항성 핵합성

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1. 개요
2. 역사
3. 주요 반응 목록
4. 태양에서의 원소 합성
5. 이론
- 5.1. 항성 진화와 원소 합성
- 5.2. 반응률
참조

1. 개요

항성 핵합성은 별 내부에서 일어나는 핵융합 과정을 통해 가벼운 원소들이 더 무거운 원소로 변환되는 현상을 말한다. 1920년 아서 에딩턴은 수소 핵융합으로 헬륨을 생성하고 더 무거운 원소들이 별에서 만들어질 수 있다는 가능성을 제기하며 핵합성에 대한 아이디어를 제시했다. 이후 조지 가모프는 핵융합 반응 확률을 나타내는 가모프 인자를 유도했고, 한스 베테는 수소 융합 반응의 두 가지 주요 과정인 양성자-양성자 연쇄 반응과 CNO 순환을 제시했다. 프레드 호일은 탄소에서 철까지의 원소 합성을 설명하는 이론을 발표했으며, 마거릿 버비지, 제프리 버비지, 윌리엄 파울러, 프레드 호일은 별에서의 원소 합성(B2FH 논문)을 통해 관측된 원소의 상대적 풍부함을 설명했다. 앨러스테어 G. W. 캐머런과 도널드 D. 클레이턴은 핵합성 연구에 컴퓨터를 도입하여 시간 종속 계산을 수행하고, S-과정과 R-과정 등 중원소 생성 과정을 구체적으로 연구했다. 항성 핵합성은 수소 핵융합, 헬륨 핵융합, 무거운 원소 핵융합, 철보다 무거운 원소 생성 과정을 포함하며, 별의 진화와 함께 다양한 원소들을 생성하는 중요한 과정이다.

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항성 핵합성
개요
유형	별 내부의 원소 생성 과정
관련 분야	천체물리학, 핵물리학
주요 과정	양성자-양성자 연쇄 반응, CNO 순환, 삼중 알파 과정
상세 정보
에너지 생성률	별 내부 온도 에 크게 의존적임.
주요 반응 경로	양성자-양성자 연쇄 반응 (PP) CNO 순환 삼중 알파 과정
설명
개요	별 내부에서 핵융합 반응을 통해 더 무거운 원소가 생성되는 과정임.
에너지 생성	별 내부 온도가 높을수록 에너지 생성률이 급격히 증가함.
주요 기여	양성자-양성자 연쇄 반응: 태양 질량 정도의 별에서 주요 에너지원임. CNO 순환: 더 무거운 별에서 주요 에너지원임. 삼중 알파 과정: 헬륨 연소 단계에서 탄소를 생성하는 과정임.
관련 정보
수소 연소	양성자-양성자 연쇄 반응과 CNO 순환을 통해 수소가 헬륨으로 변환됨.
헬륨 연소	삼중 알파 과정을 통해 헬륨이 탄소로 변환됨.
무거운 원소 합성	질량수 범위의 원소들은 별 내부에서 합성됨.
초기 연구	프레드 호일을 비롯한 여러 과학자들이 항성 핵합성 이론 발전에 기여함.
참고 문헌
주요 논문	Hoyle, F. (1954). On Nuclear Reactions Occurring in Very Hot STARS. I. The Synthesis of Elements from Carbon to Nickel. The Astrophysical Journal Supplement Series, 1, 121. Burbidge, E. M., Burbidge, G. R., Fowler, W. A., & Hoyle, F. (1957). Synthesis of the Elements in Stars. Reviews of Modern Physics, 29(4), 547–650.
기타 참고 자료	Suess, H. E., & Urey, H. C. (1956). Abundances of the Elements. Reviews of Modern Physics, 28(1), 53–74. Clayton, D. D. (1968). Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis. University of Chicago Press.

2. 역사

1920년 아서 에딩턴은 프랜시스 윌리엄 애스턴의 정밀한 원자 측정에 근거하여, 항성의 에너지가 수소가 헬륨으로 핵융합 하는 것으로부터 기인한다고 처음으로 추측하였다. 1928년 조지 가모프는 가모프 인자를 유도하였는데, 이는 두 원자핵이 강한 상호작용을 통해 쿨롱 장벽을 극복하고 가까워질 수 있는 확률을 나타내는 양자역학 식이다. 로버트 앳킨슨, 프리츠 하우테르만스, 가모프, 에드워드 텔러는 가모프 인자를 이용하여 항성 내부 온도에서 일어나는 핵 반응률을 유도하였다.

1939년 한스 베테는 논문 "항성에서의 에너지 생성"(Energy Production in Stars)에서 수소가 헬륨으로 핵융합하는 여러 가능성을 분석하였다. 베테는 항성 에너지원으로 양성자-양성자 연쇄와 CNO 순환 두 가지 과정을 제시하였다. 양성자-양성자 연쇄는 태양 정도 질량을 가진 항성의 주요 에너지원이며, CNO 순환은 1938년 카를 프리드리히 폰 바이츠제커가 설명한 과정으로, 보다 질량이 큰 항성에서 중요하다.

이후, 마거릿 버비지, 제프리 버비지, 윌리엄 파울러, 프레드 호일은 B2FH 논문을 발표하여 이전 연구들을 종합하고 관측된 우주의 원소 비율을 설명하였다. 앨러스테어 G. W. 캐머런과 도널드 D. 클레이턴은 핵 시스템 진화에 대한 시간 종속 계산에 컴퓨터를 도입하는 등 항성 핵합성 이론을 더욱 발전시켰다.

1920년, 아서 에딩턴은 별이 수소의 헬륨 핵융합을 통해 에너지를 얻고, 더 무거운 원소들이 별에서 생성될 가능성을 제기했다.

2. 1. 초기 연구 (1920년대 ~ 1930년대)

1920년 아서 에딩턴은 프랜시스 윌리엄 애스턴의 정밀한 원자 측정과 장 페랭의 예비 제안을 바탕으로, 항성의 에너지가 수소의 핵융합을 통해 헬륨을 생성하는 과정에서 기인한다고 처음으로 추측하였다. 1928년 조지 가모프는 가모프 인자라고 불리는 양자역학 식을 유도하였는데, 이는 두 원자핵이 쿨롱 장벽을 극복하고 충분히 가까워져 강력 핵력에 의해 핵융합을 일으킬 확률을 나타낸다. 이후 로버트 앳킨슨, 프리츠 하우테르만스 등은 가모프 인자를 이용하여 항성 내부 온도에서 일어나는 핵 반응률을 유도해 내었다.^[8]

2. 2. 베테와 바이츠제커의 연구 (1930년대 후반)

1939년 한스 베테는 "항성에서의 에너지 생성"(Energy Production in Stars)이라는 논문에서 수소가 헬륨으로 핵융합하는 여러 방식에 대해 분석하였다.^[9] 베테는 항성 에너지원으로 생각되는 두 가지 과정을 제시하였다. 첫 번째 과정은 양성자-양성자 연쇄로, 태양 정도 질량을 가진 항성에서 주로 나타나는 에너지원이다. 두 번째 과정은 CNO 순환으로, 1938년 카를 프리드리히 폰 바이츠제커가 독자적으로 연구하였으며,^[10] 보다 질량이 큰 항성에서 더 중요한 과정이다.

2. 3. 호일과 B²FH 논문 (1940년대 ~ 1950년대)

1946년 프레드 호일은 매우 뜨거운 핵의 집합이 열역학적으로 철로 조합될 것이라는 이론을 제시하며, 무거운 원소 생성 이론의 기초를 닦았다.^[12] 1954년 호일은 질량이 큰 별 내에서 탄소에서 철까지의 원소가 합성되는 과정을 설명하는 논문을 발표했다.^[1]^[13]

1957년 마거릿 버비지, 제프리 버비지, 윌리엄 파울러, 프레드 호일은 "별에서의 원소의 합성"(B2FH 논문)을 발표하여,^[2] 이전 연구들을 종합하고 관측된 우주의 원소 비율을 설명했다. 이 논문은 널리 인용되었지만, 중성자 포획에 의한 철보다 무거운 원소의 핵합성을 이해하는 것을 제외하고는 호일의 1954년 연구를 크게 확장하지는 않았다.

앨러스테어 G. W. 캐머런과 도널드 D. 클레이턴은 호일의 연구를 참고하여 핵합성에 대한 독자적인 접근 방식을 제시하고, 핵 시스템의 진화에 대한 시간 종속 계산에 컴퓨터를 도입하는 등 상당한 개선을 이루어냈다. 클레이턴은 S-과정과 R-과정에 대한 첫 번째 시간 종속 모델을 계산하고, 방사성 연대기를 발견하는 등 중요한 업적을 남겼다.

2. 4. 추가 연구 (1960년대 이후)

앨러스테어 G. W. 캐머런과 도널드 D. 클레이턴은 B2FH 논문을 보완하고 중원소 생성 과정을 구체적으로 연구했다. 1957년 캐머런은 핵합성에 대한 독자적인 접근 방식을 제시하고, 핵 시스템 진화의 시간 종속 계산에 컴퓨터를 도입했다.^[14] 클레이턴은 S-과정(1961년)^[15]과 R-과정(1965년)에 대한 최초의 시간 종속 모델을 계산했으며,^[16] 1968년에는 풍부한 알파 입자 핵과 철족 원소로의 실리콘 연소 모델을 계산하고,^[17]^[18] 원소 연대 측정을 위한 방사성 연대기를 발견했다.^[19] 1970년대에 이 연구 분야는 급속히 확장되었다.

3. 주요 반응 목록

항성 핵합성에서 일어나는 주요 반응은 다음과 같다:

3. 1. 수소 핵융합

주계열성의 중심부에서 에너지를 생성하는 주된 과정은 수소 융합(4개의 양성자가 헬륨-4 핵을 형성하는 핵융합^[35])이다. 항성 수소 융합에는 양성자-양성자 연쇄 반응과 탄소-질소-산소(CNO) 순환의 두 가지 주요 과정이 있다.^[20] 백색 왜성을 제외한 모든 별의 90%는 이 두 가지 과정을 통해 수소를 융합한다.

태양과 같은 질량이 낮은 주계열성에서는 양성자-양성자 연쇄 반응이 지배적인 에너지 생성 과정이다. 이 반응은 두 개의 양성자가 융합하여 중수소 핵(양성자 1개와 중성자 1개)을 형성하고, 헬륨-4 핵을 생성한다.^[36] 양성자-양성자 연쇄 반응은 온도에 비교적 둔감하며, 온도가 10% 상승하면 에너지 생산량이 46% 증가한다.^[42]

질량이 더 큰 별에서는 CNO 순환이 지배적인 에너지 생성 과정이다. CNO 순환은 탄소, 질소, 산소 핵을 중간체로 사용하여 헬륨 핵을 생성하는 촉매 사이클이다.^[36] CNO 순환은 온도에 매우 민감하며, 온도가 10% 상승하면 에너지 생산량이 350% 증가한다. CNO 순환 에너지 생성의 약 90%는 별 질량의 내부 15% 내에서 발생한다.^[41]

별에서 지배적인 수소 융합 과정의 유형은 두 반응 간의 온도 의존성 차이에 의해 결정된다. 양성자-양성자 연쇄 반응은 약 의 온도에서 시작^[37]하므로 작은 별에서 주로 일어난다. CNO 순환은 약 이상의 더 높은 온도를 필요로 하지만, 온도가 상승함에 따라 양성자-양성자 반응보다 효율이 더 빠르게 증가한다.^[38] 약 이상에서는 CNO 순환이 에너지의 주된 원천이 된다. 이 온도는 태양 질량의 최소 1.3배인 주계열성의 중심부에서 달성된다.^[34]

인류는 오랫동안 태양이 어떻게 그렇게 많은 에너지를 계속 생산할 수 있는지에 대해 의문을 가졌는데, 20세기 초에 열핵융합이 엄청난 에너지를 생성한다는 것이 밝혀지면서, 이것이 태양의 에너지원이라는 것이 알려졌다. 핵융합은 여러 개의 원자핵이 합쳐지는 핵반응으로, 현재 태양의 경우, 가장 큰 에너지원은 경수소에서 헬륨-4로의 핵융합이다. 참고로 수소는 최소 300만 K의 온도에서 핵융합을 시작하며, 상당한 고압도 요구되므로 태양 표면 근처에서는 핵융합이 일어날 수 없고, 태양의 중심부에서 핵반응이 일어난다. 핵융합을 통해 현재 태양은 막대한 열과 빛을 생성하고 있는데, 동시에 헬륨을 합성하는 일종의 항성 내부 원소 합성이 일어나고 있다.

3. 2. 헬륨 핵융합

헬륨 핵융합에는 삼중 알파 과정과 알파 반응이 있다.^[25]

주계열성은 수소 핵융합의 결과로 핵에 헬륨을 축적하지만, 핵은 헬륨 핵융합을 시작할 만큼 충분히 뜨거워지지 않는다. 헬륨 핵융합은 별이 핵에 점화할 만큼 충분한 헬륨을 축적한 후 적색 거성 가지를 떠날 때 처음 시작된다. 태양 질량 정도의 별에서는, 퇴화된 헬륨 핵으로부터의 헬륨 섬광과 함께 적색 거성 가지의 끝에서 시작되며, 별은 핵에서 헬륨을 태우는 수평 가지로 이동한다. 더 질량이 큰 별들은 섬광 없이 핵에서 헬륨을 점화하고 점근 거성 가지에 도달하기 전에 청색 루프를 실행한다. 청색 루프의 중요한 결과는 은하수와 인근 은하의 거리를 결정하는 데 중심적인 역할을 하는 고전적인 세페이드 변광성을 발생시킨다는 것이다.^[25] 이들은 핵이 주로 탄소와 산소가 될 때까지 헬륨을 융합한다. 가장 질량이 큰 별들은 주계열성을 떠날 때 초거성이 되고, 적색 초거성이 되면서 빠르게 헬륨 핵융합을 시작한다. 별의 핵에서 헬륨이 고갈된 후, 헬륨 핵융합은 탄소-산소 핵 주위의 껍질에서 계속될 것이다.^[35]^[39]

모든 경우에서, 헬륨은 삼중 알파 과정을 통해 탄소로 융합된다. 즉, 세 개의 헬륨 핵이 ⁸Be를 거쳐 탄소로 변환된다.^[26] 이것은 알파 과정을 통해 산소, 네온 및 더 무거운 원소를 형성할 수 있다. 이러한 방식으로 알파 과정은 헬륨 핵 포획에 의해 짝수 개의 양성자를 가진 원소를 우선적으로 생성한다. 홀수 개의 양성자를 가진 원소는 다른 융합 경로에 의해 형성된다.^[27]

성간 가스에 외부 요인이 더해져 밀도가 높은 부분이 생기면, 이 부분은 중력이 강해지고, 그 중력에 의해 주변의 물질을 모아들인다. 물질이 모여 압력이 높아짐에 따라 온도가 높아지고, 중심의 물질이 쿨롱 장벽 (원자핵에 포함된 양성자가 가진 양전하가 반발하는 힘)을 넘어 근접하게 되면 최초의 핵융합이 시작된다. 경수소를 헬륨으로 융합하는 핵융합이 가능할 정도의 고온 고압이 실현되면, 핵융합은 안정된다. 이후, 서서히 반응이 진행되어 헬륨이 쌓이게 되면, 헬륨끼리의 핵융합이 시작된다. 이때 헬륨-4끼리의 합성을 통해 베릴륨-8까지의 원소를 합성하지만, 베릴륨-8은 안정 동위원소가 아니기 때문에 헬륨-4 두 개로 붕괴되어, 그 이상의 질량의 원소를 합성할 수 없다.

항성이 충분한 질량을 가지고 있으면, 베릴륨-8이 붕괴되기 전에 헬륨-4가 더 융합됨으로써 탄소-12가 합성된다 (자세한 내용은 "삼중 알파 과정"을 참조). 탄소-12는 안정 동위원소이기 때문에, 항성은 헬륨을 탄소-12로 합성한다. 이때 항성이 태양의 8배 이상의 충분한 질량을 가지면, 더욱 탄소-12와 헬륨-4의 합성으로 산소-16이 생성된다.

3. 3. 무거운 원소 핵융합

탄소 연소 과정, 네온 연소 과정, 산소 연소 과정, 규소 연소 과정은 별 내부에서 헬륨보다 무거운 원소들이 핵융합을 통해 더 무거운 원소로 바뀌는 과정이다. 이 과정들은 매우 높은 온도와 압력에서 일어나며, 주로 무거운 별에서 진행된다.^[1]

탄소 연소 과정: 탄소 원자핵끼리 융합하여 네온, 나트륨, 마그네슘 등을 생성한다.
네온 연소 과정: 네온 원자핵이 붕괴하고 재결합하는 과정을 통해 산소, 마그네슘 등을 생성한다.
산소 연소 과정: 산소 원자핵끼리 융합하여 규소, 황, 인, 마그네슘 등을 생성한다.
규소 연소 과정: 규소 원자핵이 붕괴하고 재결합하는 복잡한 과정을 통해 철까지의 다양한 원소들을 생성한다. 이 과정은 별의 중심핵에서 일어나며, 철보다 무거운 원소는 주로 초신성 폭발과 같은 격렬한 현상에서 생성된다.^[1]

3. 4. 철보다 무거운 원소 생성

철보다 무거운 원소들은 주로 중성자 포획, 양성자 포획, 광붕괴와 같은 과정을 통해 만들어진다.^[1]

중성자 포획: 원자핵이 중성자를 흡수하여 더 무거운 원소가 되는 과정이다.
R-과정(빠른 중성자 포획 과정): 초신성 폭발과 같이 중성자가 매우 풍부한 환경에서 빠르게 일어나는 중성자 포획 과정이다.
S-과정(느린 중성자 포획 과정): 별 내부에서 비교적 느리게 일어나는 중성자 포획 과정이다.

양성자 포획: 원자핵이 양성자를 흡수하여 더 무거운 원소가 되는 과정이다.
Rp-과정(빠른 양성자 포획 과정): R-과정과 마찬가지로 중성자가 매우 풍부한 환경에서 매우 빠르게 일어나는 과정이다.

광붕괴: 높은 에너지의 감마선이 원자핵과 충돌하여 원자핵이 쪼개지는 과정이다.
P-과정: 광붕괴를 통해 일부 희귀한 중원소가 생성된다.^[1]

4. 태양에서의 원소 합성

인류는 오랫동안 태양이 어떻게 그렇게 많은 에너지를 계속 생산할 수 있는지에 대해 의문을 가졌다. 만약 화석 연료 등을 태우는 것이라면 태양은 이미 타버렸을 것이다. 그러나 20세기 초에 열핵융합이 엄청난 에너지를 생성한다는 것이 밝혀졌고, 이것이 태양의 에너지원이며, 태양이 아직 타버리지 않은 이유라는 것이 이해되었다. 핵융합은 여러 개의 원자핵이 합쳐지는 핵반응으로, 이 반응의 결과로 합쳐지기 전의 원소와는 전혀 다른 원소가 생성된다. 현재 태양의 경우, 가장 큰 에너지원은 경수소에서 헬륨-4로의 핵융합 (반응 과정에서 중수소나 헬륨-3가 생성되지만, 최종적으로 헬륨-4가 되어 반응이 끝나는 핵융합)이다. 참고로 수소는 최소 300만 K의 온도에서 핵융합을 시작한다.^[37] 또한 상당한 고압도 요구되므로 태양 표면 근처에서는 핵융합이 일어날 수 없다. 이 핵반응은 태양의 중심부에서 일어나고 있다. 핵융합을 통해 현재 태양은 막대한 열과 빛을 생성하고 있는데, 동시에 헬륨을 합성하는 일종의 항성 내부 원소 합성이 일어나고 있다.

5. 이론

인류는 오랫동안 태양이 어떻게 많은 에너지를 계속 생산할 수 있는지 궁금해했다. 20세기 초, 열핵융합이 엄청난 에너지를 생성한다는 것이 밝혀지면서, 이것이 태양의 에너지원이라는 것을 알게 되었다. 핵융합은 여러 원자핵이 합쳐지는 핵반응으로, 합쳐지기 전의 원소와는 전혀 다른 원소가 생성된다. 현재 태양의 가장 큰 에너지원은 경수소에서 헬륨-4로의 핵융합이다. 수소는 최소 300만 K의 온도와 상당한 고압에서 핵융합을 시작하며, 이 핵반응은 태양 중심부에서 일어난다. 이를 통해 태양은 막대한 열과 빛을 생성하고, 헬륨을 합성하는 항성 내부 원소 합성이 일어난다.

성간 가스에 외부 요인이 더해져 밀도가 높은 부분이 생기면, 이 부분은 중력이 강해져 주변 물질을 모은다. 물질이 모여 압력이 높아짐에 따라 온도가 높아지고, 중심 물질이 쿨롱 장벽(원자핵의 양성자가 가진 양전하 반발력)을 넘어 근접하면 최초의 핵융합이 시작된다. 이때 중수소에 의한 핵융합이 발생하지만, 중수소 존재량이 적어 곧 멈춘다. 그러나 경수소를 헬륨으로 융합하는 핵융합이 가능할 정도의 고온 고압이 실현되면, 핵융합은 안정된다. 이 시기가 항성에게 가장 길며, 이 반응이 진행되는 항성은 주계열성이라 불린다. 이후 서서히 반응이 진행되어 헬륨이 쌓이면, 헬륨끼리의 핵융합이 시작된다. 이때 헬륨-4끼리의 합성을 통해 베릴륨-8까지의 원소를 합성하지만, 베릴륨-8은 안정 동위원소가 아니기 때문에 헬륨-4 두 개로 붕괴되어, 그 이상의 질량 원소를 합성할 수 없다.

5. 1. 항성 진화와 원소 합성

항성이 진화하면서 중심핵의 온도와 밀도가 높아짐에 따라 다양한 핵융합 반응이 순차적으로 일어난다. 가벼운 항성은 수소 연소 이후 헬륨 연소 단계에서 탄소 정도까지만 합성하고 백색 왜성으로 생을 마감한다.

태양 정도 크기의 별은 적색 거성이 된 후 탄소 합성 정도에서 핵융합을 멈추고 백색 왜성이 된다. 무거운 항성은 탄소, 산소, 규소 연소를 거쳐 철까지 합성하고, 초신성 폭발을 일으키며 철보다 무거운 원소들을 우주 공간으로 방출한다.

핵융합에 의해 수소로부터 헬륨이 생성되면, 무거운 헬륨은 별의 중심을 향해 항성의 핵이 된다. 수소는 외각부에서 핵융합을 계속하며, 수소의 대부분이 소모되면 항성은 핵융합을 지속하기 어려워진다. 이때, 항성이 충분한 질량을 가지지 못하면 핵융합은 종료된다.

반면, 충분한 질량을 가진 항성은 원소 합성 반응이 계속 진행된다. 베릴륨-8이 붕괴되기 전에 헬륨-4가 더 융합되어 탄소-12가 합성된다. 탄소-12는 안정 동위원소이므로, 항성은 헬륨을 탄소-12로 합성한다. 태양의 8배 이상의 질량을 가진 항성은 탄소-12와 헬륨-4의 합성으로 산소-16이 생성된다. 더 무거운 항성은 산소-16끼리의 합성으로 규소-28과 헬륨-4가 발생한다.

이후에도 항성은 계속 연소하며, 발생한 원소가 항성의 중심에 침전되어 핵융합을 계속한다. 그러나 핵융합에 필요한 고온 고압을 공급할 수 없게 되면 핵융합은 멈추고, 항성으로서의 원소 합성은 종료된다.

규소와 철은 원자핵이 매우 안정되어 있어, 핵융합 반응이 더 이상 진행되지 않는다. 따라서 대질량 항성에서도 열핵융합에 의한 원소 합성은 철에서 종료된다.

항성의 원소 합성이 종료되면 항성의 핵은 중력 붕괴를 일으킨다. 태양의 8배 정도까지의 항성은 외각을 잃고 핵만 남아 백색 왜성이 된다. 태양의 8배 이상의 질량이 있는 경우, 항성은 압축을 견디지 못하고 초신성 폭발을 일으킨다. 초신성 폭발 과정에서는 중성자 포획 등을 통해 철보다 무거운 원소들이 합성된다. (초신성 핵합성)^[2] 태양보다 30배 이상 무거운 항성은 중력 붕괴 중에 특이점이 발생하여 블랙홀이 된다.

적색 왜성과 같은 가벼운 항성은 수소 연소만으로 수명을 다한다. 핵융합은 매우 완만하게 진행되며, 최종적으로 수소를 연소하고 나면 더 이상의 핵융합을 수행하지 않고 무거운 원소를 합성하지 않는다.

5. 2. 반응률

종(species) ''A''와 ''B'' 사이의 반응 속도 밀도는 각각의 입자 밀도가 ''n''_''A'',''B''일 때 다음과 같이 주어진다.

:

r = n_A \, n_B \, k

여기서 ''k''는 핵융합 과정을 구성하는 각 단일 기본 이원 반응의 반응 속도 상수이다.

:

k = \langle \sigma(v)\,v \rangle

여기서, ''σ''(''v'')는 상대 속도 ''v''에서의 단면적이며, 모든 속도에 대해 평균을 구한다.

반고전적으로, 단면적은

\pi\,\lambda^2

에 비례하며, 여기서

\lambda = h/p

는 드브로이 파장이다. 따라서 반고전적으로 단면적은

\frac{m}{E}

에 비례한다.

그러나 반응에는 양자 터널링이 수반되므로, 가모우 인자 ''E''_G에 따라 저에너지에서 지수 감쇠가 발생하여 아레니우스 방정식이 나타난다.

:

\sigma(E) = \frac{S(E)}{E} e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}}

여기서 ''S''(''E'')는 핵 상호작용의 세부 사항에 따라 다르며, 단면적에 에너지를 곱한 차원을 갖는다.

그런 다음 맥스웰-볼츠만 분포와 다음 관계를 사용하여 모든 에너지에 대해 적분하여 총 반응 속도를 구한다.

:

\frac{r}{V} = n_A n_B \int_0^{\infty}\frac{S(E)}{E} \, e^{-\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} 2\sqrt{\frac{E}{\pi(kT)^3}} e^{-\frac{E}{kT}} \,\sqrt{\frac{2E}{m_\text{R}}}dE

여기서

m_\text{R} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

는 환산 질량이다.

이 적분은

\sim e^{-\frac{E}{kT}}

형태의 고에너지에서 지수 감쇠를 가지며, 가모우 인자로부터 저에너지에서 지수 감쇠를 가지므로, 적분은 '''가모우 피크'''라고 불리는 피크 주변을 제외하고 거의 모든 곳에서 사라진다.^[28] ''E''₀에서, 다음이 성립한다.

:

\frac{\partial}{\partial E} \left( -\sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}} - \frac{E}{kT}\right) \, = \, 0

따라서,

:

E_0 = \left(\frac{1}{2}kT \sqrt{E_\text{G}}\right)^\frac{2}{3}

지수는 ''E''₀ 주변에서 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

e^{-\frac{E}{kT} - \sqrt{\frac{E_\text{G}}{E}}} \approx e^{-\frac{3E_0}{kT}} \exp\left(-\frac{(E - E_0)^2}{\frac{4}{3} E_0 kT}\right)

그리고 반응 속도는 다음과 같이 근사된다.^[29]

:

\frac{r}{V} \approx n_A \, n_B  \, \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3 m_\text{R}}}\, \sqrt{E_0} \frac{S(E_0)}{kT} e^{-\frac{3E_0}{kT}}

''S''(''E''₀) 값은 일반적으로 10⁻³ – 10³ keV·b이지만, 베타 붕괴와 관련된 경우 중간 결합 상태 (예: 이양성자)의 반감기와 베타 붕괴 반감기 사이의 관계 때문에, 양성자-양성자 연쇄 반응에서와 같이, 큰 인자에 의해 감쇠된다. 주계열성의 전형적인 중심 온도는 ''kT''가 keV 정도이다.^[30]

따라서, CNO 순환에서 제한적인 반응인 에 의한 양성자 포획은 ''S''(''E''₀) ~ ''S''(0) = 3.5 keV·b이고, 양성자-양성자 연쇄 반응에서 제한적인 반응인 두 양성자로부터 중수소 생성은 훨씬 낮은 ''S''(''E''₀) ~ ''S''(0) = 4×10⁻²² keV·b이다.^[31]^[32] 우연히, 전자의 반응은 훨씬 더 높은 가모우 인자를 가지며, 전형적인 별의 상대적인 원소의 존재비 때문에, 두 반응 속도는 주계열성의 중심 온도 범위 내의 온도 값에서 동일하다.^[33]

참조

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