기둥형 고른 다면체
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1. 개요
기둥형 고른 다면체는 꼭짓점 배열이 대칭군에 대응되는 등각 다면체로, 각기둥과 엇각기둥이 포함된다. 각기둥은 대칭군 Dph, 엇각기둥은 Dpd를 가지며, p가 짝수일 때 Dph는 점대칭을, p가 홀수일 때 Dpd는 점대칭을 갖는다. 각기둥은 p/q > 2, 엇각기둥은 p/q > 3/2인 유리수에 대해 존재하며, p/q < 2인 엇각기둥은 교차되거나 역행한다. 정사면체, 정육면체, 정팔면체는 이면체 대칭으로 표현 가능하며, 각각 엇이각기둥, 사각기둥, 엇삼각기둥으로 나타낼 수 있다.
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| 기둥형 고른 다면체 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 유형 | 다면체 |
| 면의 수 | 2 + n |
| 모서리의 수 | 3n |
| 꼭짓점의 수 | 2n |
| 슐레플리 기호 | {} 또는 t{2, n} |
| 꼭짓점 도형 | (4.4.n) |
| 대칭군 | Dnh, [n,2], (*22n) |
| 회전군 | Dn, [n,2]+, (22n) |
| 쌍대 다면체 | 쌍각기둥 |
| 속성 | 볼록 |
| 예시 | |
| |
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| |
| |
| 관련 다면체 | |
| 유형 | 고른 다면체 |
| 쌍대 | 쌍각기둥 |
| 관련 | 각뿔 |
2. 꼭짓점 배치와 대칭군
고른 다면체는 꼭짓점-추이이므로 꼭짓점 배열은 대칭군에 고유하게 해당한다.
2. 1. 각기둥과 엇각기둥의 대칭군 차이
점추이이므로 꼭짓점 배열은 유일하게 대칭군에 대응된다.각기둥과 엇각기둥 대칭군 간의 차이는 '''D''p''h'''는 꼭짓점이 두 평면에 정렬되어 있고, 그 평면은 (다각형 {p/q}에 평행한) ''p''-겹 축에 수직인 반사면을 만든다는 것이다. 반면에 '''D''p''d'''는 꼭짓점이 다른 평면에 대하여 상대적으로 꼬여있고, 회전 반사를 갖게 된다. 각각은 ''p''-겹 축을 포함하는 ''p''개의 반사면을 가진다.
'''D''p''h''' 대칭군은 ''p''가 짝수일 때만 점대칭을 가지고, '''D''p''d'''은 ''p''가 홀수일 때만 점대칭을 가진다.
3. 종류
각기둥과 엇각기둥은 밑면의 모양에 따라 다양한 종류가 존재한다.
- 각기둥은 모든 유리수 ''p/q'' > 2에 대해 존재하며, ''p/q''가 정수일 때 볼록 다면체이다.
- 엇각기둥은 모든 유리수 ''p/q'' > 3/2에 대해 존재한다. ''p/q'' < 2인 엇각기둥은 교차되거나 역행하며, 그 꼭짓점 도형은 나비넥타이 모양이다.
3. 1. 각기둥
모든 유리수 ''p/q'' > 2에 대해 각기둥이 존재하며, 대칭군은 '''D''p''h'''이다. ''p/q''가 정수(q = 1)일 때 각기둥은 볼록 다면체이다.3. 2. 엇각기둥
모든 유리수 ''p/q'' > 3/2에 대해 엇각기둥이 존재한다. ''q''가 홀수일 때는 대칭군 '''D''p''d'''을 가지고, ''q''가 짝수일 때는 대칭군 '''D''p''h'''을 가진다.''p/q'' < 2인 엇각기둥은 교차되거나 역행하며, 그 꼭짓점 도형은 나비넥타이 모양이다. ''p/q'' ≤ 3/2인 고르지 않은 엇각기둥은 삼각 부등식을 만족하지 않아 존재할 수 없다.
4. 그림
정사면체, 정육면체, 정팔면체는 이면체 대칭으로 기술되었는데, 각각 '엇이각기둥', '사각기둥', '엇삼각기둥'으로 나타낸다. 이들은 균일하게 색칠되어 있을 때에도, 정사면체는 정사면체 대칭을, 정육면체와 정팔면체는 정팔면체 대칭을 가진다.
4. 1. 대칭군별 분류
| 대칭군 | 볼록 | 별모양 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| d2d [2+,2] (2*2) |  3.3.3 | |||||||
| d3h [2,3] (*223) |  3.4.4 | |||||||
| d3d [2+,3] (2*3) |  3.3.3.3 | |||||||
| d4h [2,4] (*224) |  4.4.4 | |||||||
| d4d [2+,4] (2*4) |  3.3.3.4 | |||||||
| d5h [2,5] (*225) |  4.4.5 |  4.4.5/2 | -- 3.3.3.5/2 | |||||
| d5d [2+,5] (2*5) |  3.3.3.5 |  3.3.3.5/3 | ||||||
| d6h [2,6] (*226) |  4.4.6 | |||||||
| d6d [2+,6] (2*6) |  3.3.3.6 | |||||||
| d7h [2,7] (*227) |  4.4.7 |  4.4.7/2 |  4.4.7/3 |  3.3.3.7/2 |  3.3.3.7/4 | |||
| d7d [2+,7] (2*7) |  3.3.3.7 |  3.3.3.7/3 | ||||||
| d8h [2,8] (*228) |  4.4.8 |  4.4.8/3 | ||||||
| d8d [2+,8] (2*8) |  3.3.3.8 |  3.3.3.8/3 |  3.3.3.8/5 | |||||
| d9h [2,9] (*229) |  4.4.9 |  4.4.9/2 |  4.4.9/4 |  3.3.3.9/2 |  3.3.3.9/4 | |||
| d9d [2+,9] (2*9) |  3.3.3.9 |  3.3.3.9/5 | ||||||
| d10h [2,10] (*2.2.10) |  4.4.10 |  4.4.10/3 | ||||||
| d10d [2+,10] (2*10) |  3.3.3.10 |  3.3.3.10/3 | ||||||
| d11h [2,11] (*2.2.11) |  4.4.11 |  4.4.11/2 |  4.4.11/3 |  4.4.11/4 |  4.4.11/5 |  3.3.3.11/2 |  3.3.3.11/4 |  3.3.3.11/6 |
| d11d [2+,11] (2*11) |  3.3.3.11 |  3.3.3.11/3 |  3.3.3.11/5 |  3.3.3.11/7 | ||||
| d12h [2,12] (*2.2.12) |  4.4.12 |  4.4.12/5 | ||||||
| d12d [2+,12] (2*12) |  3.3.3.12 |  3.3.3.12/5 |  3.3.3.12/7 | |||||
| ... | ||||||||
정사면체, 정육면체, 정팔면체는 이면체 대칭으로 기술되었으며(각각 ''엇이각기둥'', ''사각기둥'', ''엇삼각기둥''으로 나타냄), 균일하게 색칠된 경우, 정사면체는 정사면체 대칭을 가지고, 정육면체와 정팔면체는 정팔면체 대칭을 가진다.
4. 2. 표를 이용한 시각화
정사면체, 정육면체, 정팔면체는 이면체 대칭으로 기술되었는데, 각각 *엇이각기둥*, *사각기둥*, *엇삼각기둥*으로 나타내었다. 균일하게 색칠되었을지라도, 정사면체는 정사면체 대칭을 가지고, 정육면체와 정팔면체는 정팔면체 대칭을 가진다.| 대칭군 | 볼록 | 별모양 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| d2d [2+,2] (2*2) | 3.3.3 | |||||||
| d3h [2,3] (*223) | 3.4.4 | |||||||
| d3d [2+,3] (2*3) | 3.3.3.3 | |||||||
| d4h [2,4] (*224) | 4.4.4 | |||||||
| d4d [2+,4] (2*4) | 3.3.3.4 | |||||||
| d5h [2,5] (*225) | 4.4.5 | 4.4.5/2 | -- 3.3.3.5/2 | |||||
| d5d [2+,5] (2*5) | 3.3.3.5 | 3.3.3.5/3 | ||||||
| d6h [2,6] (*226) | 4.4.6 | |||||||
| d6d [2+,6] (2*6) | 3.3.3.6 | |||||||
| d7h [2,7] (*227) | 4.4.7 | 4.4.7/2 | 4.4.7/3 | 3.3.3.7/2 | 3.3.3.7/4 | |||
| d7d [2+,7] (2*7) | 3.3.3.7 | 3.3.3.7/3 | ||||||
| d8h [2,8] (*228) | 4.4.8 | 4.4.8/3 | ||||||
| d8d [2+,8] (2*8) | 3.3.3.8 | 3.3.3.8/3 | 3.3.3.8/5 | |||||
| d9h [2,9] (*229) | 4.4.9 | 4.4.9/2 | 4.4.9/4 | 3.3.3.9/2 | 3.3.3.9/4 | |||
| d9d [2+,9] (2*9) | 3.3.3.9 | 3.3.3.9/5 | ||||||
| d10h [2,10] (*2.2.10) | 4.4.10 | 4.4.10/3 | ||||||
| d10d [2+,10] (2*10) | 3.3.3.10 | 3.3.3.10/3 | ||||||
| d11h [2,11] (*2.2.11) | 4.4.11 | 4.4.11/2 | 4.4.11/3 | 4.4.11/4 | 4.4.11/5 | 3.3.3.11/2 | 3.3.3.11/4 | 3.3.3.11/6 |
| d11d [2+,11] (2*11) | 3.3.3.11 | 3.3.3.11/3 | 3.3.3.11/5 | 3.3.3.11/7 | ||||
| d12h [2,12] (*2.2.12) | 4.4.12 | 4.4.12/5 | ||||||
| d12d [2+,12] (2*12) | 3.3.3.12 | 3.3.3.12/5 | 3.3.3.12/7 | |||||
| ... | ||||||||
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