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고전적 수반 행렬

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목차

1. 개요

고전적 수반 행렬은 가환환 R 위의 n × n 정사각 행렬 M에 대해 정의되며, 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 수반 행렬은 행렬식의 미분, 크라메르 공식, 케일리-해밀턴 정리 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 2x2 행렬의 수반 행렬은 쉽게 계산할 수 있으며, 3x3 행렬의 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬을 통해 구할 수 있다. 수반 행렬은 외대수를 사용하여 추상적인 관점에서 이해할 수 있으며, 고차 수반 행렬과 반복 수반 행렬과 같은 확장된 개념도 존재한다.

2. 정의

가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;R)의 '''고전적 수반 행렬'''은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 즉, \operatorname{adj}M의 (i,j)-성분은 M의 j번째 행 및 i번째 열을 지운 여인자이다. 여기서 \det는 행렬식이다.

좀 더 자세히 설명하면, R이 단위적 + 가환환이고, \mathbf{A}가 R의 원소를 갖는 n \times n 행렬이라고 가정한다. \mathbf{M}_{ij}로 표시되는 \mathbf{A}의 (i, j)-소행렬식은 \mathbf{A}의 i 행과 j 열을 삭제하여 얻은 (n - 1) \times (n - 1) 행렬의 행렬식이다. \mathbf{A}의 여인수 행렬 \mathbf{C}는 (i, j)번째 원소가 \mathbf{A}의 (i, j)-여인수인 n \times n 행렬로, 이는 (i, j)-소행렬식에 부호 인수를 곱한 것이다.

:\mathbf{C} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}\right)_{1 \le i, j \le n}.

\mathbf{A}의 수반 행렬은 \mathbf{C}의 전치 행렬, 즉, (i, j)번째 원소가 \mathbf{A}의 (j, i) 여인수인 n \times n 행렬이다.

:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji}\right)_{1 \le i, j \le n}.

가환환 R 위의 n차 정사각 행렬 A = (a_{i,j}) 의 수반 행렬은 (i, j) 성분이 (j, i)여인수인 n차 정사각 행렬이며, 기호로는 \operatorname{adj}(A) 등으로 나타낸다.[7]

A 의 (i,j)소행렬식을 M_{i,j} 로 나타내기로 한다. 이것은 A 의 제i행, 제j열을 제외하고 남은 (n - 1)차 소정사각 행렬의 행렬식이다.

:\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} =(-1)^{i+j} M_{j,i}

A 의 (i,j) 여인수를 \widetilde{a}_{i,j} 로 나타내면,

:\widetilde{a}_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j}

:\operatorname{adj}(A) = (b_{i,j}), \quad b_{i,j} = (\widetilde{a}_{j,i})

A 를 여인수 전개하면, A 의 수반 행렬 \widetilde{A} 에 의해, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det (A))I

여기서 I 는 단위 행렬이다.

A 가 특히 가역 행렬일 때, A 의 역행렬은 수반 행렬 \widetilde{A} 로 나타낼 수 있다.

:A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \widetilde{A}

3. 성질

가환환 R 위의 n\times n 정사각 행렬 M\in\operatorname{Mat}(n;R)에 대하여, 다음 항등식이 성립한다.[8]

:M\operatorname{adj}M=(\operatorname{adj}M)M=(\det M)1_{n\times n}

특히, \det M\in R가 가역원인 경우(R가 체인 경우 \det M\ne 0 조건과 같다), M의 역행렬은 다음과 같다.

:M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname{adj}M

이 외에도 다음 항등식들이 성립한다.

:\det(\operatorname{adj}M)=(\det M)^{n-1}

:\operatorname{adj}(M^\top)=\operatorname{adj}M

수반 행렬은 \mathbf{A}와 그 수반 행렬의 곱이 대각 성분이 행렬식 \det(\mathbf{A})인 대각 행렬이 되도록 정의된다. 즉,

:\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{A} = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I},

여기서 \mathbf{I}는 n \times n 항등 행렬이다. 이는 행렬식의 라플라스 전개 결과이다.

위 공식은 행렬 대수학의 기본 결과 중 하나이며, \mathbf{A}는 \det(\mathbf{A})가 R의 가역원일 경우에만 가역 행렬이다. 이 조건이 충족되면 위 방정식은 다음과 같다.

:\begin{align}

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) &= \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}, \\

\mathbf{A}^{-1} &= \det(\mathbf{A})^{-1} \operatorname{adj}(\mathbf{A}).

\end{align}

\mathbf{A}가 가역 행렬일 때, \mathbf{A}의 역행렬은 수반 행렬 \widetilde{\mathbf{A}}로 나타낼 수 있다.

:A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \widetilde{A}


  • \operatorname{adj}(O) = O (O는 영 정방 행렬)
  • \operatorname{adj}(I) = I (I는 단위 행렬)
  • \operatorname{adj}(cA) = c^{n-1}\operatorname{adj}(A) (c는 스칼라)
  • \operatorname{adj}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(A)^\mathsf{T} (\mathsf{T}는 전치를 나타낸다)
  • \det(\operatorname{adj}(A)) = (\det A)^{n-1}
  • A가 정칙이면, \operatorname{adj}(A) = (\det A) A^{-1}
  • 이로부터 다음이 유도된다.
  • \operatorname{adj}(A)는 정칙이고, 그 역행렬은 (\det A)^{-1}A
  • \operatorname{adj}(A^{-1}) = \operatorname{adj}(A)^{-1}.
  • \operatorname{adj}(A)의 각 성분은 A 성분의 다항식이다. 특히, 실수체 또는 복소수체 상에서 \operatorname{adj}(A)의 각 성분은 A 성분의 매끄러운 함수이다.
  • 복소수체 상에서,
  • \operatorname{adj}(\overline{A}) = \overline{\operatorname{adj}(A)} (\overline{A}는 복소 공액을 나타낸다)
  • \operatorname{adj}A^* = (\operatorname{adj}A)^* (A^*는 수반 행렬을 나타낸다)

3. 1. 추가 성질

임의의 n \times n 행렬 '''A'''에 대해, 복소수 상에서 '''B'''가 다른 n \times n 행렬이고, '''A'''가 '''B'''와 가환한다고 가정한다. 항등식 1=\mathbf{AB} = \mathbf{BA}에 adj(\mathbf{A})를 왼쪽과 오른쪽에 곱하면 다음이 증명된다.[8]

  • \operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)

  • 행렬의 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.


:\operatorname{adj}(A^k) = (\operatorname{adj} A)^k (k는 0 이상의 정수)

  • A\operatorname{adj}(A+B)B=B\operatorname{adj}(A+B)A

  • 일 때,

  • 일 때,

4. 예제

2×2 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 수반 행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

직접 계산하면 다음과 같다.

:\(\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}\)

이 경우, \(\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})\)이며, \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)도 성립한다.

4. 1. 1 × 1 일반 행렬

0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}이고, adj(0) = 0으로 정의한다. 1 × 1 행렬(복소수)의 수반 행렬은 \mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}이다. \mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A} = (\det \mathbf{A}) \mathbf {I}.임을 알 수 있다.

4. 2. 2 × 2 일반 행렬

2×2 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 수반행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

직접 대입을 통해 다음을 보일 수 있다.

:\(\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}\)

이 경우 \(\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})\)가 성립하고, \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)이다.

구체적인 예시는 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}\!\begin{bmatrix}

  • 3 & 2 & -5 \\
  • 1 & 0 & -2 \\

3 & -4 & 1

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

  • 8 & 18 & -4 \\
  • 5 & 12 & -1 \\

4 & -6 & 2

\end{bmatrix}\)

이는 수반 행렬이 역행렬에 행렬식 -6을 곱한 것과 같다는 것을 보여준다.

수반 행렬의 두 번째 행, 세 번째 열의 -1은 다음과 같이 계산된다. \(\mathbf{A}\)의 (3,2) 여인자는 원래 행렬에서 세 번째 행과 두 번째 열을 제거한 부분 행렬을 사용하여 계산한다.

:\(\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\)

(3,2) 여인자는 이 부분 행렬의 행렬식에 부호를 곱한 값이다.

:\((-1)^{3+2}\operatorname{det}\!\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix} = -(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1) = -1\)

이것이 수반 행렬의 (2,3) 항목이다.

2차 정방 행렬 \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)의 여인수 행렬은 다음과 같다.

:\(\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)

2차 정사각 행렬에서는 \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \mathbf{A}\)가 성립한다.

4. 3. 3 × 3 일반 행렬

다음 3 × 3 행렬에서

:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{bmatrix}.



여인자_행렬은 다음과 같이 구한다.

:

\mathbf{C} = \begin{bmatrix}

+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\

\\

  • \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\

\\

+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

\end{bmatrix},



여기서

:

\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}

=\det\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} .



수반 행렬은 이 여인자 행렬의 전치 행렬이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

:

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}

+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\

& & \\

  • \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\

& & \\

+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &

  • \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &

+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}

\end{bmatrix}.


4. 4. 3 × 3 행렬 수치 계산 예

다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.

:\operatorname{adj} \begin{bmatrix}

  • 3 & 2 & -5 \\
  • 1 & 0 & -2 \\

3 & -4 & 1

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

  • 8 & 18 & -4 \\
  • 5 & 12 & -1 \\

4 & -6 & 2

\end{bmatrix}.



이 수반행렬은 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 -6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 (2행, 3열) 값 -1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행, 3열) 값은 여인자 행렬의 (3행, 2열) 값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,

:\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}.

과 (3행, 2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

:(-1)^{3+2}\operatorname{det}\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}=-(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1)=-1,

그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 -1이다.

5. 응용

행렬 의 특성 다항식은 다음과 같이 정의된다.

:p(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \sum_{i=0}^n p_i s^i \in R[s].

의 첫 번째 나눗셈 차분은 차수 의 대칭 다항식이다.

:\Delta p(s, t) = \frac{p(s) - p(t)}{s - t} = \sum_{0 \le j + k < n} p_{j+k+1} s^j t^k \in R[s, t].

에 수반 행렬을 곱하고 케일리-해밀턴 정리를 적용하면 이므로, 다음을 얻는다.

:\operatorname{adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \Delta p(s\mathbf{I}, \mathbf{A}).

의 해법은 다음과 같이 정의된다.

:R(z; \mathbf{A}) = (z\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1},

위의 공식에 의해, 이는 다음과 같다.

:R(z; \mathbf{A}) = \frac{\Delta p(z\mathbf{I}, \mathbf{A})}{p(z)}.

5. 1. 열 치환과 크라메르 공식

의 열 벡터 표기를

:A = (\boldsymbol{a}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)

로 하고, 를 차 열 벡터로 한다. 고정된 에 대해, 의 제 열을 로 바꾼 행렬을 다음 기호로 정의한다.

:(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{pmatrix}

\boldsymbol{a}_1 &\cdots &\boldsymbol{a}_{j-1} &\boldsymbol{b} &\boldsymbol{a}_{j+1} &\cdots & \boldsymbol{a}_n

\end{pmatrix}

이 행렬의 행렬식을 제열에 관해 여인수 전개하고, 그것들을 모아서 만들 수 있는 열 벡터는 곱 와 같게 된다.

:\left(\det(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\right)_{j=1}^n = \operatorname{adj}(A)\boldsymbol{b}

이 등식은 구체적인 결과를 낳는다. 선형 방정식

:A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}

를 생각한다. 를 정칙 행렬이라고 가정한다. 이 방정식에 왼쪽에 를 곱하고, 로 나누면

:\boldsymbol{x} = \frac{1}{\det A} (\operatorname{adj}A) \boldsymbol{b}

여기서 클라머 공식을 적용하면,

:x_i = \frac{\det(A \stackrel{i}{\leftarrow} \boldsymbol{b})}{\det A}

여기서 는 의 제 성분이다.

5. 2. 특성 다항식

'''A'''의 특성 다항식을 다음과 같이 정의한다.

:p(s) = \det(sI-A) = \textstyle\sum\limits_{i=0}^n p_i s^i \in R[s]

에 수반 행렬을 곱하면 케일리-해밀턴 정리에 의해 이므로, 다음을 얻는다.

:\operatorname{adj}(sI-A) = \Delta p(sI,A)

5. 3. 야코비 공식

수반 행렬은 야코비 공식에도 나타나는데, 이는 행렬식의 미분에 대한 공식이다. Continuously differentiable|연속적으로 미분 가능영어한 행렬 ''A''(''t'')에 대해, 다음이 성립한다.

:\frac{d}{dt}(\det A(t)) = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A(t)) A'(t)\right)

따라서, 행렬식의 전미분은 수반 행렬의 전치 행렬과 같다.

:d(\det A)_{A_0} = \operatorname{adj}(A_0)^{\mathsf{T}}

5. 4. 케일리-해밀턴 정리

행렬 의 특성 다항식을 라고 할 때, 케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음이 성립한다.

:p_{\mathbf{A}}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}.

상수항을 분리하고 식에 를 곱하면 와 의 계수에만 의존하는 수반 행렬에 대한 식이 나온다. 이 계수들은 완전 지수 벨 다항식을 사용하여 의 거듭제곱의 대각합으로 명시적으로 표현할 수 있다. 결과 공식은 다음과 같다.

:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \sum_{s=0}^{n-1} \mathbf{A}^{s} \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_{n-1}} \prod_{\ell=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k_\ell+1}}{\ell^{k_\ell}k_{\ell}!}\operatorname{tr}(\mathbf{A}^\ell)^{k_\ell},

여기서 은 의 차원이며, 합은 와 선형 디ophantine 방정식을 만족하는 의 모든 수열에 대해 취해진다.

:s+\sum_{\ell=1}^{n-1}\ell k_\ell = n - 1.

2 × 2 행렬의 경우, 다음을 얻는다.

:\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{I}_2(\operatorname{tr}\mathbf{A}) - \mathbf{A}.

3 × 3 행렬의 경우, 다음을 얻는다.

:\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\frac{1}{2}\mathbf{I}_3\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2-\operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right) - \mathbf{A}(\operatorname{tr}\mathbf{A}) + \mathbf{A}^2 .

4 × 4 행렬의 경우, 다음을 얻는다.

:\operatorname{adj}(\mathbf{A})=

\frac{1}{6}\mathbf{I}_4\!\left(

(\operatorname{tr}\mathbf{A})^3

  • 3\operatorname{tr}\mathbf{A}\operatorname{tr}\mathbf{A}^2

+ 2\operatorname{tr}\mathbf{A}^{3}

\right)

  • \frac{1}{2}\mathbf{A}\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2 - \operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right)

+ \mathbf{A}^2(\operatorname{tr}\mathbf{A})

  • \mathbf{A}^3.


위의 표시식은, 의 특성 다항식을 효율적으로 구할 수 있는 파데예프-레베리에 알고리즘의 마지막 단계에서도 직접적으로 유도할 수 있다.

6. 외대수와의 관계

수반 행렬은 외대수를 사용하여 추상적인 관점에서 볼 수 있다. 이 표준 기저 를 갖는 경우, 선형 변환 의 행렬이 이면, 의 수반 행렬은 의 수반 행렬과 같다.

\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n에 다음과 같은 기저를 부여한다.

:\{\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n\}_{k=1}^n.

의 기저 벡터 를 고정하면, \phi 아래에서 의 이미지는 다음과 같이 결정된다.

:\phi_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n)

= \begin{cases} (-1)^{i-1} \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n, &\text{if}\ k = i, \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}

기저 벡터에서 차 외력 는 다음과 같다.

:\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto \sum_{k=1}^n (\det A_{jk}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n.

이러한 각 항은 \phi_{\mathbf{e}_i} 아래에서 0으로 매핑되지만 항은 예외이다. 따라서 \phi_{\mathbf{e}_i}의 당김은 다음과 같은 선형 변환이다.

:\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto (-1)^{i-1} (\det A_{ji}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n,

즉, 다음과 같다.

:\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} (\det A_{ji})\phi_{\mathbf{e}_j}.

\phi의 역을 적용하면 의 수반 행렬은 다음과 같은 선형 변환임을 알 수 있다.

:\mathbf{e}_i \mapsto \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf{e}_j.

결과적으로, 이의 행렬 표현은 의 수반 행렬이다.

7. 고차 수반 행렬

'''A'''를 행렬이라 하고 r을 고정하자. '''r차 고차 수반 행렬'''은 \binom{n}{r} \!\times\! \binom{n}{r} 행렬이며, 로 표기한다. r차 고차 수반 행렬의 (I, J) 원소는 다음과 같다.

:(-1)^{\sigma(I) + \sigma(J)}\det \mathbf{A}_{J^c, I^c},

여기서 와 는 각각 와 의 원소의 합이다. 와 는 각각 와 의 여집합을 나타낸다. 또한 \mathbf{A}_{I^c, J^c}는 각각 와 에 인덱스가 있는 행과 열을 포함하는 '''A'''의 부분 행렬을 나타낸다.

고차 수반 행렬의 기본적인 성질은 다음과 같다:






  • \operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}, 여기서 는 r차 합성 행렬을 나타낸다.


고차 수반 행렬은 일반적인 수반 행렬과 유사한 방식으로 추상대수학적 용어로 정의될 수 있으며, \wedge^r V와 \wedge^{n-r} V를 각각 V와 \wedge^{n-1} V 대신 사용한다.

8. 반복 수반 행렬

반복적으로 가역 행렬 '''A'''의 수반 행렬을 ''k''번 취하면 다음을 얻는다.

:\overbrace{\operatorname{adj}\dotsm\operatorname{adj}}^k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k}

:\det(\overbrace{\operatorname{adj}\dotsm\operatorname{adj}}^k(\mathbf{A}))=\det(\mathbf{A})^{(n-1)^k}

예를 들어,

:\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2} \mathbf{A}

:\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\mathbf{A}))) = \det(\mathbf{A})^{(n - 1)^2}

참조

[1] 서적 The Theory of Matrices https://books.google[...] Chelsea
[2] 서적 Linear Algebra and its Applications Harcourt Brace Jovanovich
[3] 간행물 On predicting the response of non-conservative linear vibrating systems by using dynamical matrix solutions
[4] 간행물 A characteristic matrix approach for analyzing resonant ring lattice devices
[5] 서적 The Theory of Matrices in Numerical Analysis Dover Books on Mathematics
[6] 서적 The Theory of Matrices https://books.google[...] Chelsea
[7] 서적 線型代数入門 東京大学出版会 1966-03-31
[8] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971


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