고리군

3. 성질

고리군은 여러 가지 성질을 가진다.

아핀 리 대수는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다.^[1]

각 $(n,\backslash lambda)\backslash in\backslash mathbb\; Z\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\; H^2(G/T;\backslash mathbb\; Z)$에 대하여 $\backslash mathrm\; LG/T$ 위의 복소수 선다발

:$\backslash mathbb\; C\backslash hookrightarrow\; L\_\{n,\backslash lambda\}\backslash twoheadrightarrow\; \backslash mathrm\; LG/T$

을 정의할 수 있다. 그 정칙 단면의 복소수 힐베르트 공간 $\backslash operatorname\; H^0(L\_\{n,\backslash lambda\})$을 생각하면, 동차 공간 $\backslash mathrm\; LG/T$ 위에 $\backslash mathrm\; LG$의 표준적인 왼쪽 작용이 존재하며, 이는 $\backslash operatorname\; H^0(L\_\{n,\backslash lambda\})$ 위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는 $\backslash mathrm\; LG$의 표현을 이룬다.^[3]

$\backslash operatorname\{Lie\}(H)^*$에서 양근의 집합을 선택할 경우, 보렐-베유-보트 정리에서의 구성으로서 아벨 군의 동형

:$\backslash operatorname\; H^2(G/T;\backslash mathbb\; Z)\; \backslash cong\; \backslash hat\; T$

이 결정된다. 여기서 $\backslash hat\; T$는 $T$의 폰트랴긴 쌍대군($\backslash operatorname\; U(1)\backslash to\; T$의 꼴의 군 준동형의 군)이다.

고리군에 대하여, 보렐-베유-보트 정리와 유사한 정리가 성립한다.^[3]

3. 1. 위상수학적 성질

3. 2. 대수적 성질

3. 3. 표현론

• $\backslash operatorname\; H^0(L\_\{n,\backslash lambda\})$는 0차원이거나 또는 $\backslash mathrm\; LG$의 기약 양에너지 표현을 이룬다.
• 반대로, $\backslash mathrm\; LG$의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는 $(n,\backslash lambda)\backslash in\backslash mathbb\; Z\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\; H^2(G/T;\backslash mathbb\; Z)$가 존재한다.
• $\backslash operatorname\; H^0(L\_\{n,\backslash lambda\})\; \backslash ne\; \backslash \{0\backslash \}$일 필요충분조건은 다음과 같다.
• * $G$의 모든 양의 쌍대근 $h\backslash in\backslash operatorname\{Lie\}(T)$에 대하여, $0\backslash le\; \backslash lambda(h)\; \backslash le\; n\backslash langle\; h|h\backslash rangle$

4. 응용

추-리안 턴([Chuu-Lian Terng])과 카렌 울렌벡([Karen Uhlenbeck])은 고리군을 솔리톤 방정식에서 백룬트 변환([Bäcklund transform]) 현상을 설명하는 데 사용하였다.^[2]

참조

_[1] 서적
_[2] 논문 Geometry of Solitons https://www.ams.org/[...]
_[3] 서적 Arbeitstagung Bonn 1984 https://web.archive.[...] Springer-Verlag 1985