클렙슈-고르단 계수

1. 개요

클렙슈-고르단 계수는 양자역학에서 각운동량 연산자를 합성할 때 나타나는 계수이다. 두 입자의 각운동량을 더하여 전체 계의 각운동량을 구하는 과정에서, 각 입자의 각운동량 상태 텐서곱을 전체 계의 기약 표현으로 분해하는 데 사용된다. 이 계수는 스핀, 구면 조화 함수, 비그너 D-행렬 등과 관련되며, 특히 SU(3) 클렙슈-고르단 계수는 입자 물리학에서 쿼크의 상호작용을 이해하는 데 중요하다.

2. 역사

대수기하학을 다루기 위하여 1866년에 알프레트 클렙슈(Rudolf Friedrich Alfred Clebsch^독일어)와 파울 고르단(Paul Albert Gordan^독일어)이 도입하였다.

3. 각운동량 연산자

자기 수반 연산자 j_x^영어, j_y^영어, j_z^영어는 다음의 교환 관계를 만족하는 각운동량 연산자이다.


:[\mathrm{j}_k, \mathrm{j}_l]
≡ \mathrm{j}_k \mathrm{j}_l - \mathrm{j}_l \mathrm{j}_k
= i \hbar \varepsilon_{klm} \mathrm{j}_m


:k, l, m ∈ {x, y, z},


여기서 ε_klm^영어는 레비-치비타 기호이다. 이 세 연산자는 함께 랭크 1인 데카르트 텐서 연산자인 벡터 연산자를 정의한다.


:j = (j_x, j_y, j_z).


이는 또한 구면 텐서 연산자이므로 구면 기저라고도 한다. 구면 텐서 연산자가 데카르트 텐서 연산자와 일치하는 것은 랭크 1에서만 해당된다.


이 개념을 더 발전시켜, j를 자기 자신과 내적하여 또 다른 연산자 j²를 정의할 수 있다.


:j² = j_x² + j_y² + j_z².


이것은 카시미르 연산자의 예시이다. 이 연산자는 대각선이며, 그 고유값은 각운동량 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(3,\backslash mathbb\{R\})\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{su\}(2)$의 특정 기약 표현을 특징짓는다. 이는 표현이 작용하는 상태의 전체 각운동량의 제곱으로 물리적으로 해석된다.


또한 소위 사다리 연산자인 상승 (j₊^영어) 및 하강 (j₋^영어) 연산자를 정의할 수 있다.


:j_±^영어 = j_x^영어 ± i j_y^영어.

3.1. 교환 관계

자기 수반 연산자 j_x, j_y, j_z는 다음의 교환 관계를 만족하는 각운동량 연산자이다.

:[\mathrm{j}_k, \mathrm{j}_l]
≡ j_kj_l - j_lj_k
= iħε_klmj_m
:k, l, m ∈ {x, y, z},

여기서 ε_klm는 레비-치비타 기호이다. 이 세 연산자는 함께 랭크 1인 데카르트 텐서 연산자인 벡터 연산자를 정의한다.

:j = (j_x, j_y, j_z).

이는 또한 구면 텐서 연산자이므로 구면 기저라고도 한다. 구면 텐서 연산자가 데카르트 텐서 연산자와 일치하는 것은 랭크 1에서만 해당된다.

이 개념을 더 발전시켜, j를 자기 자신과 내적하여 또 다른 연산자 j²를 정의할 수 있다.

:j² = j_x² + j_y² + j_z².

이것은 카시미르 연산자의 예시이다. 이 연산자는 대각선이며, 그 고유값은 각운동량 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(3,\backslash mathbb\{R\})\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{su\}(2)$의 특정 기약 표현을 특징짓는다. 이는 표현이 작용하는 상태의 전체 각운동량의 제곱으로 물리적으로 해석된다.

또한 소위 사다리 연산자인 상승 (j₊) 및 하강 (j₋) 연산자를 정의할 수 있다.

:j_± = j_x ± i j_y.

3.2. 벡터 연산자

자기 수반 연산자 j_x, j_y, j_z는 다음의 교환 관계를 만족하는 각운동량 연산자이다.

j_kj_l - j_lj_k = iħε_klmj_m

여기서 ε_klm는 레비-치비타 기호이다. 이 세 연산자는 함께 랭크 1인 데카르트 텐서 연산자인 벡터 연산자를 정의한다.

j = (j_x, j_y, j_z).

이는 또한 구면 텐서 연산자이므로 구면 기저라고도 한다. 구면 텐서 연산자가 데카르트 텐서 연산자와 일치하는 것은 랭크 1에서만 해당된다.

이 개념을 더 발전시켜, j를 자기 자신과 내적하여 또 다른 연산자 j²를 정의할 수 있다.

j² = j_x² + j_y² + j_z².

이것은 카시미르 연산자의 예시이다. 이 연산자는 대각선이며, 그 고유값은 각운동량 대수 $\backslash mathfrak\{so\}(3,\backslash mathbb\{R\})\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\{su\}(2)$의 특정 기약 표현을 특징짓는다. 이는 표현이 작용하는 상태의 전체 각운동량의 제곱으로 물리적으로 해석된다.

또한 소위 사다리 연산자인 상승 (j₊) 및 하강 (j₋) 연산자를 정의할 수 있다.

j_± = j_x ± i j_y.

3.3. 카시미르 연산자

3.4. 상승 및 하강 연산자

4. 각운동량 고유 상태

는 , , 및 와 교환한다.
$$$$
\begin{align}
&[\mathbf j^2, \mathrm {j}_k] = 0 & k &\in \{\mathrm x, \mathrm y, \mathrm z\}.
\end{align}

두 개의 에르미트 연산자가 교환할 때 공통된 고유 상태 집합이 존재한다. 일반적으로 와 가 선택된다. 교환 관계로부터 가능한 고유값을 찾을 수 있다. 이러한 고유 상태는 j m}}/{{ket^영어으로 표시되며, 여기서 는 각운동량 양자수이고 은 z축에 대한 각운동량 투영이다.

이들은 구면 기저를 구성하며, 완전하고, 다음 고유값 방정식을 만족한다.
$$$$
\begin{align}
\mathbf j^2 |j \, m\rangle &= \hbar^2 j (j + 1) |j \, m\rangle, & j &\in \{0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots\} \\
\mathrm{j_z} |j \, m\rangle &= \hbar m |j \, m\rangle, & m &\in \{-j, -j + 1, \ldots, j\}.
\end{align}

올림 연산자와 내림 연산자를 사용하여 의 값을 변경할 수 있다.
$$$$
\mathrm j_\pm |j \, m\rangle = \hbar C_\pm(j, m) |j \, (m \pm 1)\rangle,

여기서 사다리 계수는 다음과 같다.
$$$$
C_\pm(j, m) = \sqrt{j (j + 1) - m (m \pm 1)} = \sqrt{(j \mp m)(j \pm m + 1)}.

원칙적으로 $C\_\backslash pm(j,\; m)$의 정의에 (가능하게는 복소수) 위상 인자를 도입할 수도 있다. 이 문서에서 선택한 것은 Condon–Shortley 위상 규칙과 일치한다. 각운동량 상태는 직교하며 (에르미트 연산자에 대한 고유값이 다르기 때문) 정규화된 것으로 가정한다.
$$$$
\langle j \, m | j' \, m' \rangle = \delta_{j, j'} \delta_{m, m'}.

여기서 이탤릭체 와 은 입자 또는 시스템의 정수 또는 반정수 각운동량 양자수를 나타낸다. 반면에 로마자 , , , , , 및 는 연산자를 나타낸다. $\backslash delta$ 기호는 크로네커 델타이다.

4.1. 고유값 방정식

는 , , 및 와 교환한다.
$$$$
\begin{align}
&[\mathbf j^2, \mathrm {j}_k] = 0 & k &\in \{\mathrm x, \mathrm y, \mathrm z\}.
\end{align}

두 개의 에르미트 연산자가 교환할 때 공통된 고유 상태 집합이 존재한다. 일반적으로 와 가 선택된다. 교환 관계로부터 가능한 고유값을 찾을 수 있다. 이러한 고유 상태는 으로 표시되며, 여기서 는 각운동량 양자수이고 은 z축에 대한 각운동량 투영이다.

이들은 구면 기저를 구성하며, 완전하고, 다음 고유값 방정식을 만족한다.
$$$$
\begin{align}
\mathbf j^2 |j \, m\rangle &= \hbar^2 j (j + 1) |j \, m\rangle, & j &\in \{0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots\} \\
\mathrm{j_z} |j \, m\rangle &= \hbar m |j \, m\rangle, & m &\in \{-j, -j + 1, \ldots, j\}.
\end{align}

올림 연산자와 내림 연산자를 사용하여 의 값을 변경할 수 있다.
$$$$
\mathrm j_\pm |j \, m\rangle = \hbar C_\pm(j, m) |j \, (m \pm 1)\rangle,

여기서 사다리 계수는 다음과 같다.

원칙적으로 $C\_\backslash pm(j,\; m)$의 정의에 (가능하게는 복소수) 위상 인자를 도입할 수도 있다. 이 문서에서 선택한 것은 Condon–Shortley 위상 규칙과 일치한다. 각운동량 상태는 직교하며 (에르미트 연산자에 대한 고유값이 다르기 때문) 정규화된 것으로 가정한다.
$$$$
\langle j \, m | j' \, m' \rangle = \delta_{j, j'} \delta_{m, m'}.

여기서 이탤릭체 와 은 입자 또는 시스템의 정수 또는 반정수 각운동량 양자수를 나타낸다. 반면에 로마자 , , , , , 및 는 연산자를 나타낸다. $\backslash delta$ 기호는 크로네커 델타이다.

4.2. 구면 기저

j²는 j_x, j_y, 및 j_z와 교환한다.
$$$$
\begin{align}
&[\mathbf j^2, \mathrm {j}_k] = 0 & k &\in \{\mathrm x, \mathrm y, \mathrm z\}.
\end{align}

두 개의 에르미트 연산자가 교환할 때 공통된 고유 상태 집합이 존재한다. 일반적으로 j²와 j_z가 선택된다. 교환 관계로부터 가능한 고유값을 찾을 수 있다. 이러한 고유 상태는 j m}}/{{ket^영어으로 표시되며, 여기서 는 각운동량 양자수이고 은 z축에 대한 각운동량 투영이다.

이들은 구면 기저를 구성하며, 완전하고, 다음 고유값 방정식을 만족한다.
$$$$
\begin{align}
\mathbf j^2 |j \, m\rangle &= \hbar^2 j (j + 1) |j \, m\rangle, & j &\in \{0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots\} \\
\mathrm{j_z} |j \, m\rangle &= \hbar m |j \, m\rangle, & m &\in \{-j, -j + 1, \ldots, j\}.
\end{align}

올림 연산자와 내림 연산자를 사용하여 의 값을 변경할 수 있다.
$$$$
\mathrm j_\pm |j \, m\rangle = \hbar C_\pm(j, m) |j \, (m \pm 1)\rangle,

여기서 사다리 계수는 다음과 같다.

원칙적으로 $C\_\backslash pm(j,\; m)$의 정의에 (가능하게는 복소수) 위상 인자를 도입할 수도 있다. 이 문서에서 선택한 것은 Condon–Shortley 위상 규칙과 일치한다. 각운동량 상태는 직교하며 (에르미트 연산자에 대한 고유값이 다르기 때문) 정규화된 것으로 가정한다.
$$$$
\langle j \, m | j' \, m' \rangle = \delta_{j, j'} \delta_{m, m'}.

여기서 이탤릭체 와 은 입자 또는 시스템의 정수 또는 반정수 각운동량 양자수를 나타낸다. 반면에 로마자 j_x, j_y, j_z, j₊, j₋, 및 j²는 연산자를 나타낸다. $\backslash delta$ 기호는 크로네커 델타이다.

4.3. 사다리 연산자의 작용

5. 텐서곱 공간

두 개의 물리적으로 다른 각운동량 j}₁/j^영어과 j}₂/j^영어를 가진 시스템을 고려한다. 예시로는 단일 전자의 스핀과 궤도 각운동량, 또는 두 전자의 스핀, 또는 두 전자의 궤도 각운동량이 있다. 수학적으로 이것은 각운동량 연산자가 차원이 $2j\_1+1$인 공간 $V\_1$과 차원이 $2j\_2\; +\; 1$인 공간 $V\_2$에 작용함을 의미한다. 그런 다음 텐서 곱 공간 $V\_1\; \backslash otimes\; V\_2$에 작용하는 일련의 "총 각운동량" 연산자를 정의하려고 하며, 이 공간은 차원이 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$이다. 이 공간에서 총 각운동량 연산자의 작용은 SU(2) 리 대수의 표현을 구성하지만, 기약적인 표현은 아니다. 이 가약 표현을 기약 조각으로 축소하는 것이 클렙슈-고르단 이론의 목표이다.

$V\_1$을 $|j\_1\; \backslash ,\; m\_1\backslash rangle$ ($m\_1\; \backslash in\; \backslash \{-j\_1,\; -j\_1\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_1\backslash \}$) 상태로 구성된 $(2\; j\_1\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라 하고, $V\_2$를 $|j\_2\; \backslash ,\; m\_2\backslash rangle$ ($m\_2\; \backslash in\; \backslash \{-j\_2,\; -j\_2\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_2\backslash \}$) 상태로 구성된 $(2\; j\_2\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라고 하자.

이러한 공간의 텐서 곱, 는 $(2\; j\_1\; +\; 1)\; (2\; j\_2\; +\; 1)$차원의 비결합 기저를 갖는다.
:$$
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle,
\quad m_1 \in \{-j_1, -j_1 + 1, \ldots, j_1\},
\quad m_2 \in \{-j_2, -j_2 + 1, \ldots, j_2\}.

각운동량 연산자는 의 상태에 다음과 같은 방식으로 작용하도록 정의된다.
:$$
(\mathbf j \otimes 1) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv \mathbf j |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle

:$$
(1 \otimes \mathrm \mathbf j) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes \mathbf j |j_2 \, m_2\rangle,

여기서 은 항등 연산자를 나타낸다.

총 각운동량 연산자는 에 작용하는 두 표현의 공곱 (또는 텐서 곱)에 의해 정의된다.
:$\backslash mathbf\{J\}\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{j\}\_1\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{j\}\_2~.$
총 각운동량 연산자는 다음과 같이 동일한 교환 관계를 만족함을 보일 수 있다.
:$$
[\mathrm{J}_k, \mathrm{J}_l] = i \hbar \varepsilon_{k l m} \mathrm{J}_m ~,

여기서 .

총 각운동량 연산자에 대한 일련의 결합 고유 상태도 존재한다.
:$$
\mathbf{J}^2 |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar^2 J (J + 1) |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

:$$
\mathrm{J_z} |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar M |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

. 부분은 생략한다.

총 각운동량 양자수 는 다음과 같은 삼각형 조건을 만족해야 한다.
:$$
|j_1 - j_2| \leq J \leq j_1 + j_2,

총 각운동량 고유 상태의 총 개수는 의 차원과 같다.
:$$
\sum_{J = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} (2 J + 1) = (2 j_1 + 1) (2 j_2 + 1) ~.

텐서 곱 표현은 $2J+1$ 차원의 각 기약 표현의 직접 합으로 분해되며, 여기서 $J$는 $|j\_1\; -\; j\_2|$에서 $j\_1\; +\; j\_2$까지 1씩 증가한다.

총 각운동량 상태는 의 정규 직교 기저를 형성한다.
:$$
\left\langle J\, M | J'\, M' \right\rangle = \delta_{J, J'}\delta_{M, M'}~.

5.1. 비결합 기저

두 개의 물리적으로 다른 각운동량 j₁^영어과 j₂^영어를 가진 시스템을 고려한다. 예시로는 단일 전자의 스핀과 궤도 각운동량, 또는 두 전자의 스핀, 또는 두 전자의 궤도 각운동량이 있다. 수학적으로 이것은 각운동량 연산자가 차원이 인 공간 $V\_1$과 차원이 인 공간 $V\_2$에 작용함을 의미한다. 그런 다음 텐서 곱 공간 $V\_1\; \backslash otimes\; V\_2$에 작용하는 일련의 "총 각운동량" 연산자를 정의하려고 하며, 이 공간은 차원이 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$이다. 이 공간에서 총 각운동량 연산자의 작용은 SU(2) 리 대수의 표현을 구성하지만, 기약적인 표현은 아니다. 이 가약 표현을 기약 조각으로 축소하는 것이 클렙슈-고르단 이론의 목표이다.

$V\_1$을 다음 상태로 구성된 $2j\_1+1$차원 벡터 공간이라고 하자.
:$$
|j_1 m_1\rangle\quad (m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1)

$V\_2$를 다음 상태로 구성된 $2j\_2+1$차원 벡터 공간이라고 하자.
:$$
|j_2 m_2\rangle\quad (m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2)

이들 공간의 텐서 곱 $V\_\{12\}\backslash equiv\; V\_1\backslash otimes\; V\_2$는 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$차원의 비결합 기저를 갖는다.
:$$
|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle \quad (m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2)

각운동량 연산자는 $V\_\{12\}$의 상태에 다음과 같은 방식으로 작용하도록 정의된다.
:$$
(\textrm{j}_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle

:$$
(1 \otimes \textrm{j}_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle
\quad\quad (i = x,y,z)

총 각운동량 연산자는 $\backslash mathbf\{J\}\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{j\}\_1\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{j\}\_2~.$이다.
총 각운동량 연산자는 다음과 같이 동일한 교환 관계를 만족함을 보일 수 있다.
:$$
[\hat{\textrm{J}}_k,\hat{\textrm{J}}_l] = i\hbar\epsilon_{klm}\hat{\textrm{J}}_m \quad \quad (k,l,m \in (x,y,z))

따라서 총 각운동량의 동시 고유 상태가 존재한다.
:$$
\hat{\mathbf{J}}^2 |(j_1j_2)JM\rangle = \hbar^2 J(J+1) |(j_1j_2)JM\rangle

:$$
\hat{\textrm{J}}_z |(j_1j_2)JM\rangle = \hbar M |(j_1j_2)JM\rangle \quad \quad \quad (M=-J,\ldots,J)

이는 $J$가 다음을 만족해야 함에 기인한다.
:$$
|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2

전체 각운동량 고유 상태의 총 개수는 $V\_\{12\}$의 차원과 반드시 같다.
:$$
\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1)

총 각운동량 상태는 $V\_\{12\}$의 정규 직교 기저를 형성한다.
:$$
\langle J_1 M_1 | J_2 M_2 \rangle = \delta_{J_1J_2}\delta_{M_1M_2}

5.2. 총 각운동량 연산자

두 개의 물리적으로 다른 각운동량 j}₁/j^영어과 j}₂/j^영어를 가진 시스템을 고려한다. 예시로는 단일 전자의 스핀과 궤도 각운동량, 또는 두 전자의 스핀, 또는 두 전자의 궤도 각운동량이 있다. 수학적으로 이것은 각운동량 연산자가 차원이 $2j\_1+1$인 공간 $V\_1$과 차원이 $2j\_2\; +\; 1$인 공간 $V\_2$에 작용함을 의미한다. 그런 다음 텐서 곱 공간 $V\_1\; \backslash otimes\; V\_2$에 작용하는 일련의 "총 각운동량" 연산자를 정의하려고 하며, 이 공간은 차원이 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$이다. 이 공간에서 총 각운동량 연산자의 작용은 SU(2) 리 대수의 표현을 구성하지만, 기약적인 표현은 아니다. 이 가약 표현을 기약 조각으로 축소하는 것이 클렙슈-고르단 이론의 목표이다.

$V\_1$을 $|j\_1\; \backslash ,\; m\_1\backslash rangle$ ($m\_1\; \backslash in\; \backslash \{-j\_1,\; -j\_1\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_1\backslash \}$) 상태로 구성된 $(2\; j\_1\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라 하고, $V\_2$를 $|j\_2\; \backslash ,\; m\_2\backslash rangle$ ($m\_2\; \backslash in\; \backslash \{-j\_2,\; -j\_2\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_2\backslash \}$) 상태로 구성된 $(2\; j\_2\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라고 하자.

이러한 공간의 텐서 곱, 는 $(2\; j\_1\; +\; 1)\; (2\; j\_2\; +\; 1)$차원의 비결합 기저를 갖는다.
:$$
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle,
\quad m_1 \in \{-j_1, -j_1 + 1, \ldots, j_1\},
\quad m_2 \in \{-j_2, -j_2 + 1, \ldots, j_2\}.

각운동량 연산자는 의 상태에 다음과 같은 방식으로 작용하도록 정의된다.
:$$
(\mathbf j \otimes 1) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv \mathbf j |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle

:$$
(1 \otimes \mathrm \mathbf j) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes \mathbf j |j_2 \, m_2\rangle,

여기서 은 항등 연산자를 나타낸다.

총 각운동량 연산자는 $\backslash mathbf\{J\}\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{j\}\_1\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{j\}\_2$로 정의된다. 총 각운동량 연산자는 다음과 같은 동일한 교환 관계를 만족함을 보일 수 있다.
:$$
[\mathrm{J}_k, \mathrm{J}_l] = i \hbar \varepsilon_{k l m} \mathrm{J}_m ~,

여기서 .

따라서 총 각운동량 연산자에 대한 일련의 결합 고유 상태도 존재한다.
:$$
\mathbf{J}^2 |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar^2 J (J + 1) |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

:$$
\mathrm{J_z} |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar M |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

($M\; \backslash in\; \backslash \{-J,\; -J\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; J\backslash \}$). 부분을 생략하는 것이 일반적이다.

총 각운동량 양자수 $J$는 삼각형 조건 $|j\_1\; -\; j\_2|\; \backslash leq\; J\; \backslash leq\; j\_1\; +\; j\_2$를 만족해야 한다. 총 각운동량 고유 상태의 총 개수는 $V\_3$의 차원과 반드시 같다.
:$$
\sum_{J = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} (2 J + 1) = (2 j_1 + 1) (2 j_2 + 1) ~.

이 계산에서 알 수 있듯이, 텐서 곱 표현은 $2J+1$ 차원의 각 기약 표현의 직접 합으로 분해되며, 여기서 $J$는 $|j\_1\; -\; j\_2|$에서 $j\_1\; +\; j\_2$까지 1씩 증가한다.

총 각운동량 상태는 $V\_3$의 정규 직교 기저를 형성한다.
:$$
\left\langle J\, M | J'\, M' \right\rangle = \delta_{J, J'}\delta_{M, M'}~.

5.3. 결합 기저

두 개의 물리적으로 다른 각운동량 j₁^영어과 j₂^영어를 가진 시스템을 고려한다. 예시로는 단일 전자의 스핀과 궤도 각운동량, 또는 두 전자의 스핀, 또는 두 전자의 궤도 각운동량이 있다. 수학적으로 이것은 각운동량 연산자가 차원이 인 공간 $V\_1$과 차원이 인 공간 $V\_2$에 작용함을 의미한다. 그런 다음 텐서 곱 공간 $V\_1\; \backslash otimes\; V\_2$에 작용하는 일련의 "총 각운동량" 연산자를 정의하려고 하며, 이 공간은 차원이 $(2j\_1+1)(2j\_2+1)$이다. 이 공간에서 총 각운동량 연산자의 작용은 SU(2) 리 대수의 표현을 구성하지만, 기약적인 표현은 아니다. 이 가약 표현을 기약 조각으로 축소하는 것이 클렙슈-고르단 이론의 목표이다.

$V\_1$을 $|j\_1\; \backslash ,\; m\_1\backslash rangle$ ($m\_1\; =\; -j\_1,\; -j\_1\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_1$) 상태로 구성된 $(2j\_1\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라 하고, $V\_2$를 $|j\_2\; \backslash ,\; m\_2\backslash rangle$ ($m\_2\; =\; -j\_2,\; -j\_2\; +\; 1,\; \backslash ldots,\; j\_2$) 상태로 구성된 $(2j\_2\; +\; 1)$차원 벡터 공간이라 한다.

이러한 공간의 텐서 곱, 는 -차원의 비결합 기저를 갖는다.
:$$
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle,
\quad m_1 \in \{-j_1, -j_1 + 1, \ldots, j_1\},
\quad m_2 \in \{-j_2, -j_2 + 1, \ldots, j_2\}.

각운동량 연산자는 의 상태에 다음과 같은 방식으로 작용하도록 정의된다.
:$$
(\mathbf j \otimes 1) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv \mathbf j |j_1 \, m_1\rangle \otimes |j_2 \, m_2\rangle

:$$
(1 \otimes \mathrm \mathbf j) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \equiv |j_1 \, m_1\rangle \otimes \mathbf j |j_2 \, m_2\rangle,

여기서 은 항등 연산자를 나타낸다.

총 각운동량 연산자는 에 작용하는 두 표현의 공곱 (또는 텐서 곱)에 의해 정의된다.
:$\backslash mathbf\{J\}\; \backslash equiv\; \backslash mathbf\{j\}\_1\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\{j\}\_2~.$
총 각운동량 연산자는 다음과 같이 동일한 교환 관계를 만족함을 보일 수 있다.
:$$
[\mathrm{J}_k, \mathrm{J}_l] = i \hbar \varepsilon_{k l m} \mathrm{J}_m ~,

여기서 .

총 각운동량 연산자에 대한 일련의 결합 고유 상태도 존재한다.
:$$
\mathbf{J}^2 |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar^2 J (J + 1) |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

:$$
\mathrm{J_z} |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle = \hbar M |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle

. 부분은 생략한다.

총 각운동량 양자수 는 다음과 같은 삼각형 조건을 만족해야 한다.
:$$
|j_1 - j_2| \leq J \leq j_1 + j_2,

총 각운동량 고유 상태의 총 개수는 의 차원과 같다.
:$$
\sum_{J = |j_1 - j_2|}^{j_1 + j_2} (2 J + 1) = (2 j_1 + 1) (2 j_2 + 1) ~.

텐서 곱 표현은 $2J+1$ 차원의 각 기약 표현의 직접 합으로 분해되며, 여기서 $J$는 $|j\_1\; -\; j\_2|$에서 $j\_1\; +\; j\_2$까지 1씩 증가한다.

총 각운동량 상태는 의 정규 직교 기저를 형성한다.
:$$
\left\langle J\, M | J'\, M' \right\rangle = \delta_{J, J'}\delta_{M, M'}~.

6. 클렙슈-고르단 계수의 정의

양자역학에서 각운동량을 더할 때 클렙슈-고르단 계수가 사용된다. 두 입자가 주어진 각운동량을 가지면, 두 입자로 이루어진 전체 계의 상태는 두 입자의 개별적인 상태의 텐서곱이다. 전체 계의 각운동량은 일반적으로 여러 가능한 상태의 포갬이다. 각각의 가능한 각운동량 상태의 확률크기를 계산하려면, 각 입자의 각운동량 상태의 텐서곱을 전체 계의 각운동량 기약 표현으로 나누어야 한다. 이 과정에서 클렙슈-고르단 계수가 필요하다. 스핀은 리 군 Spin(3)의 표현이므로, 양자역학에서 쓰이는 클렙슈-고르단 계수는 주로 Spin(3)의 것이다. (Spin(3)은 SU(2)와 같은 리 군이다.)

결합 상태는 비결합 기저에서 완전 관계(항등식의 분해)를 통해 확장될 수 있다.

:$$
|J \, M\rangle =
\sum_{m_1 = -j_1}^{j_1} \sum_{m_2 = -j_2}^{j_2}
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M\rangle


확장 계수

:$$
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle


는 클렙슈-고르단 계수이다. 일부 저자는 $$와 같이 다른 순서로 표기하기도 하며, 또 다른 일반적인 표기법은
이다.

연산자

:$$
\begin{align}
\mathrm J&=\mathrm j \otimes 1+1\otimes\mathrm j \\
\mathrm J_{\mathrm z}&=\mathrm j_{\mathrm z}\otimes 1+1\otimes\mathrm j_{\mathrm z}
\end{align}


를 정의 방정식의 양쪽에 적용하면 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같은 경우에만 0이 아닌 값을 가질 수 있다.

:$$
\begin{align}
|j_1 - j_2| \leq J &\leq j_1 + j_2 \\
M &= m_1 + m_2.
\end{align}


전각 운동량의 고유 상태는 결합하지 않은 기저의 완전성 관계를 사용하여 전개할 수 있다.

:$$
|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
|j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle


이 전개 계수 $\backslash langle\; j\_1m\_1j\_2m\_2|JM\backslash rangle$를 클렙슈-고르단 계수라고 부른다.

연산자

:$$
\hat{\textrm{J}}_z = \textrm{j}_z \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_z


를 정의식의 양변에 작용시키면 클렙슈-고르단 계수는

:$$
M = m_1 + m_2.\,


일 때만 0이 아니다. 클렙슈-고르단 계수의 구체적인 형태와 수치는 클렙슈-고르단 계수의 표를 참조.

7. 클렙슈-고르단 계수의 계산

양자역학에서 각운동량을 더할 때 사용된다. 두 입자가 주어진 각운동량을 가지면, 두 입자로 이루어진 전체 계의 상태는 두 입자의 개별적인 상태의 텐서곱이다. 전체 계의 각운동량은 일반적으로 여러 가능한 상태의 포갬이다. 각각의 가능한 각운동량 상태의 확률크기를 계산하려면, 각 입자의 각운동량 상태의 텐서곱을 전체 계의 각운동량 기약 표현으로 나누어야 한다. 이 과정에서 클렙슈-고르단 계수가 필요하다. 스핀은 리 군 Spin(3)의 표현이므로, 양자역학에서 쓰이는 클렙슈-고르단 계수는 주로 Spin(3)의 것이다. (Spin(3)은 SU(2)와 같은 리 군이다.)

이 재귀 관계는 1941년 예루살렘의 히브리 대학교의 물리학자 줄리오 라카에 의해 발견되었다.

전체 각운동량 올림 및 내림 연산자
:$\backslash mathrm\; J\_\backslash pm\; =\; \backslash mathrm\; j\_\backslash pm\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash mathrm\; j\_\backslash pm$
을 정의 방정식의 좌변에 적용하면 다음을 얻는다.
:$$
\begin J_\pm |[j_1 \, j_2] \, J \, M\rangle
= \hbar C_\pm(J, M) |[j_1 \, j_2] \, J \, (M \pm 1)\rangle
= \hbar C_\pm(J, M)
\sum_{m_1, m_2}
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, (M \pm 1)\rangle

같은 연산자를 우변에 적용하면 다음을 얻는다.
:$$
\begin J_\pm \sum_{m_1, m_2}
|j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M\rangle
= \hbar \sum_{m_1, m_2} \Bigl(
C_\pm(j_1, m_1) |j_1 \, (m_1 \pm 1) \, j_2 \, m_2\rangle
+ C_\pm(j_2, m_2) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, (m_2 \pm 1)\rangle
\Bigr) \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M\rangle
= \hbar \sum_{m_1, m_2} |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2\rangle \Bigl(
C_\pm(j_1, m_1 \mp 1) \langle j_1 \, (m_1 \mp 1) \, j_2 \, m_2 | J \, M\rangle
+ C_\pm(j_2, m_2 \mp 1) \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, (m_2 \mp 1) | J \, M\rangle
\Bigr) .


이러한 결과를 결합하면 클렙슈-고르단 계수에 대한 재귀 관계를 얻을 수 있다.
:$$
C_\pm(J, M) \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, (M \pm 1)\rangle
= C_\pm(j_1, m_1 \mp 1) \langle j_1 \, (m_1 \mp 1) \, j_2 \, m_2 | J \, M\rangle
+ C_\pm(j_2, m_2 \mp 1) \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, (m_2 \mp 1) | J \, M\rangle.


$M\; =\; J$ 조건을 가진 상위 부호를 취하면 초기 재귀 관계를 얻는다.
:$$
0 = C_+(j_1, m_1 - 1) \langle j_1 \, (m_1 - 1) \, j_2 \, m_2 | J \, J\rangle
+ C_+(j_2, m_2 - 1) \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, (m_2 - 1) | J \, J\rangle.

콘돈-쇼틀리 위상 규칙에서 다음과 같은 제약을 추가한다.
:$\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; j\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; (J\; -\; j\_1)\; |\; J\; \backslash ,\; J\backslash rangle\; >\; 0$
(그리고 따라서 또한 실수이다).
클렙슈-고르단 계수 $\backslash langle\; j\_1\; m\_1\; j\_2\; m\_2\; |\; J\; M\backslash rangle$는 이러한 재귀 관계로부터 찾을 수 있다. 정규화는 상태 $|[j\_1\; j\_2]\; J\; J\backslash rangle$의 노름이 1이어야 한다는 요구 사항과 동일한 제곱의 합이 필요하다는 요구 사항에 의해 고정된다.

재귀 관계의 하위 부호는 $M\; =\; J\; -\; 1$을 가진 모든 클렙슈-고르단 계수를 찾는 데 사용될 수 있다. 이 방정식을 반복적으로 사용하면 모든 계수를 얻을 수 있다.

클렙슈-고르단 계수를 찾는 이 절차는 콘돈-쇼틀리 위상 규칙에서 이들이 모두 실수임을 보여준다.

클렙슈-고르단 계수의 명시적 표현과 수치표를 참조하십시오.

7.1. 재귀 관계

이 재귀 관계는 1941년 줄리오 라카에 의해 발견되었다.

전체 각운동량 올림 및 내림 연산자
:$\backslash hat\{\backslash textrm\{J\}\}\_\backslash pm\; =\; \backslash textrm\{j\}\_\backslash pm\; \backslash otimes\; 1\; +\; 1\; \backslash otimes\; \backslash textrm\{j\}\_\backslash pm$
를 정의 방정식의 양변에 적용하면 다음과 같은 클렙슈-고르단 계수에 대한 재귀 관계를 얻을 수 있다.

:$$
C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle
= C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
+ C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle

여기서
:$C\_\backslash pm\; (j,m)\; =\; \backslash sqrt\{\; j(j+1)\; -\; m(m\backslash pm\; 1)\; \}$
이다.

$C\_+$에 대해 $M=J$ 조건을 적용하면 초기 재귀 관계를 얻는다.

:$$
0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|J J\rangle
+ C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|J J\rangle


콘돈-쇼틀리 위상 규칙에서 계수 $\backslash langle\; j\_1\; j\_1\; j\_2\; J-j\_1|J\; J\backslash rangle$는 양의 실수이다.

규격화를 통해,

:$|(j\_1j\_2)JJ\backslash rangle$의 노름에 해당하는, 제곱의 합이 1이어야 한다는 조건을 사용한다.

$C\_-$는 $M=J-1$의 모든 클렙슈-고르단 계수를 찾는 데 사용되며, 이 식을 반복적으로 사용하여 모든 계수를 얻을 수 있다.

이러한 절차를 통해 클렙슈-고르단 계수가 모두 실수임을 알 수 있다.

7.2. 명시적 표현

클렙슈-고르단 계수의 구체적인 형태와 수치는 클렙슈-고르단 계수의 표를 참조하십시오.

7.3. 특수한 경우

J 0일 때, 클렙슈-고르단 계수는 다음과 같다.

:$$\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; 0\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle=\; \backslash delta\_\{j\_1,\; j\_2\}\; \backslash delta\_\{m\_1,\; -m\_2\}\; \backslash frac\{(-1)^\{j\_1\; -\; m\_1\}\}\{\backslash sqrt\{2\; j\_1\; +\; 1\}\}.$$

J j₁ + j₂이고 M J일 때, 다음이 성립한다.

:$$\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; j\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; j\_2\; |\; (j\_1\; +\; j\_2)\; \backslash ,\; (j\_1\; +\; j\_2)\; \backslash rangle\; =\; 1.$$

j₁ j₂ J / 2이고 m₁ −m₂일 때, 다음이 성립한다.

:$$\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; j\_1\; \backslash ,\; (-m\_1)\; |\; (2\; j\_1)\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle=\; \backslash frac\{(2\; j\_1)!^2\}\{(j\_1\; -\; m\_1)!\; (j\_1\; +\; m\_1)!\; \backslash sqrt\{(4\; j\_1)!\}\}.$$

j₁ j₂ m₁ −m₂일 때, 다음이 성립한다.

:$$\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; j\_1\; \backslash ,\; j\_1\; \backslash ,\; (-j\_1)\; |\; J\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle=\; (2\; j\_1)!\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2\; J\; +\; 1\}\{(J\; +\; 2\; j\_1\; +\; 1)!\; (2\; j\_1\; -\; J)!\}\}.$$

j₂ 1, m₂ 0일 때, 다음이 성립한다.

:

j₂ 1/2일 때, 다음이 성립한다.

:

8. 클렙슈-고르단 계수의 성질

양자역학에서 각운동량을 더할 때 사용된다. 두 입자가 주어진 각운동량을 가지면, 두 입자로 이루어진 전체 계의 상태는 두 입자의 개별적인 상태의 텐서곱이다. 전체 계의 각운동량은 일반적으로 여러 가능한 상태의 포갬이다. 각각의 가능한 각운동량 상태의 확률크기를 계산하려면, 각 입자의 각운동량 상태의 텐서곱을 전체 계의 각운동량 기약 표현으로 나누어야 한다. 이 과정에서 클렙슈-고르단 계수가 필요하다. 스핀은 리 군 Spin(3)의 표현이므로, 양자역학에서 쓰이는 클렙슈-고르단 계수는 주로 Spin(3)의 것이다. (Spin(3)은 SU(2)와 같은 리 군이다.)

이들은 다음과 같은 대안 표기법을 도입하여 가장 명확하게 작성된다.

:$\backslash langle\; J\; M|j\_1\; m\_1\; j\_2\; m\_2\backslash rangle\; \backslash equiv\; \backslash langle\; j\_1\; m\_1\; j\_2\; m\_2|J\; M\backslash rangle$

클렙슈-고르단 계수는 다음과 같은 직교 관계를 갖는다.

첫 번째 직교 관계는 다음과 같다.

:$$
\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle=
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
= \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}


이는 완전성 관계 $1\backslash equiv\; \backslash sum\_x\; |\; x\; \backslash rangle\backslash langle\; x|$를 사용하여 유도할 수 있다.

두 번째 직교 관계는 다음과 같다.

:$$
\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle
= \langle J M | J' M'\rangle
= \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}


클렙슈-고르단 계수는 더 편리한 대칭 관계를 갖는 비그너 3-j 기호와 관련이 있다. 비그너 3j-기호의 대칭성은 훨씬 더 간단하다.

:$$
\begin{align}
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle
&= (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_1 \, (-m_1) \, j_2 \, (-m_2) | J \, (-M)\rangle \\
&= (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_2 \, m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle \\
&= (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_2 + 1}} \langle j_1 \, m_1 \, J \, (-M)| j_2 \, (-m_2) \rangle \\
&= (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_1 + 1}} \langle J \, (-M) \, j_2 \, m_2| j_1 \, (-m_1) \rangle \\
&= (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_2 + 1}} \langle J \, M \, j_1 \, (-m_1) | j_2 \, m_2 \rangle \\
&= (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_1 + 1}} \langle j_2 \, (-m_2) \, J \, M | j_1 \, m_1 \rangle
\end{align}


이러한 관계를 유도하는 편리한 방법은 클렙슈-고르단 계수를 비그너 3j-기호로 변환하는 것이다. 양자수가 정수 또는 반정수가 될 수 있으므로, 위상 인자를 간단하게 할 때는 주의가 필요하다. 예를 들어 $(-1)^\{2j\}$는 정수 $j$에 대해 1과 같고, 반정수 $j$에 대해 -1과 같다. 그러나 다음 관계는 어느 경우에나 유효하다.

:$$
(-1)^{4j} = (-1)^{2(j-m)} = 1 \


같은 클렙슈-고르단 계수에 나타나는 $j\_1$, $j\_2,$, $J$에서는

:$$
(-1)^{2(j_1+j_2+J)} = (-1)^{2(m_1+m_2+M)} = 1

8.1. 직교 관계

클렙슈-고르단 계수는 다음과 같은 직교 관계를 갖는다.

:$\backslash langle\; J\; M|j\_1\; m\_1\; j\_2\; m\_2\backslash rangle\; \backslash equiv\; \backslash langle\; j\_1\; m\_1\; j\_2\; m\_2|J\; M\backslash rangle$

와 같은 표기법을 사용하면 직교 관계를 간결하게 표현할 수 있다.

첫 번째 직교 관계는 다음과 같다.

:$$
\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle=
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
= \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}


이는 완전성 관계 $1\backslash equiv\; \backslash sum\_x\; |\; x\; \backslash rangle\backslash langle\; x|$를 사용하여 유도할 수 있다.

두 번째 직교 관계는 다음과 같다.

:$$
\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle
= \langle J M | J' M'\rangle
= \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}

8.2. 대칭성

클렙슈-고르단 계수는 더 편리한 대칭 관계를 갖는 비그너 3-j 기호와 관련이 있다. 비그너 3j-기호의 대칭성은 훨씬 더 간단하다.
:$$
\begin{align}
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle
&= (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_1 \, (-m_1) \, j_2 \, (-m_2) | J \, (-M)\rangle \\
&= (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_2 \, m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle \\
&= (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_2 + 1}} \langle j_1 \, m_1 \, J \, (-M)| j_2 \, (-m_2) \rangle \\
&= (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_1 + 1}} \langle J \, (-M) \, j_2 \, m_2| j_1 \, (-m_1) \rangle \\
&= (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_2 + 1}} \langle J \, M \, j_1 \, (-m_1) | j_2 \, m_2 \rangle \\
&= (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J + 1}{2 j_1 + 1}} \langle j_2 \, (-m_2) \, J \, M | j_1 \, m_1 \rangle
\end{align}

이러한 관계를 유도하는 편리한 방법은 클렙슈-고르단 계수를 비그너 3j-기호로 변환하는 것이다. 양자수가 정수 또는 반정수가 될 수 있으므로, 위상 인자를 간단하게 할 때는 주의가 필요하다. 예를 들어 $(-1)^\{2j\}$는 정수 $j$에 대해 1과 같고, 반정수 $j$에 대해 -1과 같다. 그러나 다음 관계는 어느 경우에나 유효하다.
:$$
(-1)^{4j} = (-1)^{2(j-m)} = 1 \

같은 클렙슈-고르단 계수에 나타나는 $j\_1$, $j\_2,$, $J$에서는
:$$
(-1)^{2(j_1+j_2+J)} = (-1)^{2(m_1+m_2+M)} = 1

9. 클렙슈-고르단 계수의 응용

양자역학에서 각운동량을 더할 때 사용된다. 두 입자가 주어진 각운동량을 가지면, 두 입자로 이루어진 전체 계의 상태는 두 입자의 개별적인 상태의 텐서곱이다. 전체 계의 각운동량은 일반적으로 여러 가능한 상태의 포갬이다. 각각의 가능한 각운동량 상태의 확률크기를 계산하려면, 각 입자의 각운동량 상태의 텐서곱을 전체 계의 각운동량 기약 표현으로 나누어야 한다. 이 과정에서 클렙슈-고르단 계수가 필요하다. 스핀은 리 군 Spin(3)의 표현이므로, 양자역학에서 쓰이는 클렙슈-고르단 계수는 주로 Spin(3)의 것이다. (Spin(3)은 SU(2)와 같은 리 군이다.)

비그너 D-행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.
:$$$$
\begin{align}
&\int_0^{2 \pi} d \alpha \int_0^\pi \sin \beta \, d\beta \int_0^{2 \pi} d \gamma \,
D^J_{M, K}(\alpha, \beta, \gamma)^*
D^{j_1}_{m_1, k_1}(\alpha, \beta, \gamma)
D^{j_2}_{m_2, k_2}(\alpha, \beta, \gamma) \\
{}={} &\frac{8 \pi^2}{2 J + 1}
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle
\langle j_1 \, k_1 \, j_2 \, k_2 | J \, K \rangle
\end{align}

:$$
\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma
D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma)
= \frac{8\pi^2}{2J+1} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle
여기서 $\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; J\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle$ 과 $\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; k\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; k\_2\; |\; J\; \backslash ,\; K\; \backslash rangle$는 클렙슈-고르단 계수이다.

정수가 관련된 경우, 클렙슈-고르단 계수는 구면 조화 함수의 적분과 관련될 수 있다.
:$$\backslash int\_\{4\; \backslash pi\}\; Y\_\{\backslash ell\_1\}^\{m\_1\}\{\}^*(\backslash Omega)\; Y\_\{\backslash ell\_2\}^\{m\_2\}\{\}^*(\backslash Omega)\; Y\_L^M\; (\backslash Omega)\; \backslash ,\; d\; \backslash Omega\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\; \backslash ell\_1\; +\; 1)\; (2\; \backslash ell\_2\; +\; 1)\}\{4\; \backslash pi\; (2\; L\; +\; 1)\}\}\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; 0\; |\; L\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; L\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle$$
이 식과 구면 조화 함수의 직교성으로부터, 클렙슈-고르단 계수는 실제로 두 구면 조화 함수의 곱을 단일 구면 조화 함수로 전개한 계수임을 알 수 있다.
:$$Y\_\{\backslash ell\_1\}^\{m\_1\}(\backslash Omega)\; Y\_\{\backslash ell\_2\}^\{m\_2\}(\backslash Omega)\; =\; \backslash sum\_\{L,\; M\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\; \backslash ell\_1\; +\; 1)\; (2\; \backslash ell\_2\; +\; 1)\}\{4\; \backslash pi\; (2\; L\; +\; 1)\}\}\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; 0\; |\; L\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; L\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle\; Y\_L^M\; (\backslash Omega)$$

임의의 군과 그 표현에 대해 클렙슈-고르단 계수는 일반적으로 알려져 있지 않다. 그러나 특수 유니타리 군 SU(n)에 대한 클렙슈-고르단 계수를 생성하는 알고리즘은 알려져 있다. 특히, SU(3) 클렙슈-고르단 계수는 맛깔-SU(3) 대칭이 존재하여 위, 아래, 기묘 쿼크를 관련시키는 강입자 붕괴를 특징짓는 데 유용하기 때문에 계산되고 표로 정리되었다. SU(N) 클렙슈-고르단 계수를 표로 정리하기 위한 [http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Papers/ClebschGordan/ 웹 인터페이스]를 쉽게 이용할 수 있다.

9.1. 비그너 D-행렬과의 관계

비그너 D-행렬은 다음과 같은 성질을 갖는다.
:$$$$
\begin{align}
&\int_0^{2 \pi} d \alpha \int_0^\pi \sin \beta \, d\beta \int_0^{2 \pi} d \gamma \,
D^J_{M, K}(\alpha, \beta, \gamma)^*
D^{j_1}_{m_1, k_1}(\alpha, \beta, \gamma)
D^{j_2}_{m_2, k_2}(\alpha, \beta, \gamma) \\
{}={} &\frac{8 \pi^2}{2 J + 1}
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle
\langle j_1 \, k_1 \, j_2 \, k_2 | J \, K \rangle
\end{align}

:$$
\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma
D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma)
= \frac{8\pi^2}{2J+1} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle
여기서 $\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; J\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle$ 과 $\backslash langle\; j\_1\; \backslash ,\; k\_1\; \backslash ,\; j\_2\; \backslash ,\; k\_2\; |\; J\; \backslash ,\; K\; \backslash rangle$는 클렙슈-고르단 계수이다.

9.2. 구면 조화 함수와의 관계

정수가 관련된 경우, 클렙슈-고르단 계수는 구면 조화 함수의 적분과 관련될 수 있다.
:$$\backslash int\_\{4\; \backslash pi\}\; Y\_\{\backslash ell\_1\}^\{m\_1\}\{\}^*(\backslash Omega)\; Y\_\{\backslash ell\_2\}^\{m\_2\}\{\}^*(\backslash Omega)\; Y\_L^M\; (\backslash Omega)\; \backslash ,\; d\; \backslash Omega\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\; \backslash ell\_1\; +\; 1)\; (2\; \backslash ell\_2\; +\; 1)\}\{4\; \backslash pi\; (2\; L\; +\; 1)\}\}\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; 0\; |\; L\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; L\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle$$
이 식과 구면 조화 함수의 직교성으로부터, 클렙슈-고르단 계수는 실제로 두 구면 조화 함수의 곱을 단일 구면 조화 함수로 전개한 계수임을 알 수 있다.
:$$Y\_\{\backslash ell\_1\}^\{m\_1\}(\backslash Omega)\; Y\_\{\backslash ell\_2\}^\{m\_2\}(\backslash Omega)\; =\; \backslash sum\_\{L,\; M\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(2\; \backslash ell\_1\; +\; 1)\; (2\; \backslash ell\_2\; +\; 1)\}\{4\; \backslash pi\; (2\; L\; +\; 1)\}\}\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; 0\; |\; L\; \backslash ,\; 0\; \backslash rangle\; \backslash langle\; \backslash ell\_1\; \backslash ,\; m\_1\; \backslash ,\; \backslash ell\_2\; \backslash ,\; m\_2\; |\; L\; \backslash ,\; M\; \backslash rangle\; Y\_L^M\; (\backslash Omega)$$

9.3. SU(N) 클렙슈-고르단 계수

임의의 군과 그 표현에 대해 클렙슈-고르단 계수는 일반적으로 알려져 있지 않다. 그러나 특수 유니타리 군 SU(n)에 대한 클렙슈-고르단 계수를 생성하는 알고리즘은 알려져 있다. 특히, SU(3) 클렙슈-고르단 계수는 맛깔-SU(3) 대칭이 존재하여 위, 아래, 기묘 쿼크를 관련시키는 강입자 붕괴를 특징짓는 데 유용하기 때문에 계산되고 표로 정리되었다. SU(N) 클렙슈-고르단 계수를 표로 정리하기 위한 [http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Papers/ClebschGordan/ 웹 인터페이스]를 쉽게 이용할 수 있다.

10. 한국 물리학에서의 클렙슈-고르단 계수