행렬 역학

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1. 개요

행렬 역학은 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단에 의해 공식화된 양자 역학의 한 형태이다. 이는 역학량을 무한 차원 행렬로 표현하고, 물리적 관측 가능량은 행렬의 고유값으로 나타낸다. 행렬 역학은 불확정성 원리를 설명하며, 위치와 운동량의 정준 교환 관계를 통해 양자화된 물리량을 다룬다. 이 이론은 조화 진동자, 에너지 보존, 선택 규칙 등 구체적인 예시를 통해 수학적으로 발전했으며, 하이젠베르크 그림, 파동 역학, 에렌페스트 정리, 변환 이론 등을 포함하는 현대 양자역학의 기초를 마련했다. 하이젠베르크는 이 업적으로 1932년 노벨 물리학상을 수상했다.

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행렬 역학
양자역학의 공식화
개요
분야	양자역학
개발자	베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단
발표 연도	1925년
기본 원리
수학적 공식화	행렬 연산 및 추상적인 벡터 공간을 사용하여 물리적 관측 가능량을 나타냄
핵심 개념	양자화, 불확정성 원리, 확률론적 해석
물리량 표현	에르미트 연산자로 물리량을 표현
운동량 및 위치	고전적인 위치와 운동량은 행렬로 표현되어 교환 관계를 가짐
시간 변화	시스템의 시간 변화는 연산자의 시간 변화로 설명
역사적 맥락
탄생 배경	보어 모형의 한계점 극복 및 흑체 복사, 광전 효과 등 새로운 실험 결과 설명 필요
주요 기여자	베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단 등이 주도적으로 개발
발전 과정	슈뢰딩거 방정식으로 대표되는 파동 역학과 함께 양자역학의 주류를 형성
특징 및 의미
양자론적 특징	물리량의 양자화, 비가환적인 연산자, 확률론적 예측 등 양자역학의 고유한 특징을 설명
파동 역학과의 관계	양자역학의 다른 표현인 파동 역학과 동등함을 보임
현대적 응용	양자 컴퓨터, 양자 암호, 양자 센서 등 다양한 분야에 활용
수학적 표현
주요 도구	행렬 대수학, 선형대수학, 복소수
상태 벡터	물리적 시스템의 상태는 추상적인 벡터 공간의 벡터로 표현
연산자	물리량은 에르미트 연산자로 표현
교환 관계	운동량과 위치 연산자는 교환 관계를 가짐
주요 인물
주요 개발자	베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단
기타 기여자	볼프강 파울리, 폴 디랙 등
참고 문헌
주요 논문	볼프강 파울리의 수소 스펙트럼 관련 논문
추가 정보
관련 주제	양자역학, 파동 역학, 슈뢰딩거 방정식, 불확정성 원리
응용 분야	원자 물리학, 분자 물리학, 응축물질물리학, 양자 정보

2. 이론 체계

베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 1925년에 행렬 역학으로 양자 역학을 공식화했다. 행렬역학은 빠르게 현대 양자역학으로 발전했으며, 원자 스펙트럼에 대한 흥미로운 물리적 결과를 제시했다.

2. 1. 역학량의 행렬 표현

역학량 ''A''는 두 개의 첨자 (''m'', ''n'')로 지정되는 원소의 집합 {''A_mn''(''t'')} 즉, 무한 차원 행렬로 표현된다. 행렬로서의 역학량 ''A''에서 각 성분은

e^{2 \pi i \nu_{mn} t}

라는 진동 형태의 시간 의존성을 갖는다.

:

A_{mn}(t) = A_{mn}e^{2 \pi i \nu_{mn} t}

여기서 진동수 ν_''mn''은 리츠의 결합 법칙 ν_''lm'' + ν_''mn'' = ν_''ln''을 만족하며, 특히 ν_''nn''=0이다. ''A''는 에르미트 행렬이며,

A_{mn} = A_{nm}^{*}

가 성립한다.

2. 2. 위치와 운동량의 정준 교환 관계

위치 좌표와 운동량에 대응하는 행렬 X, P는 동시각에 다음의 정준 교환 관계를 만족한다.^[31]

:

[X, P] = XP - PX = i \hbar I

여기서 I는 대각 성분이 모두 1이고, 그 외의 성분이 0인 단위 행렬이다.

다자유도계이면,

:

[X_i, P_j] = i \hbar \delta_{ij} I

:

[X_i, X_j] = [P_i, P_j] = 0 \,

이다.

2. 3. 역학량의 시간 발전

물리량 ''A''=''A''(''X'', ''P'')의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 운동 방정식

:

i \hbar \frac{dA}{dt} = [A, H]=AH-HA

으로 기술된다. 여기서 ''H''는 계의 해밀토니안에 대응하는 에르미트 행렬이다.

3. 에너지 고유값과 시간 발전

행렬 역학에서 해밀토니안 ''H''(''x'', ''p'')는 에너지 고유값 ''E''_n을 성분으로 하는 대각행렬

: $H(x,p) =\begin{pmatrix}E_0 & 0 & 0 & \ldots \\0 & E_1 & 0 & \ldots \\0 & 0 & E_2 & \ldots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}$

로 주어진다. 이는 해밀토니안 자신에 대한 하이젠베르크의 운동 방정식

: $i \hbar \frac{dH}{dt} = [H, H] = HH-HH = 0$

에서 해당하는 해밀토니안의 행렬 요소 $H_{mn}(t) = H_{mn}e^{2 \pi i \nu_{mn} t}$ 가

: $i \hbar \frac{d}{dt}H_{mn}(t) = -2 \pi \hbar \nu_{mn} H_{mn}e^{2 \pi i \nu_{mn} t} = 0$

을 만족하고, $H_{mn}(t) = E_{n}\delta_{mn}$ 로 나타낼 수 있다는 결과에서 나온 것이다.

해밀토니안이 대각행렬인 것과 유사하게, 물리량 ''A''의 각 행렬 요소 $A_{mn}(t) = A_{mn}e^{2 \pi i \nu_{mn} t}$ 에서의 진동수 ν_mn은

: $\nu_{mn}=\frac{2\pi(E_m-E_n)}{\hbar}$

의 관계를 만족한다는 것을 알 수 있다. 즉, 계의 시간적 진화는 에너지 고유값 ''E''_n에 의해 결정된다.

4. 행렬 역학의 발전

1925년, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 양자 역학을 행렬 역학으로 공식화했다.^[3] 하이젠베르크는 꽃가루병을 피해 헬골란트 섬에서 연구하던 중, ''비가환'' 관측량을 통해 문제를 해결할 수 있음을 깨달았다.^[4]

하이젠베르크, 보른, 요르단은 행렬 역학의 기초를 다진 세 편의 논문을 발표했다.^[15]

저자	논문 제목	학술지 정보	접수일	비고
베르너 하이젠베르크	Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen\|운동학 및 역학 관계의 양자 이론적 재해석에 관하여^de	Zeitschrift für Physik, 33, 879-893	1925년 7월 29일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations)
막스 보른과 파스쿠알 요르단	Zur Quantenmechanik\|양자 역학에 관하여^de	Zeitschrift für Physik, 34, 858-888	1925년 9월 27일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: On Quantum Mechanics)
막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단	Zur Quantenmechanik II\|양자 역학에 관하여 II^de	Zeitschrift für Physik, 35, 557-615	1925년 11월 16일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: On Quantum Mechanics II)

보른은 하이젠베르크의 공식을 행렬로 체계화하고 확장할 수 있음을 인식했다. 그는 브레슬라우 대학교에서 야코프 로자네스^[10]에게서 배운 행렬 대수를 활용했다.^[9]

당시 물리학자들은 행렬을 거의 사용하지 않았지만,^[15] 보른은 다비트 힐베르트의 연구^[16]^[17]와 리하르트 쿠란트의 책^[18]을 통해 행렬에 익숙했다. 1926년, 존 폰 노이만은 힐베르트의 조수가 되었고, 양자 역학 발전에 사용된 대수와 해석을 설명하기 위해 힐베르트 공간이라는 용어를 만들었다.^[19]^[20]

행렬 공식은 모든 물리적 관측 가능량이 행렬로 표현되며, 그 요소는 두 개의 다른 에너지 준위로 색인화된다는 전제를 기반으로 한다.^[22] 행렬의 고유값 집합은 관측 가능량이 가질 수 있는 모든 가능한 값의 집합으로 이해되었다. 하이젠베르크의 행렬은 에르미트 행렬이므로 고유값은 실수이다.

불확정성 원리는 위치와 운동량 뿐만 아니라 다른 많은 관측 가능량 쌍에도 적용된다. 예를 들어, 에너지도 위치와 교환되지 않으므로 원자 내 전자의 위치와 에너지를 정확하게 결정하는 것은 불가능하다.

4. 1. 헬골란트에서의 깨달음

1925년 베르너 하이젠베르크는 괴팅겐에서 수소의 스펙트럼 선을 계산하는 문제를 연구하고 있었다. 1925년 5월까지 그는 관측 가능한 것만으로 원자 시스템을 설명하려고 시도하기 시작했다. 6월 7일, 꽃가루병을 완화하려는 몇 주간의 노력이 실패한 후,^[3] 하이젠베르크는 꽃가루가 없는 북해의 헬골란트 섬으로 떠났다. 그는 거기서 괴테의 ''서동시집''의 시를 암송하고 등산을 하는 와중에도 스펙트럼 문제를 계속 고민했고, 결국 ''비가환'' 관측량을 채택하면 문제를 해결할 수 있을 것이라는 것을 깨달았다. 그는 나중에 다음과 같이 썼다.

계산의 최종 결과가 제 눈앞에 나타난 것은 새벽 세 시경이었다. 처음에는 깊이 충격을 받았다. 너무 흥분해서 잠을 잘 수 없었다. 그래서 집을 나와 바위 꼭대기에 올라가 해돋이를 기다렸다.^[4]

4. 2. 세 가지 기본 논문

1925년 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 행렬 역학으로 양자 역학을 공식화했다.^[3]

행렬 역학의 기초를 다진 세 편의 논문은 다음과 같다.^[15]

저자	논문 제목	학술지 정보	접수일	비고
베르너 하이젠베르크	Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen\|운동학 및 역학 관계의 양자 이론적 재해석에 관하여^de	Zeitschrift für Physik, 33, 879-893	1925년 7월 29일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations)
막스 보른과 파스쿠알 요르단	Zur Quantenmechanik\|양자 역학에 관하여^de	Zeitschrift für Physik, 34, 858-888	1925년 9월 27일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: On Quantum Mechanics)
막스 보른, 베르너 하이젠베르크, 파스쿠알 요르단	Zur Quantenmechanik II\|양자 역학에 관하여 II^de	Zeitschrift für Physik, 35, 557-615	1925년 11월 16일	B. L. 반 데르 바르덴 편집, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) (영어 제목: On Quantum Mechanics II)

4. 3. 행렬의 도입과 발전

1925년, 베르너 하이젠베르크는 막스 보른, 파스쿠알 요르단과 함께 양자 역학을 행렬 역학으로 공식화했다.^[3] 하이젠베르크는 꽃가루병을 피해 헬골란트 섬에서 연구하던 중, ''비가환'' 관측량을 통해 문제를 해결할 수 있음을 깨달았다.^[4]

하이젠베르크는 볼프강 파울리에게 자신의 계산을 보이며, 전자들이 더 이상 궤도를 따라 움직이지 않는다는 아이디어를 제시했다.^[5] 1925년 7월 9일, 하이젠베르크는 보른에게 논문을 보내 검토를 부탁했다.^[6]

보른은 하이젠베르크의 공식을 행렬의 언어^[9]로 체계화하고 확장할 수 있음을 인식했다. 그는 브레슬라우 대학교에서 야코프 로자네스^[10]에게서 배운 행렬 대수를 활용했다.^[9] 보른은 조수 파스쿠알 요르단과 함께 연구 결과를 즉시 출판했으며, 후속 논문도 세 명의 저자 공동으로 제출했다.^[11]^[12]

이들의 연구는 양자 역학의 행렬 역학 공식화에 중요한 기여를 했으며, 제러미 번스타인의 기사^[13]와 메라와 레헨베르크의 책^[14]에서 자세히 다루어진다.

당시 물리학자들은 행렬을 거의 사용하지 않았지만,^[15] 보른은 다비트 힐베르트의 연구^[16]^[17]와 리하르트 쿠란트의 책^[18]을 통해 행렬에 익숙했다.

1926년, 존 폰 노이만은 힐베르트의 조수가 되었고, 양자 역학 발전에 사용된 대수와 해석을 설명하기 위해 힐베르트 공간이라는 용어를 만들었다.^[19]^[20]

4. 4. 하이젠베르크의 추론

헨드릭 크라머스는 이전에 좀머펠트 모형에서 궤도의 푸리에 계수를 세기로 해석하여 스펙트럼 선의 상대적인 세기를 계산했다.^[7] 그러나 그의 답변은 다른 모든 구 양자론 계산과 마찬가지로 큰 궤도에 대해서만 정확했다.

크라머스와의 협력을 거친 후^[7] 하이젠베르크는 전이 확률이 완전히 고전적인 양이 아니라는 것을 이해하기 시작했다. 왜냐하면 푸리에 급수에 나타나는 주파수는 양자 도약에서 관찰되는 주파수여야지, 뚜렷한 고전적인 궤도를 푸리에 분석하여 얻는 허구적인 주파수가 아니기 때문이었다. 그는 고전적인 푸리에 급수를 계수의 행렬, 즉 푸리에 급수의 흐릿한 양자 유사체로 대체했다. 고전적으로, 푸리에 계수는 방출되는 복사의 세기를 나타내므로, 양자 역학에서 위치 연산자의 행렬 요소의 크기는 밝은 선 스펙트럼에서 복사의 세기였다. 하이젠베르크의 공식에서 양은 고전적인 위치와 운동량이었지만, 이제는 더 이상 뚜렷하게 정의되지 않았다. 각 양은 초기 상태와 최종 상태에 해당하는 두 개의 지수를 가진 푸리에 계수의 집합으로 표현되었다.^[8]

4. 5. 행렬의 기초

1925년 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 양자 역학을 행렬 역학으로 공식화했다.^[22] 행렬 공식은 모든 물리적 관측 가능량이 행렬로 표현되며, 그 요소는 두 개의 다른 에너지 준위로 색인화된다는 전제를 기반으로 구성되었다.^[22] 행렬의 고유값 집합은 관측 가능량이 가질 수 있는 모든 가능한 값의 집합으로 이해되었다. 하이젠베르크의 행렬은 에르미트 행렬이므로 고유값은 실수이다.

관측 가능량을 측정하고 그 결과가 특정 고유값인 경우, 해당 고유벡터는 측정 직후 시스템의 상태이다. 행렬역학에서 측정 행위는 시스템의 상태를 '붕괴'시킨다. 두 개의 관측 가능량을 동시에 측정하면 시스템의 상태는 두 관측 가능량의 공통 고유벡터로 붕괴된다. 대부분의 행렬은 공통 고유벡터를 가지고 있지 않으므로, 대부분의 관측 가능량은 동시에 정확하게 측정할 수 없다. 이것이 불확정성 원리이다.

두 개의 행렬이 고유벡터를 공유하는 경우, 동시에 대각화할 수 있다. 두 행렬이 모두 대각인 기저에서, 그들의 곱은 순서에 의존하지 않는다. 왜냐하면 대각 행렬의 곱은 단순히 숫자의 곱이기 때문이다. 반면에 불확정성 원리는 종종 두 행렬 ''A''와 ''B''가 항상 교환되지 않는다는 사실, 즉 ''AB − BA''가 반드시 0이 아니라는 사실을 나타내는 표현이다. 행렬역학의 기본 교환 관계는 다음과 같다.

\sum_k ( X_{nk} P_{km} - P_{nk} X_{km}) = i\hbar \, \delta_{nm}

이 식은 ''동시에 확정된 위치와 운동량을 갖는 상태는 없다''는 것을 의미한다.

불확정성 원리는 위치와 운동량 뿐만 아니라 다른 많은 관측 가능량 쌍에도 적용된다. 예를 들어, 에너지도 위치와 교환되지 않으므로 원자 내 전자의 위치와 에너지를 정확하게 결정하는 것은 불가능하다.

5. 수학적 발전

베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 1925년에 행렬 역학을 통해 양자 역학을 공식화했다.^[1] 하이젠베르크는 조화 진동자를 연구하면서 행렬 역학의 수학적 기초를 다졌다.

하이젠베르크는 비조화 진동자를 조사하여 고전적인 운동 방정식이 행렬 방정식으로 만족되어야 함을 요구했다.^[1] 이를 통해 에너지 보존 법칙이 양자 시스템에서도 정확하게 성립함을 보였다.^[1]

하이젠베르크는 옛 양자 조건을 행렬 역학의 간단한 명제로 변환하는 방법을 발견했다. 그는 작용 적분을 행렬량으로 조사하여 양자 조건을 미분하는 방법을 고안했다.^[31] 이 아이디어를 발전시켜 막스 보른, 파스쿠알 요르단과 함께 정준 교환 관계를 확립했다.^[31]

: $[ X , P ] \equiv XP - PX = i\hbar \, ,$

이 관계는 옛 양자화 규칙을 대체하고 확장하여 임의의 시스템에 대한 ''P''와 ''X''의 행렬 요소를 해밀토니안의 형태에서 간단히 결정할 수 있게 했다.^[31]

상태 벡터의 도입으로 행렬 역학은 어떤 기저로든 회전될 수 있게 되었다. 물리량의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 운동 방정식

: $i \hbar \frac{dA}{dt} = [A, H]=AH-HA$

으로 기술된다. 여기서 ''H''는 계의 해밀토니안에 대응하는 에르미트 행렬이다.^[31]

5. 1. 조화 진동자

하이젠베르크는 대응 원리를 이용하여 특수한 경우에 대한 행렬 원소들을 찾았는데, 가장 간단한 경우는 조화 진동자였다. 조화 진동자에서 고전적인 위치와 운동량 X(t)와 P(t)는 사인파 형태를 띤다.

진동자의 질량과 진동수가 1인 단위(무차원화 참조)에서 진동자의 에너지는 다음과 같이 표현된다.

:

H = {1 \over 2} \left(P^2 + X^2\right) .

H

의 수준 집합은 시계 방향 궤도이며, 위상 공간에서 겹쳐진 원들로 나타난다. 에너지

E

를 갖는 고전적 궤도는 다음과 같다.

:

X(t)= \sqrt{2E}\cos(t) , \qquad P(t) = - \sqrt{2E}\sin(t) ~.

구 양자 조건은 궤도에 대한

P dX

의 적분, 즉 위상 공간에서 원의 면적이 플랑크 상수의 정수배여야 함을 의미한다. 반지름

\sqrt{2E}

인 원의 면적은

2\pi E

이므로, 에너지 준위는 다음과 같이 양자화된다.

:

E = \frac{nh}{2\pi} = n \hbar \, ,

\hbar = 1

인 자연 단위에서는 에너지가 정수값을 갖는다.

X(t)

와

P(t)

의 푸리에 성분은 다음과 같이 결합하여 더 간단하게 표현할 수 있다.

:

A(t) = X(t) + i P(t) = \sqrt{2E}\,e^{-it}, \quad A^\dagger(t) = X(t) - i P(t) = \sqrt{2E}\,e^{it}.

A

와

A^\dagger

는 모두 단일 주파수만 가지며, ''X''와 ''P''는 이들의 합과 차로 복원 가능하다.

A(t)

가 가장 낮은 주파수만을 갖는 고전적 푸리에 급수를 가지고, 행렬 요소

A_{mn}

가 고전적 궤도의

(m-n)

번째 푸리에 계수이기 때문에,

A

의 행렬은 대각선 바로 위의 선에서만 0이 아니며, 그 값은

\sqrt{2E_n}

이다.

A^\dagger

의 행렬은 마찬가지로 대각선 아래의 선에서만 0이 아니며, 같은 요소를 갖는다. 따라서

A

와

A^\dagger

로부터 재구성하면 다음과 같은 행렬을 얻는다.

:

\sqrt{2} X(0)= \sqrt{\hbar} \; \begin{bmatrix}0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\\sqrt{1} & 0 & \sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & 0 & \cdots \\0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \sqrt{4} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{bmatrix},

:

\sqrt{2} P(0) = \sqrt{\hbar} \; \begin{bmatrix}0 & -i\sqrt{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\i\sqrt{1} & 0 & -i\sqrt{2} & 0 & 0 & \cdots \\0 & i\sqrt{2} & 0 & -i\sqrt{3} & 0 & \cdots \\0 & 0 & i\sqrt{3} & 0 & -i\sqrt{4} & \cdots\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{bmatrix},

이는 단위의 선택까지 고려하면, 조화 진동자에 대한 하이젠베르크 행렬이다. 두 행렬 모두 실수량의 푸리에 계수로 구성되므로 에르미트이다.

X_{mn}(t)

와

P_{mn}(t)

는 양자 푸리에 계수이므로 시간에 따라 다음과 같이 간단하게 진화한다.

:

X_{mn}(t) = X_{mn}(0) e^{i(E_m - E_n)t},\quad P_{mn}(t) = P_{mn}(0) e^{i(E_m -E_n)t}~.

X

와

P

의 행렬 곱은 에르미트가 아니지만, 실수부와 허수부를 갖는다. 실수부는 대칭 표현

XP + PX

의 절반이며, 허수부는 교환자

[X,P] = (XP - PX)

에 비례한다. 조화 진동자의 경우

XP - PX

가 항등 행렬에 곱해진

i\hbar

임을 쉽게 확인할 수 있다.

H ={1\over 2}(X^2 + P^2)

행렬이 고유값

E_i

을 갖는 대각 행렬임도 마찬가지로 쉽게 확인할 수 있다.

보른(Born)과 요르단(Jordan)이 고찰한 1차원 조화진동자의 해밀토니안은 다음과 같다.

:

H(x,p)=\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 x^2}{2}

정준 교환 관계를 만족하고, 해밀토니안을 대각화하는(시간에 의존하지 않는) 행렬 ''X'', ''P''는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

X = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega} }\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \\1 & 0 & \sqrt{2} & 0& \ldots \\0 &  \sqrt{2}  & 0 &  \sqrt{3}   &  \ldots\\0 &  0  & \sqrt{3} &  0   &  \ldots\\\vdots &\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}

:

P = \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2} }\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 & \ldots \\1 & 0 & -\sqrt{2} & 0& \ldots \\0 &  \sqrt{2}  & 0 &  -\sqrt{3}   &  \ldots\\0 &  0  & \sqrt{3} &  0   &  \ldots\\\vdots &\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}

이 ''X'', ''P''는 해밀토니안을 다음과 같이 대각화한다.

:

H(x(t),p(t)) =H(X,P)=\frac{\hbar \omega}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\0 & 3 & 0 & 0 & \ldots \\0 & 0 & 5 & 0 & \ldots\\0 & 0 & 0 & 7 & \ldots\\\vdots &\ \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}

즉, 에너지 고유값은 다음과 같다.

:

E_n=\hbar \omega \biggr( n+ \frac{1}{2} \biggr ) \quad(n=0,1,2, \cdots)

5. 2. 에너지 보존

1925년, 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르단은 행렬 역학으로 양자 역학을 공식화했다.^[1]

조화 진동자는 중요한 경우이다. 이러한 특수한 형태에서 일반적인 조건을 결정하는 것보다 행렬을 찾는 것이 더 쉽다. 이러한 이유로 하이젠베르크는 비조화 진동자를 조사했는데, 그 해밀토니안은 다음과 같다.^[1]

:

H = {1\over 2} P^2 + {1\over 2} X^2 + \varepsilon X^3 ~.

이 경우, 해당하는 고전 궤도가 약간 찌그러지고 이동되어 모든 고전 진동수에서 푸리에 계수를 갖기 때문에

X

와

P

행렬은 더 이상 단순한 비대각 행렬이 아니다. 행렬 요소를 결정하기 위해 하이젠베르크는 고전적인 운동 방정식이 행렬 방정식으로 만족해야 한다는 것을 요구했다.^[1]

:

{dX \over dt} = P \quad {dP \over dt} = - X - 3 \varepsilon X^2 ~.

그는 이것이 가능하다면

X

와

P

의 행렬 함수로 간주되는

H

는 시간 미분이 0이 된다는 것을 알았다.^[1]

:

{dH\over dt} = P*{dP\over dt} + ( X + 3 \varepsilon X^2)*{dX\over dt} = 0 ~,

여기서

A*B

는 반교환자이다.^[1]

:

A*B = {1\over 2}(AB+BA) ~.

모든 비대각 요소가 0이 아닌 진동수를 갖는다는 점을 고려할 때,

H

가 상수라는 것은

H

가 대각선이라는 것을 의미한다.^[1]

하이젠베르크에게 이 시스템에서 에너지는 임의의 양자 시스템에서 정확하게 보존될 수 있다는 것은 매우 고무적인 징후였다.^[1]

5. 3. 미분 기법 — 정준 교환 관계

하이젠베르크는 옛 양자 조건을 행렬 역학의 간단한 명제로 변환하는 방법을 발견했다. 그는 작용 적분을 행렬량으로 조사하여 양자 조건을 미분하는 방법을 고안했다. 이 아이디어는 고전적 한계에서는 작용-각 변수 ''J''를 사용하여 완전한 의미를 가지지만, 하이젠베르크는 이산 차분과 도함수를 사용하여 행렬로 유사한 조작을 수행했다.^[31]

고전적 설정에서 작용 적분 ''J''에 대한 도함수는 1과 같다. 이를 푸아송 괄호를 사용하여 표현하면, 정준적으로 공액인 두 변수 ''X''와 ''P''의 푸아송 괄호의 한 주기 동안의 평균값은 1이 된다. 푸아송 괄호의 대각선 밖 요소는 모두 0이 된다.^[31]

푸아송 괄호는 행렬 역학에서 두 변수의 곱의 허수 부분인 교환자에 해당한다. 하이젠베르크의 원래 미분 기법은 막스 보른과 파스쿠알 요르단과의 협력을 통해 다음과 같은 정준 교환 관계로 확장되었다.^[31]

:

[ X , P ] \equiv XP - PX = i\hbar \, ,

이 조건은 옛 양자화 규칙을 대체하고 확장하여 임의의 시스템에 대한 ''P''와 ''X''의 행렬 요소를 해밀토니안의 형태에서 간단히 결정할 수 있게 했다. 비록 이 규칙이 반고전적 추론을 통해 도출되었지만, 보편적으로 참이라고 가정되었다.^[31]

5. 4. 상태 벡터와 하이젠베르크 방정식

상태 벡터의 도입으로 행렬 역학은 어떤 기저로든 회전될 수 있게 되었다. 물리량의 시간에 따른 변화는 하이젠베르크 운동 방정식

:

i \hbar \frac{dA}{dt} = [A, H]=AH-HA

으로 기술된다. 여기서 ''H''는 계의 해밀토니안에 대응하는 에르미트 행렬이다.^[31]

6. 추가 결과

행렬역학은 원자 스펙트럼에 대한 흥미로운 물리적 결과를 제시하며 빠르게 현대 양자역학으로 발전했다.

6. 1. 파동 역학

파동 역학은 슈뢰딩거가 도입했으며, 하이젠베르크의 행렬 역학과 동등한 결과를 나타낸다.^[22] 초기에는 행렬 역학보다 파동 역학이 더 선호되었는데, 하이젠베르크의 공식은 당시 낯선 수학적 언어로 표현된 반면, 슈뢰딩거의 공식은 친숙한 파동 방정식을 기반으로 했기 때문이다.

하지만 더 깊은 사회학적 이유도 있었다. 아인슈타인은 광자의 파동-입자 이중성을 강조하는 방향으로, 보어는 불연속적인 에너지 상태와 양자 도약을 강조하는 방향으로 양자 역학을 발전시켰다. 드 브로이는 아인슈타인의 틀 안에서 불연속적인 에너지 상태를 재현하여, 양자 조건이 정상파 조건과 같다는 것을 보였다. 이는 아인슈타인 학파에게 양자 역학의 모든 불연속적인 측면이 연속적인 파동 역학으로 통합될 것이라는 희망을 주었다.

반면, 행렬 역학은 보어 학파에서 나왔다. 보어의 추종자들은 전자를 파동 등으로 묘사하는 물리적 모델을 선호하지 않았고, 실험과 직접 관련된 양에 초점을 맞추는 것을 선호했다.

원자 물리학에서 분광학은 원자와 빛 양자의 상호작용으로 인한 원자 전이에 대한 관측 데이터를 제공했다. 보어 학파는 분광학으로 측정 가능한 양만 이론에 나타나야 한다고 요구했다. 이러한 양에는 에너지 준위와 그 세기가 포함되지만, 보어 궤도에서 입자의 정확한 위치는 포함되지 않는다.

행렬 공식은 모든 물리적 관측 가능량이 행렬로 표현되며, 그 요소는 두 개의 다른 에너지 준위로 색인화된다는 전제를 기반으로 구성되었다.^[22] 행렬의 고유값 집합은 결국 관측 가능량이 가질 수 있는 모든 가능한 값의 집합으로 이해되었다. 에르미트 행렬이므로 고유값은 실수이다.

불확정성 원리에 따르면, 대부분의 관측 가능량은 동시에 정확하게 측정할 수 없다. 두 행렬이 고유벡터를 공유하는 경우, 동시에 대각화할 수 있다. 두 행렬이 모두 대각인 기저에서, 그들의 곱은 순서에 의존하지 않는다.

행렬 역학의 기본 교환 관계는 다음과 같다.

\sum_k ( X_{nk} P_{km} - P_{nk} X_{km}) = i\hbar \, \delta_{nm}

따라서 ''동시에 확정된 위치와 운동량을 갖는 상태는 없다''는 것을 의미한다.

조던은 교환 관계가 *P*가 미분 연산자로 작용함을 보장한다는 점을 지적했다. 연산자 항등식

[a,bc] = abc - bca = abc - bac + bac - bca = [a,b]c + b[a,c]

을 이용하면 *X*의 임의의 거듭제곱에 대한 *P*의 교환자를 계산할 수 있으며, 이는 다음을 의미한다.

[P,X^n] = - i n~ X^{n-1}

X*는 에르미트 행렬이므로 대각화할 수 있으며, *P*의 최종 형태를 통해 모든 실수가 고유값이 될 수 있음이 명확해진다. *X*가 대각인 기저에서 임의의 상태는 고유값 *x*를 갖는 상태의 중첩으로 쓸 수 있다.

|\psi\rangle = \int_x \psi(x)|x\rangle \,,

따라서 *ψ*(*x*) = ⟨*x*|*ψ*⟩이며, 연산자 *X*는 각 고유 벡터에 *x*를 곱한다.

X |\psi\rangle = \int_x x \psi(x) |x\rangle ~ .

ψ*를 미분하는 선형 연산자 *D*를 정의하면,

D \int_x \psi(x) | x\rangle = \int_x \psi'(x) |x\rangle\,,

이고, 다음이 성립한다.

(D X - X D) |\psi\rangle = \int_x \left[ \left(x \psi(x)\right)' - x \psi'(x) \right] |x\rangle = \int_x \psi(x) |x\rangle = |\psi\rangle\,,

따라서 연산자 −*iD*는 *P*와 동일한 교환 관계를 따르며, *P*와 −*iD*는 모두 에르미트이므로 이 함수는 실수여야 한다.

(P+iD ) |x\rangle = f(x) |x\rangle\,,

각 상태

|x\rangle

를 위상 만큼 회전시키는 것, 즉 파동 함수의 위상을 재정의하는 것이다.

\psi(x) \rightarrow e^{-if(x)} \psi(x)\,.

따라서 *X*의 고유값에 대한 기저가 항상 존재하여 *P*의 임의의 파동 함수에 대한 작용을 알 수 있다.

P \int_x \psi(x) |x\rangle = \int_x - i \psi'(x) |x\rangle\,,

그리고 이 기저에서 해밀토니안은 상태 벡터 성분에 대한 선형 미분 연산자이다.

\left[{P^2\over 2m} + V(X) \right] \int_x \psi_x |x\rangle = \int_x \left[-{1\over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2} + V(x)\right] \psi_x |x\rangle

따라서 상태 벡터의 운동 방정식은 유명한 미분 방정식일 뿐이다.

스톤-폰 노이만 정리에 의하여, 교환 관계를 따르는 임의의 연산자 *X*와 *P*는 파동 함수의 공간에 작용하도록 만들 수 있으며, *P*는 미분 연산자이다. 이것은 슈뢰딩거 묘사가 항상 사용 가능함을 의미한다.

행렬 역학은 자연스러운 방식으로 여러 자유도로 쉽게 확장된다. 각 자유도는 별도의 *X* 연산자와 별도의 효과적인 미분 연산자 *P*를 가지며, 파동 함수는 독립적으로 교환하는 *X* 변수의 모든 가능한 고유값의 함수이다.

\begin{align}\left[X_i, X_j\right] &= 0 \\[1ex]\left[P_i, P_j\right] &= 0 \\[1ex]\left[X_i, P_j\right] &= i\delta_{ij} \, .\end{align}

이는 3차원에서 *N*개의 상호 작용하는 입자 시스템이 모든 *X*가 대각인 기저에서 성분이 3*N*-차원 공간의 수학적 함수인 하나의 벡터로 설명됨을 의미하며, 이는 "모든 가능한 위치를 설명하는" 것으로, 하나의 물리적 공간에 있는 *N*개의 3차원 파동 함수의 단순한 집합보다 "훨씬 더 많은 값의 집합"이다. 슈뢰딩거는 독립적으로 같은 결론에 도달했고, 결국 자신의 형식주의가 하이젠베르크의 형식주의와 동등함을 증명했다.

파동 함수는 어떤 하나의 부분이 아니라 전체 시스템의 속성이므로 양자 역학에서의 설명은 완전히 국소적이지 않다. 여러 양자 입자에 대한 설명은 그것들이 상관관계를 갖거나 얽혀 있음을 보여준다. 이러한 얽힘은 고전적인 벨 부등식을 위반하는 먼 입자들 사이의 이상한 상관관계로 이어진다.

입자가 두 위치에만 있을 수 있다고 해도, *N*개 입자에 대한 파동 함수는 각 위치의 전체 구성에 대해 하나씩 2^*N*개의 복소수를 필요로 한다. 이는 *N*에서 지수적으로 많은 수이므로 컴퓨터에서 양자 역학을 시뮬레이션하려면 지수적 자원이 필요하다. 반대로 이것은 고전적으로 2^*N*비트가 필요한 문제에 대한 답을 물리적으로 계산하는 크기 *N*의 양자 시스템을 찾을 수 있음을 시사한다. 이것이 양자 컴퓨팅의 목표이다.

6. 2. 에렌페스트 정리

에렌페스트 정리는 하이젠베르크 운동 방정식의 명백한 결과이다. 하이젠베르크 운동 방정식은 다음과 같이 간략화된다.^[30]

:

i\hbar{dA \over dt} = [A,H]= AH - HA,

여기서 제곱 괄호는 교환자를 나타낸다. 해밀토니안이

p^2/2m + V(x)

인 경우, ''X''와 ''P'' 연산자는 다음을 만족한다.

:

{d X\over dt} = {P\over m},\quad {d P \over dt} = - \nabla V ,

여기서 첫 번째 식은 고전적으로 속도이고, 두 번째 식은 고전적으로 힘 또는 퍼텐셜 기울기이다. 이는 뉴턴 운동 법칙의 해밀턴 형태를 재현한다. 하이젠베르크 그림에서 ''X''와 ''P'' 연산자는 고전적인 운동 방정식을 만족한다. 방정식 양변의 기댓값을 취하면 임의의 상태 |''ψ''⟩에서 다음을 알 수 있다.

:

\begin{align}\frac{d}{dt} \langle X\rangle &= \frac{d}{dt} \langle \psi|X|\psi \rangle = \frac{1}{m} \langle \psi|P|\psi \rangle = \frac{1}{m} \langle P \rangle \\[1.5ex]\frac{d}{dt} \langle P\rangle &= \frac{d}{dt} \langle \psi|P|\psi \rangle = \langle \psi | (-\nabla V) |\psi\rangle = -\langle\nabla V\rangle \, .\end{align}

따라서 뉴턴의 운동 법칙은 임의의 주어진 상태에서 연산자의 기댓값에 의해 정확하게 만족된다. 이것이 에렌페스트 정리이며, 슈뢰딩거 그림에서는 에렌페스트가 발견했기 때문에 덜 자명하다.

6. 3. 변환 이론

고전역학에서 위상 공간 좌표의 정준 변환은 푸아송 괄호의 구조를 보존하는 변환이다. 시간 진화는 정준 변환인데, 이는 어떤 시간의 위상 공간이 다른 시간의 위상 공간과 마찬가지로 변수를 선택하는 데 적합하기 때문이다.

양자역학에서 양자 정준 변환은 모든 상태 벡터 공간에 대한 임의의 유니터리 기저 변환이다.

U^{\dagger} = U^{-1} \, .

여기서 U는 임의의 유니터리 행렬이며, 위상 공간에서 복소 회전이다. 이러한 변환은 파동 함수 성분의 절대 제곱의 합을 불변으로 유지하는 반면, 서로의 배수인 상태(서로의 허수 배수인 상태 포함)를 서로 같은 배수인 상태로 변환한다.

행렬의 해석은 상태 공간에서 운동의 생성자로 작용한다는 것이다. 예를 들어, ''P''에 의해 생성된 운동은 ''P''를 해밀토니안으로 사용하여 하이젠베르크 운동 방정식을 풀어서 찾을 수 있다.

:

\begin{align}dX &= i[X,P] ds = ds \\[1ex]dP &= i[P,P] ds = 0 \, .\end{align}

이것은 단위 행렬의 배수만큼 행렬 ''X''를 평행이동하는 것이다.

:

X\rightarrow X+s I ~.

이것이 도함수 연산자 ''D''의 해석이다. , 즉, 도함수 연산자의 지수는 평행이동이다 (따라서 라그랑주의 쉬프트 연산자).

마찬가지로 ''X'' 연산자는 ''P''에서 평행이동을 생성한다. 해밀토니안은 시간에서 평행이동을 생성하고, 각운동량은 물리적 공간에서 회전을 생성하며, 연산자 는 위상 공간에서 회전을 생성한다.

물리적 공간에서의 회전과 같은 변환이 해밀토니안과 교환하는 경우, 그 변환을 해밀토니안의 대칭(축퇴 뒤에 있는)이라고 한다. 회전된 좌표로 표현된 해밀토니안은 원래 해밀토니안과 동일하다. 즉, 미소 대칭 생성자 ''L''에 대한 해밀토니안의 변화는 0이 된다.

:

{dH\over ds} = i[L,H] = 0\, .

그러면 시간 이동에 대한 생성자의 변화도 0이 된다.

:

{dL\over dt} = i[H,L] = 0

따라서 행렬 ''L''은 시간에 따라 일정하며, 보존된다.

미소 대칭 생성자와 보존 법칙의 일대일 연관성은 고전 역학에 대해 에미 뇌터가 발견했는데, 여기서 교환자는 푸아송 괄호이지만 양자역학적 추론은 동일하다. 양자역학에서 임의의 유니터리 대칭 변환은 보존 법칙을 생성한다. 왜냐하면 행렬 U가 다음 속성을 가지면

:

U^{-1} H U = H

따라서

UH = HU

이고 ''U''의 시간 도함수는 0이다. 즉, 보존된다.

유니터리 행렬의 고유값은 순수한 위상이므로, 유니터리 보존량의 값은 크기가 1인 복소수이지 실수가 아니다. 이를 다른 방식으로 말하면, 유니터리 행렬은 ''i''에 에르미트 행렬을 곱한 것의 지수이므로, 가산 보존 실수량인 위상은 ''2π''의 정수 배까지 잘 정의된다. 유니터리 대칭 행렬이 항등원에 임의로 가까워지는 패밀리의 일부일 때만 보존된 실수량이 단일 값이 되고, 그때 보존된다는 요구는 훨씬 더 엄격한 제약 조건이 된다.

항등원과 연속적으로 연결될 수 있는 대칭을 ''연속적''이라고 하고, 평행이동, 회전, 부스트가 예이다. 항등원과 연속적으로 연결될 수 없는 대칭은 ''불연속적''이며, 공간 반전 연산 또는 패리티와 전하 공액이 예이다.

행렬을 정준 변환의 생성자로 해석하는 것은 폴 디랙 때문이며,^[31] 대칭과 행렬 간의 대응 관계는 유진 위그너가 시간 역전을 포함하는 대칭을 설명하는 반유니터리 행렬을 포함하면 완벽하다는 것을 보였다.

6. 4. 선택 규칙

행렬 역학에서 선택 규칙은 전이가 가능한 조건을 규정한다.^[31] 전이율은 $X_{ij}$의 행렬 요소에 의해 주어지므로, $X_{ij}$가 0인 경우 해당 전이는 없어야 한다.^[31] 이러한 규칙은 행렬 역학이 등장하기 전까지는 수수께끼였다.^[31]

스핀을 무시한 수소 원자의 상태는 |''n'';''ℓ'',''m''⟩로 표시된다.^[31] 여기서 ''ℓ''은 총 궤도 각운동량의 크기이고, ''m''은 궤도 방향을 정의하는 $L_z$의 성분이다.^[31] 각운동량 유사 벡터의 성분은 다음과 같다.^[31]

L_i = \varepsilon_{ijk} X^j P^k

이 식에서 곱은 순서에 독립적이고 실수인데, 이는 '''''X'''''와 '''''P'''''의 서로 다른 성분이 서로 교환 가능하기 때문이다.^[31]

'''''L'''''의 세 좌표 행렬 ''X'', ''Y'', ''Z''(또는 임의의 벡터)와의 교환 관계는 다음과 같다.^[31]

[L_i, X_j] = i\varepsilon_{ijk} X_k\,.

이는 연산자 '''''L'''''이 좌표 행렬 '''''X'''''의 벡터의 세 성분 사이에서 회전을 생성한다는 것을 의미한다.^[31]

$L_z$와 좌표 행렬 ''X'', ''Y'', ''Z''의 교환자는 다음과 같다.^[31]

\begin{align}\left[L_z, X\right] &= iY\,, \\[1ex]\left[L_z, Y\right] &= -iX\,.\end{align}

$X+iY$ 와 $X-iY$는 다음과 같은 간단한 교환 규칙을 갖는다.^[31]

\begin{align}\left[L_z, X + iY\right] &= (X + iY)\,, \\[1ex]\left[L_z, X - iY\right] &= -(X - iY)\,.\end{align}

이 교환 법칙은 조화 진동자 해밀토니안에 대한 ''X'' + ''iP'' 및 ''X'' − ''iP''의 행렬 요소와 유사하게, 이러한 연산자가 특정 ''m'' 값을 갖는 상태에서 특정 비대각 행렬 요소만 갖는다는 것을 의미한다.^[31]

L_z ( (X+iY)|m\rangle )= (X+iY)L_z|m\rangle + (X+iY) |m\rangle = (m+1) (X+iY)|m\rangle

즉, 행렬 $(X+iY)$는 고유값 $m$을 갖는 $L_z$의 고유 벡터를 고유값 $m+1$을 갖는 고유 벡터로 변환한다.^[31] 마찬가지로 $(X-iY)$는 $m$을 1단위 감소시키고, $Z$는 $m$의 값을 변경하지 않는다.^[31]

따라서 $L^2$ 및 $L_z$이 특정 값을 갖는 |''ℓ'',''m''⟩ 상태의 기저에서, 위치의 세 성분 중 어느 것의 행렬 요소도 $m$이 동일하거나 1단위만 변경되는 경우를 제외하고는 0이다.^[31]

이는 총 각운동량의 변화에 제약을 가한다.^[31] 위치의 행렬 요소는 |''ℓ'',''m''⟩에 작용하여 ''m''의 값을 1단위만 증가시킬 수 있으므로, 좌표가 최종 상태가 |''ℓ',ℓ' ''⟩이 되도록 회전되는 경우, ℓ’의 값은 초기 상태에 나타나는 ℓ의 최대 값보다 최대 1만큼 클 수 있다.^[31] 따라서 ''ℓ''’는 최대 ''ℓ'' + 1이다.^[31]

행렬 요소는 $ℓ’ > ℓ + 1$에 대해 0이 되고, 역행렬 요소는 에르미트성에 의해 결정되므로, $ℓ’ < ℓ − 1$인 경우에도 0이 된다.^[31] 따라서 쌍극자 전이는 각운동량 변화가 1단위를 초과하는 경우 금지된다.^[31]

6. 5. 합 규칙

합 규칙은 주어진 어떤 상태로부터 그리고 어떤 주어진 상태로의 분광 강도의 합에 대한 관계를 제공한다.^[1] 절대적으로 정확하려면, 속박되지 않은 산란 상태에 대한 복사 포획 확률의 기여를 합에 포함해야 한다.^[1]

:

\sum_j 2m(E_i - E_j) |X_{ij}|^2 = 1\,.

^[1]

7. 노벨상

1928년, 알베르트 아인슈타인은 하이젠베르크, 보른, 요르단을 노벨 물리학상 후보로 추천했다.^[23] 1932년 노벨 물리학상 발표는 1933년 11월까지 연기되었다.^[24] "양자역학을 창시하고, 그 응용으로 특히 수소의 동소체 발견으로 이어졌다"는 이유로 하이젠베르크가 1932년 수상자로 발표되었다.^[25] 에르빈 슈뢰딩거와 폴 디랙은 원자 이론의 새롭고 생산적인 형태를 발견한 공로로 1933년 노벨상을 공동 수상했다.^[25]

보른이 하이젠베르크와 함께 1932년 노벨상을 수상하지 못한 이유에 대한 의문이 제기될 수 있다. 번스타인은 이에 대한 추측을 제시하는데, 그중 하나는 요르단이 1933년 5월 1일 나치당에 입당하여 돌격대원이 된 것과 관련이 있다.^[26] 요르단의 당 가입과 보른과의 관계가 당시 보른의 수상 가능성에 영향을 미쳤을 수 있다. 번스타인은 보른이 마침내 1954년 노벨상을 수상했을 때 요르단이 아직 살아 있었고, 상은 보른 단독으로 귀속되는 양자역학의 통계적 해석에 대한 것이었다고 지적한다.^[27]

하이젠베르크가 1932년 노벨상을 수상하고 보른이 1954년 노벨상을 수상한 것에 대한 하이젠베르크의 반응은 보른이 하이젠베르크와 노벨상을 공동 수상했어야 하는지 여부를 평가하는 데 도움이 된다. 1933년 11월 25일, 보른은 하이젠베르크로부터 편지를 받았는데, 그 편지에서 하이젠베르크는 "당신, 요르단, 그리고 나"가 괴팅겐에서 공동으로 수행한 연구에 대해 자신만 상을 받았다는 "불안한 양심" 때문에 편지 쓰는 것을 미루었다고 말했다. 하이젠베르크는 "외부의 잘못된 결정"으로 양자역학에 대한 보른과 요르단의 공헌을 바꿀 수 없다고 말했다.^[28]

1954년, 하이젠베르크는 1900년 통찰력에 대해 막스 플랑크를 기리는 글을 썼다. 이 글에서 하이젠베르크는 행렬역학의 최종적인 수학적 공식화에 보른과 요르단의 공헌을 인정했고, 그들의 양자역학에 대한 공헌이 얼마나 컸는지 강조했으며, 그 공헌은 "대중의 눈에 충분히 인정받지 못했다"고 했다.^[29]

8. 구체적인 예 (조화 진동자)

행렬역학에서 구체적인 예로, 보른(Born)과 요르단(Jordan)이 고찰한 1차원 조화 진동자를 생각해 보자. 이때, 해밀토니안은 다음과 같다.

: $H(x,p)=\frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 x^2}{2}$

정준 교환 관계를 만족하고, 해밀토니안을 대각화하는(시간에 의존하지 않는) 행렬 ''X'', ''P''는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $X = \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega} }\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & \ldots \\1 & 0 & \sqrt{2} & 0& \ldots \\0 & \sqrt{2} & 0 & \sqrt{3} & \ldots\\0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ldots\\\vdots &\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}$

: $P = \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2} }\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 & 0 & \ldots \\1 & 0 & -\sqrt{2} & 0& \ldots \\0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & \ldots\\0 & 0 & \sqrt{3} & 0 & \ldots\\\vdots &\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}$

이 ''X'', ''P''는 해밀토니안을 다음과 같이 대각화한다.

: $H(x(t),p(t)) =H(X,P)=\frac{\hbar \omega}{2}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & \ldots \\0 & 3 & 0 & 0 & \ldots \\0 & 0 & 5 & 0 & \ldots\\0 & 0 & 0 & 7 & \ldots\\\vdots &\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\\end{pmatrix}$

즉, 에너지 고유값은 다음과 같다.

: $E_n=\hbar \omega \biggr( n+ \frac{1}{2} \biggr ) \quad(n=0,1,2, \cdots)$

참조

_[1] 서적 Matrix mechanics P. Noordhoff Ltd 1965
_[2] 논문 Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik
_[3] 서적 Werner Heisenberg – Die Sprache der Atome. Leben und Wirken Springer 2010
_[4] 서적 Niels Bohr's times: in physics, philosophy, and polity Clarendon 1993
_[5] 웹사이트 IQSA International Quantum Structures Association https://www.vub.be/C[...] 2020-11-13
_[6] 논문 Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen Dover Publications 1925
_[7] 논문 Über die Streuung von Strahlung durch Atome 1925
_[8] 서적 From X-Rays to Quarks: Modern Physicists and their Discoveries W. H. Freeman and Company 1980
_[9] 서적 Niels Bohr's Times in Physics, Philosophy, and Polity Clarendon Press 1991
_[10] 웹사이트 Max Born – Nobel Lecture (1954) http://nobelprize.or[...]
_[11] 논문 Zur Quantenmechanik Dover Publications 1925
_[12] 논문 Zur Quantenmechanik II Dover Publications 1925
_[13] 논문 Max Born and the Quantum Theory 2005
_[14] 서적 Springer 2001
_[15] 서적 1966
_[16] 서적 1968
_[17] 서적 1968
_[18] 서적 Courant Springer 1996
_[19] 논문 Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren 1929
_[20] 서적 John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More American Mathematical Society 1999
_[21] 논문 The fundamental equations of quantum mechanics https://www.jstor.or[...] 1925
_[22] 논문 Matrix model: Emergence of a quantum number in the strong coupling regime July 2021
_[23] 서적 2004
_[24] 서적 2005
_[25] 웹사이트 Nobel Prize in Physics and 1933 – Nobel Prize Presentation Speech http://nobelprize.or[...]
_[26] 서적 2005
_[27] 서적 2005
_[28] 서적 2005
_[29] 서적 2005
_[30] 서적 Quantum Mechanics Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc 2004
_[31] 서적 The Principles of Quantum Mechanics https://books.google[...] Oxford University Press
_[32] 웹사이트 행렬역학 https://www.sciencea[...] 2015-09-09

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