은 운동량 균형 방정식의 왼쪽에 $\backslash rho\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{u\}\}\{\backslash partial\; t\}$ 항이 추가된다.

2.1. 스토크스 방정식의 유도

나비에-스토크스 방정식에서 관성력을 무시하고, 비압축성 유동 조건을 적용하면 스토크스 방정식을 얻을 수 있다. 정상 상태의 나비에-스토크스 방정식에서 관성 항을 제거하면 다음과 같은 스토크스 방정식의 운동량 균형이 나타난다.

:$\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash sigma\; +\; \backslash mathbf\{f\}\; =\; \backslash boldsymbol\{0\}$

여기서 $\backslash sigma$는 응력 (점성 및 압력 응력의 합)이고, $\backslash mathbf\{f\}$는 작용하는 체적력이다.

스토크스 방정식에는 질량 보존 방정식도 포함되며, 일반적으로 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash nabla\backslash cdot(\backslash rho\backslash mathbf\{u\})\; =\; 0$

여기서 $\backslash rho$는 유체 밀도, $\backslash mathbf\{u\}$는 유체 속도이다. 비압축성 유동의 경우 밀도 $\backslash rho$는 상수이다.

비정상 스토크스 방정식은 시간에 따른 변화를 고려하여 운동량 균형 방정식의 왼쪽에 $\backslash rho\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{u\}\}\{\backslash partial\; t\}$ 항이 추가된다.

2.2. 스토크스 방정식의 성질

스토크스 방정식은 특히 비압축성 뉴턴 유체의 경우 전체 나비에-스토크스 방정식을 상당히 단순화한 것이다. 스토크스 방정식은 전체 나비에-스토크스 방정식의 선형 근사로, $\backslash mathrm\{Re\}\; \backslash to\; 0$의 특이 극한에서 유효하다.

; 순간성
: 스토크스 흐름은 시간 의존적인 경계 조건을 제외하고는 시간에 의존하지 않는다. 이는 스토크스 흐름의 경계 조건이 주어지면, 다른 시간에서의 흐름에 대한 지식 없이도 흐름을 찾을 수 있음을 의미한다.

; 시간 가역성
: 순간성의 직접적인 결과인 시간 가역성은 시간 반전된 스토크스 흐름이 원래의 스토크스 흐름과 동일한 방정식을 푼다는 것을 의미한다. 이 속성은 때때로 흐름을 완전히 풀지 않고도 경계 조건의 선형성과 대칭성과 함께 사용하여 흐름에 대한 결과를 도출하는 데 사용될 수 있다. 시간 가역성은 점성 흐름을 사용하여 두 유체를 혼합하기 어렵다는 것을 의미한다.

2.3. 뉴턴 유체의 비압축성 유동

일반적인 뉴턴 유체의 비압축성 유동의 경우, 스토크스 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{u}&= 0 \end{align}

여기서 $\backslash mathbf\{u\}$는 유체의 속도, $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; p$는 압력의 기울기, $\backslash mu$는 동점성 계수, $\backslash mathbf\{f\}$는 작용하는 체적력이다. 결과 방정식은 속도와 압력에 대해 선형이므로 다양한 선형 미분 방정식 풀이기를 활용할 수 있다.

직교 좌표계에서 속도 벡터를 $\backslash mathbf\{u\}=(u,v,w)$, 체적력 벡터를 $\backslash mathbf\{f\}\; =\; (f\_x,\; f\_y,\; f\_z)$로 전개하면, 벡터 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial x} + f_x &= 0 \\
\mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial y} + f_y &= 0 \\
\mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) - \frac{\partial p}{\partial z} + f_z &= 0 \\
{\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} &= 0
\end{align}

2.4. 스토크스 방정식의 해법

스토크스 유동(Stokes flow) 방정식은 평면 또는 3차원 회전 대칭의 경우 유선 함수 방법을 사용하여 풀 수 있다. 다음은 다양한 기하학적 구조에 대한 유선 함수와 관련 방정식을 나타낸 표이다.

:$$
\mathbf{u}(\mathbf{r}) = \mathbf{F} \cdot \mathbb{J}(\mathbf{r}), \qquad
p(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}}{4 \pi |\mathbf{r}|^3}


여기서

:$\backslash mathbb\{J\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \{1\; \backslash over\; 8\backslash pi\backslash mu\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash mathbb\{I\}\}$

👆

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📌 열 고정 해제

+ \frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3} \right)

는 오신 텐서(칼 빌헬름 오신의 이름을 따서 명명됨)라고 알려진 2차 텐서(또는 더 정확하게는 텐서장)이다.

스토크스렛과 점력 해라는 용어는 $\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash mathbb\{J\}(\backslash mathbf\{r\})$를 설명하는 데 사용된다. 정전기학의 점전하와 유사하게 스토크스렛은 원점을 제외한 모든 곳에서 힘이 없으며, 원점에서는 크기가 $\backslash mathbf\{F\}$인 힘을 포함한다.

연속력 분포 (밀도) $\backslash mathbf\{f\}(\backslash mathbf\{r\})$의 경우 해 (역시 무한대에서 사라짐)는 중첩에 의해 구성될 수 있다.

:$$
\mathbf{u}(\mathbf{r}) = \int \mathbf{f}\left(\mathbf{r'}\right) \cdot \mathbb{J}\left(\mathbf{r} - \mathbf{r'}\right) \mathrm{d}\mathbf{r'}, \qquad
p(\mathbf{r}) = \int \frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{r'}\right)\cdot\left(\mathbf{r} - \mathbf{r'}\right)}{4 \pi \left|\mathbf{r} - \mathbf{r'}\right|^3} \, \mathrm{d}\mathbf{r'}


속도의 이 적분 표현은 차원 축소로 볼 수 있다. 즉, 3차원 편미분 방정식에서 미지 밀도에 대한 2차원 적분 방정식으로 축소된다.

파프코비치-누버 해는 비압축성 뉴턴 유동의 속도 및 압력장을 두 개의 조화 포텐셜로 나타낸다.

특정 문제, 예를 들어 스토크스 흐름에서 기포 모양의 변화와 같은 문제는 경계 요소법을 이용한 수치 해법에 적합하다. 이 기법은 2차원 및 3차원 유동 모두에 적용할 수 있다.

3. 다양한 기하학에서의 스토크스 유동

헬레-쇼 흐름(Hele-Shaw flow)은 관성력을 무시할 수 있는 기하학적 구조의 한 예시이다. 이는 매우 가깝게 배치된 두 개의 평행한 판으로 정의되며, 판 사이의 공간은 부분적으로 유체로 채워지고 부분적으로 판에 수직인 생성기를 가진 원통 형태의 장애물로 채워진다.

스토크스 흐름에서의 세장체 이론(Slender-body theory)은 폭에 비해 길이가 긴 물체 주위의 비회전 유동장을 결정하는 간단한 근사 방법이다. 이 방법의 기초는 (물체가 세장체이므로) 선을 따라 유동 특이점의 분포를 선택하여 균일한 흐름과 결합된 비회전 유동이 경계면에서 영 법선 속도 조건을 근사적으로 만족하도록 하는 것이다.

램의 일반적인 해는 압력 $p$가 라플라스 방정식을 만족한다는 사실에서 비롯되며, 구면 좌표계에서 고체 구면 조화 함수의 급수로 전개될 수 있다. 결과적으로, 스토크스 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:
p &= \sum_{n=-\infty}^{n=\infty}p_n \end{align}

여기서 $p\_n,\; \backslash Phi\_n,$ 그리고 $\backslash chi\_n$은 차수 $n$의 고체 구면 조화 함수이다.

:
\Phi_n &= r^n \sum_{m=0}^{m=n} P_n^m(\cos\theta)(b_{mn}\cos m\phi +\tilde{b}_{mn} \sin m\phi) \\
\chi_n &= r^n \sum_{m=0}^{m=n} P_n^m(\cos\theta)(c_{mn}\cos m\phi +\tilde{c}_{mn} \sin m\phi) \end{align}

그리고 $P\_n^m$은 연관 르장드르 다항식이다. 램의 해는 구의 내부 또는 외부의 유체 운동을 설명하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 이는 표면 유동이 지정된 구형 입자, 소위 스쿼머 주위의 유체 운동을 설명하거나, 구형 유체 방울 내부의 흐름을 설명하는 데 사용될 수 있다. 내부 흐름의 경우 인 항은 삭제되고, 외부 흐름의 경우 $n>0$인 항은 삭제된다(음수로 색인하는 것을 피하기 위해 외부 흐름에 대해 종종 $n\backslash to\; -n-1$의 관례가 가정된다).

4. 크리핑 유동의 이론

미생물은 크기가 매우 작고, 공기나 물에서 느리게 움직이기 때문에 일생을 크리핑 유동 영역에서만 살게 된다. 크리핑 유동은 윤활 베어링의 아주 작은 틈 사이의 윤활유 유동에서도 나타난다. 이 경우 속도는 그렇게 작지는 않지만 그 틈이 매우 작고, 점도도 비교적 크기 때문이다.

크리핑 유동에서는 나비에 스토크스 방정식을 근사법을 통해 정의할 수 있다. 먼저, 단순화를 위하여 중력 효과는 무시하거나 오직 정수압 요소로 작용하는 경우를 가정한다. 또한 가속도 항의 크기 차수가 점성항의 크기 차수보다 작으므로(레이놀즈(Reynolds) 수는 매우 작다) 정상 유동 또는 진동 유동 중의 하나로 가정한다. 무차원화된 방정식에서 대류항의 크기 차수는 1이기 때문에 사라지게 된다. 그 결과 식 좌변의 모든 항을 무시할 수 있으므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

크리핑 유동 근사화 : $[Eu]\backslash vec\{\backslash nabla^*\}P^*\backslash cong$ $[\{1\backslash over\; Re\}]\backslash nabla^\{*2\}\backslash vec\{V^*\}$

다시 말하면, 유동에서의 압력(좌변)은 우변의 상대적으로 큰 점성력과 균형을 이룰 정도로 커야 한다. 근사화된 식의 무차원 변수의 차수가 1이기 때문에 두 항이 균형을 이룰 수 있는 유일한 방법은 Eu가 1/Re 와 같은 차수를 가질 때이다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다. $[Eu]=\{P\_0-P\_\backslash infty\backslash over\; \backslash rho\; V^2\}\backslash sim[\{1\backslash over\; Re\}]=\; \{\backslash mu\; \backslash over\; \backslash rho\; VL\}$

위 식을 정리하면 크리핑 유동에서의 압력의 크기를 얻을 수 있다.

크리핑 유동에 대한 두 가지 사실은 다음과 같다.

* 첫째, 크리핑 유동은 점성력이 지배적인 유동이기 때문에 압력차의 척도는 $\{\backslash mu\; V\backslash over\; L\}$와 같다. (베르누이(Bernoulli) 방정식과 같이 압력차의 척도가 $\backslash rho\; V^2$인 관성이 지배적인 유동과는 다르다.) 이로써 Navier-Stokes 방정식의 모든 관성항은 크리핑 유동에서 사라진다.
* 둘째, 밀도는 Navier-Stokes 방정식에서 매개변수로서 완전 빠져버리게 된다.

밀도는 레이놀즈(Reynolds) 수를 계산하기 위해서 반드시 필요하지만, 크리핑 유동처럼 Re가 매우 작다고 가정하면 밀도는 더 이상 필요하지 않다. 또, 밀도는 정수압 계산에서는 필요하지만, 수직거리가 보통 수 밀리미터 혹은 수 마이크로미터이기 때문에 크리핑 유동에서 그 영향은 무시할 수 있다. 그 외에도 자유표면 효과가 없다면, 물리적인 압력 대신에 수정압력도 사용할 수 있다.

4.1. 스토크스 해 (Stokes' law)

정지 유체 내에서 일정한 속도로 움직이는 구에 작용하는 저항력(항력)은 스토크스 법칙으로 주어진다.

동점성 계수 $\backslash mu$를 갖는 스토크스 유체 내에서 반경 $a$의 구가 속도 $U$로 이동할 때, 항력 $F\_D$는 다음과 같다.

:$F\_D\; =\; 6\; \backslash pi\; \backslash mu\; a\; U$

스토크스 해는 동일한 경계 속도를 갖는 다른 모든 솔레노이드 벡터 장보다 적은 에너지를 소산시킨다. 이는 헬름홀츠 최소 소산 정리로 알려져 있다.

4.2. 헬름홀츠 최소 소산 정리 (Helmholtz minimum dissipation theorem)

스토크스 해는 동일한 경계 속도를 갖는 다른 모든 솔레노이드 벡터장보다 적은 에너지를 소산시킨다. 이는 헬름홀츠 최소 소산 정리로 알려져 있다.

4.3. 로렌츠 상반정리(Lorentz reciprocal theorem)

로렌츠 상호 정리는 동일한 영역 내 두 개의 스토크스 흐름 간의 관계를 나타낸다. 표면 $S$로 경계가 정해진 유체 채움 영역 $V$를 고려해 보자. 속도장 $\backslash mathbf\{u\}$와 $\backslash mathbf\{u\}\text{'}$가 도메인 $V$에서 스토크스 방정식을 풀고, 각기 응력장 $\backslash mathbf\{\backslash sigma\}$ 및 $\backslash mathbf\{\backslash sigma\}\text{'}$에 대응한다고 하자. 그러면 다음 등식이 성립한다.

:$\backslash int\_S\; \backslash mathbf\{u\}\backslash cdot\; (\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\text{'}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\})\; dS\; =\; \backslash int\_S\; \backslash mathbf\{u\}\text{'}\; \backslash cdot\; (\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\})\; dS$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}$은 표면 $S$에 대한 단위 법선 벡터이다. 로렌츠 상호 정리는 스토크스 흐름이 내부 폐쇄 표면에서 외부 포위 표면으로 전체 힘과 토크를 변경 없이 "전달"함을 보여주는 데 사용될 수 있다. 로렌츠 상호 정리는 또한 시아노박테리아와 같은 미생물의 헤엄 속도를 섬모 또는 편모를 통한 신체 형태의 변형에 의해 지정된 표면 속도와 관련시키는 데 사용될 수 있다.

로렌츠 상호 정리는 또한 낮은 레놀즈 수에서 탄성 계면 표면에 접하는 고체 물체에 가해지는 양력의 크기를 유도하기 위해 탄성유체역학 이론의 맥락에서 사용되어 왔다.

4.4. 팍센의 법칙(Faxén's laws)

팍센의 법칙은 주변 유동 및 그 도함수와 관련하여 다극 전개 모멘트를 표현하는 직접적인 관계이다. 힐딩 팍센이 힘 $\backslash mathbf\{F\}$와 토크 $\backslash mathbf\{T\}$를 구하기 위해 처음 개발했으며, 다음과 같은 형태를 취한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\mathbf{F} &= 6\pi\mu a \left( 1 + \frac{a^2}{6}\nabla^2 \right) \mathbf{v}^\infty(\mathbf{x})|_{x=0} - 6\pi\mu a \mathbf{U} \\
\mathbf{T} &= 8\pi\mu a^3(\mathbf{\Omega}^\infty(\mathbf{x}) - \mathbf{\omega})|_{x=0}
\end{align}

여기서 $\backslash mu$는 동점성 계수, $a$는 입자 반지름, $\backslash mathbf\{v\}^\{\backslash infty\}$는 주변 유동, $\backslash mathbf\{U\}$는 입자의 속도, $\backslash mathbf\{\backslash Omega\}^\{\backslash infty\}$는 배경 유동의 각속도, $\backslash mathbf\{\backslash omega\}$는 입자의 각속도이다.

팍센의 법칙은 타원체, 회전 타원체, 구형 액적 등 다른 형상의 모멘트를 설명하도록 일반화될 수 있다.

5. 크리핑 유동의 예시

우리 주위 또는 우리 몸속에서 미생물의 주위 유동이 이에 대한 예시가 될 수 있다.

미생물은 일생을 크리핑 유동 영역에서만 살게 되는데, 이는 이들의 크기가 수 미크론($1\; \backslash mu\; m\; =\; 10^\{-6\}\; m$)으로 매우 작으며, 결코 점성이 크다고 볼 수 없는 공기나 물에서(상온에서 $\backslash mu\_\{air\}\; \backslash cong\; 1.8\; \backslash times\; 10^\{-5\}\; N\; \backslash cdot\; s/m^2$ 와 $\backslash mu\_\{water\}\; \backslash cong\; 1.0\; \backslash times\; 10^\{-3\}\; N\; \backslash cdot\; s/m^2$) 느리게 움직이기 때문이다.

그림에 나타난 박테리아의 몸길이는 고작 1m이며, 몸 뒤에 있는 길이가 수 미크론인 편모를 이용하여 몸을 움직인다. 이러한 운동에 대한 레이놀즈 수는 1보다 훨씬 작다.

또한, 크리핑 유동은 윤활 베어링의 아주 작은 틈 사이의 윤활유 유동에서도 나타난다. 이 경우 속도는 그렇게 작지는 않지만 그 틈이 매우 작고(수십 미크론의 차수로), 점도도 비교적 크기 때문이다(상온에서 $\backslash mu\; \backslash sim\; 1\; N\; \backslash cdot\; s/m^2$).

종류	유체 흐름
특징	낮은 레이놀즈 수에서 점성력이 지배적인 유동

다른 이름

영어	Creeping flow, Stokes flow
한국어	포복 유동, 스토크스 유동

설명

정의	유체의 관성력이 점성력에 비해 매우 작아 무시할 수 있는 유동
관련 방정식	연속 방정식 스토크스 방정식
적용 분야	미세 유체 역학 윤활 침전 다공성 매질을 통한 유동 생물학적 미세 유체 유동 고분자 용액의 유동

수학적 표현

지배 방정식	나비에-스토크스 방정식에서 관성항을 무시한 선형화된 방정식
스토크스 방정식	∇p = μ∇²v (여기서 p는 압력, μ는 점성 계수, v는 유체의 속도)
연속 방정식	∇⋅v = 0
해	해석적 해는 단순한 형상(예: 구, 원통)에 대해서만 존재

역사

명칭 유래	조지 스토크스 경의 이름을 따서 명명

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