끝 (범주론)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 푸비니 정리
4. 예시
- 4.1. 자연 변환
- 4.2. 기하학적 실현
참조

1. 개요

끝 (범주론)은 범주 $\mathcal C,\mathcal D$ 와 함자 $F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D$ 가 주어졌을 때, 특정 조건을 만족시키는 대상과 사상들의 모임이다. 이는 보편 성질에 의해 정의되며, 쌍대끝과 푸비니 정리를 포함한다. 끝은 자연 변환과 기하학적 실현과 같은 개념을 설명하는 데 사용된다.

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끝 (범주론)
정의
정의	범주 이론에서, 자기 사상은 대상에서 자신으로 가는 사상이다. X 대상의 자기 사상은 f : X → X 이다.
표기법
표기	대상 X의 모든 자기 사상의 모임은 보통 End(X)로 표기된다.
예시
예시 1	집합 X의 경우, End(X)는 X에서 자신으로 가는 모든 함수의 모노이드이다.
예시 2	유한 차원 벡터 공간의 경우, End(X)는 벡터 공간의 모든 선형 변환의 고리이다.
예시 3	위상 공간 X의 경우, End(X)는 X에서 자신으로 가는 모든 연속 함수의 모노이드이다.
속성
항등 사상	모든 대상 X에 대해, 항등 사상 idX : X → X는 End(X)의 항등 요소이다.
합성	자기 사상의 합성은 자기 사상이다. 즉, 만약 f : X → X이고 g : X → X이면, g ∘ f : X → X이다.
모노이드	합성 연산과 함께, End(X)는 모노이드를 형성한다.
고리	어떤 범주에서, 만약 사상을 더할 수 있다면 (예: 아벨 범주), 그러면 End(X)는 고리를 형성한다.
자기 동형 사상과의 관계
자기 동형 사상	자기 동형 사상은 역함수를 갖는 자기 사상이다. 대상 X의 모든 자기 동형 사상의 모임은 Aut(X)로 표기되며, 이는 End(X)의 부분 집합이다.
군	합성 연산과 함께, Aut(X)는 군을 형성한다.

2. 정의

범주론에서, '''끝'''(end^영어)과 '''쌍대끝'''(coend^영어)은 주어진 함자 $F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D$ 또는 $G\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D$ 에 대해 정의되는 대상과 사상이다. 이들은 특정 보편 성질을 만족시키는 방식으로 구성된다.

끝과 쌍대끝을 정의하기 위해 먼저 '''쐐기'''(wedge^영어)와 '''쌍대쐐기'''(cowedge^영어)라는 개념이 사용된다. 쐐기는 대상 $W \in \mathcal D$ 와 각 대상 $X \in \mathcal C$ 에 대한 사상 $w_X \colon W \to F(X^{\operatorname{op}},X)$ 의 모임으로, 특정 가환 조건을 만족해야 한다. 쌍대쐐기는 이와 쌍대적인 개념이다. (자세한 내용은 쐐기 및 쌍대쐐기 섹션 참조)

함자 $F$ 의 '''끝''' $(E,e)$ 은 이러한 쐐기들 중에서 특별한 보편 성질을 만족하는 쐐기이다. 즉, 다른 모든 쐐기 $(W,w)$ 는 끝 $(E,e)$ 를 통해 유일한 방식으로 분해될 수 있다( $\forall X\in\mathcal C\colon w_X = e_X \circ i$ 인 사상 $i\colon W\to E$ 가 유일하게 존재). 끝은 존재한다면 동형 사상 아래에서 유일하며, 다음과 같이 표기한다. (자세한 내용은 끝 섹션 참조)

: $\int_{c\in\mathcal C}F(c,c)$

마찬가지로, 함자 $G$ 의 '''쌍대끝'''은 쌍대쐐기들 중에서 보편 성질을 만족하는 것으로 정의되며, 이는 쌍대 함자 $G^{\operatorname{op}} \colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}$ 의 끝으로 이해할 수도 있다. 쌍대끝은 다음과 같이 표기한다. (자세한 내용은 쌍대끝 섹션 참조)

: $\int^{c\in\mathcal C}G(c,c)$

이러한 끝과 쌍대끝은 극한과 쌍대극한의 일반화된 형태로 볼 수 있으며, 범주론의 여러 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

2. 1. 쐐기

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.

범주 $\mathcal C,\mathcal D$
함자 $F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D$

이때, 함자

F

의 '''쐐기'''(wedge^영어)는 다음 데이터로 구성된다.

대상 $W\in\mathcal D$
각 대상 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 사상 $w_x \colon W \to F(X^{\operatorname{op}},X)$

이 데이터는 임의의 대상

X,Y\in\mathcal C

와 사상

f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)

에 대해 다음 그림이 가환하도록 만들어야 한다.

:

\begin{matrix}W & \overset{w_X}\to & F(X,X) \\{\!\!\!\!\scriptstyle w_Y}\downarrow{\scriptstyle\color{White}w_Y\!\!\!\!} && {\!\!\!\!\color{White}\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)}\downarrow\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)\!\!\!\! \\F(Y,Y) & \underset{F(f^{\operatorname{op}},\operatorname{id}_Y)}\to & F(X,Y)\end{matrix}

2. 2. 쌍대쐐기

함자

G \colon C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D

의 '''쌍대쐐기'''(cowedge^영어)

(W,(w_X \colon C(X,X)\to W)_{X\in\mathcal C})

는

G^{\operatorname{op}} \colon C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}

의 쐐기이다. 여기서

\mathcal C

와

\mathcal D

는 범주이며,

\mathcal C^{\operatorname{op}}

와

\mathcal D^{\operatorname{op}}

는 각각의 쌍대범주를 나타낸다.

2. 3. 끝

다음이 주어졌다고 하자.

범주 $\mathcal C,\mathcal D$
함자 $F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D$

그렇다면,

F

의 '''쐐기'''(wedge^영어)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

대상 $W\in\mathcal D$
각 $X\in\mathcal C$ 에 대하여, 사상 $w_X \colon W \to F(X^{\operatorname{op}},X)$

이 데이터는 임의의

X,Y\in\mathcal C

및 사상

f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)

에 대하여, 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다.

:

\begin{matrix}W & \overset{w_X}\to & F(X^{\operatorname{op}},X) \\{\!\!\!\!\scriptstyle w_Y}\downarrow{\scriptstyle\color{White}w_Y\!\!\!\!} && {\!\!\!\!\color{White}\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)}\downarrow\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)\!\!\!\! \\F(Y^{\operatorname{op}},Y) & \underset{F(f^{\operatorname{op}},\operatorname{id}_Y)}\to & F(X^{\operatorname{op}},Y)\end{matrix}

함자

F

의 '''끝'''(end^영어)

(E,e)

은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 쐐기이다.

:임의의 다른 쐐기

(W,w)

에 대하여, 모든

X\in\mathcal C

에 대해

w_X = e_X \circ i

를 만족시키는 유일한 사상

i\colon W\to E

가 존재한다.

끝은 보편 성질에 의해 정의되므로, 만약 존재한다면 동형 사상 아래에서 유일하다. 끝은 다음과 같이 표기한다.

:

\int_{c\in\mathcal C}F(c,c)

마찬가지로, 함자

G \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D

의 '''쌍대쐐기'''(cowedge^영어)는

G^{\operatorname{op}} \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}

의 쐐기로 정의되며, '''쌍대끝'''(coend^영어)은

G^{\operatorname{op}} \colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}

의 끝으로 정의된다. 쌍대끝은 다음과 같이 표기한다.

:

\int^{c\in\mathcal C}G(c,c)

2. 4. 쌍대끝

함자

G \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D

가 주어졌을 때,

G

의 '''쌍대끝'''(coend^영어)은 쌍대적으로 정의되는 개념으로, 함자

G^{\operatorname{op}} \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}

의 끝이다.

이는 함자

G

의 '''쌍대쐐기'''(cowedge^영어)를 통해 이해할 수 있다. 쌍대쐐기

(W,(w_X \colon G(X,X)\to W)_{X\in\mathcal C})

는

G^{\operatorname{op}} \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}

의 쐐기이다.

쌍대끝은 보편 성질을 만족시키는 쌍대쐐기

(D, \delta)

로 정의된다. 즉,

D

는

\mathcal D

의 대상이고,

\delta: G \ddot\to D

는 외생 자연 변환(extranatural transformation^영어)이며, 임의의 다른 외생 자연 변환

\gamma: G \ddot\to W

에 대해, 모든

X \in \mathcal C

에 대해

\gamma_X = i \circ \delta_X

를 만족시키는 유일한 사상

i: D \to W

가 존재한다.

함자

G

의 쌍대끝

D

는 다음과 같이 표기한다.

:

D = \int^{c\in\mathcal C}G(c,c)

또는

\int^{\mathbf{C}} G

만약 범주

\mathcal D

가 쌍대 완비 범주이고

\mathcal C

가 작은 범주라면, 쌍대끝은 다음 코동등자로 표현될 수 있다.

:

\coprod_{f\colon c\to c'} G(c', c) \rightrightarrows \coprod_{c \in C} G(c, c) \to \int^c G(c, c)

여기서

\coprod

는 쌍대곱을 나타낸다. 첫 번째 항은

\mathcal C

의 모든 사상

f: c \to c'

에 대한 쌍대곱이고, 두 번째 항은

\mathcal C

의 모든 대상

c

에 대한 쌍대곱이다. 두 평행한 화살표는 각각 사상

f: c \to c'

에 대해

G(f, \operatorname{id}_c): G(c', c) \to G(c', c')

와

G(\operatorname{id}_{c'}, f): G(c', c) \to G(c, c)

로부터 유도되는 사상들을 나타낸다. 쌍대끝

\int^c G(c, c)

는 이 두 사상의 코동등자이다.

3. 성질

끝과 쌍대끝은 다양한 성질을 만족시킨다. 주요 성질 중 하나는 끝에 대한 푸비니 정리( Fubini theorem for ends^영어 )이다. 이는 특정 조건 아래에서 반복된 끝(iterated end)의 계산 순서를 교환할 수 있다는 정리로, 측도론의 푸비니 정리와 유사하여 붙여진 이름이다.^[1]

3. 1. 푸비니 정리

범주

\mathcal C,\mathcal D,\mathcal E

와 함자

F \colon (\mathcal C\times\mathcal D)^{\operatorname{op}} \times \mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal E

가 주어졌다고 하자.

'''끝에 대한 푸비니 정리'''(Fubini theorem for ends^영어)에 따르면, 만약 다음의 세 끝(end)이 모두 존재한다면,

:

\int_{(X,Y)\in \mathcal C\times\mathcal D}F(X,Y,X,Y)

:

\int_{X\in\mathcal C}\int_{Y\in\mathcal D}F(X,Y,X,Y)

:

\int_{Y\in\mathcal D}\int_{X\in\mathcal C}F(X,Y,X,Y)

이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.^[1] 이 이름은 측도론의 푸비니 정리와 유사한 형태를 가지기 때문에 붙여졌다.

4. 예시

끝과 쌍대끝은 범주론의 여러 중요한 개념을 정의하고 이해하는 데 사용된다. 대표적인 예시는 다음과 같으며, 자세한 내용은 해당 하위 섹션에서 다룬다.

'''자연 변환''': 두 함자 사이의 자연 변환들의 집합은 특정 함자의 끝(end)으로 표현될 수 있다. 이는 자연 변환의 개념을 끝이라는 일반적인 틀 안에서 이해할 수 있게 해준다.
'''기하학적 실현''': 단체 집합이나 입방체 집합 등의 기하학적 실현은 특정 함자의 쌍대끝(coend)으로 구성될 수 있다. 이는 대수적 구조로부터 위상 공간을 구성하는 중요한 방법 중 하나이다.

4. 1. 자연 변환

범주

\mathcal C

와 국소적으로 작은 범주

\mathcal D

, 그리고 두 함자

F,G\colon \mathcal C\to\mathcal D

가 주어졌다고 하자.

이때, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

:

\hom_{\mathcal D}(F(-),G(-)) \colon \mathcal C^{\operatorname{op}} \times\mathcal C\to \operatorname{Set}

여기서

\mathcal C^{\operatorname{op}}

는

\mathcal C

의 반대 범주이고,

\operatorname{Set}

는 집합들의 범주이다.

이 함자의 끝(end)은 두 함자

F

와

G

사이의 자연 변환들의 집합

\operatorname{Nat}(F,G)

와 같다.

:

\int_{X\in\mathcal C}\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))=\operatorname{Nat}(F,G)

이 끝에서 각 대상

X \in \mathcal C

에 대한 사영은 자연 변환

\eta

를 그 성분

\eta_X\colon F(X)\to G(X)

로 보내는 사상으로 주어진다.

:

\operatorname{Nat}(F,G)\to \hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))

:

(\eta \colon F\Rightarrow G) \mapsto (\eta_X\colon F(X)\to G(X))

이는 자연 변환들의 집합을 각 대상

X

에서의 사상들의 집합

\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))

들을 적절한 방식으로 종합한 것으로 생각할 수 있음을 의미한다.

다른 관점에서 보면, 만약 함자

F, G : \mathbf{C} \to \mathbf{X}

가 주어졌을 때, 함자

\mathrm{Hom}_{\mathbf{X}}(F(-), G(-)) : \mathbf{C}^{op} \times \mathbf{C} \to \mathbf{Set}

를 고려할 수 있다. 여기서

\mathbf{Set}

는 집합의 범주이다. 집합 범주는 완비 범주이므로, 동등자를 구성할 수 있으며, 이 경우 끝은 다음과 같이 자연 변환의 집합과 같다.

:

\int_c \mathrm{Hom}_{\mathbf{X}}(F(c), G(c)) = \mathrm{Nat}(F, G)

이는

F

에서

G

로의 자연 변환들의 집합이다. 직관적으로, 자연 변환은 범주 내의 모든 대상

c

에 대해

F(c)

에서

G(c)

로 가는 사상들의 모임이며, 특정 호환성 조건을 만족한다. 끝을 정의하는 동등자 다이어그램을 통해 이 관계를 더 명확하게 이해할 수 있다.

4. 2. 기하학적 실현

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

안의 단체 대상

X\colon \triangle^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}

와, 단체 (수학)의 위상 공간 모형 함자

G\colon\triangle\to\operatorname{Top}

를 생각하자. 여기서

\triangle

는 단체 범주이다.

함자

F\colon\triangle\times\triangle^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Top}

를 다음과 같이 정의한다.

:

F \colon n \mapsto G(n) \times X(n)

여기서 우변은 위상 공간의 곱공간이다.

그 쌍대끝

:

|X| = \int^{n\in\triangle}G(n)\times X(n)

을

X

의 '''기하학적 실현'''이라고 한다.

특히,

X

가 단체 집합(즉, 함자

\triangle^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}

)인 경우, 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 정의한다. 이 경우, 이산 위상을 부여하는 함자

d:\mathbf{Set} \to \mathbf{Top}

와 표준

n

-단순체를 대응시키는 함자

\gamma:\Delta \to \mathbf{Top}

를 사용하여 기하학적 실현을

\int^{n\in\triangle} \gamma(n) \times (d \circ X)(n)

로 구성할 수 있다. 이는 함자

S = (dT) \times \gamma

의 쌍대끝(coend)으로도 표현된다.

입방체 집합의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다. 입방체 범주

\square

에 대해, 입방체 대상

X\colon \square^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}

와 입방체 모형 함자

G\colon\square\to\operatorname{Top}

를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

:

|X| = \int^{n\in\square}G(n)\times X(n)

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