4-정점 정리
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1. 개요
4-정점 정리는 평면 폐곡선에 항상 최소 4개의 정점이 있다는 정리이다. 정점은 곡률의 극댓값 또는 극솟값으로 정의된다. 타원은 정확히 4개의 정점을 가지며, 원은 무한히 많은 정점을 갖는다. 너비가 일정한 모든 곡선은 최소 6개의 정점을 갖는다. 4-정점 정리는 1909년 샤마다스 무코파디야야에 의해 증명되었고, 최소 외접 원의 개념을 사용하여 간단하게 증명할 수 있다. 4-정점 정리의 역은 연속적인 실수 값 함수가 어떤 단순 폐평면 곡선의 곡률 함수가 된다는 것이며, 역학에서의 적용과 이산적 변형, 공간 곡선에 대한 일반화가 존재한다.
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2. 정의와 예시
평면에서 매끄러운 곡선의 한 점에서의 곡률은 그 점에서의 접원의 반지름의 역수로 정의되거나, 곡선의 매개변수화의 이계도함수의 노름으로 정의될 수 있다. 곡률 자체가 연속적으로 변해야 곡선의 정점이 잘 정의될 수 있는데, 이는 의 매끄러움을 가진 곡선에서 발생한다. 정점은 곡률의 극댓값 또는 극솟값이다.
2. 1. 정점
평면에서 매끄러운 곡선의 어떤 점에서의 곡률은 그 점에서의 원의 반지름의 역수 또는 곡선의 매개변수 표현의 이계도함수의 노름으로 정의될 수 있다. 정점은 곡률의 극댓값 또는 극솟값이다. 곡선의 호에서 곡률이 일정하면 해당 호의 모든 점이 정점으로 간주된다. 4-정점 정리에 따르면 부드러운 폐곡선에는 항상 최소한 4개의 정점이 있다.타원에는 정확히 4개의 정점이 있다. 타원의 장축과 교차하는 부분에 2개의 곡률의 극댓값과 보조 축과 교차하는 2개의 곡률의 극솟값이 있다. 원 에서 모든 점은 곡률의 극댓값과 극솟값이므로 무한히 많은 정점이 있다.
너비가 일정한 모든 곡선에는 최소한 6개의 정점이 있다. 뢸로 삼각형과 같은 많은 일정한 폭의 곡선이 매끄럽지 않거나 경계에 원형 호가 있지만 정확히 6개의 정점을 갖는 일정한 폭의 매끄러운 곡선이 있다.
2. 2. 예시
타원은 정확히 4개의 정점을 갖는다. 타원의 장축과 교차하는 부분에 2개의 곡률 극댓값이 있고, 단축과 교차하는 부분에 2개의 곡률 극솟값이 있다. 원의 모든 점은 곡률의 극댓값이자 극솟값이므로 무한히 많은 정점이 있다. 정폭도형은 최소한 6개의 정점을 갖는다. 뢸로 삼각형과 같이 정확히 6개의 정점을 갖는 매끄러운 정폭도형도 존재한다.3. 역사
4-정점 정리는 1909년 샤마다스 무코파디야야가 볼록 곡선(엄밀히 양의 곡률을 갖는 곡선)에 대해 처음 증명했다. 그의 증명은 곡선 위의 점이 곡률 함수의 극값이 될 필요충분조건이 해당 점에서의 접촉원이 곡선과 4차 접촉을 가진다는 사실을 이용한다. 일반적으로 접촉원은 곡선과 3차 접촉만을 가진다. 4-정점 정리는 1912년 아돌프 크네저가 투영 기하학을 사용하여 더 일반적인 곡선에 대해 증명했다.
4. 증명
오랫동안 4-정점 정리의 증명은 어려운 것으로 여겨졌으나, 1985년 로버트 오서먼(Robert Osserman)이 최소 외접 원의 개념을 이용하여 간단하고 개념적인 증명을 제시하였다. 이는 주어진 곡선을 포함하고 가능한 가장 작은 반지름을 갖는 원이다. 곡선에 원의 호가 포함되어 있으면 정점이 무한히 많다. 그렇지 않으면 곡선과 원은 최소한 두 점에서 접해야 한다. 더 적은 수의 점에서 곡선에 닿은 원이 곡선을 둘러싸는 동안 크기가 줄어들 수 있기 때문이다. 각 접점에서 곡선의 곡률은 원의 곡률보다 크다. 그렇지 않으면 곡선이 원 내부가 아닌 외부 접선에서 계속되기 때문이다. 그러나 각 쌍의 접선 사이에서 곡률은 원의 곡률보다 작아야 한다. 따라서 접선의 각 쌍 사이에 극소 곡률이 있어 4개의 정점 중 2개가 제공된다. 다른 두 정점을 제공하는 극솟값의 각 쌍(접점 지점일 필요는 없음) 사이에 극대 곡률이 있어야 한다.
5. 역
4-정점 정리의 역은 원 위에 적어도 2개의 극댓값과 2개의 극솟값을 갖는 연속적인 실수 값 함수는 단순 폐평면 곡선의 곡률 함수가 된다는 것이다. 1971년 허먼 글럭(Herman Gluck)은 n-구체의 곡률을 미리 할당하는 일반 정리의 특수한 경우로 엄밀히 양의 함수에 대해 역을 증명했다. 1998년 1월 비요른 달베르그(Björn Dahlberg)는 완전한 역을 증명했으며, 이는 사후에 출판되었다. 달베르그의 증명은 대수학의 기본 정리의 표준 위상 증명을 연상시키는 굴곡 수 인수를 사용한다.
6. 역학에서의 적용
4-정점 정리의 따름정리는 중력이 작용하는 수평면 위를 구르는 균질 평면 원반이 최소 4개의 평형점을 갖는다는 것이다. 이것의 이산 버전은 모노스타틱 다각형이 존재할 수 없다는 것이다. 그러나 3차원에서는 모노스타틱 다면체가 존재하며, 정확히 2개의 평형점(하나는 안정적이고 다른 하나는 불안정함)을 가진 볼록 균질 물체인 굄뵈츠도 존재한다.
7. 이산적 변형
4-정점 정리에는 볼록 다각형과 비볼록 다각형 모두에 적용되는 여러 이산적 변형이 존재한다. 이러한 이산적 변형에서는 다각형의 정점(두 변의 공유된 끝점)과 매끄러운 곡선의 정점 개념을 구별하는 것이 중요하다.
7. 1. 등변다각형과 등각다각형
볼록 다각형과 비볼록 다각형 모두에 대해 4-정점 정리의 여러 이산 버전이 존재한다. 다음은 그 중 일부이다.- (Bilinski) 적어도 4개의 정점이 있는 볼록 등변다각형의 각도 시퀀스는 적어도 4개의 극값을 가진다.
- 최소 4개의 변이 있는 볼록한 등각다각형의 변 길이 시퀀스에는 최소 4개의 극값이 있다.
- (Musin) 정점이 4개 이상인 다각형의 연속된 정점 3개 주위에 외접하는 원은 다각형의 나머지 정점을 모두 포함하거나 내부에 정점이 하나도 없으면 '극단'이라고 한다. 이러한 볼록 다각형은 동일한 원에 4개의 정점이 없는 경우가 일반적이다. 그런 다음 최소 4개의 정점이 있는 모든 일반 볼록 다각형에는 최소 4개의 극단 원이 있다.
- (Legendre – Cauchy) 대응하는 변의 길이가 같은 두 개의 볼록 ''n -'' 각형은 대응하는 각도 차이의 순환 시퀀스에서 0 또는 최소 4개의 부호 변화를 갖는다.
- (알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프) 대응하는 변이 평행하고 면적이 동일한 두 볼록 ''n -'' 각형은 대응하는 변의 길이 차이의 순환 시퀀스에서 0 또는 4 이상의 부호 변화를 갖는다.
이러한 변형 중 일부는 다른 것보다 더 강력하며, 모두 극한 인수에 의한 (보통의) 4 정점 정리를 암시한다. 다각형의 경우, 볼록 다각형과 비볼록 다각형 모두에 대해 4-정점 정리의 몇 가지 이산적인 변형이 있다. 이 맥락에서, 다각형의 정점(두 변의 공유된 끝점)과 매끄러운 곡선의 정점의 개념을 구별하는 것이 중요하다.
다각형이 네 개의 정점이 공원점이 아니면 ''일반적''이라고 하고, 각 쌍의 연속된 변에 대해 세 개의 정점의 외심이 두 변이 이루는 쐐기 내에 있으면 ''일관적''이라고 한다. 즉, 일관적인 다각형에서는 이 세 개의 정점으로 형성된 삼각형이 두 변 중 하나를 가장 긴 변으로 하는 둔각이 되는 것이 허용되지 않는다. 네 개 이상의 정점을 가진 일관적인 볼록 다각형의 경우, 연속된 정점의 삼중항의 외접원의 반지름의 순환 수열은 최소 두 개의 국소 최댓값과 두 개의 국소 최솟값을 갖는다. 국소 극값에서의 중간 정점을 ''극점''이라고 한다. 그것과 이웃한 두 정점의 외접원은 중심 정점에서 두 단계 떨어진 두 정점을 모두 포함하거나, 둘 다 포함하지 않는다. 따라서, 모든 일반적인 일관적인 볼록 다각형은 최소 네 개의 극점을 가지며, 이는 일관성을 가정하지 않아도 여전히 참이다. 볼록 다각형의 정점에서의 각도가 네 개의 국소 극값을 갖는 것은 반드시 그렇지는 않다. 그러나 변의 길이가 모두 같은 일반적인 볼록 정다각형의 경우, 각도에도 최소 두 개의 국소 최솟값과 최소 두 개의 국소 최댓값이 있다.
다각형의 연속된 정점의 삼중항에 대한 외접원 대신, 유사한 결과가 적용되는 연속된 변의 삼중항에 대한 내접원을 고려할 수 있다. 예를 들어, 각도가 모두 같은 볼록 다각형인 일반적인 등각 다각형의 경우, 변의 길이에 최소 두 개의 국소 최솟값과 최소 두 개의 국소 최댓값이 있다.
7. 2. 외접원과 극단 원
(Musin) 정점이 4개 이상인 다각형에서 연속된 정점 3개 주위에 외접하는 원은 다각형의 나머지 정점을 모두 포함하거나 내부에 정점이 하나도 없으면 '극단'이라고 한다. 이러한 볼록 다각형은 동일한 원에 4개의 정점이 없는 경우가 일반적이다. 그런 다음 최소 4개의 정점이 있는 모든 일반 볼록 다각형에는 최소 4개의 극단 원이 있다.7. 3. 르장드르-코시와 알렉산드로프 정리
볼록 및 비볼록 다각형 모두에 대해 4-정점 정리의 여러 이산 버전이 있다. 다음은 그 중 일부이다.- (빌린스키) 적어도 4개의 정점이 있는 볼록 정다각형의 각도 시퀀스는 적어도 4개의 극값을 가진다.
- 최소 4개의 변이 있는 볼록한 등각다각형의 변 길이 시퀀스에는 최소 4개의 극값이 있다.
- (무신) 정점이 4개 이상인 다각형의 연속된 정점 3개 주위에 외접하는 원은 다각형의 나머지 정점을 모두 포함하거나 내부에 정점이 하나도 없으면 '극단'이라고 한다. 이러한 볼록 다각형은 동일한 원에 4개의 정점이 없는 경우가 일반적이다. 그런 다음 최소 4개의 정점이 있는 모든 일반 볼록 다각형에는 최소 4개의 극단 원이 있다.
- (Legendre – Cauchy) 대응하는 변의 길이가 같은 두 개의 볼록 ''n -'' 각형은 대응하는 각도 차이의 순환 시퀀스에서 0 또는 최소 4개의 부호 변화를 갖는다.
- (알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프) 대응하는 변이 평행하고 면적이 동일한 두 볼록 ''n -'' 각형은 대응하는 변의 길이 차이의 순환 시퀀스에서 0 또는 4 이상의 부호 변화를 갖는다.
이러한 변형 중 일부는 다른 것보다 더 강력하며, 모두 극한 인수에 의한 (보통의) 4 정점 정리를 암시한다.
8. 공간 곡선에 대한 일반화
한 번 천공된 구에서 평면으로의 구면사영은 측지 곡률의 임계점을 보존한다. 따라서 단순 폐곡선인 구면 곡선은 네 개의 정점을 갖는다. 또한 구에서 곡선의 정점은 비틀림이 사라지는 지점에 해당한다. 따라서 공간 곡선의 경우 정점은 비틀림이 사라지는 지점으로 정의된다. 볼록체의 경계에 놓인 모든 단순 폐공간 곡선에는 4개의 정점이 있다. 이 정리는 국소적으로 볼록한 원반을 경계로 하는 모든 곡선으로 일반화될 수 있다.
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