7차원 초구

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

7차원 초구는 8차원 유클리드 공간 내 단위 노름을 가진 벡터로 구성된 매끄러운 다양체이다. 이는 SO(8)/SO(7), Spin(7)/G₂, SU(4)/SU(3), USp(4)/USp(2) 등으로 표현되는 대칭 공간이며, 노름 1의 팔원수로도 정의할 수 있다. 7차원 초구는 호프 올다발을 가지며, 등거리군 O(8)과 Spin(7)의 작용을 받는다. 또한, 평행화 가능 다양체이며, 4차원 초구를 제외하고 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 다양체가 존재하는 최초의 차원이다. 7차원 초구는 28개의 이색적 7차원 초구를 가지며, 호모토피 군은 고차원 위상수학에서 중요한 연구 대상이다. 7차원 초구가 여러 개의 매끄러움 구조를 갖는다는 사실은 존 밀너에 의해 처음 증명되었다.

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7차원 초구

2. 정의

'''7차원 초구'''는 8차원 유클리드 공간에서 단위 노름(norm)을 갖는 벡터들의 집합으로 표현되는 매끄러운 다양체이다. 이 위에는 표준적인 리만 계량이 존재한다.

2. 1. 대칭 공간 표현

7차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

:

\mathbb S^7 \cong \operatorname{SO}(8) / \operatorname{SO}(7)

:

\mathbb S^7 \cong \operatorname{Spin}(7) / G_2

:

\mathbb S^7 \cong \operatorname{SU}(4) / \operatorname{SU}(3)

:

\mathbb S^7 \cong \operatorname{USp}(4) / \operatorname{USp}(2)=\operatorname{Spin}(5) / \operatorname{Spin}(3)

또한, 7차원 초구는 노름 1의 팔원수의 공간으로 여길 수 있다.

:

\mathbb S^7 = \{x\in\mathbb O \colon \|x\|=1\}

사실, 순허수 팔원수의 공간 위의 노름 보존 실수 선형 변환의 군

\operatorname{SO}(7)

가운데,

G_2\le\operatorname{SO}(7)

은 그 부분군을 이룬다. 따라서

\operatorname{SO}(7)/G_2

를 취할 수 있는데, 이는 임의의 한 원소

\mathrm i \in \mathbb H

의 상에 의하여 분류된다. 즉, 이는

\mathbb S^7

을 이룬다.

2. 2. 팔원수를 이용한 정의

7차원 초구는 노름이 1인 팔원수들의 집합으로 정의할 수 있다.

:

\mathbb S^7 = \{x\in\mathbb O \colon \|x\|=1\}

순허수 팔원수의 공간 위의 노름 보존 실수 선형 변환의 군

\operatorname{SO}(7)

가운데,

G_2\le\operatorname{SO}(7)

은 그 부분군을 이룬다. 따라서

\operatorname{SO}(7)/G_2

를 취할 수 있는데, 이는 임의의 한 원소

\mathrm i \in \mathbb H

의 상에 의하여 분류된다. 즉, 이는

\mathbb S^7

을 이룬다.

2. 3. 스피너를 통한 표현

7차원 유클리드 공간의 8차원 마요라나 스피너를 생각한다. 이 경우, 0이 아닌 임의의 스피너의 안정자군은

G_2

이며, 이에 대한 몫

\operatorname{Spin}(7)/G_2

은 이 스피너가 대응되는 상의 공간이다. 스피너 공간 위의 Spin(7)의 작용은 노름을 보존하므로, 이는

\mathbb S^7

이다.

3. 성질

7차원 초구( $\mathbb S^7$ )는 기하학 및 위상수학적으로 여러 흥미로운 성질을 갖는다.

평행화 가능 다양체: 7차원 초구는 평행화 가능 다양체이다. 초구 중 평행화 가능한 것은 0, 1, 3, 7차원뿐이며, 이는 각각 실수, 복소수, 사원수, 팔원수와 같은 실수체 위 노름 나눗셈 대수에서 유래한다. 리 군을 이루지 않는 유일한 경우는 7차원 초구인데, 이는 팔원수가 결합 법칙을 따르지 않기 때문이다.
매끄러움 구조: 4차원을 제외하면, 표준적 초구와 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 다양체가 처음으로 나타나는 차원이 7차원이다. 7차원 초구와 위상 동형인 매끄러운 다양체([미분 동형]]류) 집합은 연결합에 대해 가환 모노이드를 이루며, 28차 순환군 $\operatorname{Cyc}(28)$ 과 동형이다. 즉, 표준 7차원 초구를 제외하면 27개의 '''이색적 7차원 초구'''(exotic 7-sphere^영어)가 존재한다.

7차원 초구의 15차 이하 호모토피 군 중 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.

호모토피 군	값
$\pi_7(\mathbb S^7)$	정수 집합 $\mathbb Z$
$\pi_8(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_9(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_{10}(\mathbb S^7)$	모듈로 24 정수 집합 $\mathbb Z/(24)$
$\pi_{13}(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_{14}(\mathbb S^7)$	모듈로 120 정수 집합 $\mathbb Z/(120)$
$\pi_{15}(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$ 의 세제곱 $(\mathbb Z/(2))^3$

3. 1. 호프 주다발

호프 올다발은

\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4

를 정의한다. 이는

\operatorname{SU}(2)

에 대한 주다발을 이룬다.

3. 2. 군의 작용

7차원 초구(

\mathbb S^7

)는 등거리군

\operatorname O(8)

을 갖는다. 임의의 점의 안정자군은 O(7)이며, 이에 따라

\mathbb S^7 = \operatorname O(8)/\operatorname O(7)

이다.

\mathbb S^7 = \operatorname{Spin}(7) / G_2

로 여겼을 때, 이는

\operatorname{Spin}(7)

의 군의 작용을 갖는다. 이는

\operatorname O(8)

의 부분군이다.

호프 주다발

\operatorname{SU}(2) \hookrightarrow \mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4

에 의하여,

\mathbb S^7

위에는

\operatorname{Spin}(5)

및

\operatorname{SU}(2)

가 작용한다. 사실, SU(2)의 작용은

\operatorname{Spin}(5)

의 작용의 부분 작용이며,

\mathbb S^7 = \operatorname{Spin}(5) / \operatorname{SU}(2)

이다.

3. 3. 평행화 가능 다양체

7차원 초구는 평행화 가능 다양체이다. 초구 가운데 평행화 가능한 다양체인 것은 0차원, 1차원, 3차원, 7차원뿐이며, 이들은 각각 실수, 복소수, 사원수, 팔원수와 같은 실수체 위의 노름 나눗셈 대수에서 유래한다. 이 가운데 리 군을 이루지 않는 것은 7차원 초구뿐인데, 이는 팔원수가 결합 법칙을 따르지 않기 때문이다.

구체적으로, 단위 팔원수의 다양체

:

\mathbb S^7 = \{a\in\mathbb O \colon |a|=1\}

에서, 임의의 점

a

의 접공간은

:

\{a+b\in\mathbb O \colon a \perp b\}

이다. 여기서 수직 조건은

:

\operatorname{Re}(a^* b) = 0

으로 적을 수 있다. 즉

:

a^*b + b^*a = 0

이다. 여기서

:

b = (a^*)^{-1}c

로 치환하면

:

a^*((a^*)^{-1}c) + (c^*a^{-1})a = 0

이다. 팔원수는 교대 대수이므로, 이는

:

c + c^* = 0

이다. 즉,

c

는 순허수 팔원수이다. 이로써 단위 팔원수의 다양체

\mathbb S^7

의 접공간은 표준적으로 순허수 팔원수의 공간과 동형이며, 이에 따라 7차원 초구는 평행화 가능 다양체이다.

3. 4. 미분 형식

호프 올다발

\operatorname{SU}(2)\hookrightarrow\mathbb S^7 \twoheadrightarrow \mathbb S^4

로 인해,

\mathbb S^4

의 부피 형식을

\mathbb S^7

로 당길 수 있다. 이는 4차 완전 미분 형식을 이루며,

\mathbb S^7

의 G₂ 구조의 일부이다. 이는 정의에 따라

\operatorname{SU}(2)

의 작용에 대하여 불변이다.

보다 구체적으로, 순허수 팔원수의 곱셈에 의하여 7차원 유클리드 공간에는 반대칭 쌍선형 연산

:

(\times)\colon \mathbb R^7 \times \mathbb R^7 \to \mathbb R^7

이 존재한다. 노름을 사용하여, 이를

\mathbb R^7

위의 3차 미분 형식

:

\varphi\in \bigwedge^3 \mathbb R^7

:

\varphi(u,v,w) = \langle u,v\times w\rangle

으로 놓을 수 있다. 이제, 팔원수 공간

:

\mathbb O = \mathbb R \oplus \mathbb R^7

위에 다음과 같은 4차 미분 형식을 정의하자.

:

\Phi = \mathrm dx \wedge \pi^*\varphi + \pi^*(\star\varphi)

여기서

$\star\varphi \in \textstyle\bigwedge^4\mathbb R^7$ 는 $\varphi$ 의 호지 쌍대이다.
$\pi \colon \mathbb O \twoheadrightarrow \mathbb R^7$ 는 팔원수의 실수 성분을 0으로 놓는 사영 사상이다.
$\pi^*$ 는 $\mathbb R^7$ 위에 정의된 미분 형식을 $\mathbb O$ 위로 당기는 연산이다.

이는 자기 쌍대 미분 형식이다.

:

\Phi = \star \Phi

자기 쌍대성에 의하여, 이는 다음과 같은 꼴을 갖는다.

:

\Phi \restriction (\mathbb O \setminus\{0\}) = r^3 \wedge \phi + r^4 \star_{\mathbb S^7} \phi

여기서

r \colon \mathbb O \to [0,\infty)

는 팔원수의 노름 좌표이다. 이에 따라서, 단위 팔원수의 공간

\mathbb S^7

위에 3차 미분 형식

:

\phi \in \Omega^3(\mathbb S^7)

을 정의할 수 있다. 이는

:

\mathrm d\phi = 4\star \phi

를 따르며,

\mathbb S^7

위의 G₂ 구조를 정의한다.^[2]

\phi

는 닫힌 미분 형식이 아니므로, 7차원 초구는 사실 실제 G₂ 다양체를 이루지는 않는다. (7차원 초구의 홀로노미는 대칭 공간

\mathbb S^7 = \operatorname{SO}(8)/\operatorname{SO}(7)

에 의하여

\operatorname{SO}(7)

이며, 이는

G_2

보다 더 크다.)

3. 5. 매끄러움 구조

4차원을 제외하면, 표준적 초구와 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 다양체가 존재하는 최초의 차원은 7차원이다. 7차원 초구와 위상 동형인 매끄러운 다양체들의 (미분 동형류의) 집합은 연결합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 28차 순환군

\operatorname{Cyc}(28)

과 동형이다. 즉, 표준적인 7차원 초구를 제외하면 총 27개의 '''이색적 7차원 초구'''(exotic 7-sphere^영어)가 존재한다.

예를 들어,

\operatorname{Sp}(2) = \operatorname{USp}(4) \cong \operatorname{Spin}(5)

위의

\operatorname{Sp}(1)

의 다음과 같은 작용을 생각하자.

:

\operatorname{Sp}(1) \times \operatorname{Sp}(2) \to \operatorname{Sp}(2)

:

q \cdot M = \begin{pmatrix}q&0\\0&q\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}\bar q&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad(q\in\mathbb H,\;\|q\|=1,\;M\in\operatorname{Sp}(2) \subset\operatorname{Mat}(2,2;\mathbb H))

그렇다면, 이에 대한 궤도의 공간은 10−3 = 7차원 매끄러운 다양체를 이룬다. 이는 7차원 초구와 위상 동형이지만 미분 동형이 아니다. 이를 '''그로몰-마이어 초구'''(Gromoll–Meyer sphere^영어)라고 한다.^[3]

3. 6. 호모토피 군

7차원 초구의 15차 이하의 호모토피 군 가운데 자명군이 아닌 것은 다음과 같다.

호모토피 군	값
$\pi_7(\mathbb S^7)$	정수 집합 $\mathbb Z$
$\pi_8(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_9(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_{13}(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$
$\pi_{10}(\mathbb S^7)$	모듈로 24 정수 집합 $\mathbb Z/(24)$
$\pi_{14}(\mathbb S^7)$	모듈로 120 정수 집합 $\mathbb Z/(120)$
$\pi_{15}(\mathbb S^7)$	모듈로 2 정수 집합 $\mathbb Z/(2)$ 의 세제곱 $(\mathbb Z/(2))^3$

4. 역사

존 밀너는 1956년에 7차원 초구가 여러 개의 매끄러움 구조를 갖는다는 사실을 최초로 증명하였다.

참조

_[1] 논문 "''S''⁷ and ''Ŝ''⁷"
_[2] 논문 Associative submanifolds of the 7-Sphere
_[3] 논문 An exotic sphere with nonnegative sectional curvature 1974-09

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