삼차원의 점군

3. 켤레류

두 객체의 대칭 유형을 비교할 때, 각 객체에 대해 원점을 개별적으로 선택하며, 동일한 중심을 가질 필요는 없다. 또한, 두 객체의 대칭군이 O(3)의 켤레 부분군이면 동일한 대칭 유형을 갖는 것으로 간주된다. 그룹 ''G''의 두 부분군 ''H''₁, ''H''₂는 ''g'' ∈ ''G''가 존재하여 ''H''₁ = ''g''⁻¹''H''₂''g''이면 켤레라고 한다.

예를 들어, 두 개의 3차원 객체는 다음과 같은 경우 동일한 대칭 유형을 가진다.

• 두 객체 모두 서로 다른 거울면에 대한 거울 대칭을 갖는 경우
• 두 객체 모두 서로 다른 축에 대한 3회 회전 대칭을 갖는 경우.

4. 무한 등거리 변환군

다양한 '''무한 등거리 변환군'''이 존재한다. 예를 들어, 축을 중심으로 회전하는 무리수 회전에 의해 생성되는 "순환군"(하나의 원소로 생성된다는 의미이며, 꼬임군과 혼동해서는 안 된다)이 있다. 같은 축을 중심으로 더 많은 회전을 추가하여 비순환 아벨 군을 만들 수 있다. 원을 중심으로 유리수의 각도에 위치한 원 위의 점 집합은 무한 개의 생성원을 필요로 하는 점군을 보여준다. 또한 다른 축을 중심으로 회전하여 생성되는 비아벨 군도 있다. 이것들은 일반적으로 자유군이다. 회전이 특별히 선택되지 않는 한 무한하다.

지금까지 언급된 모든 무한군은 O(3)의 폐포로서 위상군이 아니다. 이제 O(3)의 위상적으로 닫힌 부분군에 대해 논의한다.

5. 유한 등거리 변환군

3차원에서 원점을 고정하는 대칭은 원점을 중심으로 하는 구에서의 대칭으로 완전히 특징지어진다. 유한 3차원 점군에 대해서는 구 대칭군을 참조한다.

공액 관계까지 고려하면, 유한 3차원 점군의 집합은 다음과 같다.

• 7개의 무한한 축군 시리즈: 최대 1개의 2-겹 이상의 회전축을 가진다. 이들은 무한한 원기둥 상의 유한 대칭군, 또는 유한 원기둥 상의 대칭군이다. 이들은 때때로 축 또는 각주 점군이라고 불린다.
• 나머지 7개의 점군: 여러 개의 3-겹 이상의 회전축을 가진다. 이 그룹은 여러 개의 3-겹 회전축을 가진 점군으로도 특징지을 수 있다. 가능한 조합은 다음과 같다.
• 4개의 3-겹 축 (정사면체 대칭 ''T'', ''T''_h, ''T''_d)
• 4개의 3-겹 축과 3개의 4-겹 축 (정팔면체 대칭 ''O'' 및 ''O''_h)
• 10개의 3-겹 축과 6개의 5-겹 축 (이십면체 대칭 ''I'' 및 ''I''_h)

5. 1. 축군 (7개의 무한 시리즈)

Intl		쇤플라이스	오비폴드	콕세터	프리즈	구조	차수	예시	코멘트
Even n	Odd n				(실린더)
n		Cn	nn	[n]+	p1	Zn	n		n겹 회전 대칭
		S2n	n×	[2n+,2+]	p11g	Z2n	2n		2n겹 회전반사 대칭
n/m		Cnh	n*	[n+,2]	p11m	Zn×Z2	2n
nmm	nm	Cnv	*nn	[n]	p1m1	Dihn	2n		피라미드 대칭; 생물학에서, 양방사 대칭
n22	n2	Dn	22n	[n,2]+	p211	Dihn	2n		이이각형 대칭
2m	m	Dnd	2*n	[2n,2+]	p2mg	Dih2n	4n		역각기둥 대칭
n/mmm	2m	Dnh	*22n	[n,2]	p2mm	Dihn×Z2	4n		각기둥 대칭

홀수 ''n''의 경우 Z_2''n'' = Z_''n'' × Z₂이고 Dih_2''n'' = Dih_''n'' × Z₂이다.

군 ''C''_''n'' (사소한 ''C''₁ 포함) 및 ''D''_''n''은 카이랄이며, 나머지는 비카이랄이다. 수평(h) 및 수직(v) 용어와 해당 아래첨자는 추가 거울면에 해당하며, 이는 회전 축에 평행(수직)하거나 회전 축에 수직(수평)할 수 있다.

가장 간단한 비자명 축군은 추상군 Z₂와 동일하다.

• ''C''_i (''S''₂와 동일) – '''점에서의 반전 대칭'''
• ''C''₂ – '''2겹 회전 대칭'''
• ''C''_s (''C''_1h 및 ''C''_1v와 동일) – '''반사 대칭''', '''양측 대칭'''이라고도 함.

• ''C''_1h 및 ''C''_1v: 단일 반사(''C''_s )가 있는 차수 2의 군
• ''D''₁ 및 ''C''₂: 단일 180° 회전이 있는 차수 2의 군
• ''D''_1h 및 ''C''_2v: 평면에서의 반사와 해당 평면의 선을 통한 180° 회전이 있는 차수 4의 군
• ''D''_1d 및 ''C''_2h: 평면에서의 반사와 해당 평면에 수직인 선을 통한 180° 회전이 있는 차수 4의 군.

• ''C''_''n'': 축을 중심으로 2π/''n'' 각도로 회전하는 회전에 해당하는 요소인 ''C''_''n''이라고도 하는 요소에 의해 생성된다. 그 원소는 E(항등원), ''C''_''n'', ''C''_''n''², ..., ''C''_''n''^''n''−1이다.
• ''S''_2''n'': 요소 ''C''_2''n''σ_h에 의해 생성되며, 여기서 σ_h는 축 방향의 반사이다. 그 원소는 ''C''_''n''의 원소와 ''C''_2''n''σ_h, ''C''_2''n''³σ_h, ..., ''C''_2''n''^2''n''−1σ_h가 추가된다.
• ''C''_''n''h: 요소 ''C''_''n''과 반사 σ_h에 의해 생성된다. 그 원소는 군 ''C''_''n''의 원소이며, 원소 σ_h, ''C''_''n''σ_h, ''C''_''n''²σ_h, ..., ''C''_''n''^''n''−1σ_h가 추가된다.
• ''C''_''n''v: 축에 수직인 평면의 방향의 요소 ''C''_''n''과 반사 σ_v에 의해 생성된다. 그 원소는 군 ''C''_''n''의 원소이며, 원소 σ_v, ''C''_''n''σ_v, ''C''_''n''²σ_v, ..., ''C''_''n''^''n''−1σ_v가 추가된다.
• ''D''_''n'': 요소 ''C''_''n''과 축에 수직인 평면의 방향을 중심으로 한 180° 회전 U = σ_hσ_v에 의해 생성된다. 그 원소는 군 ''C''_''n''의 원소이며, 원소 U, ''C''_''n''U, ''C''_''n''²U, ..., ''C''_''n''^{''n'' − 1}U가 추가된다.
• ''D''_''n''d: 요소 ''C''_2''n''σ_h 및 σ_v에 의해 생성된다. 그 원소는 군 ''C''_''n''의 원소와 ''S''_2''n'' 및 ''C''_''n''v의 추가 원소이며, 원소 ''C''_2''n''σ_hσ_v, ''C''_2''n''³σ_hσ_v, ..., ''C''_2''n''^{2''n'' − 1}σ_hσ_v가 추가된다.
• ''D''_''n''h: 요소 ''C''_''n'', σ_h 및 σ_v에 의해 생성된다. 그 원소는 군 ''C''_''n''의 원소와 ''C''_''n''h, ''C''_''n''v 및 ''D''_''n''의 추가 원소이다.

5. 2. 다면체군 (7개의 점군)

• '''T''' (332), [3,3]⁺, 23, 차수 12: 키랄 사면체 대칭
• 4개의 ''C''₃ 축 (정육면체의 두 꼭지점 또는 정사면체의 한 꼭지점을 통과)과 3개의 ''C''₂ 축 (정육면체의 면 중심 또는 사면체의 모서리 중간점을 통과)을 갖는다.
• 정사면체의 회전군이며, 교대군 ''A''₄와 동형이다.
• ''T''_d, ''T''_h 및 팔면체 대칭의 정규 부분군이다.
• 이진 사면체 군에 의해 주어진 회전에 1대2로 대응된다.

• '''T''_d''' (*332), [3,3], 3m, 차수 24: 전체 사면체 대칭
• ''T''와 동일한 회전축을 가지지만, ''C''₂ 축은 ''D''_2d 축이 되고, 4개의 3회전축은 4개의 ''C'' 부분군을 생성한다.
• 6개의 거울면 (각각 정육면체의 두 모서리 또는 사면체의 한 모서리를 포함)을 가지며, 단일 ''S''₄ 축과 2개의 ''C''₃ 축을 갖는다.
• 대칭군 ''S''₄와 동형이다.
• ''O''_h의 정규 부분군이다.

• '''T''_h''' (3*2), [3⁺,4], 2/m, m, 차수 24: 피라이토헤드럴 대칭
• ''T''와 동일한 회전축을 갖지만, 정육면체 면과 평행한 거울면을 갖는다.
• ''C''₃ 축은 ''S''₆ 축이 되고, 반전 대칭이 있다.
• ''A''₄ × ''Z''₂와 동형이며, 대칭군 ''S''₄와는 동형이 아니다.
• 피라이토헤드론의 대칭이다.
• ''O''_h의 정규 부분군이다.

• '''O''' (432), [4,3]⁺, 432, 차수 24: 키랄 팔면체 대칭
• ''T''와 같지만, ''C''₂ 축은 ''C''₄ 축이 되며, 정육면체의 모서리 중간점을 통과하는 2회전축이 있어 3개의 ''D''₂ 부분군을 생성한다.
• 정육면체와 팔면체의 회전군이다.
• ''S''₄와 동형이다.

• '''O''_h''' (*432), [4,3], 4/m2/m, mm, 차수 48: 전체 팔면체 대칭
• ''O''와 동일한 회전축을 갖지만, ''T''_d와 ''T''_h의 거울면을 모두 포함하는 거울면을 갖는다.
• ''S''₄ × ''Z''₂와 동형이며, 정육면체와 팔면체의 대칭군이다.

• '''I''' (532), [5,3]⁺, 532, 차수 60: 키랄 이십면체 대칭
• 이십면체와 십이면체의 회전군이다.
• 전체 대칭군 '''''I''_h'''''에서 지표 2의 정규 부분군이다.
• 5개의 문자에 대한 교대군인 ''A''₅와 동형이다.

• '''I''_h''' (*532), [5,3], 2/m, m, 차수 120: 전체 이십면체 대칭
• 이십면체와 십이면체의 대칭군이다.
• ''A''₅ × ''Z''₂와 동형이다.

6. 결정학적 점군

최대 대칭성을 갖는 이산 점군에는 ''O''_h와 ''I''_h 두 가지가 있으며, 이들은 어떤 이산 점군도 자신을 진부분군으로 가질 수 없다. 이 두 그룹의 최대 공통 부분군은 ''T''_h이다. ''O''_h와 ''I''_h는 각각 2회 회전 대칭을 4회로 변경하고, 5회 대칭을 추가하여 얻을 수 있다.

결정학적 점군 중 어떤 결정학적 점군도 자신을 진부분군으로 가질 수 없는 것은 ''O''_h와 ''D''_6h 두 가지이다. 이들의 최대 공통 부분군은 방향에 따라 ''D''_3d와 ''D''_2h이다.

7. 이항 정다면체군

Spin(3) → SO(3) 맵은 3차원 스핀 군에 의한 회전 군의 이중 피복이다.^[6] 격자 정리에 의해 Spin(3)의 부분군과 SO(3)의 부분군(회전점군) 사이에는 갈루아 연결이 존재한다.^[6] Spin(3)의 부분군의 이미지는 회전점군이고, 점군의 역상은 Spin(3)의 부분군이다.^[6]

유한 점군의 역상은 ⟨l,n,m⟩으로 표현되는 '''이항 정다면체군'''이라고 불린다.^[6] 이는 관련 다면체 군 (l,m,n)의 두 배의 차수를 가진다.^[6] 예를 들어, 이코사헤드랄 군 (2,3,5)의 역상은 이진 이코사헤드랄 군 ⟨2,3,5⟩이다.^[6]

이진 다면체 군은 다음과 같다:

• $A\_n$: ('n' + 1)-각형의 이진 순환 군, 차수 2''n''
• $D\_n$: ''n''-각형의 이진 이면체 군, ⟨2,2,''n''⟩, 차수 4''n''
• $E\_6$: 이진 사면체 군, ⟨2,3,3⟩, 차수 24
• $E\_7$: 이진 팔면체 군, ⟨2,3,4⟩, 차수 48
• $E\_8$: 이진 이코사헤드랄 군, ⟨2,3,5⟩, 차수 120

8. 추상군 유형에 따른 분류

3차원에서의 임의의 대칭군이 ''아닌'' 가장 작은 추상 군은 사원수군 (8차수), Z₃ × Z₃ (9차수), 이면체 군 Dic₃ (12차수), 그리고 16차수 군 14개 중 10개이다.

다음 표의 "# 2차 원소의 개수" 열은 ''C''₂, ''C''_i, ''C''_s 유형의 등거리 변환 부분군의 총 개수를 나타낸다. 이 총 개수는 다양한 추상 군 유형을 구별하는 데 도움이 되는 특성 중 하나이며, 해당 등거리 변환 유형은 동일한 추상 군의 다양한 등거리 변환 군을 구별하는 데 도움이 된다.

3차원에서의 등거리 변환 군의 가능성 내에서, 2차 원소가 0, 1, 3개인 무한히 많은 추상 군 유형이 있으며, 2차 원소가 4''n'' + 1개인 두 개, 2차 원소가 4''n'' + 3개인 세 개가 있다 (각각 ''n'' ≥ 8). 2차 원소의 양의 짝수 개수는 결코 존재하지 않는다.

== 순환군 ==

''n''겹 회전 대칭군의 대칭은 ''C''_''n''이며, 추상적 군 유형은 순환군 Z_''n''으로, 이는 ''C''_''n''으로도 표기된다. 그러나 이 추상적 군 유형을 가진 대칭군에는 두 개의 무한한 계열이 더 있다.

짝수 차수 2''n''에 대해, 축을 중심으로 180°/n 각도로 회전하는 것과 축에 수직인 평면에서의 반사를 결합하여 생성되는 ''S''_2''n'' (쇼엔플리스 표기법) 그룹이 있다. ''S''₂의 경우 ''C''_i 표기법이 사용되며, 이는 반전에 의해 생성된다.

홀수인 ''n''에 대해 임의의 차수 2''n''에 대해, ''C''_''n''h가 있으며; 이는 ''n''겹 회전축과 수직인 반사면을 가지고 있다. 이는 축을 중심으로 360°/''n'' 각도로 회전하는 것과 반사를 결합하여 생성된다. ''C''_1h의 경우 ''C''_s 표기법이 사용되며, 이는 평면에서의 반사에 의해 생성된다.

따라서 결정학적 제한이 적용되는 10개의 순환 결정학적 점군은 다음과 같다.

== 이면체군 ==

2차원 이각형군 ''D''_''n''에는 반사가 포함되어 있지만, 3차원에서는 ''D''_''n''으로 표시되는 대칭군은 반사가 아닌 ''n''개의 회전축에 수직인 ''n''개의 2중 축을 포함한다. ''D''_''n''은 정규 밑면을 가진 ''n''각 각기둥과 정규 밑면을 가진 ''n''각 쌍뿔의 회전군이며, 정규 ''n''각 엇각기둥과 정규 ''n''각 사다리꼴 다면체의 회전군이기도 하다. 이 군은 또한 모든 면에 동일한 키랄 표시 또는 모양의 일부 수정을 통해 키랄성을 갖게 한 후 그러한 객체의 전체 대칭군이기도 하다.

추상적인 군 유형은 이각형군 Dih_''n''이며, ''D''_''n''으로도 표시된다. 그러나, 이 추상적인 군 유형을 가진 세 가지 더 많은 무한 시리즈의 대칭군이 있는데, 차수가 2''n''인 ''C''_''n''v (정규 ''n''각 각뿔의 대칭군), 차수가 4''n''인 ''D''_''n''d (정규 ''n''각 엇각기둥의 대칭군), 홀수 ''n''에 대한 차수가 4''n''인 ''D''_''n''h 등이 그것이다.

Dih_4''n''+2 $\backslash cong$ Dih_2''n''+1 × Z₂라는 속성을 참고하여, 12개의 결정학적 점군을 표로 나타내면 다음과 같다. (''D''_1d는 ''C''_2h와 동일)

차수	등거리 변환군	추상적 군	차수가 2인 원소의 수	주기 다이어그램
4	'Dsub>2, 'Csub>2v, 'Csub>2h	Dih2 = Z2 × Z2	3
6	'Dsub>3, 'Csub>3v	Dih3	3
8	'Dsub>4, 'Csub>4v, 'Dsub>2d	Dih4	5
10	D5, C5v	Dih5	5
12	'Dsub>6, 'Csub>6v, 'Dsub>3d, 'Dsub>3h	Dih6 = Dih3 × Z2	7
14	D7, C7v	Dih7	7
16	D8, C8v, D4d	Dih8	9
18	D9, C9v	Dih9	9
20	D10, C10v, D5h, D5d	Dih10 = D5 × Z2	11

== 기타 ==

''C''_2''n'',h (차수 4''n'')는 추상적인 군 유형 Z_2''n'' × Z₂이다. ''n'' = 1의 경우 Dih₂를 얻으므로 ''n'' ≥ 2이다.

2개의 순환 결정학적 점군은 다음과 같다.

차수	등거리 변환군	추상군	2차 원소 개수	사이클 다이어그램
8	'Csub>4h	Z4 × Z2	3
12	'Csub>6h	Z6 × Z2 = Z3 × Z22 = Z3 × Dih2	3
16	C8h	Z8 × Z2	3
20	C10h	Z10 × Z2 = Z5 × Z22 = Z5 × Dih2	3

''D''_''n''h (차수 4''n'')는 추상적인 군 유형 Dih_n × Z₂이다. 홀수 ''n''의 경우는 이미 다루었으므로, 차수가 8''n''인 ''D''_2''n''h가 있으며, 이는 추상적인 군 유형 Dih_2''n'' × Z₂ (''n''≥1)이다.

3개의 이면각 결정학적 점군은 다음과 같다.

차수	등거리 변환군	추상군	2차 원소 개수	사이클 다이어그램
8	'Dsub>2h	Z23	7
16	'Dsub>4h	Dih4 × Z2	11
24	'Dsub>6h	Dih6 × Z2 = Dih3 × Z22	15
32	D8h	Dih8 × Z2	19

나머지 7개는 5개의 결정학적 점군을 굵게 표시하여 다음과 같다.

차수	등거리 변환군	추상군	2차 원소 개수	사이클 다이어그램
12	'T'	A4	3
24	'Tsub>d, 'O'	S4	9
24	'Tsub>h	A4 × Z2	7
48	'Osub>h	S4 × Z2	19
60	I	A5	15
120	Ih	A5 × Z2	31

8. 1. 순환군

8. 2. 이면체군

8. 3. 기타

''D''_''n''h (차수 4''n'')는 추상적인 군 유형 Dih_n × Z₂이다. 홀수 ''n''의 경우는 이미 다루었으므로, 차수가 8''n''인 ''D''_2''n''h가 있으며, 이는 추상적인 군 유형 Dih_2''n'' × Z₂ (''n''≥1)이다.

3개의 이면각 결정학적 점군은 다음과 같다.

나머지 7개는 5개의 결정학적 점군을 굵게 표시하여 다음과 같다.

참조

_[1] 논문 Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique https://hal.archives[...]
_[2] 서적 Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial papers Pergamon Press
_[3] 서적 Modern Crystallography, Vol. 1. Fundamentals of Crystals. Symmetry, and Methods of Structural Crystallography Springer-Verlag Berlin.
_[4] 간행물 Three-dimensional finite point groups and the symmetry of beaded beads http://blakemellor.l[...]
_[5] 문서 Coxeter, Regular polytopes, §12.6 The number of reflections, equation 12.61
_[6] 웹사이트 Du Val Singularities http://www.mi.uni-ko[...]
_[7] 간행물 Du Val Singularities http://enriques.math[...]