리 대수 코호몰로지

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1. 개요

리 대수 코호몰로지는 가환환 위의 리 대수의 보편 포락 대수를 사용하여 정의되는 Ext 함자이며, 리 대수 호몰로지와 밀접한 관련이 있다. 리 대수 코호몰로지는 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자의 오른쪽 유도 함자와, 리 대수 호몰로지는 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자의 왼쪽 유도 함자와 각각 동치이다. 리 대수 코호몰로지는 연결 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 관련되며, 슈발레-에일렌베르크 복합체를 통해 계산할 수 있다. 0차, 1차, 2차 코호몰로지는 각각 불변 가군, 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군, 리 대수 확대의 동치류 공간과 관련된다. 클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 리 대수 코호몰로지 개념을 도입했다.

리 대수 코호몰로지

개요

분야	수학, 리 대수
하위 분야	대수적 위상수학
개발자	엘리 카르탕, 클로드 슈발리, 사무엘 에일렌베르크, 장루이 코쥘
발표 시기	1929년 (카르탕), 1948년 (슈발리-에일렌베르크), 1950년 (코쥘)

상세 정보

유형	코호몰로지 이론
대상	리 대수
관련 개념	리 대수 호몰로지, 코쥘 복합체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 리 대수 코호몰로지
- 2.2. 리 대수 호몰로지
3. 성질
- 3.1. 슈발레-에일렌베르크 복합체
4. 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지
5. 예
6. 역사

2. 정의

가환환 $R$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 표현 $M$ 에 대해, 리 대수 코호몰로지와 호몰로지는 Ext 함자와 Tor 함자를 이용하여 정의된다.

리 대수 코호몰로지는 Ext 함자를 사용하여 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M)$

이는 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자의 오른쪽 유도 함자와 같다.

리 대수 호몰로지는 Tor 함자를 사용하여 정의되며, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자의 왼쪽 유도 함자와 같다.

2.1. 리 대수 코호몰로지

가환환 $R$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 보편 포락 대수를 $U\mathfrak g$ 라고 하고, $M$ 이 $\mathfrak g$ 의 표현(즉, $U\mathfrak g$ 위의 가군)이라고 하자.

$R$ 를 $\mathfrak g$ 의 자명한 표현이라고 여기면, 리 대수 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.
: $\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M)$
즉, 왼쪽 완전 함자인 불변 부분 가군 함자
: $M\mapsto M^{\mathfrak g}=\{m\in M\colon\mathfrak gm=0\}$
의 오른쪽 유도 함자이다.

마찬가지로, 리 대수 호몰로지(Lie algebra homology^영어)는 다음과 같은 Tor 함자이다.
: $\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M)$
즉, 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자
: $M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM$
의 왼쪽 유도 함자이다.

리 대수 코호몰로지에 대한 몇 가지 중요한 기본 결과에는 화이트헤드 보조 정리, 바일의 정리, 그리고 레비 분해 정리가 있다.

2.2. 리 대수 호몰로지

리 대수 호몰로지(Lie algebra homology^영어)는 다음과 같은 Tor 함자이다.
: $\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M)$
여기서 $R$ 는 가환환이고, $\mathfrak g$ 는 $R$ 위의 리 대수이며, $U\mathfrak g$ 는 $\mathfrak g$ 의 보편 포락 대수, $M$ 은 $\mathfrak g$ 의 표현(즉, $U\mathfrak g$ 위의 가군)이다. $R$ 는 $\mathfrak g$ 의 자명한 표현으로 간주한다.

이는 오른쪽 완전 함자인 쌍대 불변 몫가군 함자
: $M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM$
의 왼쪽 유도 함자와 동치이다.

3. 성질

연결 콤팩트 리 군 $G$ 의 드람 코호몰로지는 그 리 대수 $\operatorname{Lie}(G)$ 의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.

: $\operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)\cong\operatorname H^\bullet(\operatorname{Lie}(G);\mathbb R)$

같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군이 대응될 수 있는데, 이는 꼬임 부분군을 포함하지 않는 실수 계수의 드람 코호몰로지로는 구별할 수 없다. 콤팩트 단일 연결 리 군 $G$ 의 코호몰로지는 리 대수를 통해 계산할 수 있는데, 이는 $G$ 위의 미분 형식의 복합체의 드람 코호몰로지를 외대수를 이용하여 정의할 수 있기 때문이다.

3.1. 슈발레-에일렌베르크 복합체

체 $K$ 위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체라는 공사슬 복합체를 통해 계산할 수 있다.

$n$ 차 슈발레-에일렌베르크 공사슬은 $K$ -선형 변환
: $\hom_K\left(\bigwedge^n\mathfrak g;M\right)$
이며, 그 공경계는 다음과 같이 주어진다.

: $(\delta f)(x_1,\ldots,x_{n+1})=\sum_i (-1)^{i+1}x_i\, f(x_1,\ldots,\hat x_i,\ldots,x_{n+1})+\sum_{i$

여기서 $\hat x_i$ 는 해당 항을 생략하라는 의미이다.

만약 $\mathfrak g$ 가 콤팩트 단일 연결 리 군 $G$ 의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 $G$ 위의 $M$ 계수 $G$ -불변 미분 형식의 드람 복합체와 동형이다.

4. 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지

각 차원의 코호몰로지 군은 리 대수의 특정 성질을 반영한다.

0차 코호몰로지는 리 대수의 작용에 불변인 원소들을 나타내며, 1차 코호몰로지는 미분과 내부 미분의 관계를 통해 리 대수의 구조를 반영한다. 2차 코호몰로지는 리 대수 확대에 대한 정보를 담고 있다.

더 높은 차원의 코호몰로지 군에 대해서는, 이와 같은 쉬운 직관적인 해석은 현재까지는 없는 것으로 알려져 있다. 하지만, $H^{n+1}(\mathfrak{g}; M)$ 의 원소는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 "리 $n$ -대수"로 확장하는 방법과 관련되어 있다는 사실이 알려져있다.

4.1. 0차 코호몰로지

정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.

: $\operatorname H^0(\mathfrak g;M)=M^{\mathfrak g}=\{m\in M\mid \mathfrak gm=0\}$

영차 코호몰로지 군은 모듈에 작용하는 리 대수의 불변량이다.

4.2. 1차 코호몰로지

리 대수의 미분(derivation^영어)은 다음 조건을 만족시키는 $R$ -가군 준동형이다.
: $\delta\colon\mathfrak g\to M$
: $\delta[x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad\forall x,y\in\mathfrak g$
미분들은 $R$ -가군을 이루며, 이를 $\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)$ 이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 $m\in M$ 에 대하여, $x\mapsto xm\;\forall x\in\mathfrak g$ 는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 내부 미분(inner derivation^영어)이라고 한다. 내부 미분들 역시 $R$ -가군을 이루며, 이를 $\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)$ 이라고 쓰자.

1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 몫가군이다.
: $\operatorname H^1(\mathfrak g;M)\cong\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)/\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)$
이는 내부 미분 공간을 법으로 한 미분 공간과 같다.
: $H^1(\mathfrak{g}; M) = \mathrm{Der}(\mathfrak{g}, M)/\mathrm{Ider}(\mathfrak{g}, M)$
여기서 미분은 리 대수에서 $M$ 으로의 사상 $d$ 이며,
: $d[x,y] = x\,dy-y\,dx~$
로 정의된다. 내부 미분은 어떤 $a \in M$ 에 대해
: $dx = xa~$
로 주어지는 것을 말한다.

4.3. 2차 코호몰로지

2차 리 대수 코호몰로지 군 $\operatorname H^2(\mathfrak g;M)$ 은 리 대수의 확대
: $0\to M\to\mathfrak h\to\mathfrak g\to0$
의 동치류들의 아벨 군과 동형이다. (여기서 $M$ 은 아벨 리 대수로 간주한다.)

이는 리 대수 확대의 동치류 공간으로, 모듈 $M$ 에 의한 리 대수의 확대를 나타낸다.
: $0\rightarrow M\rightarrow \mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0$

4.4. 더 높은 차원의 코호몰로지

$H^{n+1}(\mathfrak{g}; M)$ 의 모든 원소는 리 대수 $\mathfrak{g}$ 를 차수 0에서 $\mathfrak{g}$ 를 가지고 차수 $n$ 에서 $M$ 을 갖는 "리 $n$ -대수"로 확장하는 방법의 동치류를 제공한다. 리 $n$ -대수는 0에서 $n$ 까지의 차수에서만 0이 아닌 항을 갖는 호모토피 리 대수이다.

5. 예

콤팩트 단일 연결 리 군 $G$ 는 리 대수에 의해 결정되므로, 리 대수로부터 그 코호몰로지를 계산할 수 있다. 이는 $G$ 위의 미분 형식들의 복소수의 드람 코호몰로지를 통해 이루어진다. 평균화 과정을 사용하면 이 복소수를 좌불변 미분 형식들의 복소수로 대체할 수 있다. 좌불변 형식은 항등원에서의 값에 의해 결정되므로, 좌불변 미분 형식의 공간은 적절한 미분을 갖는 리 대수의 외대수와 동일시될 수 있다.

외대수 위의 이 미분 구성은 모든 리 대수에 대해 의미가 있으므로, 모든 리 대수의 리 대수 코호몰로지를 정의하는 데 사용된다. 더 일반적으로는 모듈 내 계수를 갖는 리 대수 코호몰로지를 정의하기 위해 유사한 구성을 사용한다.

단일 연결된 비콤팩트 리 군 $G$ 의 경우, 관련 리 대수 $\mathfrak g$ 의 리 대수 코호몰로지는 $G$ 의 드람 코호몰로지를 반드시 재현하지는 않는다. 이는 모든 미분 형식의 복소수에서 좌불변 미분 형식의 복소수로의 전환이 콤팩트 군에 대해서만 의미가 있는 평균화 과정을 사용하기 때문이다.

5.1. 아벨 리 대수

체 $K$ 위의 아벨 리 대수 $V$ 와 그 자명한 표현 $W$ 를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.
: $\operatorname H^\bullet(V;W)=\hom_{K\text{-Vect}}(\bigwedge^\bullet V;W)$
특히, $W=K$ 인 경우,
: $\operatorname H^\bullet(V;K)=\bigwedge^\bullet V^*$
이며, $V$ 가 유한 차원일 경우
: $\dim_K\operatorname H^\bullet(V;K)=\binom{\dim V}\bullet$
이다.

기하학적으로, $K=\mathbb R$ 이고, 아벨 리 군 $\operatorname U(1)^n$ 을 생각하자. 이는 위상수학적으로 $n$ 차원 원환면이며, 그 드람 코호몰로지는
: $\operatorname H^\bullet_{\text{dR}}(\mathbb T^n)\cong\mathbb R^{\binom n\bullet}$
이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량을 주었을 때) 조화 형식의 벡터 공간과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응한다.

만약 $\mathfrak{g}$ 가 아벨 군, 즉 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0$ 이면, 임의의 선형 범함수 $D: \mathfrak{g} \rightarrow M$ 은 실제로 도함수이고, 내부 도함수의 집합은 임의의 $a \in M$ 에 대해 $Dx = xa = 0$ 을 만족하므로 자명하다. 이 경우, 일차 코호몰로지 군은 $M^{\text{dim}\mathfrak{g}}$ 이다.

5.2. 코쥘 복합체

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 및 가군 준동형 $\phi\in\hom_{R\text{-Mod}}(M,R)$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$ 을 $R$ 위의 아벨 리 대수로 여길 수 있으며, 또한 $R$ 위에
: $m\cdot r=\phi(m)r$
로 정의하여 $R$ 를 아벨 리 대수 $M$ 의 표현으로 생각할 수 있다. 이 경우, $R$ 계수의 $M$ 의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 $(R,M,\phi)$ 에 대한 코쥘 공사슬 복합체와 같다. 즉, 코쥘 복합체는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

5.3. 2차원 비아벨 리 대수

체 $K$ 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수는 다음과 같이 주어진다.

: $\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y\}$
: $[x,y]=x$

이는 가해 리 대수이다. $K$ 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

: $\delta_1\colon C_1\to C_0$
: $\delta_1\colon x,y\mapsto0$
: $\delta_2\colon C_2\to C_1$
: $\delta_2\colon x\wedge y\mapsto-[x,y]=-x$

따라서, $K$ 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.

: $\operatorname H_0=C_0\cong K$
: $\operatorname H_1=C_1/\operatorname{im}\delta_2=\operatorname{Span}\{y\}\cong K$
: $\operatorname H_2=\ker\delta_2=\{0\}$

즉, 호몰로지 베티 수는 각각 $\dim_K\operatorname H_0=1$ , $\dim_K\operatorname H_1=1$ , $\dim_K\operatorname H_2=0$ 이다.

마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.

: $d_0\colon C^0\to C^1$
: $d_0\colon a\mapsto (x,y\mapsto0)$
: $d_1\colon C^1\to C^2$
: $d_1\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto(x\wedge y\mapsto -a)$

따라서, 코호몰로지의 차원도 $\dim_K\operatorname H^0=1$ , $\dim_K\operatorname H^1=1$ , $\dim_K\operatorname H^2=0$ 이다.

5.4. 3차원 직교 대수

3차원 직교군의 리 대수 $\mathfrak{so}(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)$ 의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보면 다음과 같다. $\mathfrak{so}(3)$ 의 기저는 다음과 같다.

:[x,y]=z
:[y,z]=x
:[z,x]=y

따라서, $\mathbb R$ 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.

: $\partial_1\colon C_1\to C_0$
: $\partial_1\colon x,y,z\mapsto0$
: $\partial_2\colon C_2\to C_1$
: $\partial_2\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z$
: $\partial_2\colon y\wedge z\mapsto-[y,z]=-x$
: $\partial_2\colon z\wedge x\mapsto-[z,x]=-y$
: $\partial_3\colon C_3\to C_2$
: $\partial_3\colon x\wedge y\wedge z\mapsto0$

따라서, 이 경우

: $\dim_{\mathbb R}\operatorname H_0=1$
: $\dim_{\mathbb R}\operatorname H_1=0$
: $\dim_{\mathbb R}\operatorname H_2=0$
: $\dim_{\mathbb R}\operatorname H_3=1$

이다. 리 군 $\operatorname{SU}(2)=\operatorname{Spin}(3)$ 은 3차원 초구 $\mathbb S^3$ 와 위상 동형이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수와 일치한다.

6. 역사

클로드 슈발레와 사무엘 에일렌베르크가 1948년에 리 대수 코호몰로지 개념을 도입하였다.