마그마 (수학)

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1. 개요

마그마는 이항 연산을 갖춘 집합으로, 임의의 두 원소에 대해 집합 내의 유일한 원소를 대응시키는 함수가 주어진 집합을 의미한다. 마그마는 연산의 결합 법칙, 교환 법칙, 항등원 유무 등 연산이 만족하는 공리에 따라 다양한 종류로 분류되며, 준군, 반군, 모노이드, 군 등이 있다. 또한 마그마 사이의 관계를 나타내는 준동형 사상, 동형 사상 등의 개념이 존재하며, 부분 마그마, 잉여 마그마 등의 구조도 정의된다. 집합 X 위의 자유 마그마는 X에 의해 생성된 가장 일반적인 마그마이다. '마그마'라는 용어는 프랑스 수학자 니콜라 부르바키에 의해 도입되었으며, 마그마는 대수적 구조 연구에 중요한 기초를 제공한다.

마그마 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 종류
- 3.1. 기본 분류
- 3.2. 추가 성질에 따른 분류
4. 자유 마그마
5. 표기법 및 조합론
6. 마그마의 범주
7. 역사

2. 정의

마그마 $(M,\cdot)$ 는 이항 연산을 갖춘 집합이다. 즉, 임의의 원소쌍 $m,n\in M$ 에 유일한 원소 $m\cdot n\in M$ 를 대응시키는 함수가 주어진 집합이다.

마그마는 집합 M과, M의 임의의 두 원소 a, b에 대해 μ(a, b) 또는 a ⋅ b로 표시되는 다른 원소를 대응시키는 이항 연산 μ의 쌍으로 정의된다. 기호 •는 적절하게 정의된 연산을 위한 일반적인 자리 표시자이다. 마그마로 간주되려면 집합과 연산 $(M, \cdot)$ 은 다음과 같은 닫힘 성질을 만족해야 한다.

: M의 모든 a, b에 대해 연산 $a \cdot b$ 의 결과도 M에 속한다.

이를 수학적 표기법으로 다음과 같이 나타낸다.

: $a, b \in M \implies a \cdot b \in M.$

연산이 명백하고 혼동의 우려가 없을 때는 연산 기호를 생략하여 대집합의 기호만으로 마그마 M 등으로 부른다. 종종 이항 연산 μ는 마그마 M에서의 곱셈이라고도 불리며, 이때의 연산 결과 μ(a, b)는 a와 b의 곱이라고 한다. 또한, 오해의 우려가 없다면 곱 μ(a, b)는 연산 기호를 생략하여 종종 ab로 표기한다. 연산 기호가 생략된 경우, 마그마가 대집합과 연산의 쌍임을 명시하기 위해 플레이스홀더를 사용하여 (M, ·)와 같이 표기한다.

2.1. 부분 마그마

마그마 (M, μ)에 대해, 집합 M의 부분집합 N이 M의 연산 μ에 관해 닫혀있어 마그마를 이룬다면, 마그마 (N, μ)를 M의 부분 마그마라고 한다.

2.2. 마그마 준동형

두 마그마 $(M,\cdot_M),(N,\cdot_N)$ 사이의 준동형 $f\colon M\to N$ 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

* 임의의 $m,m'\in M$ 에 대하여, $f(m\cdot_Mm')=f(m)\cdot_Nf(m')$

이는 마그마의 사상이 이항 연산을 보존한다는 의미이다. 즉, magma morphism/homomorphism^영어 또는 마그마 준동형은 마그마의 이항 연산을 보존하는 사상 f: M → N이며, 다음과 같이 표현된다.

: $f(\mu(x,y)) = \nu(f(x),f(y))$

마그마 준동형 f: M → N이 전단사이면 f의 역사상 f^-1 : N → M 또한 마그마 준동형이며, M과 N은 마그마로서 같은 구조를 가진다고 생각할 수 있다. 이 때, f(및 f^-1)를 마그마 동형 사상 (magma isomorphism^영어) 또는 마그마 동형이라고 부르며, 두 개의 마그마 M과 N은 서로 동형 (isomorphic^영어)이라고 한다.

2.3. 마그마 합동과 잉여 마그마

마그마 (M, μ)와 집합 M 위의 동치 관계 ∼가 주어졌을 때, 이 동치 관계 ∼이 마그마 합동이라는 것은 임의의 x, y, u, v ∈ M에 대해 다음이 성립한다는 것을 의미한다.
: $x\sim y,\, u\sim v \Longrightarrow \mu(x,u) \sim \mu(y,v)$
이는 마그마 연산 μ와 양립함을 뜻한다. ∼이 마그마 합동일 때, ∼에 의한 합동류 전체
: $M/{\sim} := \{[x] \mid x\in M\} \quad ([x] := \{z \in M \mid x\sim z\})$
에 이항 연산 μ′를 다음과 같이 정의하면,
: $\mu'([x], [u]) := [\mu(x,u)]$
이는 모순 없이 정의되며, (M/∼, μ′)는 다시 마그마를 이룬다. 이것을 마그마 M의 마그마 합동 ∼에 의한 잉여 마그마(residue class magma^영어), 몫 마그마(quotient magma^영어), 인자 마그마(factor magma^영어) 등으로 부른다.

3. 종류

마그마는 이항 연산이 만족하는 공리에 따라 여러 종류로 분류된다.

--

마그마는 그 자체로 자주 연구되지 않으며, 대신 이항 연산에 특정 공리를 추가하여 다양한 종류의 대수 구조를 연구한다. 주요 대수 구조는 다음과 같다.

* 준군: 나눗셈이 항상 가능한 마그마.
* 루프: 항등원을 가진 준군.
* 반군: 연산이 결합 법칙을 따르는 마그마.
* 모노이드: 항등원을 갖는 반군.
* 군: 역원을 갖는 모노이드.
* 아벨 군: 연산이 교환 법칙을 만족하는 군.

이 밖에도 가환 마그마나 가환 모노이드와 같이 특별한 명칭이 없는 대수 구조도 자주 다루어진다.

3.1. 기본 분류

* 단위 마그마(單位-, unital magma^영어)는 항등원을 갖는 마그마이다.
* 중가환 마그마(中可換-, medial magma^영어)는 중가환 법칙 $(mn)(pq)=(mp)(nq)$ 를 만족시키는 마그마이다.
* 가환 마그마(可換-, commutative magma^영어)는 교환 법칙을 만족시키는 마그마이다.
* 유사군은 모든 왼쪽·오른쪽 곱셈 작용이 전단사 함수인 마그마이다.
* 고리는 항등원을 갖는 유사군이다.
* 반군은 결합 법칙을 만족시키는 마그마이다.
* 반격자는 교환 법칙과 멱등 법칙을 만족시키는 반군이다.
* 모노이드는 항등원을 갖는 반군이다.
* 군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다.
* 아벨 군은 교환 법칙을 만족시키는 군이다.
--
마그마는 그 자체로 자주 연구되지 않으며, 대신 연산이 어떤 공리를 만족해야 하는지에 따라 여러 종류의 마그마가 존재한다. 일반적으로 연구되는 마그마의 유형은 다음과 같다.
* 준군: 나눗셈이 항상 가능한 마그마.
루프: 항등원을 가진 준군.
* 반군: 연산이 결합 법칙을 따르는 마그마.
모노이드: 항등원을 가진 반군.
* 군: 역원, 결합 법칙, 그리고 항등원을 갖는 마그마.

가역성과 역원은 각각 소거법칙을 함축한다.

; 교환성을 가진 마그마:
* 가환 마그마: 교환성을 가진 마그마.
* 가환 모노이드: 교환성을 가진 모노이드.
* 아벨 군: 교환성을 가진 군.

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그룹 유사 구조
	전체	결합	항등원	가분성	교환
마그마	예	아니오	아니오	아니오	아니오
교환 마그마	예	아니오	아니오	아니오	예
준군	예	아니오	아니오	예	아니오
교환 준군	예	아니오	아니오	예	예
단위 마그마	예	아니오	예	아니오	아니오
교환 단위 마그마	예	아니오	예	아니오	예
루프	예	아니오	예	예	아니오
교환 루프	예	아니오	예	예	예
반군	예	예	아니오	아니오	아니오
교환 반군	예	예	아니오	아니오	예
결합 준군	예	예	아니오	예	아니오
교환-및-결합 준군	예	예	아니오	예	예
모노이드	예	예	예	아니오	아니오
교환 모노이드	예	예	예	아니오	예
군	예	예	예	예	아니오
아벨 군	예	예	예	예	예

마그마 , ∈ 에 대해 다음이 정의된다.

;중간: 항등식 를 만족하는 경우
;좌반중간: 항등식 를 만족하는 경우
;우반중간: 항등식 를 만족하는 경우
;반중간: 좌반중간과 우반중간을 모두 만족하는 경우
;좌분배적: 항등식 를 만족하는 경우
;우분배적: 항등식 를 만족하는 경우
;자동분배적: 좌분배적과 우분배적을 모두 만족하는 경우
;교환: 항등식 를 만족하는 경우
;멱등: 항등식 를 만족하는 경우
;단일: 항등식 를 만족하는 경우
;영원: 항등식 를 만족하는 경우
;대안적: 항등식 및 를 만족하는 경우
;멱-결합적: 임의의 원소에 의해 생성된 부분 마그마가 결합적인 경우
;가변적: 인 경우
;결합적: 항등식 를 만족하는 경우, 반군이라고도 함
;좌 단항: 항등식 를 만족하는 경우
;우 단항: 항등식 를 만족하는 경우
;영 곱셈을 갖는 반군, 또는 영 반군: 항등식 를 만족하는 경우
;단위적: 항등원을 갖는 경우
;좌-소거가능: 모든 에 대해, 관계 가 를 의미하는 경우
;우-소거가능: 모든 에 대해, 관계 가 를 의미하는 경우
;소거가능: 우-소거가능 및 좌-소거가능인 경우
;좌 영 반군을 갖는 반군: 반군이며, 항등식 를 만족하는 경우
;우 영 반군을 갖는 반군: 반군이며, 항등식 를 만족하는 경우
;3중간: 임의의 세 원소(반드시 서로 다를 필요는 없음)가 중간 부분 마그마를 생성하는 경우
;엔트로피: 중간 소거 마그마의 준동형 이미지인 경우.
;중심: 항등식 를 만족하는 경우

각 꼭짓점은 마그마, 준군, 반군, 루프, 모노이드, 군을 나타내며, 각 화살표는 가제성, 결합성, 단위원을 가짐, 가역성을 나타낸다. 가제성과 가역성은 모두 소거법칙의 성립을 함의한다.

일반적으로 마그마 자체를 연구하는 경우는 드물며, 대신 마그마의 이항 연산에 특정 공리를 추가하여 다양한 종류의 대수 구조를 연구한다. 주요 대수 구조는 다음과 같다.

* 준군: 공집합이 아닌 마그마로, 나눗셈이 항상 가능하다.
* 루프: 단위원을 가진 준군 (단위적 준군).
* 반군: 연산이 결합적인 마그마.
* 모노이드: 단위원을 갖는 반군 (단위적 반군).
* 군: 역원을 갖는 모노이드.
* 아벨 군: 연산이 가환인 군.

가환 마그마나 가환 모노이드와 같이 특별한 명칭이 없는 대수 구조도 자주 다루어진다.

3.2. 추가 성질에 따른 분류

* 단위 마그마(單位-, unital magma^영어)는 항등원을 갖는 마그마이다.
* 중가환 마그마(medial magma^영어)는 중가환 법칙 $(mn)(pq)=(mp)(nq)$ 를 만족시키는 마그마이다.
* 가환 마그마(commutative magma^영어)는 교환 법칙을 만족시키는 마그마이다.
* 유사군은 모든 왼쪽·오른쪽 곱셈 작용이 전단사 함수인 마그마이다.
* 고리는 항등원을 갖는 유사군이다.
* 반군은 결합 법칙을 만족시키는 마그마이다.
* 반격자는 교환 법칙과 멱등 법칙을 만족시키는 반군이다.
* 모노이드는 항등원을 갖는 반군이다.
* 군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다.
* 아벨 군은 교환 법칙을 만족시키는 군이다.
* 준군은 나눗셈이 항상 가능한 마그마이다.
** 루프: 항등원을 가진 준군.
가역성과 역원은 각각 소거법칙을 함축한다.

; 교환성을 가진 마그마:
* 가환 모노이드는 교환성을 가진 모노이드이다.

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style="background:#cee0f2; padding:0.2em 0.4em 0.2em; text-align:center; font-size:130%; line-height:1.2em; font-weight: bold" | 그룹 유사 구조
	전체	결합	항등원	가분성	교환
부분 마그마
반군군
소범주
군군
교환 군군
마그마
교환 마그마
준군
교환 준군
단위 마그마
교환 단위 마그마
루프
교환 루프
반군
교환 반군
결합 준군
교환-및-결합 준군
모노이드
교환 모노이드
군
아벨 군

마그마 , ∈ 에 대해 다음이 정의된다.

;중간: 항등식 를 만족하는 경우
;좌반중간: 항등식 를 만족하는 경우
;우반중간: 항등식 를 만족하는 경우
;반중간: 좌반중간과 우반중간을 모두 만족하는 경우
;좌분배적: 항등식 를 만족하는 경우
;우분배적: 항등식 를 만족하는 경우
;자동분배적: 좌분배적과 우분배적을 모두 만족하는 경우
;멱등: 항등식 를 만족하는 경우
;단일: 항등식 를 만족하는 경우
;영원: 항등식 를 만족하는 경우
;대안적: 항등식 및 를 만족하는 경우
;멱-결합적: 임의의 원소에 의해 생성된 부분 마그마가 결합적인 경우
;가변적: 인 경우
;결합적: 항등식 를 만족하는 경우, 반군이라고도 함
;좌 단항: 항등식 를 만족하는 경우
;우 단항: 항등식 를 만족하는 경우
;영 곱셈을 갖는 반군, 또는 영 반군: 항등식 를 만족하는 경우
;단위적: 항등원을 갖는 경우
;좌-소거가능: 모든 에 대해, 관계 가 를 의미하는 경우
;우-소거가능: 모든 에 대해, 관계 가 를 의미하는 경우
;소거가능: 우-소거가능 및 좌-소거가능인 경우
;좌 영 반군을 갖는 반군: 반군이며, 항등식 를 만족하는 경우
;우 영 반군을 갖는 반군: 반군이며, 항등식 를 만족하는 경우
;3중간: 임의의 세 원소(반드시 서로 다를 필요는 없음)가 중간 부분 마그마를 생성하는 경우
;엔트로피: 중간 소거 마그마의 준동형 이미지인 경우.
;중심: 항등식 를 만족하는 경우

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멱등성	교환 법칙	결합 법칙	소거 법칙	OEIS 수열 (라벨링)	OEIS 수열 (동형류)




			a(0)=1 추가





			a(0)=1 추가	a(0)=0 대신 a(0)=1

				n=0이고 모든 홀수 n에 대해 a(n)=1, 모든 짝수 n≥2에 대해 a(n)=0
			a(0)=a(1)=1, 모든 n≥2에 대해 a(n)=0	a(0)=a(1)=1, 모든 n≥2에 대해 a(n)=0
			a(0)=1 추가	a(0)=1 추가
			a(0)=a(1)=1, 모든 n≥2에 대해 a(n)=0	a(0)=a(1)=1, 모든 n≥2에 대해 a(n)=0

마그마 M이,

* 단위적(unital^영어)이라 함은, 단위원을 가질 때를 말한다.
* 중가환(medial^영어)이라 함은, 항등식 (xy)(uz) = (xu)(yz)를 만족할 때를 말한다.
* 좌반중가환(left semimedial^영어)이라 함은, 항등식 (xx)(yz) = (xy)(xz)를 만족할 때를 말한다.
* 우반중가환(right semimedial^영어)이라 함은, 항등식 (yz)(xx) = (yx)(zx)를 만족할 때를 말한다.
* 반중가환(semimedial^영어)이라 함은, 좌중가환이면서 우중가환일 때를 말한다.
* 좌분배적(left distributive^영어)이라 함은, 항등식 x(yz) = (xy)(xz)를 만족할 때를 말한다.
* 우분배적(right distributive^영어)이라 함은, 항등식 (yz)x = (yx)(zx)를 만족할 때를 말한다.
* 양측 분배적(autodistributive^영어)이라 함은, 좌분배적이면서 우분배적일 때를 말한다.
* 가환(commutative^영어)이라 함은, xy = yx가 성립하는 항등식이 있을 때를 말한다.
* 멱등(idempotent^영어)이라 함은, xx = x가 항등적으로 성립할 때를 말한다.
* 단멱(unipotent^영어)이라 함은, 항등적으로 xx = yy가 될 때를 말한다.
* 영멱(zeropotent^영어)이라 함은, 항등식 (xx)y = y(xx) = xx가 성립할 때를 말한다.
* 좌교대적(left-alternative^영어)이라 함은, 항등식 (xx)y = x(xy)가 성립할 때를 말한다.
* 우교대적(right-alternative^영어)이라 함은, 항등식 y(xx) = (yx)x가 성립할 때를 말한다.
* 교대적(alternative^영어)이라 함은, 좌교대적이면서 우교대적일 때를 말한다.
* 멱결합적(power-associative^영어)이라 함은, 임의의 원소가 생성하는 부분 마그마가 항상 결합적이 될 때를 말한다.
* 좌소거적(left-cancellative^영어)이라 함은, 등식 xy = xz로부터 항상 y = z를 추론할 수 있을 때를 말한다.
* 우소거적(right-cancellative^영어)이라 함은, 등식 yx = zx로부터 항상 y = z를 추론할 수 있을 때를 말한다.
* 소거적(cancellative^영어)이라 함은, 좌소거적이면서 우소거적일 때를 말한다.
* 반군(semigroup^영어) 또는 결합적(associative^영어)이라 함은, x(yz) = (xy)z가 항등식일 때를 말한다.
* 좌영 붙은 반군(semigroup with left zeros^영어)이라 함은, x = xy를 항등적으로 만족하는 원 x가 존재할 때를 말한다.
* 우영 붙은 반군(semigroup with right zeros^영어)이라 함은, x = yx가 항등적으로 성립하는 원 x를 취할 수 있을 때를 말한다.
* 영반군(semigroup with zero multiplication, null semigroup^영어)이라 함은, 항등식 xy = uv를 만족할 때를 말한다.
* left unar이라 함은, 항등식 xy = xz를 만족할 때를 말한다.
* right unar이라 함은, yx = zx가 성립하는 항등식이 있을 때를 말한다.
* trimedial이라 함은, 임의의 세 원소(반드시 서로 다를 필요는 없다)가 생성하는 부분 마그마가 중가환일 때를 말한다.
* entropic이라 함은, 어떤 중가환 소거 마그마의 준동형 사상일 때를 말한다.

4. 자유 마그마

집합 X 위의 자유 마그마는 X로부터 생성되는 가장 일반적인 마그마이다. 이는 괄호가 유지된 X에 대한 비결합 단어의 집합 또는 X의 원소로 레이블이 지정된 잎을 가진 전체 이진 트리의 집합으로 볼 수 있다. 연산은 루트에서 트리를 결합하는 것이다.

자유 마그마는 X에서 임의의 마그마 N으로의 함수 f : X → N^영어가 주어졌을 때, 마그마 사상으로 유일하게 확장되는 보편 성질을 갖는다.

집합 S에서 임의의 마그마 M으로의 사상 f: S → M가 주어졌을 때, f는 S 위의 자유 마그마 F_S에서 M으로의 마그마 준동형으로 유일하게 확장된다.

5. 표기법 및 조합론

마그마 연산은 반복적으로 적용될 수 있으며, 결합 법칙이 일반적으로 성립하지 않는 경우 순서가 중요하며, 괄호를 사용하여 표기한다. 또한 연산(•)은 종종 생략되고 나란히 표기된다.

: (a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d.

괄호의 수를 줄이기 위해, 가장 안쪽의 연산과 괄호 쌍을 생략하고 나란히 표기하는 축약형이 자주 사용된다: xy • z ≡ (x • y) • z. 예를 들어, 위 식은 괄호를 포함한 다음 식으로 줄여 쓸 수 있다.

: (a • bc)d.

괄호 사용을 완전히 피하는 방법은 전위 표기법이며, 동일한 표현을 ••a•bcd로 쓸 수 있다. 프로그래머에게 익숙한 또 다른 방법은 후위 표기법(역 폴란드 표기법)이며, 동일한 표현을 abc••d•로 쓸 수 있다. 여기서 실행 순서는 단순히 왼쪽에서 오른쪽으로 진행된다(커링 없음).

마그마의 원소를 나타내는 기호와 균형 잡힌 괄호 집합으로 구성된 모든 가능한 문자열의 집합을 Dyck 언어라고 한다. 마그마 연산자를 n번 적용하는 서로 다른 모든 방법의 총 개수는 카탈란 수 C_n으로 주어진다. 따라서, 예를 들어, C₂ = 2인데, 이는 (ab)c와 a(bc)가 마그마의 세 원소를 두 개의 연산으로 짝짓는 유일한 두 가지 방법임을 나타낸다. 덜 자명하게, C₃ = 5이며, ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd))와 같다.

n개의 원소를 가진 마그마는 n^n²개이다. 0, 1, 2, 3, 4, ...개의 원소를 가진 마그마의 개수, 비-동형 마그마의 개수, 동형도 아니고 반동형도 아닌 마그마의 개수는 다음과 같다.

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원소 개수	마그마 개수	비-동형 마그마 개수	동형도 아니고 반동형도 아닌 마그마 개수
0	1	1	1
1	1	1	1
2	16	10	7
3	19683	3330	1734
4	4294967296	178981952	89521056

6. 마그마의 범주

마그마의 범주 Mag는 마그마를 대상으로 하고 마그마 준동형사상을 사상으로 하는 범주이다. Mag는 직접곱을 가지며, 다음과 같은 포함 함자가 존재한다.

* (사칙 연산이 투영으로 주어지는 자명한 마그마로서).

단사 사상 자기 준동형 사상이 마그마 대수적 확장의 자기 동형 사상으로 확장될 수 있다는 중요한 성질이 있는데, 이는 (상수 수열의) 자기 준동형 사상의 공극한이다.

단일 집합가 Mag의 종대상이고, Mag가 대수적 범주이기 때문에, Mag는 점을 가지고 있으며 완비 범주이다.

7. 역사

magma^프랑스어는 니콜라 부르바키가 도입한 용어로, 프랑스어로 '잡동사니'라는 뜻이 있다. 1927년 하인리히 브란트는 자신의 브란트 군(Brandt groupoid)을 설명하면서 '군군'이라는 용어를 처음 사용했다. 이 용어는 B. A. 하우스만과 외위슈테인 오레(1937)에 의해 이 문서에서 사용된 의미(이항 연산을 가진 집합)로 사용되었다. Zentralblatt의 몇몇 후속 논문에 대한 리뷰에서 브란트는 이러한 용어의 중복 사용에 강력하게 반대했다. 브란트 군은 범주론에서 사용되는 의미의 군군이지만, 하우스만과 오레가 사용한 의미는 아니다. 그럼에도 불구하고, 클리퍼드와 프레스턴(1961), 하우이(1995)를 포함한 반군 이론의 영향력 있는 책들은 하우스만과 오레의 의미로 군군을 사용한다. 홀링스(2014)는 '군군'이라는 용어가 범주론에서 부여된 의미로 "현대 수학에서 아마도 가장 자주 사용된다"고 적고 있다.

Bergman과 Hausknecht(1996)에 따르면 "반드시 결합적일 필요는 없는 이항 연산을 가진 집합에 대해 일반적으로 통용되는 단어는 없다. '군군'이라는 단어는 많은 보편 대수학자들이 사용하지만, 범주론 및 관련 분야의 연구자들은 '모든 사상이 가역적인 범주'를 의미하기 위해 같은 단어를 사용하기 때문에 이러한 사용법에 강력하게 반대한다. '마그마'라는 용어는 세르가 [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]에서 사용했다."