5차원

3. 5차원 기하학

클라인의 정의에 따르면, 기하학은 시공간 내의 변환 하에서 시공간의 불변적인 속성을 연구하는 학문이다.^[11] 따라서 5차원 기하학은 5개의 좌표 값 (x, y, z, w, v)을 사용하여 표현되는 공간에서의 변환과 불변성을 연구한다.^[12] v 축을 따라 이동하는 것은 서로 다른 초부피 사이를 이동하는 것을 포함한다.^[12]

5차원 이상에서는 5-단순체, 5-초입방체, 5-정축체의 세 가지 종류의 정다포체만 존재한다. 5-반정육면체는 5-초입방체 꼭짓점의 절반을 가지는 중요한 균일 5-다포체이다. 확장되거나 스테리케이트된 5-단순체는 A₅ 격자의 꼭짓점 형상이며, rectified 5-정축체는 D₅ 격자의 꼭짓점 형상이다.^[13][14]

중심점으로부터 고정된 거리 ''r''에 있는 모든 점의 집합은 5차원 공간에서 초구(4-구)를 이룬다. 5차원 초구의 초부피(V)는 다음과 같이 계산된다.

:$V=\backslash frac\{8\backslash pi\; ^2r^5\}\{15\}$

3. 1. 다포체 (폴리토프)

• '''5-단순체'''는 단순체 계열 {3,3,3,3}으로, 6개의 꼭짓점, 15개의 모서리, 20개의 면(정삼각형), 15개의 포면 (정사면체), 그리고 6개의 초세포(5-세포)를 갖는다.
• '''5-초입방체'''는 초입방체 계열 {4,3,3,3}으로, 32개의 꼭짓점, 80개의 모서리, 80개의 면(정사각형), 40개의 포면(정육면체), 그리고 10개의 초세포(테서랙트)를 갖는다.
• '''5-정축체'''는 교차 다면체 계열 {3,3,3,4}로, 10개의 꼭짓점, 40개의 모서리, 80개의 면(삼각형), 80개의 포면(사면체), 그리고 32개의 초세포(5-세포)를 갖는다.

5차원의 정다포체와 준정다포체
(각 콕서터 평면 대칭의 직교 투영으로 표시)

A5	Aut(A5)	B5			D5
5-단순체 {3,3,3,3}	스테리케이트된 5-단순체	-- 5-초입방체 {4,3,3,3}	5-정축체 {3,3,3,4}	rectified 5-정축체 r{3,3,3,4}	5-반정육면체 h{4,3,3,3}

3. 2. 초구 (Hypersphere)

4. 물리학에서의 5차원

5차원에 대한 초기 연구는 주로 강한 핵력, 약한 핵력, 중력, 전자기력 등 자연의 네 가지 기본적인 상호작용을 통일장 이론으로 개발하려는 시도였다. 독일의 테오도어 칼루자와 스웨덴의 오스카 클라인은 1921년 칼루자-클라인 이론을 독자적으로 개발했는데, 이 이론은 다섯 번째 차원을 사용하여 중력과 전자기력을 통합하려 했다.^[1] 클라인은 이 차원이 직접 관찰되지 않는 이유를 설명하기 위해, 다섯 번째 차원이 10^-33센티미터 정도의 작고 콤팩트한 루프로 말려 있을 것이라고 제안했다.^[1]

칼루자-클라인 이론은 초끈 이론과 초중력의 등장으로 1970년대에 다시 주목받았다. M-이론은 10개의 필수 차원 외에 추가적인 차원의 존재를 제시하며, 이 추가 차원들은 소립자 수준 이하의 크기로 압축되어 있다고 설명한다.^[1][2] 거대 강입자 충돌기는 5차원의 존재에 대한 간접적인 증거를 제공할 수 있다.^[1] 물리학자들은 소립자 충돌 과정에서 4차원을 벗어나 5차원으로 새어 나가는 중력자가 생성될 수 있다고 예측한다.^[3]

1993년, 제라르트 't 호프트는 홀로그래피 원리를 제시하여, 추가 차원에 대한 정보가 한 차원 낮은 시공간에서 곡률로 나타날 수 있다고 설명했다.^[6][7] 최근 연구에서는 5차원 시공간 확장에 대한 다양한 해석이 제시되고 있다.^[8][9][10]

참조

_[1] 웹사이트 How Many Dimensions Does the Universe Really Have https://www.pbs.org/[...] Public Broadcasting Service 2014-04-03
_[2] 웹사이트 Black Holes on a String in the Fifth Dimension http://news.discover[...] Discovery News 2011-03-06
_[3] 웹사이트 Physicists probe fifth dimension https://www.nbcnews.[...] 2006-06-06
_[4] 논문 On A Generalization Of Kaluza's Theory Of Electricity 1938
_[5] arXiv A Note On Einstein, Bergmann, and the Fifth Dimension 2014-01-31
_[6] 웹사이트 What Is Spacetime Really Made Of? https://www.scientif[...] 2022-02-01
_[7] 웹사이트 Spooky Quantum Action Might Hold the Universe Together https://www.wired.co[...] 2015-05-18
_[8] 서적 Space-Time-Matter, Modern Kaluza-Klein Theory Singapore: World Scientific
_[9] 논문 An interpretation of quantum foundations based on density functional theory and polymer self-consistent field theory
_[10] 서적 Data Science - Time Complexity, Inferential Uncertainty, and Spacekime Analytics https://www.degruyte[...] De Gruyter 2021
_[11] 서적 Absolute Relativity: The 5th dimension (abridged) 2011-10-04
_[12] 웹사이트 Hyperbolic Geometry https://e.math.corne[...]
_[13] 웹사이트 The Lattice A5 https://www.math.rwt[...]
_[14] 서적 Sphere packings, lattices, and groups https://books.google[...]