교차 가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 범주론적 정의
3. 예
4. 분류 공간
5. 역사
참조

1. 개요

교차 가군은 군 G, H, 준동형 사상 G → Aut(H) 및 d: H → G로 구성되며, 특정 조건을 만족해야 한다. 이는 군의 범주 내의 내적 범주 또는 범주의 범주 내의 군 대상과 관련이 있으며, 군의 정규 부분군, 군환의 가군, 중심 확대, 자기 동형군, 2-기본군 등 다양한 예시가 존재한다. 교차 가군은 분류 공간을 가지며, 호모토피 2-타입을 완전히 설명한다. 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 처음 도입했으며, 1949년에 '교차 가군'이라는 용어를 사용했다.

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교차 가군

2. 정의

교차 가군은 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같은 개념이다.^[2] 교차 가군과 군의 범주 속의 내적 범주 사이의 관계는 다음 표와 같이 요약할 수 있다.

교차 가군	군의 범주의 내적 범주
$G$	$\operatorname{Ob}\mathcal G$
$H$	$\ker \operatorname{dom} \le \operatorname{Mor}\mathcal G$
$H\rtimes G$	$\operatorname{Mor}\mathcal G$
$d\colon H \to G$	$\operatorname{codom}\restriction (\ker \operatorname{dom})$
$(\cdot)\colon G\times H\to H$	$(g,h)\mapsto i(g) h i(g)^{-1} \in \ker\operatorname{dom}$
$H\rtimes G\to G$ , $(h,g)\mapsto g$	$\operatorname{dom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$
$H\rtimes G\to G$ , $(h,g)\mapsto d(h)g$	$\operatorname{codom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$

2. 1. 기본 정의

교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

군 $G$
군 $H$
군 준동형 $(\cdot)\colon G\to\operatorname{Aut}(H)$
군 준동형 $d\colon H\to G$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

d(g\cdot h) = gd(h)g^{-1}\qquad\forall g\in G,\;h\in H

:

d(h)\cdot h' = hh'h^{-1}\qquad\forall h,h'\in H

('''파이퍼 항등식''' Peiffer identity|파이퍼 항등식^영어)

가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

:

\begin{matrix}G\times H & \overset{(\cdot)}\to & H \\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\!\!\!\!\!\!\!\! && {\color{White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle d} \downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\! {\color{White}.}\\G\times G & \underset{\!\!\!\operatorname{Ad}_G\!\!\!}\to & G\end{matrix}

:

\begin{matrix}H\times H & \overset{d\times\operatorname{id}}\to & G\times H \\\| && \!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle(\cdot)} \downarrow {\scriptstyle(\cdot)}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H & \underset{\operatorname{Ad}_H}\to & H\end{matrix}

2. 2. 범주론적 정의

교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

군 $G$
군 $H$
군 준동형 $(\cdot)\colon G\to\operatorname{Aut}(H)$
군 준동형 $d\colon H\to G$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

d(g\cdot h) = gd(h)g^{-1}\qquad\forall g\in G,\;h\in H

:

d(h)\cdot h' = hh'h^{-1}\qquad\forall h,h'\in H

('''파이퍼 항등식''' Peiffer identity^영어)

가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

:

\begin{matrix}G\times H & \overset{(\cdot)}\to & H \\\!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\operatorname{id}_G\times d}\!\!\!\!\!\!\!\! && {\color{White}.}\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle d} \downarrow {\scriptstyle d}\!\!\!\!\!\!\!\! {\color{White}.}\\G\times G & \underset{\!\!\!\operatorname{Ad}_G\!\!\!}\to & G\end{matrix}

:

\begin{matrix}H\times H & \overset{d\times\operatorname{id}}\to & G\times H \\\| && \!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}\scriptstyle(\cdot)} \downarrow {\scriptstyle(\cdot)}\!\!\!\!\!\!\!\!\\H\times H & \underset{\operatorname{Ad}_H}\to & H\end{matrix}

이 개념은 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 같다.^[2] 전자의 경우, 대상의 군은

G

이며, 사상의 군은

H\rtimes G

이다. 이 경우

:

\operatorname{dom}(h,g) = g

:

\operatorname{codom}(h,g) = d(h)g

이며, 항등 사상은 포함 군 준동형

G\to H\rtimes G

이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

대상의 군 $\operatorname{Ob}\mathcal G$
사상의 군 $\operatorname{Mor}\mathcal G$
항등 사상을 정의하는 군 준동형 $i \colon \operatorname{Ob}\mathcal G \to \operatorname{Mor}\mathcal G$
사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 $\operatorname{dom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$
사상의 공역을 정의하는 군 준동형 $\operatorname{codom} \colon \operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$
사상의 합성을 정의하는 군 준동형 $\{(f,g)\in (\operatorname{Mor}\mathcal G)^2\colon \operatorname{dom}f=\operatorname{codom}g\} \to \operatorname{Mor}\mathcal G$

이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

교차 가군	군의 범주의 내적 범주
$G$	$\operatorname{Ob}\mathcal G$
$H$	$\ker \operatorname{dom} \le \operatorname{Mor}\mathcal G$
$H\rtimes G$	$\operatorname{Mor}\mathcal G$
$d\colon H \to G$	$\operatorname{codom}\restriction (\ker \operatorname{dom})$
$(\cdot)\colon G\times H\to H$	$(g,h)\mapsto i(g) h i(g)^{-1} \in \ker\operatorname{dom}$
$H\rtimes G\to G$ , $(h,g)\mapsto g$	$\operatorname{dom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$
$H\rtimes G\to G$ , $(h,g)\mapsto d(h)g$	$\operatorname{codom}\colon\operatorname{Mor}\mathcal G\to\operatorname{Ob}\mathcal G$

3. 예

정규 부분군을 이용하여 교차 가군을 정의할 수 있다. 군 $G$ 의 정규 부분군 $N$ 이 주어졌을 때, 포함 사상 $d\colon N\hookrightarrow G$ 와 $G$ 의 켤레 작용은 교차 가군을 이룬다. 가군은 군환 위에서 ''d'' = 0 인 교차 가군으로 볼 수 있으며, 이는 가군 개념의 일반화이다. 중심 확대는 전사 준동형 사상을 통해 교차 가군으로 정의될 수 있으며, 반대로 전사 경계를 갖는 교차 가군은 중심 확대를 정의한다. 군의 원소를 내부 자기 동형 사상에 대응시키는 준동형 사상은 교차 가군을 형성한다.

위상 공간에서 호모토피 경계는 두 번째 상대 호모토피 군에서 기본군으로 가는 교차 가군 구조를 가지며, 이는 반 캄펜 정리의 한 형태를 만족한다. 가리키어진 피브레이션에서 유도된 기본군의 사상은 교차 가군 구조를 가지며, 이는 대수적 K-이론에서 유용하다. 이러한 예들은 교차 가군이 "2차원 군"으로 간주될 수 있음을 보여주며, 이는 범주론을 통해 범주적 군 또는 2-군으로 정확하게 표현될 수 있다.

3. 1. 정규 부분군

군

G

의 정규 부분군

N

이 주어졌을 때, 포함 사상

d\colon N\hookrightarrow G

와

G

의 켤레 작용은 교차 가군을 이룬다. 즉, 다음과 같다.

:

d\colon N\hookrightarrow G

:

g\cdot n = gng^{-1}\qquad(g\in G,\;n\in N)

3. 2. 가군

군

G

의 군환

\mathbb Z[G]

의 왼쪽 가군

_{\mathbb Z[G]}H

는

d=1_G

인 교차 가군

(G,H)

와 동치이다. 즉,

\mathbb Z[G]

-왼쪽 가군의 범주는

G

에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 교차 가군은 군의 가군 개념의 일반화로 볼 수 있다.

임의의 군 ''G''에 대해, 가군은 군환 위의, ''d'' = 0인 교차 ''G''-가군이다.

3. 3. 중심 확대

군의 짧은 완전열

1\to A\to H \,\xrightarrow d\,G \to 1

에서

A

가 아벨 군일 때,

(G,H,d,\cdot)

는 교차 가군을 이룬다. 이때 전사 준동형 사상

d\colon H \to G \!

는

G

의

H

에 대한 작용과 함께 교차 가군을 정의한다. 따라서 중심 확대는 특수한 교차 가군으로 볼 수 있다. 반대로, 전사 경계를 갖는 교차 가군은 중심 확대를 정의한다.

3. 4. 자기 동형군

군

H

에 대해, 표준적인 군 준동형^[2]

:

d\colon H\to\operatorname{Aut}(H)

:

d\colon h \mapsto (h' \mapsto hh'h^{-1})

에 의해,

(\operatorname{Aut}(H),H)

는 교차 가군을 이루며, 이를

\operatorname{AUT}(H)

라고 한다. 여기서 군 원소는 내부 자기 동형에 대응된다.

3. 5. 2-기본군

위상 공간

X

의 부분 공간

A\subseteq X

및 점

x\in A

에 대하여, 2차 호모토피 군과 기본군 사이의 경계 준동형은 교차 가군을 이룬다. 즉,

:

G = \pi_1(A,x)

(기본군)

:

H = \pi_2(X,A,x)

(2차 호모토피 군)

:

d \colon H \to G

(상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형)

(''X'',''A'',''x'')가 위상 공간의 가리키어진 쌍(즉,

A

는

X

의 부분 공간이고,

x

는

A

의 점)일 경우, 호모토피 경계

:

d\colon \pi_{2}(X,A,x) \rightarrow \pi_{1}(A,x) \!

는 두 번째 상대 호모토피 군에서 기본군으로 가는 교차 가군의 구조를 갖는다. 함자

:

\Pi \colon (\text{가리키어진 공간의 쌍}) \rightarrow (\text{교차 가군})

은 반 캄펜 정리의 한 형태를 만족하며, 특정 코리미트를 보존한다.

3. 6. 리 교차 가군

리 군

G

와

H

에 대해, 교차 가군의 구조를 리 대수에 제한하여 미분 등급 리 대수를 얻을 수 있다.

(G,H)

에서,

G

와

H

가 리 군이고, 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 가정한다. 이 경우, 교차 가군

(G,H)

의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로,

\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g

,

\operatorname{Lie}(H)=\mathfrak h

라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.

두 유한 차원 실수 리 대수 $\mathfrak g$ , $\mathfrak h$
리 대수 준동형 $\rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak h)$ (공역은 $\mathfrak h$ 의 미분 리 대수)
리 대수 준동형 $d\colon \mathfrak h\to\mathfrak g$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

d(\rho(g)h) = [g,d(h)]

:

\rho(d(h)) = [h,-] = \operatorname{ad}_{\mathfrak h}(h)

(무한소 파이퍼 항등식)

특히, 파이퍼 항등식으로부터,

\mathfrak h

의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

:

[-,-] \colon \mathfrak g \otimes_{\mathbb R}\mathfrak h \to \mathfrak h

:

[g,h] = \rho(g)h

:

\deg \mathfrak g = 0

:

\deg \mathfrak h = 1

를 정의하면,

(\mathfrak g\oplus\mathfrak h,d, [-,-])

는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

4. 분류 공간

교차 가군 $M= (d\colon H \longrightarrow G)$ 은 호모토피 군이 1차원에서 Coker d, 2차원에서 Ker d, 2차원 이상에서는 0인 분류 공간 BM을 갖는다. CW-복합체에서 ''BM''으로 가는 사상의 호모토피류를 기술하는 것이 가능하다. 이를 통해 (점있는, 약한) 호모토피 2-타입이 교차 가군에 의해 완전히 기술됨을 증명할 수 있다.

5. 역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며,^[4] 1949년에 ‘교차 가군’(crossed module^영어)이라는 용어를 최초로 사용하였다.^[5] 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다.

> 편의상, 상대 호모토피 군과 같은 대수적 성질을 갖는 군에 대하여 이름을 붙이고, 이에 대하여 몇몇 보조 정리를 증명하자. 이러한 군을 ‘교차 가군’[……]이라고 부르도록 하자.
It will be convenient to have a name for groups with the algebraic properties of relative homotopy groups, and to have proved some lemmas concerning them. We shall call such a group a ''crossed module'' […].^영어

교차 가군의 두 번째 정체성에 대한 최초 언급은 J. H. C. Whitehead의 1941년 논문 422페이지 각주 25에서 나타나며, '교차 가군'이라는 용어는 그의 1946년 논문에서 처음 소개되었다. 이러한 아이디어는 그의 1949년 논문 '조합 호모토피 II'에서 잘 발전되었으며, 여기서 자유 교차 가군이라는 중요한 아이디어가 소개되었다. 교차 가군과 그 응용에 대한 화이트헤드의 아이디어는 Brown, Higgins, Sivera의 책에서 발전되고 설명되었다. 교차 가군 아이디어의 몇 가지 일반화는 Janelidze의 논문에서 설명된다.

참조

_[1] 저널 Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules 2005
_[2] 저널 The Classifying Space of a Topological 2-Group 2008
_[3] 저널 Smooth functors vs. differential forms 2008
_[4] 저널 On adding relations to homotopy groups, Annals of Mathematics 1941
_[5] 저널 Combinatorial homotopy Ⅱ 1949

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