콜먼-맨듈라 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 콜먼-맨듈라 정리의 내용
4. 한계와 예외
참조

1. 개요

콜먼-맨듈라 정리는 1967년 시드니 콜먼과 제프리 맨듈라가 증명한 정리로, 시공간 대칭과 내부 대칭이 결합될 수 없음을 보여준다. 이 정리는 4차원 시공간에서 국소적이고 상호작용하며 푸앵카레 대칭을 따르는 물리 이론의 대칭군이 푸앵카레 군과 내부 대칭군의 직접 곱으로 나타난다는 것을 의미한다. 즉, 시공간 대칭과 내부 대칭은 독립적으로 존재해야 한다. 이 정리는 초대칭성, 등각 대칭, 낮은 차원, 양자군 대칭 등 특정 조건에서는 예외가 존재하며, 자발적 대칭 깨짐이나 질량 간극이 없는 경우에도 적용되지 않는다.

더 읽어볼만한 페이지

물리학 정리 - 뇌터 정리
뇌터 정리는 대칭성과 보존 법칙 사이의 관계를 설명하는 정리로, 라그랑지안의 대칭 변환 불변성에 따라 에너지, 운동량 등 보존량이 존재함을 보여주며, 고전역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다.
물리학 정리 - 보어-판레이우언 정리
보어-판레이우언 정리는 고전 역학으로는 자기 현상을 설명할 수 없음을 밝히는 정리이며, 양자 역학의 필요성을 제시하고 보어 모형 개발에 영향을 미쳤다.
초대칭 - 양성자 붕괴
양성자 붕괴는 대통일 이론에서 예측하는 가설적인 현상으로, 양성자가 더 가벼운 입자들로 붕괴하며 중입자수 보존 법칙을 위반하는 현상이나, 아직 실험적으로 관측되지는 않았지만, 슈퍼-카미오칸데 실험 등을 통해 양성자의 최소 수명 하한선을 설정하고 이론 모델을 제한하는 데 사용된다.
초대칭 - 최소 초대칭 표준 모형
최소 초대칭 표준 모형(MSSM)은 계층 문제를 해결하기 위해 도입된 표준 모형의 초대칭 확장으로, 게이지 결합 상수의 대통일, 암흑 물질 후보 제공, R-패리티를 통한 양성자 붕괴 안정성 설명, 연성 초대칭 깨짐 연산자 도입 등의 특징을 갖는다.
양자장론 - 페르미-디랙 통계
페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미 입자의 통계적 분포를 설명하는 양자 통계로, 금속 내 전자 현상 등을 이해하는 데 기여하며 페르미 입자가 특정 에너지 준위를 점유할 확률을 나타낸다.
양자장론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.

콜먼-맨듈라 정리
개요
분야	수리물리학, 이론물리학
주제	S-행렬의 대칭
관련 개념	무질량 입자, 초대칭, 하그-워푸샨스키-조니우스 정리
내용
요약	시공간과 내부 대칭이 자명한 방식으로만 결합될 수 있음을 나타내는 물리학의 불가능성 정리
설명	4차원 시공간에서 질량이 있는 입자의 경우, 로렌츠 군과 내부 대칭의 곱보다 더 큰 대칭은 S-행렬의 대칭으로 허용되지 않는다. 무질량 입자의 경우 등각 대칭을 허용할 수 있지만, 이 경우에도 시공간 대칭과 내부 대칭은 "자명하게" 결합된다.
참고	이 정리는 초대칭을 포함하지 않는다. 초대칭은 푸앵카레 군의 리 초대수로 확장하기 때문이다.
추가 정보	하그-워푸샨스키-조니우스 정리는 콜먼-맨듈라 정리보다 약한 가정을 사용하여 더 일반적인 결과를 도출한다.
역사
발표	1967년
제시자	시드니 콜먼, 제프리 맨듈라

2. 역사

시드니 콜먼과 제프리 맨듈라(Jeffrey Mandula)가 1967년에 콜먼-맨듈라 정리를 증명하였다.^[17]

이후 몇 년 동안 이 정리에 대한 주목은 거의 없었다. 이 정리는 이중 공명 모형 연구에서 1970년대 초에 나타난 초대칭성의 초기 발전에 아무런 역할을 하지 못했다. 이중 공명 모형은 끈 이론의 전조이다.^[8] 콜먼-만둘라 정리의 초대칭적 일반화인 하그-워푸샨스키-소니우스 정리는 초대칭성 연구가 이미 진행된 후인 1975년에 증명되었다.^[9]

2. 1. 1960년대의 대칭성 연구

1960년대 초, 전역

\text{SU}(3)

향미 대칭은 팔정도와 관련되어 같은 스핀을 가진 하드론의 하드론 스펙트럼을 성공적으로 설명하는 것으로 나타났다. 이는 전역

\text{SU}(3)

대칭을 향미와 스핀을 모두 혼합하는 더 큰

\text{SU}(6)

대칭으로 확장하려는 노력으로 이어졌으며, 이는 1937년 유진 위그너가 핵물리학에서

\text{SU}(4)

대칭에 대해 이전에 고려했던 아이디어와 유사했다.^[2] 이 비상대론적

\text{SU}(6)

모델은 다른 스핀을 가진 벡터 중간자와 유사스칼라 중간자 중간자를 35차원 다중항으로 통합했으며 두 바리온 데커플렛을 56차원 다중항으로 통합했다.^[3] 이는 하드론 스펙트럼의 다양한 측면을 설명하는 데 상당히 성공적이었지만, 양자 색역학의 관점에서 볼 때 이러한 성공은 단지 쿼크 사이의 힘이 향미와 스핀에 독립적이기 때문이다. 이 비상대론적

\text{SU}(6)

모델을 완전한 상대성 이론으로 일반화하려는 많은 시도가 있었지만, 모두 실패했다.

당시에는 서로 다른 질량을 가진 입자가 동일한 다중항에 속할 수 있는 대칭이 존재하는지 여부도 열린 질문이었다. 이러한 대칭은 중간자와 바리온에서 발견되는 질량 분할을 설명할 수 있었다.^[4] 이는 나중에 위, 아래, 기묘 쿼크의 질량 차이로 인해

\text{SU}(3)

내부 향미 대칭이 깨지는 결과라는 것을 알게 되었다.

이 두 가지 동기는 시공간 대칭과 내부 대칭이 사소한 경우를 제외하고는 결합될 수 없음을 보여주는 일련의 부정적 정리로 이어졌다.^[5] 첫 번째 주목할 만한 정리는 1964년 윌리엄 맥글린에 의해 증명되었고,^[6] 이후 1965년 로클라인 오라이페르타이에 의해 일반화되었다.^[7] 이러한 노력은 1967년 시드니 콜먼과 제프리 만둘라가 제시한 가장 일반적인 정리에 이르렀다.

2. 2. 부정적 정리들의 등장

1960년대 초, 전역

\text{SU}(3)

향미 대칭은 팔정도와 관련되어 같은 스핀을 가진 하드론의 하드론 스펙트럼을 성공적으로 설명하는 것으로 나타났다. 이는 향미와 스핀을 모두 혼합하는 더 큰 대칭으로 확장하려는 노력으로 이어졌다. 당시에는 서로 다른 질량을 가진 입자가 동일한 다중항에 속할 수 있는 대칭이 존재하는지에 대한 의문도 제기되었다.^[4]

이러한 배경에서 시공간 대칭과 내부 대칭이 결합될 수 없음을 보여주는 일련의 부정적 정리들이 등장했다.^[5] 1964년 윌리엄 맥글린이 첫 번째 정리를 증명했고,^[6] 1965년 로클라인 오라이페르타이가 이를 일반화했다.^[7]

2. 3. 콜먼-맨듈라 정리의 등장 (1967)

1967년 시드니 콜먼과 제프리 맨듈라(Jeffrey Mandula)가 이 정리를 증명하였다.^[17] 1960년대 초, 팔정도와 관련된 전역

\text{SU}(3)

향미 대칭은 같은 스핀을 가진 하드론의 하드론 스펙트럼을 성공적으로 설명하는 것으로 나타났다. 이는 전역

\text{SU}(3)

대칭을 향미와 스핀을 모두 혼합하는 더 큰

\text{SU}(6)

대칭으로 확장하려는 노력으로 이어졌으며, 이는 1937년 유진 위그너(Eugene Wigner)가 핵물리학에서

\text{SU}(4)

대칭에 대해 이전에 고려했던 아이디어와 유사했다.^[2] 이 비상대론적

\text{SU}(6)

모델은 다른 스핀을 가진 벡터 중간자와 유사스칼라 중간자 중간자를 35차원 다중항으로 통합했으며 두 바리온 데커플렛을 56차원 다중항으로 통합했다.^[3] 이는 하드론 스펙트럼의 다양한 측면을 설명하는 데 상당히 성공적이었지만, 양자 색역학의 관점에서 볼 때 이러한 성공은 단지 쿼크 사이의 힘이 향미와 스핀에 독립적이기 때문이다.

당시에는 서로 다른 질량을 가진 입자가 동일한 다중항에 속할 수 있는 대칭이 존재하는지 여부도 열린 질문이었다. 이러한 대칭은 중간자와 바리온에서 발견되는 질량 분할을 설명할 수 있었다.^[4] 이는 나중에 위, 아래, 기묘 쿼크의 질량 차이로 인해

\text{SU}(3)

내부 향미 대칭이 깨지는 결과라는 것을 알게 되었다.

이러한 동기는 시공간 대칭과 내부 대칭이 사소한 경우를 제외하고는 결합될 수 없음을 보여주는 일련의 부정적 정리로 이어졌다.^[5] 첫 번째 주목할 만한 정리는 1964년 윌리엄 맥글린에 의해 증명되었고,^[6] 이후 1965년 로클라인 오라이페르타이에 의해 일반화되었다.^[7] 이러한 노력은 1967년 시드니 콜먼과 제프리 만둘라가 제시한 가장 일반적인 정리에 이르렀다.

이후 몇 년 동안 이 정리에 대한 주목은 거의 없었다. 결과적으로, 이 정리는 부정적 정리를 극복하려는 시도가 아니라 이중 공명 모형의 연구에서 1970년대 초에 나타난 초대칭성의 초기 발전에 아무런 역할을 하지 못했다. 이 이중 공명 모형은 끈 이론의 전조이다.^[8] 마찬가지로, 콜먼-만둘라 정리의 초대칭적 일반화인 하그-워푸샨스키-소니우스 정리는 초대칭성 연구가 이미 진행된 후인 1975년에 증명되었다.^[9]

3. 콜먼-맨듈라 정리의 내용

콜먼-맨듈라 정리는 다음과 같은 조건을 만족하는 물리 이론에서 어떤 대칭이 가능한지를 설명한다.

산란 행렬이 국소적이고, 상호작용을 지니며, 4차원 시공에서 푸앵카레 대칭을 따른다.
주어진 질량을 가진 입자는 유한하다. (즉, 같은 질량을 가진 무한한 종류의 입자가 존재할 수 없다.)
진공과 1입자 상태 사이에 질량 간극이 존재한다.

이러한 조건 하에서, 콜먼-맨듈라 정리는 가능한 대칭에 대한 제약을 제시한다.

3. 1. 기본 가정

콜먼-맨듈라 정리가 적용되는 이론은 다음과 같은 가정을 만족해야 한다.^[1]

대칭 군은 푸앵카레 군을 부분군으로 포함하는 리 군이다.
임의의 질량 아래에는 유한 개의 입자 유형만 존재한다.
모든 두 입자 상태는 거의 모든 에너지에서 어떤 반응을 겪는다.
탄성 산란에 대한 산란 진폭은 거의 모든 에너지와 각도에서 산란각의 해석 함수이다.
그룹 생성자가 위치와 운동량 공간에서 분포라는 기술적 가정.

이론이 양자장론으로 설명되는 경우 마지막 기술적 가정은 불필요하며, 더 넓은 맥락에서 정리를 적용하기 위해서만 필요하다.^[10]

에드워드 위튼은 운동학적 논증을 통해 이 정리가 왜 성립해야 하는지를 보였다.^[11] 그 논증은 푸앵카레 대칭성이 탄성 산란에 대해 매우 강력한 제약으로 작용하여 산란각만 미지수로 남겨둔다는 것이다. 임의의 추가적인 시공간 의존적 대칭성은 진폭을 과결정 시스템으로 만들어서, 이산적인 산란각에서만 0이 아닌 값을 갖도록 할 것이다. 이는 산란각의 해석성의 가정과 충돌하므로, 그러한 추가적인 시공간 의존적 대칭성은 배제된다.

3. 2. 정리의 결론

이 조건을 만족하는 이론의 산란 행렬의 (보존적인, 즉 초대칭을 포함하지 않는) 대칭군은 국소적으로 다음과 같다.^[1]

:

\mathrm{ISO}(1,3)\times B_1\times\dots\times B_N

여기서

N

은 유한하고, 또

B_i

는 콤팩트 리 군이다.

콜먼-맨듈라 정리에 따르면, 이 이론의 대칭군은 필연적으로 푸앵카레 군과 내부 대칭군의 군의 직접 곱이다.^[10]

3. 3. 정리의 증명 (간략)

푸앵카레 대칭

\operatorname{ISO}(1,3)

이 더 큰 대칭

G

에 자명하지 않게 포함된다고 가정하면, 뇌터 정리에 의해 2차 이상의 텐서 보존량이 존재하게 된다. (만약

G

가

G=\operatorname{ISO}(1,3)\times G_\text{int}

의 꼴로 자명하다면, 모든 추가 보존량은 로런츠 스칼라이다.)

그러나 이러한 고차 텐서 보존량은 성분이 너무 많아, 일반적으로 존재할 수 없다. 예를 들어, 2차 텐서 보존량

Q_{\mu\nu}

가 있다고 가정하자. 질량 간극이 존재하므로, 가장 가벼운 입자는 양의 질량을 가진다. 이 입자가 스칼라 입자라고 가정하고, 이 입자의 4차원 운동량을

p_\mu

라고 하면, 푸앵카레 대칭에 따라서

Q_{\mu\nu}

는 다음과 같은 꼴이어야만 한다.

:

Q_{\mu\nu}=Q_1p_\mu p_\nu+Q_2g_{\mu\nu}

여기서

Q_2g_{\mu\nu}

는 상수 텐서인

g_{\mu\nu}

에만 의존하므로,

Q-Q_2g_{\mu\nu}

또한 보존되어야 한다. 즉, 편의상

Q_2=0

으로 놓을 수 있다.

그렇다면 운동량 보존과

Q

보존에 의하여, 산란

p_1,p_2\to p_3,p_4

에서 다음 두 방정식이 성립하여야 한다.

:

(p^1+p^2)_\mu=(p^3+p^4)_\mu

:

p^1_\mu p^1_\nu+p^2_\mu p^2_\nu=p^3_\mu p^3_\nu+p^4_\mu p^4_\nu

여기서 변수는

4\times 4

개이지만, 방정식의 수는

4+4\times 4

개이다. 즉, 일반적으로 해는

:

p_1=p_3,\qquad p_2=p_4

또는

:

p_1=p_4,\qquad p_2=p_3

밖에 없다. 따라서 2→2 산란 행렬은 자명하다. 모든 산란은 적절한 운동량 극한에서 2→2 산란들의 합성으로 수렴하므로, 산란 행렬의 해석적 성질을 사용하여 모든 산란 행렬이 자명하다는 결론을 내릴 수 있다.^[1]

4. 한계와 예외

이 정리는 몇 가지 예외와 한계를 가진다. 우선, 이 정리는 리 군이 아닌 리 대수로 나타내어지는 대칭을 다루기 때문에, 이산 대칭 따위는 다루지 않는다. 사인-고든 모형과 같이 양자군 대칭을 가진 이론의 경우도 리 대수가 아니기 때문에 예외이다. 비국소적 대칭을 가진 모형은, 그 전하가 다중 입자 상태에 대해 단일 입자 상태의 텐서 곱처럼 작용하지 않으므로 정리를 회피한다.^[13]

4. 1. 자발 대칭 깨짐

이 정리는 산란 행렬의 대칭만을 다루기 때문에 자발적으로 깨진 대칭은 다루지 않는다.

4. 2. 질량 간극이 없는 경우

이 정리는 산란 행렬의 대칭만을 다루기 때문에 자발적으로 깨진 대칭은 다루지 않는다. 또한 질량 간극이 없으면 이론에서 다른 보존량을 가질 수 있다. 예를 들어, 양자 전기역학에서는 벡터와 텐서 보존량이 존재한다 (인프라입자).

4. 3. 등각 대칭

이 정리는 질량이 없는 입자 이론에는 적용되지 않으며, 이러한 이론은 시공간에 의존적인 대칭인 등각 대칭(컨포멀 대칭)을 허용한다.^[10] 특히, 이 군의 대수는 컨포멀 대수인데, 이는 푸앵카레 대수와 딜라톤 생성자 및 특수 등각 변환 생성자에 대한 교환 관계를 포함한다.

4. 4. 초대칭

초대칭은 리 대수가 아닌 리 초대수로 나타내어지기 때문에 콜먼-맨듈라 정리에 구속받지 않는다. (초대칭 이론의 경우에는 대신 하크-워푸샨스키-조니우스 정리를 쓴다.)

4. 5. 낮은 차원

1차원 또는 2차원 이론에서는 오직 정방향 및 역방향 산란만이 가능하므로 산란 각도의 해석 가능성이 더 이상 존재하지 않아 정리가 성립하지 않는다. 이 경우 질량이 있는 티어링 모형과 같이 시공간에 의존하는 내부 대칭이 가능하며, 이는 무한한 열의 보존된 전하를 임의의 높은 텐서 계수를 가질 수 있다.^[12]

4. 6. 양자군 대칭

이 정리는 리 군이 아니라 리 대수로 나타내어지는 대칭을 다루기 때문에, 양자군 대칭을 가진 이론은 리 대수가 아니므로 예외다.^[13] 이러한 회피는 일반적으로 양자군 대칭에서 발견된다.^[13]

4. 7. 기타

푸앵카레 군 외의 다른 시공간 대칭, 예를 들어 드 시터 배경을 가진 이론이나 갈릴레이 불변성을 가진 비상대론적 장 이론의 경우, 이 정리는 더 이상 적용되지 않는다.^[14] 이산 대칭의 경우에도 성립하지 않는데, 이들은 리 군이 아니기 때문이다. 자발적으로 깨진 대칭의 경우에도 S-행렬 수준에서 작용하지 않으므로 S-행렬과 교환되지 않기 때문에 성립하지 않는다.^[15]

참조

_[1] 논문 All Possible Symmetries of the S Matrix 1967
_[2] 논문 On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the Spectroscopy of Nuclei https://link.aps.org[...] 1937
_[3] 논문 From symmetry to supersymmetry 2009
_[4] 서적 Concise Encyclopedia of Supersymmetry Springer 2003
_[5] 서적 The Supersymmetric World:The Beginnings of the Theory World Scientific Publishing 2000
_[6] 논문 Problem of Combining Interaction Symmetries and Relativistic Invariance https://link.aps.org[...] 1964
_[7] 논문 Lorentz Invariance and Internal Symmetry https://link.aps.org[...] 1965
_[8] 서적 Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press 2004
_[9] 논문 All possible generators of supersymmetries of the S-matrix https://dx.doi.org/1[...] 1975
_[10] 서적 The Quantum Theory of Fields: Supersymmetry Cambridge University Press 2005
_[11] 서적 The Unity of the Fundamental Interactions: 19 Springer 2012
_[12] 논문 Conserved currents in the massive thirring model https://dx.doi.org/1[...] 1976
_[13] 논문 Quantum group symmetries and non-local currents in 2D QFT https://doi.org/10.1[...] 1991
_[14] 논문 On the Tensionless Limit of String theory, Off - Shell Higher Spin Interaction Vertices and BCFW Recursion Relations 2010
_[15] 논문 Graviweak Unification 2008
_[16] 저널 Generalization of the Coleman–Mandula theorem to higher dimension 1997-01
_[17] 저널 All possible symmetries of the ''S'' matrix 1967-07

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com