L∞-대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. (준) 동형 사상과 최소 모델
4. 예시
5. 응용
참조

1. 개요

L_∞-대수는 여러 가지 동치인 정의가 존재하는 대수 구조로, 괄호를 통한 정의, 미분 등급 대수를 통한 정의, 오퍼라드를 통한 정의 등 다양한 방식으로 정의된다. L_∞-대수는 변형 이론, 끈 이론, 게이지 이론, 양자화 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 아르틴 스택의 도출된 변형 연구에 중요한 역할을 한다. L_∞-대수의 예시로는 미분 등급 리 대수, 리 n-대수, 거스틴해버 대수 등이 있다.

2. 정의

호모토피 리 대수에는 여러 가지 정의가 있으며, 이들은 서로 동치이다. 이 정의들은 각각 다른 관점에서 L_∞-대수의 구조를 설명한다. 가장 일반적인 정의는 대칭 다중 선형 사상(고차 괄호)을 사용하는 것이지만, 형식 기하학의 언어를 사용한 더 간결한 기하학적 정의도 존재한다. 또한 오퍼라드 이론을 사용한 추상적인 정의도 가능하다.^[7]

2. 1. 괄호를 통한 정의

표수 0인 체 K 위의 초벡터 공간 V에 대해, L_∞-대수는 일련의 등급 반대칭 n항 연산(괄호)들로 정의된다. 이 연산들은 일반화된 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

K 위의 L_∞-대수 A는 다음과 같은 연산들이 주어진, K 위의 ℤ-등급 벡터 공간이다.

:

A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A^i

각 $n\ge1$ 에 대하여, 등급 반대칭 n항 연산 $[-,-,\dotsc,-]\colon \textstyle\bigwedge^n V \to K$ . 그 등급은 $n-2$ 이다. 즉, 2항 괄호의 등급은 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.
$\deg[a_1,\dotsc,a_n]_n = n -2 + \sum_{i=1}^n\deg a_i$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

:

0=\sum_{i+j=n+1}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(i,n-i)} e(\sigma)(-1)^{\sigma+i(j-1)}여기서

$\operatorname{Sh}(i,n-i)$ 는 $(i,n-i)$ -셔플 순열의 집합이다.
$e(\sigma)$ 는 순열 $\sigma$ 가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 +1, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 -1이다. 이를 코쥘 부호(Koszul sign^영어)라고 한다.

이 정의는 무한 개의 대칭적인 다중 선형 사상들의 모음을 통해 이루어지는 고차 괄호를 통한 정의와 동치이다.

2. 2. 미분 등급 대수를 통한 정의

표수가 0인 체

K

위의 유한 차원 등급 벡터 공간의 경우, L_∞-대수는 가환 미분 등급 대수(commutative differential graded algebra)를 통해 다음과 같이 정의될 수 있다.

$K$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 $A=\textstyle\bigoplus_{i\in\mathbb Z^+}A_i$ 가 주어져 있을 때, 다음을 정의한다.
* $A^*$ 는 $A$ 의 대수적 쌍대 공간이다.
* $\operatorname{Sym}(A^*)$ 은 등급 벡터 공간 $A^*$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
$\mathrm d \colon \operatorname{Sym}(V^*)\to\operatorname{Sym}(V^*)$ 는 $\operatorname{Sym}(V^*)$ 위에 정의된 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
* $\mathrm d$ 는 $K$ -선형 변환이다.
* $\mathrm d\circ \mathrm d = 0$
* $\mathrm d(ab) = (\mathrm da)b + (-)^{\deg a} a\mathrm db$ (여기서 $a$ 는 동차 성분이다.)
* $\deg(\mathrm da) = 1+\deg a$ (여기서 $a$ 는 동차 성분이다.)
추가적으로 다음 조건이 만족되어야 한다.
* 표준 사영 $(\operatorname{Sym}(V^*),\mathrm d) \to (K,0)$ 는 미분 등급 대수의 준동형이다.

이때, 만약 마지막 조건을 생략하면, 굽은 L_∞-대수curved L_∞-algebra^영어의 개념을 얻게 된다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 괄호

[-,-,\dotsc,-]_\bullet

를 통한 정의에서,

A

의 임의의 기저

:

A = \operatorname{Span}_K\{t_i\}_{i\in I}

를 잡는다. 그 쌍대 기저는

:

A^* = \operatorname{Span}_K\{t^i\}_{i\in I}

이며,

:

\deg t^i = \deg t_i + 1

로 놓는다. 그러면,

:

\mathrm d \colon t^i \mapsto -\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}t^i([t_{i_1},\dotsc,t_{i_n}]_n) t^{i_1}  t^{i_2} \dotsm t^{i_n}

이다. 이 경우, 멱영 조건

:

\mathrm d^2 = 0

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

호모토피 리 대수는 등급 벡터 공간

V = \bigoplus V_i

위의 차수

>1

의 연속적인 미분

m

으로, 형식적인 다양체

\hat{S}\Sigma V^*

에서 제곱하면 0이 된다. 여기서

\hat{S}

는 완비 대칭 대수,

\Sigma

는 등급 벡터 공간의 현수(suspension)이며,

V^*

는 선형 쌍대 공간을 나타낸다. 전형적으로

(V,m)

을 호모토피 리 대수로, 미분

m

을 갖는

\hat{S}\Sigma V^*

를 그 대표적인 가환 미분 등급 대수로 묘사한다.

이 정의를 사용하여 호모토피 리 대수의 사상

f\colon(V,m_V)\to (W,m_W)

을 벡터장과 교환하는, 즉

f \circ m_V = m_W \circ f

를 만족하는 그들의 대표적인 가환 미분 등급 대수의 사상

f\colon\hat{S}\Sigma V^*\to\hat{S}\Sigma W^*

로 정의한다. 호모토피 리 대수와 그 사상은 범주를 정의한다.

2. 3. 오퍼라드를 통한 정의

오퍼라드 이론을 사용하여 L_∞-대수를 정의할 수 있다. 이 경우, L_∞-대수는 L_∞ 오퍼라드 위의 대수로 정의된다.^[1]

3. 성질

호모토피 리 대수의 사상 $f\colon V\to W$ 는 그 선형 성분 $f\colon V\to W$ 가 (준) 동형 사상일 때 (준) 동형 사상이라고 한다. 여기서 $V$ 와 $W$ 의 미분은 각각 $m_V$ 와 $m_W$ 의 선형 성분이다.

호모토피 리 대수의 중요한 특별한 부류는 최소 호모토피 리 대수인데, 이는 선형 성분 $l_1$ 이 사라지는 것으로 정의된다.

3. 1. (준) 동형 사상과 최소 모델

호모토피 리 대수 사이의 사상

f\colon V\to W

는 그 선형 성분

f\colon V\to W

가 (준) 동형 사상일 때 (준) 동형 사상이라고 한다. 여기서

V

와

W

의 미분은 각각

m_V

와

m_W

의 선형 성분이다.

호모토피 리 대수의 중요한 특별한 부류는 최소 호모토피 리 대수인데, 이는 선형 성분

l_1

이 사라지는 것으로 정의된다. 이는 최소 호모토피 리 대수의 임의의 준동형 사상은 동형 사상이어야 함을 의미한다. 임의의 호모토피 리 대수는 최소 호모토피 리 대수와 준동형 관계에 있으며, 이는 동형 사상까지 유일해야 하므로 이를 최소 모델이라고 한다.

4. 예시

$L_\infty$ -대수는 매우 복잡한 구조를 가지고 있어서, 간단한 경우를 설명하는 것조차 쉽지 않다. 하지만, 미분 등급 리 대수에서 파생되는 간단한 경우와 유한 차원 예제에서 파생되는 경우가 존재한다.
2항 L_∞-대수0이 아닌 기저 벡터 공간이 두 개인 $L_\infty$ -대수는 차수가 0과 1인 경우, 0과 n인 경우 등으로 나눌 수 있으며, 이 경우 고차 괄호는 리 대수 코호몰로지의 고차 코사이클과 관련된다.^[3]
유한 차원 예제 $L_\infty$ -대수의 구조는 복잡하지만, 유한 차원 예제를 통해 그 특성을 파악할 수 있다. 예를 들어, 등급 벡터 공간 $V = V_0 \oplus V_1$ 에서 $V_0$ 는 벡터 $w$ 로, $V_1$ 은 벡터 $v_1, v_2$ 로 기저가 주어질 때, 다음 규칙에 의해 $L_\infty$ -대수 구조를 정의할 수 있다.^[4]

$l_1(v_1) = l_1(v_2) = w$
$l_2(v_1\otimes v_2) = v_1, l_2(v_1\otimes w) = w$
$l_n(v_2\otimes w^{\otimes n-1}) = C_nw$ ( $n \geq 3$ )

여기서

C_n = (-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1}, C_3 = 1

이며, 처음 몇 개의 상수는 다음과 같다.

$C_3$	$C_4$	$C_5$	$C_6$
1	-1	-2	12

$l_1(w)$ 의 등급이 $-1$ 이어야 하므로, $l_1(w) = 0$ 이다. 이 외에도 초 리 대수에 대한 유사한 예시들이 존재한다.^[5]^[6] 또한, 기본 벡터 공간이 2차원인 등급 벡터 공간에 대한 $L_\infty$ 구조는 완전히 분류되었다.^[7]

4. 1. 미분 등급 리 대수

L_∞-대수

\mathfrak g

에서, 2항 이하 괄호만 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 이 경우, 다음과 같이 정의한다.

:

[a]_1 = \mathrm da

:

[a,b]_2 = [a,b]

:

[a,b,\dotsc,]_k = 0\qquad(k\ge3)

이 때,

(\mathfrak g,\mathrm d,[-,-])

가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

추가로

[-]_1 = \mathrm d = 0

일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

L_\infty

-대수의 예시는 미분 등급 리 대수를

L_\infty

-대수 범주에 임베딩하여 얻을 수 있다. 이 때,

l_1

은 미분을,

l_2

는 리 대수 구조를 제공하며, 나머지 사상

l_k

는 0으로 정의한다.

4. 2. 리 n-대수

생성원의 등급이

\{0, 1, \dotsc, n\}

에 속하는 L_∞-대수를 리

n

-대수라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.

:

n \ge \deg [a_1,\dotsc,a_k]_k \ge k-2

따라서,

:

[-,\dotsc,-]_k = 0 \qquad(k> n+2)

이다.

예를 들어,

n=1

인 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히,

n=0

인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

4. 3. 거스틴해버 대수

거스틴해버 대수는 L_∞-대수를 이룬다.

4. 4. 2항 L_∞-대수

0이 아닌 밑이 되는 벡터 공간이 두 개인

L_\infty

-대수는 차수가 0과 1인 경우, 0과 n인 경우 등으로 나눌 수 있으며, 이 경우 고차 괄호는 리 대수 코호몰로지의 고차 코사이클과 관련된다.^[3]
차수가 0과 1인 경우두 개의 0이 아닌 밑이 되는 벡터 공간

V_0, V_1

을 갖는

L_\infty

-대수는 다음과 같은 선형 사상을 갖는다.^[3]^{pg 28}

$d\colon V_1 \to V_0$
쌍선형 사상 $l_2\colon V_i\times V_j \to V_{i+j}$ (여기서 $0\leq i + j \leq 1$ )
삼선형 사상 $l_3\colon V_0\times V_0\times V_0 \to V_1$

이들은 일련의 항등식을 만족하며, 특히

l_2\colon V_0 \times V_0 \to V_0

는 호모토피까지의 리 대수 구조를 갖는다. 이는

l_3

의 미분으로 주어지는데, 다음 항등식에 의해 고차 리 괄호임을 알 수 있다.

:

dl_3(a,b,c) = -a,b],c] +

4. 5. 유한 차원 예제

L_\infty

-대수는 매우 복잡한 구조를 가지고 있기 때문에, 간단한 경우를 설명하는 것조차도 대부분의 경우 쉽지 않다. 다행히, 미분 등급 리 대수에서 파생되는 간단한 경우와 유한 차원 예제에서 파생되는 경우가 있다.

리-2 대수의 간단한 예시는

L_\infty

-대수로서

V_0= (\R^3,\times)

로 주어진다. 여기서

\times

는 벡터의 외적이고

V_1=\R

는 자명한 표현이다. 그러면, 다음과 같은 고차 브래킷

l_3

가 존재한다. 이는 벡터의 내적으로 주어진다.

:

l_3(a,b,c) = a\cdot (b\times c).

이

L_\infty

-대수의 미분은 기본 선형대수를 사용하여 항상 0임을 확인할 수 있다.^[3]

L_\infty

-대수의 특성을 연구하기 위한 간단한 예시를 제시하는 것은 복잡한 문제이다. 예를 들어,^[4] 등급 벡터 공간

V = V_0 \oplus V_1

이 주어지고, 여기서

V_0

는 벡터

w

로,

V_1

은 벡터

v_1, v_2

로 기저가 주어질 때, 다음 규칙에 의해

L_\infty

-대수 구조가 주어진다.

:

\begin{align}& l_1(v_1) = l_1(v_2) = w \\& l_2(v_1\otimes v_2) = v_1, l_2(v_1\otimes w) = w \\& l_n(v_2\otimes w^{\otimes n-1}) = C_nw \text{ for } n \geq 3\end{align},

여기서

C_n = (-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1}, C_3 = 1

이다. 처음 몇 개의 상수는 다음과 같다.

$C_3$	$C_4$	$C_5$	$C_6$
1	-1	-2	12

$l_1(w)$ 의 등급이 $-1$ 이어야 하므로, 공리로부터 $l_1(w) = 0$ 임을 알 수 있다. 초^[5] 리 대수에 대한 다른 유사한 예시들이 있다.^[6] 또한, 기본 벡터 공간이 2차원인 등급 벡터 공간에 대한 $L_\infty$ 구조는 완전히 분류되었다.^[7]

5. 응용

L_∞^영어-대수는 변형 이론, 끈 이론, 게이지 이론, 양자화 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 변형 이론에서는 아르틴 스택의 도출된 변형을 연구하는 데 사용되며, 끈 이론 및 게이지 이론에서는 장의 분류와 S-행렬 연구에 응용된다.^[1] 또한, 변형 양자화와도 관련이 있다.^[1]

5. 1. 변형 이론

L_∞^영어-대수는 변형 이론에서 중요한 역할을 하며, 특히 아르틴 스택(Artin stack)의 도출된 변형(derived deformation)을 연구하는 데 사용된다.

5. 2. 끈 이론 및 게이지 이론

끈 이론과 게이지 이론에서 L_∞^영어-대수는 장(field)의 분류, S-행렬(S-matrix) 연구 등에 응용된다.^[1]

5. 3. 양자화

L_∞^영어-대수는 변형 양자화와 관련하여 연구되기도 한다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Derived Algebraic Geometry X: Formal Moduli Problems http://people.math.h[...]
_[2] 논문 Derived deformations of schemes http://www.intlpress[...]
_[3] 논문 Higher-Dimensional Algebra VI: Lie 2-Algebras 2010-01-24
_[4] 논문 A finite dimensional $L_\infty$ algebra example in gauge theory https://projecteucli[...] 2005
_[5] 논문 Examples of infinity and Lie algebras and their versal deformations http://www.impan.pl/[...]
_[6] 논문 Strongly homotopy Lie algebras of one even and two odd dimensions https://linkinghub.e[...]
_[7] 간행물 $L_\infty$ Structures on Spaces of Low Dimension https://repository.l[...] 2004-04-14
_[8] 저널 Introduction to sh Lie algebras for physicists
_[9] 저널 Strongly homotopy Lie algebras https://archive.org/[...] 1994-06-15
_[10] 저널 Examples of Homotopy Lie Algebras https://archive.org/[...] 2009-09-17

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