동차 공간

1. 개요

동차 공간은 군 대상의 작용에 의해 정의되는 수학적 구조로, 임의의 두 점이 대칭에 의해 동치인 공간이다. 범주 이론에서 군 대상 G가 대상 X에 추이적으로 작용하는 경우 X를 동차 공간이라고 하며, 위상 공간, 다양체, 매끄러운 다양체 등의 범주에서 정의된다. 동차 공간은 잉여류 공간 G/H로 표현될 수 있으며, 가약 동차 공간과 표준 접속과 같은 추가적인 성질을 가질 수 있다. 또한, 물리학, 특히 우주론에서 중요한 역할을 하며, 민코프스키 공간, 드 시터 공간, 안티 드 시터 공간 등이 동차 공간의 예시이다.

2. 정의

유한 곱을 갖는 구체적 범주에서, 어떤 군 대상의 작용이 추이적 작용을 이루는 공간을 '동차 공간'이라고 한다. 이 작용은 해당 범주의 사상을 이루어야 한다.

추이적 작용 때문에, 동차 공간의 모든 점들은 대칭에 의해 서로 "평등"하게 된다. 예를 들어, 모든 연결 다양체는 미분 동형 사상군의 추이적 작용을 갖지만, 대부분은 동차 다양체가 아니다. 이는 $G$가 $\backslash mathcal\; C$의 군 대상이어야 한다는 조건이 생략될 수 없기 때문이다.

간단히 말해, $X$가 어떤 범주 $\backslash mathcal\; C$의 대상일 때, $G$-공간의 구조는 $\backslash mathcal\; C$에서 대상 $X$의 자기 동형 사상 군으로의 준동형 사상으로 표현된다.

2.1. 형식적 정의

유한 곱을 갖는 구체적 범주 $\backslash mathcal\; C\; \backslash to\; \backslash operatorname\{Set\}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 속의 군 대상의 개념을 정의할 수 있다. $\backslash mathcal\; C$ 속의 대상 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 동차 공간이라고 한다.
* 어떤 군 대상 $G$에 대하여, 어떤 작용 $G\backslash times\; X\backslash to\; X$이 추이적 작용을 이룬다. (이 작용은 $\backslash mathcal\; C$의 사상을 이루어야 한다.)

여기서, $G$가 $\backslash mathcal\; C$의 군 대상이어야 한다는 조건은 생략될 수 없다. 범주 $\backslash mathcal\; C$는 위상 공간의 범주 $\backslash operatorname\{Top\}$, 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{Mfd\}$, 또는 매끄러운 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{Diff\}$ 등으로 잡을 수 있다.

X를 공집합이 아닌 집합, G를 군이라고 하자. 그러면 X는 G의 X에 대한 작용이 주어지면 G-공간이라고 한다. 자동으로 G는 집합에 대해 자기 동형 사상(전단사)으로 작용한다. 만약 X가 어떤 범주에 속하면, G의 원소들은 같은 범주에서 자기 동형 사상으로 작용하는 것으로 간주한다. 즉, G의 원소에서 나오는 X에 대한 사상은 범주와 관련된 구조를 보존한다. 동차 공간은 G가 추이적으로 작용하는 G-공간이다.

X가 범주 C의 대상이면, G-공간의 구조는 준동형 사상

:$\backslash rho\; :\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Aut\}\_\{\backslash mathbf\{C\}\}(X)$

는 범주 C에서 대상 X의 자기 동형 사상 군으로의 준동형 사상이다. 쌍 $(X,\; \backslash rho)$는 $\backslash rho(G)$가 X의 기본 집합의 대칭 군의 추이적인 군을 이룰 경우 동차 공간을 정의한다.

예를 들어, X가 위상 공간이면, 군의 원소는 X에서 동형사상으로 작용하는 것으로 가정한다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 ρ : G → Homeo(X)이며, X의 동형사상 군으로 작용한다.

마찬가지로, X가 미분 다양체인 경우, 군의 원소는 미분동형사상이다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 $\backslash rho\; :\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Diffeo\}(X)$이며, X의 미분동형사상 군으로 작용한다.

2.2. 잉여류 공간으로서의 표현

위상군 $G$가 동차 공간 $M$에 추이적으로 작용한다고 가정하면, 임의의 점 $x\backslash in\; M$의 안정자군 $H=G\_x$에 대하여 $M=G/H$로 표현할 수 있다. 즉, 원점이 주어지면 동차 공간을 잉여류 공간 $G/H$로 생각할 수 있다. 그러나 원점의 선택은 유일하지 않으므로, 동차 공간은 "원점을 잊은" 잉여류 공간으로 간주할 수 있다.

일반적으로, $X$가 동차 공간이고, $X$의 어떤 지정된 점 $o$ (원점의 선택)의 안정자군 $H\_o$가 주어지면, $X$의 점들은 왼쪽 잉여류 $G/H\_o$와 대응하고, 지정된 점 $o$는 항등원의 잉여류에 대응한다. 반대로, 잉여류 공간 $G/H$가 주어지면, 이것은 지정된 점, 즉 항등원의 잉여류를 갖는 $G$에 대한 동차 공간이다. 따라서 동차 공간은 원점의 선택이 없는 잉여류 공간으로 생각할 수 있다.

3. 성질

가약 동차 공간은 리만 계량 및 아핀 접속과 관련된 특정 조건을 만족하는 공간이다. 표준 접속의 비틀림 텐서 $\backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$ 및 리만 곡률 텐서 $\backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$에 대하여, 다음이 성립한다.
:$0\; =\; \backslash nabla\_l\; \backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$
:$0\; =\; \backslash nabla\_m\; \backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$

3.1. 가약 동차 공간

매끄러운 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{Diff\}$ 속의 동차 공간 $G/H$를 생각하자. 그 리 대수는 다음과 같다.
:$\backslash mathfrak\; h\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$
만약
:$\backslash mathfrak\; g=\backslash mathfrak\; h+\backslash mathfrak\; m$
:$\backslash operatorname\{Ad\}(H)\backslash mathfrak\; h\backslash subseteq\backslash mathfrak\; m$
인 실수 벡터 공간 $\backslash mathfrak\; m\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$이 존재한다면, $G/H$를 가약 동차 공간(reductive homogeneous space^영어)이라고 한다.

이 경우, 다음과 같은 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
* $G/H$ 위의 $G$-불변 리만 계량 $\backslash eta(-,-)$ (즉, 임의의 $g\backslash in\; G$에 대하여, $\backslash mathsf\; L\_g^*\backslash eta\; =\; \backslash eta$)
* $\backslash mathfrak\; m$ 위의 $\backslash operatorname\{Ad\}(H)$-불변 내적 $\backslash langle-,-\backslash rangle$
이 일대일 대응은 다음으로부터 유도된다.
:$\backslash mathrm\; T\_1(G/H)\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\; m$

또한, 다음과 같은 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.
* $G/H$ 위의 $G$-불변 아핀 접속 $\backslash nabla$
* $\backslash mathfrak\; m$ 위의 쌍선형 사상 $B\; \backslash colon\; \backslash mathfrak\; m\; \backslash otimes\; \backslash mathfrak\; m\; \backslash to\; \backslash mathfrak\; m$ 가운데, $\backslash operatorname\{Ad\}(H)$에 대하여 불변인 것
이 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.
:$B(X,Y)\; =\; \backslash nabla\_Y\; X$

이러한 쌍선형 사상 가운데, $B\; =\; 0$에 대응하는 아핀 접속을 $G/H$의 표준 접속(canonical connection^영어)이라고 한다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 아핀 접속 $\backslash nabla$이다.
* $\backslash nabla$에 의한 평행 이동은 $G$의 작용에 대한 밂과 같다. 즉, 임의의 벡터 $y\backslash in\backslash mathrm\; T\_\{gH\}(G/H)$ 및 $x\backslash in\backslash mathfrak\; g$에 대하여,
*:$\backslash operatorname\{Ad\}(\backslash exp(tx))y\; =\; \backslash Gamma(t\backslash mapsto\; \backslash exp\; tx)\_\{gH\}^\{\backslash exp(tx)g\}\; (y)\; \backslash qquad\; t\backslash in\backslash mathbb\; R$
여기서 $\backslash exp\backslash colon\backslash mathfrak\; g\backslash to\; G$는 $G$의 리 지수 사상이며, 우변의 $\backslash Gamma$는 지수 사상으로 정의되는 곡선에 대한 벡터의 평행 이동이다.

표준 접속의 비틀림 텐서 $\backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$ 및 리만 곡률 텐서 $\backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$에 대하여, 다음이 성립한다.
:$0\; =\; \backslash nabla\_l\; \backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$
:$0\; =\; \backslash nabla\_m\; \backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$

3.2. 표준 접속

가약 동차 공간 $G/H$에서 표준 접속은 $B\; =\; 0$에 대응하는 아핀 접속으로 정의된다. 표준 접속은 다음 조건을 만족시키는 유일한 아핀 접속 $\backslash nabla$이다.

* $\backslash nabla$에 의한 평행 이동은 $G$의 작용에 대한 밂과 같다. 즉, 임의의 벡터 $y\backslash in\backslash mathrm\; T\_\{gH\}(G/H)$ 및 $x\backslash in\backslash mathfrak\; g$에 대하여,
*:$\backslash operatorname\{Ad\}(\backslash exp(tx))y\; =\; \backslash Gamma(t\backslash mapsto\; \backslash exp\; tx)\_\{gH\}^\{\backslash exp(tx)g\}\; (y)\; \backslash qquad\; t\backslash in\backslash mathbb\; R$

여기서 $\backslash exp\backslash colon\backslash mathfrak\; g\backslash to\; G$는 $G$의 리 지수 사상이며, 우변의 $\backslash Gamma$는 지수 사상으로 정의되는 곡선에 대한 벡터의 평행 이동이다.

표준 접속의 비틀림 텐서 $\backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$ 및 리만 곡률 텐서 $\backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$에 대해 다음이 성립한다.
:$0\; =\; \backslash nabla\_l\; \backslash operatorname\{Tors\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k$
:$0\; =\; \backslash nabla\_m\; \backslash operatorname\{Riem\}(\backslash nabla)\_\{ij\}\{\}^k\{\}\_l$

4. 예

X가 위상 공간이면, 군의 원소는 X에서 동형사상으로 작용하는 것으로 가정한다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 ρ : G → Homeo(X)이며, X의 동형사상 군으로 작용한다.

마찬가지로, X가 미분 다양체인 경우, 군의 원소는 미분동형사상이다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 ρ : G → Diffeo(X)이며, X의 미분동형사상 군으로 작용한다.

리만 대칭 공간은 중요한 부류의 균질 공간이며, 아래 표에 나열된 많은 예제를 포함한다.

; 등거리 변환 군
* 양의 곡률:
*# 구 (직교군): Sⁿ⁻¹는 Rⁿ에서 노름이 1인 벡터들의 집합이다.
* 평탄한 (영 곡률):
*# 유클리드 공간 (유클리드 군, 점 안정자는 직교군)
* 음의 곡률:
*# 쌍곡 공간 (등시 로렌츠 군, 점 안정자는 직교군, 쌍곡면 모형에 해당)
*# 반 더 시터르 공간

; 기타
* 체 K 위의 아핀 공간 (아핀 군에 대해, 점 안정자는 일반 선형 군)
* 그라스만 다양체
* 민코프스키 공간을 포함한 물리학과 관련된 흥미로운 균질 공간들이 있다.

4.1. 집합

집합의 범주에서, 모든 집합은 스스로 위의 대칭군의 작용에 의하여 자명하게 동차 공간이다.

4.2. 동차 다양체

매끄러운 다양체 범주에서, 다양한 동차 다양체들이 존재한다.

X를 공집합이 아닌 집합, G를 군이라고 하자. 그러면 X는 G가 X에 작용하면 G-공간이라고 한다. 자동적으로 G는 집합에 대해 자기 동형 사상(전단사)으로 작용한다. 만약 X가 어떤 범주에 속하면, G의 원소들은 같은 범주에서 자기 동형 사상으로 작용하는 것으로 간주한다. 즉, G의 원소에서 나오는 X에 대한 사상은 범주와 관련된 구조를 보존한다. 동차 공간은 G가 추이적으로 작용하는 G-공간이다.

X가 범주 C의 대상이면, G-공간의 구조는 준동형 사상

:$\backslash rho\; :\; G\; \backslash to\; \backslash mathrm\{Aut\}\_\{\backslash mathbf\{C\}\}(X)$

이다. 이는 범주 C에서 대상 X의 자기 동형 사상 군으로의 준동형 사상이다. 쌍 는 ρ(G)가 X의 기본 집합의 대칭 군의 추이적인 군을 이룰 경우 동차 공간을 정의한다.

예를 들어, X가 위상 공간이면, 군의 원소는 X에서 동형사상으로 작용한다고 가정한다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 ρ : G → Homeo(X)이며, X의 동형사상 군으로 작용한다.

마찬가지로, X가 미분 다양체인 경우, 군의 원소는 미분동형사상이다. G-공간의 구조는 군 준동형 사상 이며, X의 미분동형사상 군으로 작용한다.

리만 대칭 공간은 중요한 부류의 균질 공간이며, 위에 나열된 많은 예제를 포함한다.

4.2.1. 구체적인 예

다음은 동차 공간의 구체적인 예시이다.

* 등거리 변환 군
* 양의 곡률:
* 구 (직교군): Sⁿ⁻¹는 Rⁿ에서 노름이 1인 벡터들의 집합이다. 이러한 벡터 중 하나를 기저 벡터로 간주하면, 다른 모든 벡터는 직교 변환을 사용하여 구성할 수 있다.
* 방향이 있는 구 (특수 직교군):
* 사영 공간 (사영 직교군):
* 평탄한 (영 곡률):
* 유클리드 공간 (유클리드 군, 점 안정자는 직교군):
* 음의 곡률:
* 쌍곡 공간 (등시 로렌츠 군, 점 안정자는 직교군, 쌍곡면 모형에 해당):
* 방향이 있는 쌍곡 공간:
* 반 더 시터르 공간:
* 기타
* 체 K 위의 아핀 공간 (아핀 군에 대해, 점 안정자는 일반 선형 군):
* 그라스만 다양체:
* 민코프스키 공간

5. 기하학

에를랑겐 프로그램의 관점에서, 동차 공간의 기하학은 "모든 점은 같다"는 것으로 이해될 수 있다. 이는 19세기 중반 리만 기하학 이전에 제안된 거의 모든 기하학에 해당한다.

예를 들어, 유클리드 공간, 아핀 공간, 사영 공간은 모두 해당 대칭군에 대한 자연스러운 방식으로 동차 공간이다. 이는 쌍곡 공간과 같은 비유클리드 기하학의 상수 곡률 모델에도 마찬가지이다.

5.1. 선 기하학

3차원 사영 공간의 선의 공간은 동차 공간의 고전적인 예시이다. 율리우스 플뤼커의 선 기하학으로 설명된다. 이것은 4차원 벡터 공간의 2차원 부분 공간의 공간으로도 볼 수 있다. GL₄가 이들 위에 추이적으로 작용함을 보이는 것은 간단한 선형대수이다. 부분 공간에 대한 두 개의 기저 벡터를 갖는 4×2 행렬의 2×2 소행렬식을 사용하여 선 좌표로 매개변수화할 수 있다.

6. 예동차 벡터 공간

사토 미키오가 도입한 예동차 벡터 공간은 대수군 G의 군 작용을 갖는 유한 차원 벡터 공간 V로, 자리스키 위상에서 열린 G 궤도가 존재하는 공간이다. 예를 들어 GL(1)이 1차원 공간에 작용하는 경우가 있다.

이 정의는 보기보다 제한적이다. 이러한 공간은 놀라운 성질을 가지며, "캐슬링" 변환을 포함하여 기약 예동차 벡터 공간의 분류가 존재한다.

7. 물리학에서의 동차 공간

물리학에서 동차 공간은, 특히 일반 상대성 이론과 우주론에서 중요한 역할을 한다.

리만 대칭 공간은 중요한 균질 공간의 한 종류이며, 아래에 나열된 많은 예시를 포함한다.

; 등거리 변환 군
* 양의 곡률:
*# 구 (직교 군): Sⁿ⁻¹는 Rⁿ에서 노름이 1인 벡터들의 집합이다. 이러한 벡터 중 하나를 기저 벡터로 간주하면, 다른 모든 벡터는 직교 변환을 사용하여 구성할 수 있다.
*# 방향이 있는 구 (특수 직교 군):
*# 사영 공간 (사영 직교 군):
* 평탄한 (영 곡률):
*# 유클리드 공간 (유클리드 군, 점 안정자는 직교 군):
* 음의 곡률:
*# 쌍곡 공간 (등시 로렌츠 군, 점 안정자는 직교 군, 쌍곡면 모형에 해당):
*# 방향이 있는 쌍곡 공간:
*# 반 드 지터 공간:

; 기타
* 체 K 위의 아핀 공간 (아핀 군에 대해, 점 안정자는 일반 선형 군): .
* 그래스만 다양체:
* 위상 벡터 공간 (위상의 의미에서)
* 민코프스키 공간, 갈릴레이 공간, 캐롤리안 공간등 물리학과 관련된 흥미로운 균질 공간도 있다.
푸앵카레 군 G와 그 부분군인 로렌츠 군 H가 주어지면, 잉여류의 공간은 민코프스키 공간이다. 드 시터 공간과 안티 드 시터 공간과 함께 이들은 최대한 대칭적인 로렌츠 공간이다.

7.1. 우주론 모형

일반 상대성 이론을 사용하는 물리 우주론에서는 비앙키 분류 체계를 활용한다. 상대성 이론에서 균질 공간은 일부 우주론 모형의 배경 계량 텐서에서 공간 부분을 나타낸다. 예를 들어, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 세 가지 경우는 비앙키 I형(평탄), V형(열린), VII형(평탄 또는 열린), IX형(닫힌)의 부분 집합으로 나타낼 수 있으며, 믹스마스터 우주는 비앙키 IX형 우주론의 등방성을 갖지 않는 예시이다.

N차원 균질 공간은 N(N + 1)개의 킬링 벡터를 허용한다. 3차원의 경우, 총 6개의 선형 독립 킬링 벡터장을 갖는다. 균질 3-공간은 이러한 벡터들의 선형 결합을 통해 모든 곳에서 0이 아닌 킬링 벡터장 ξ를 찾을 수 있다는 특징이 있다.

:$\backslash xi^\{(a)\}\_\{[i;k]\}=C^a\_\{\backslash \; bc\}\backslash xi^\{(b)\}\_i\; \backslash xi^\{(c)\}\_k$

여기서 "구조 상수" C^a_bc는 아래 첨자에서 반대칭인 상수 3차 텐서이다. (왼쪽 항의 대괄호는 반대칭화를, ";"는 공변 미분 연산자를 나타낸다.) 평탄 등방 우주의 경우, 한 가지 가능성은 C^a_bc = 0 (I형)이지만, 닫힌 FLRW 우주의 경우 C^a_bc = ε^a_bc이며, 여기서 ε^a_bc는 레비-치비타 기호이다.

7.2. 킬링 벡터장

N차원 균질 공간은 N(N+1)개의 킬링 벡터를 허용한다. 3차원의 경우, 이는 총 6개의 선형 독립 킬링 벡터장을 제공한다. 균질 3-공간은 이러한 벡터들의 선형 결합을 사용하여 모든 곳에서 0이 아닌 킬링 벡터장 ξ를 찾을 수 있는 속성을 갖는다.

:$\backslash xi^\{(a)\}\_\{[i;k]\}=C^a\_\{\backslash \; bc\}\backslash xi^\{(b)\}\_i\; \backslash xi^\{(c)\}\_k\; ,$

여기서 "구조 상수"인 객체 C^a_bc는 하위 두 지수에서 상수 3차 텐서 반대칭 텐서를 형성한다(왼쪽 항의 대괄호는 반대칭화를 나타내고 ";"는 공변 미분 연산자를 나타낸다). 평탄 등방 우주의 경우, 한 가지 가능성은 (I형)이지만, 닫힌 FLRW 우주의 경우 이며, 여기서 ε^a_bc는 레비-치비타 기호이다.