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누적 위계

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목차

1. 개요

누적 위계는 집합을 집합에 대응시키는 연산 Q와 추이적 집합 X에 대해, 초한 귀납법을 사용하여 정의되는 일련의 집합들의 구조를 의미한다. 이는 순서수 α에 따라 Qα(X)를 정의하고, 모든 순서수의 모임 Ord에 대한 합집합 QOrd(X)를 구성하는 방식으로 이루어진다. 누적 위계 내의 각 대상 x는 계수(rank)라는 값을 가지며, 이는 x가 속하는 최소의 Qα(X) 단계를 나타낸다. 폰 노이만 전체, 구성적 우주, 강제법에서의 부울값 모델 등이 누적 위계의 예시이며, 칸토어 역설과 반영 원리와 관련된 성질을 갖는다.

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누적 위계
개요
이름누적 위계
정의집합론에서, 모든 집합이 순서수를 계층으로 하는 누적적 계층에 속하는 것으로 생각하는 관점
다른 이름폰 노이만 우주, 폰 노이만 계층
역사
창시자존 폰 노이만
발달쿠르트 괴델이 구성 가능한 집합의 모형을 만드는 데 사용
정의
순서수 α에 따른 Vα 정의V₀ = ∅ (공집합)
Vα₊₁ = 𝒫(Vα) (Vα의 멱집합)
"Vλ = ∪{Vα : α < λ} (λ는 극한 순서수)"
V의 정의V = ∪{Vα : α는 순서수}
ZFC 공리계와의 관계만약 모든 집합이 V에 속한다면, 이는 ZFC의 공리들을 만족시킴
정칙성 공리모든 집합은 누적 위계에 속하며, 이는 정칙성 공리와 동치임
성질
추이적 집합각 Vα는 추이적 집합임
ZFC의 모형V가 '실제' 집합론적 우주라면, V는 ZFC의 모형임
응용
집합론적 구성집합론적 대상을 순서수를 이용하여 구성하는 데 사용됨
구성 가능 집합구성 가능 집합의 모형을 만드는 데 사용됨

2. 정의

Q가 집합을 집합에 대응시키는 연산이고, X가 추이적 집합이라고 하자. 그러면 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 \alpha에 대하여 집합 Q^\alpha(X)와 모임 Q^{\operatorname{Ord}}(X)를 정의할 수 있다. 여기서 \operatorname{Ord}는 모든 순서수의 모임이다.

2. 1. 누적 위계

Q가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하고, 추이적 집합 X가 주어졌다고 하자. 그러면 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 \alpha\in\operatorname{Ord}에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

:Q^\alpha(X)=\begin{cases}

X\cup\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta&\nexists\beta\colon\alpha=\beta+1\\

Q\left(Q^\beta(X)\right)&\alpha=\beta+1

\end{cases}\qquad(\alpha\in\operatorname{Ord})



또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

:Q^{\operatorname{Ord}}(X)=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{Ord}}(X)

여기서 \operatorname{Ord}는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 '''누적 위계'''라고 하며, 임의의 대상 x\in Q^{\operatorname{Ord}}(X)에 대하여,

:\min\{\alpha\colon x\in Q^\alpha\}

를 x의 Q^{\operatorname{Ord}}(X)에서의 '''계수'''(rank영어)라고 한다. 만약 Q가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.

2. 2. 계수

임의의 대상 x\in Q^{\operatorname{Ord}}(X)에 대하여, x가 Q^\alpha(X)에 속하는 최소의 순서수 \alpha를 x의 Q^{\operatorname{Ord}}(X)에서의 '''계수'''(rank영어)라고 정의한다. 만약 Q가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.

3. 성질

임의의 순서수 α에 대하여 Q영어α(X영어)는 항상 집합이다. 그러나 Q영어Ord(X영어)는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있는데, 이는 칸토어 역설의 일종이다.[1]

3. 1. 반영 원리

누적 위계는 반사 원리를 만족시킨다. 즉, 집합론 언어에서 누적 위계의 합집합 W에서 성립하는 모든 잘 정의된 공식은 일부 단계 W_\alpha에서도 성립한다. 누적 위계는 반영 원리의 한 형태를 만족시키는데, 집합론의 어떠한 논리식이 누적 위계의 총합 W에서 성립한다면, 어떤 스테이지 W_\alpha에서도 성립한다.

4. 예


  • 폰 노이만 우주는 누적 위계 \mathrm{V}_\alpha로부터 구성된다.[1]
  • 구성 가능 우주의 \mathrm{L}_\alpha도 누적 위계를 이룬다.[2]
  • 강제법에 의해 구성된 부울 대수값 모형도 누적 위계를 사용하여 구성된다.[3]
  • 정칙성 공리를 만족하지 않을 수도 있는 집합론 모형의 기초 집합 전체는 누적 위계를 이루며, 그 안에서는 정칙성 공리가 성립한다.[4]

4. 1. 자명한 경우

어떤 집합 A에 대하여, Q가 상수 함수 X\mapsto A일 때, Q에 대한 위계는 다음과 같다.

:Q^{\operatorname{Ord}}=A

Q가 항등 함수 X\mapsto X일 때, Q에 대한, X로부터 시작하는 위계는 다음과 같다.

:Q^{\operatorname{Ord}}(X)=X

보다 일반적으로, 어떤 순서수 \alpha_0가 다음 성질을 갖는다고 하자.

  • 임의의 \alpha\ge\alpha_0에 대하여 Q는 X_\alpha에 대하여 항등 함수이다.


그렇다면 다음이 성립한다.

:Q^{\operatorname{Ord}}(X)=Q^\alpha(X)

4. 2. 폰 노이만 전체

폰 노이만 전체(von Neumann universe영어)는 멱집합 연산 Q=\mathcal P를 사용하여 정의되며, V=Q^{\operatorname{Ord}}(\varnothing)로 표기된다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리에 의해 V는 모든 집합의 모임과 같다. 집합 S의 '''계수''' \operatorname{rank}S는 S가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계로, 다음과 같은 순서수이다.

:\operatorname{rank}S=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon S\subset V_\alpha\}

V는 모든 집합을 포함하므로 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 \omega로 쓰면, V_\omega는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. \kappa가 도달 불가능한 기수일 경우 V_\kappa는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, V_{\kappa+1}은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 V_\kappa를 그로텐디크 전체라고 한다.

4. 3. 구성 가능 전체

Q=\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n} (정의 가능 멱집합 연산)일 때, Q^\alpha(X)는 L_\alpha[A_1,\dots,A_n](X)로 표기하며, L(X)=Q^{\operatorname{Ord}}(X)를 '''X-구성 가능 집합'''(X-constructible universe영어)이라고 한다. 흔히 X=\varnothing일 경우 L[A_1,A_2,\dots,A_n](\varnothing)=L로 표기하며, n=0일 경우 흔히 L(X)로 표기한다.

4. 4. 이름 (강제법)

임의의 집합 X가 주어졌다고 할 때, 연산

:Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)

에 대한 누적 위계를 X-'''이름 위계'''(hierarchy of X-names영어)[1]라고 하며, \operatorname{Name}_{X,\alpha}로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

4. 5. 기타 예시


  • 폰 노이만 우주는 누적 위계 \mathrm{V}_\alpha로부터 구성된다.[1]
  • 구성적 우주의 집합 \mathrm{L}_\alpha는 누적 위계를 형성한다.[2]
  • 강제법에 의해 구성된 부울값 모델은 누적 위계를 사용하여 구성된다.[3]
  • 기초 공리를 만족하지 않을 수도 있는 집합론 모델에서 잘 기초된 집합은 그 합집합이 기초 공리를 만족하는 누적 위계를 형성한다.[4]

5. 역사

주세페 페아노는 1889년에 모든 대상들의 모임을 나타내는 개념을 제시했고,[2] 존 폰 노이만은 1928년에 초한 귀납법을 도입하였다.[3][4] 에른스트 체르멜로는 1930년에 폰 노이만 전체를 최초로 도입하였다.[5][6]

5. 1. 주세페 페아노

주세페 페아노는 1889년에 참 또는 모든 대상들의 모임을 vērum|베룸la(참)의 머리글자 V로 나타내었다.[2] (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

5. 2. 존 폰 노이만

존 폰 노이만은 1928년에 초한 귀납법을 도입하였으나,[3][4] 구성 가능 전체를 도입하지는 않았다.[6]

5. 3. 에른스트 체르멜로

존 폰 노이만이 1928년에 초한 귀납법을 도입하였으나,[3][4] 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.[6] 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체를 최초로 도입하였다.[5][6]

참조

[1] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://archive.org/[...] North-Holland 1980
[2] 서적 Arithmetices principia: nova methodo exposita https://archive.org/[...] Ediderunt fratres Bocca, regis bibliopolae 1889
[3] 저널 Die Axiomatisierung der Mengenlehre http://resolver.sub.[...] 1928
[4] 저널 Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre 1928
[5] 저널 Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre http://matwbn.icm.ed[...] 1930
[6] 서적 Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence Springer-Verlag 1982


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