다중로그

3. 정의

임의의 복소수 $s\backslash in\backslash mathbb\; C$와 인 복소수 $z\backslash in\backslash mathbb\; C$에 대하여, '''다중로그''' $\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)$는 다음과 같은 급수로 정의된다.

:$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)=z+z^2/2^s+z^3/3^s+\backslash dots$

이는 모든 $z\backslash in\backslash mathbb\; C$에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 $s$에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 $z=1$과 $z=\backslash infty$이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

$s=2$인 경우 '''이중로그'''(二重log, dilogarithm^영어), $s=3$인 경우 '''삼중로그'''(三重log, trilogarithm^영어) 따위의 이름을 사용한다.

4. 성질

다음은 다중로그 함수의 몇 가지 성질이다.

• $z=1$일 때, 다중로그는 리만 제타 함수와 같다.^[1]

• $z=-1$일 때, 다중로그는 디리클레 에타 함수와 같다.^[1]

• 다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다.^[1]

• 1중로그는 로그 함수로 표현된다.^[1]

• 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 유리 함수로 표현된다.^[1]

• 제곱 관계:^[1]

• 곱셈 공식:^[1]

4. 1. 특이점 및 분지 절단

4. 2. 낮은 차수의 다중로그

1중로그는 다음과 같이 통상적인 로그로 주어진다.^[1]

: $\backslash operatorname\{Li\}\_1(z)=-\backslash ln(1-z)$

제2종 스털링 수 $S(n,k)$를 사용하면, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리 함수로 표현된다.^[1]

: $\backslash operatorname\{Li\}\_\{-n\}(z)\; =\; \backslash left(\; z\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; z\}\backslash right)^n\backslash frac\; z\{1-z\}=\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; k!S(n+1,\; k+1)\; \backslash left(\backslash frac\; z\{1-z\}\backslash right)^\{k+1\}\; \backslash qquad\; (n=0,1,2,\backslash ldots)$

명시적으로, 처음 몇 개의 다중로그는 다음과 같다.^[1]

• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{1\}(z)\; =\; -\backslash ln(1-z)$
• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{0\}(z)\; =\; \{z\; \backslash over\; 1-z\}$
• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{-1\}(z)\; =\; \{z\; \backslash over\; (1-z)^2\}$
• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{-2\}(z)\; =\; \{z\; (1+z)\; \backslash over\; (1-z)^3\}$
• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{-3\}(z)\; =\; \{z\; (1+4z+z^2)\; \backslash over\; (1-z)^4\}$
• $\backslash operatorname\{Li\}\_\{-4\}(z)\; =\; \{z\; (1+z)\; (1+10z+z^2)\; \backslash over\; (1-z)^5\}\; .$

4. 3. 적분 표현

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계와 페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. '''보스-아인슈타인 적분 표현'''은 다음과 같다.^[1]

:$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)=\backslash frac1\{\backslash Gamma(s)\}$

\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z-1} \,dt \qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus[1,\infty)\right)

'''페르미-디랙 적분 표현'''은 다음과 같다.^[1]

:$$

\operatorname{Li}_{s}(-z) = -\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z+1} \,dt\qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus(-\infty,-1]\right)

4. 4. 특정 값

반정수 값에 대한 폴리로그의 표현은 다음과 같다.^[1]

• Li^영어_1(½) = ln 2
• Li^영어_2(½) = (1/12)π² - (1/2)(ln 2)²
• Li^영어_3(½) = (1/6)(ln 2)³ - (1/12)π² ln 2 + (7/8)ζ(3)

여기서 ζ는 리만 제타 함수이다. 더 높은 정수 차수에 대해서는 이러한 유형의 공식이 알려져 있지 않지만, 다음은 그 예시 중 하나이다.^[2]

:Li^영어_4(½) = (1/360)π⁴ - (1/24)(ln 2)⁴ + (1/24)π² (ln 2)² - (1/2)ζ(3̅,_1̅^la)

이는 교대 이중 합을 포함한다.

:ζ(3̅,_1̅^la)=∑ (-1)^{(''m''+''n'')} ''m''⁻³ ''n''⁻¹.

일반적으로 정수 차수 ''n'' ≥ 2에 대해 다음이 성립한다.^[3]

:Li^영어_''n''(½) = −ζ(1̅, 1̅,_{1}^{la(''n''−2)}),

여기서 ζ(''s''₁, …, ''s''_''k'')는 다중 제타 함수이다. 예를 들어 다음과 같다.

:Li^영어_5(½) = −ζ(1̅, 1̅^la, 1,1,1).

단위근에서의 폴리로그 값은 푸리에 합으로 표현할 수 있다.^[4]

:Li^영어_''s''(e^{영어2πi영어''m''/''p''}) = ''p''^−''s'' ∑ e^{영어2πi영어''mk''/''p''} ζ(''s'', ) (''m'' = 1, 2, …, ''p''−1),

여기서 ζ는 허위츠 제타 함수이다. Re(''s'') > 1인 경우, Li^영어_''s''(1)은 유한하며, 위 관계는 ''m'' = 0 또는 ''m'' = ''p''에서도 성립한다. 이 공식은 다른 함수와의 관계에 나열된 허위츠 제타 함수와의 일반적인 관계에 의해 암시된 것만큼 간단하지 않지만, ''s''의 음이 아닌 정수 값에도 적용된다는 장점이 있다.^[4]

5. 다른 함수와의 관계

• Riemann zeta function|리만 제타 함수^영어: 일 때, 다중로그는 리만 제타 함수로 축소된다. $\backslash operatorname\{Li\}\_s(1)\; =\; \backslash zeta(s)\; \backslash qquad\; (\backslash operatorname\{Re\}(s)>1).$
• Dirichlet eta function|디리클레 에타 함수^영어: 다중로그는 디리클레 에타 함수와 관련이 있다. $\backslash operatorname\{Li\}\_s(-1)\; =\; -\backslash eta(s)$
• 폴리로그는 페르미-디락 적분과 다음과 같이 관련된다.

• 폴리로그는 보스-아인슈타인 적분과 다음과 같이 관련된다.

• 폴리로그는 레르흐 초월 함수의 특수한 경우이다.

• 폴리로그는 허위츠 제타 함수와 다음과 같이 관련된다.

• 양의 정수 폴리로그 차수 의 경우 허위츠 제타 함수 는 베르누이 다항식으로 축소되며, 에 대한 종키에르의 역변환 공식은 다음과 같다.

• 순수 허수 를 갖는 폴리로그는 클라우센 함수 및 로 표현될 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지이다. (; ):

• 역 탄젠트 적분 는 폴리로그로 표현할 수 있다.

• 르장드르 카이 함수 (; )는 폴리로그로 표현할 수 있다.

• 정수 차수의 폴리로그는 일반화된 초 기하 함수로 표현할 수 있다.

• 불완전 제타 함수 또는 "디바이 함수" 의 관점에서

• 람베르트 급수를 사용하면 이 요르단의 토티언트 함수인 경우

6. 급수 표현

The polylogarithm can be extended to negative integer order^영어 ''s''는 한켈 윤곽선 적분을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(e^\backslash mu)\; =\; -\{\backslash Gamma(1\; -\; s)\; \backslash over\; 2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\_H\; \{(-t)^\{s-1\}\; \backslash over\; e^\{t-\backslash mu\}-1\}\; dt,$$

여기서 ''H''는 한켈 윤곽선이며, ''s'' ≠ 1, 2, 3, …이고, 적분 피연산자의 ''t'' = ''μ'' 극점은 음이 아닌 실수 축에 놓여 있지 않다. 윤곽선은 ''t'' − ''μ'' = 2''kπi''에서 적분 피연산자의 극점을 포함하도록 수정될 수 있으며, 적분은 잔류의 합으로 계산될 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(e^\backslash mu)\; =\; \backslash Gamma(1\; -\; s)\; \backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (2k\; \backslash pi\; i\; -\; \backslash mu)^\{s-1\}.$$

이것은 Re(''s'') < 0이고 모든 ''μ''에 대해 유지되며, 여기서 ''e''^''μ'' = 1은 아니다. 0 < Im(''μ'') ≤ 2''π''에 대해 합은 다음과 같이 분할될 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(e^\backslash mu)\; =\; \backslash Gamma(1-s)\; \backslash left[\; (-2\backslash pi\; i)^\{s-1\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(k\; +\; \{\backslash mu\; \backslash over\; \{2\backslash pi\; i\}\}\; \backslash right)^\{s-1\}\; +\; (2\backslash pi\; i)^\{s-1\}\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(k+1-\; \{\backslash mu\; \backslash over\; \{2\backslash pi\; i\}\}\; \backslash right)^\{s-1\}\; \backslash right],$$

여기서 두 급수는 이제 후르비츠 제타 함수로 식별될 수 있다.

:

이 관계는 모든 복소수 ''s'' ≠ 0, 1, 2, 3, …에 대해 성립한다.

''μ'' = 0에 대한 멱급수로 폴리로그 함수를 나타내기 위해, 한켈 윤곽선 적분에서 파생된 급수를 다음과 같이 작성한다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(e^\backslash mu)\; =\; \backslash Gamma(1\; -\; s)\; (-\backslash mu)^\{s-1\}\; +\; \backslash Gamma(1\; -\; s)\; \backslash sum\_\{h=1\}^\backslash infty\; \backslash left[(-2\; h\; \backslash pi\; i\; -\; \backslash mu)^\{s-1\}\; +\; (2\; h\; \backslash pi\; i\; -\; \backslash mu)^\{s-1\}\; \backslash right]\; .$$

합의 이항 거듭제곱이 ''μ'' = 0에 대해 전개되고 합의 순서가 반전되면, ''h''에 대한 합은 닫힌 형태로 표현될 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(e^\backslash mu)\; =\; \backslash Gamma(1\; -\; s)\; (-\backslash mu)^\{s-1\}\; +\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \{\backslash zeta(s-k)\; \backslash over\; k!\}\; \backslash mu^k\; .$$

이 결과는 |''μ''| < 2''π''에 대해 성립하며, 제타 함수가 제공하는 해석적 연속성 덕분에 모든 ''s'' ≠ 1, 2, 3, …에 대해서도 성립한다. 차수가 양의 정수, 즉 ''s'' = ''n''인 경우, ''k'' = ''n'' − 1인 항과 감마 함수 모두 무한대가 되지만, 그 합은 그렇지 않다. 다음을 얻는다.

: $$\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; k+1\}\; \backslash left[\; \{\backslash zeta(s-k)\; \backslash over\; k!\}\; \backslash mu^k\; +\; \backslash Gamma(1\; -\; s)\; (-\backslash mu)^\{s-1\}\; \backslash right]\; =\; \{\backslash mu^k\; \backslash over\; k!\}\; \backslash left[\backslash sum\_\{h=1\}^k\; \{1\; \backslash over\; h\}\; -\; \backslash ln(-\backslash mu)\; \backslash right],$$

여기서 ''k'' = 0이면 ''h''에 대한 합은 0이 된다. 따라서 양의 정수 차수에 대해 |''μ''| < 2''π''인 경우 다음과 같은 급수를 얻는다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_\{n\}(e^\backslash mu)\; =\; \{\backslash mu^\{n-1\}\; \backslash over\; (n-1)!\}\; \backslash left[\; H\_\{n-1\}\; -\; \backslash ln(-\backslash mu)\; \backslash right]\; +\; \backslash sum\_\{k=0,k\backslash ne\; n-1\}^\backslash infty\; \{\backslash zeta(n-k)\; \backslash over\; k!\}\; \backslash mu^k\; ,$$

여기서 ''H''_''n''은 ''n''번째 조화수를 나타낸다.

: $$H\_n\; =\; \backslash sum\_\{h=1\}^n\; \{1\; \backslash over\; h\},\; \backslash qquad\; H\_0\; =\; 0.$$

문제 항은 −ln(−''μ'')을 포함하며, 이는 ''μ''^''n''−1로 곱해질 때 ''μ'' → 0으로 갈 때 0으로 수렴하지만, ''n'' = 1인 경우는 예외이다. 이는 Li_''s''(''z'')가 ''s'' = 1이고 ''z'' = 1에서 진정한 로그 특이점을 나타낸다는 사실을 반영한다.

: $$\backslash lim\_\{\backslash mu\; \backslash to\; 0\}\; \backslash Gamma(1-s)(-\backslash mu)^\{s-1\}\; =\; 0\; \backslash qquad\; (\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 1).$$

다음 항등식을 사용하여

: $$1\; =\; \{1\; \backslash over\; \backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-t\}\; t^\{s-1\}\; dt\; \backslash qquad\; (\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 0)\; ,$$

폴리로그 함수의 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음 형태로 작성될 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}z\; +\; \{z\; \backslash over\; 2\; \backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-t\}\; t^\{s-1\}\; \backslash coth\{t\; -\; \backslash ln\; z\; \backslash over\; 2\}\; dt\; \backslash qquad\; (\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; 0).$$

쌍곡선 코탄젠트를 쌍방향 급수로 대체하면,

: $$\backslash coth\{t-\backslash ln\; z\; \backslash over\; 2\}\; =\; 2\; \backslash sum\_\{k\; =\; -\backslash infty\}^\backslash infty\; \{1\; \backslash over\; 2\; k\; \backslash pi\; i\; +\; t\; -\; \backslash ln\; z\}\; ,$$

그런 다음 적분과 합의 순서를 바꾸고, 마지막으로 합의 항을 상부 불완전 감마 함수의 적분 표현과 식별하면 다음을 얻는다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}z\; +\; \backslash sum\_\{k\; =\; -\backslash infty\}^\backslash infty\; \{\backslash Gamma(1-s,\; 2k\; \backslash pi\; i\; -\; \backslash ln\; z)\; \backslash over\; (2k\; \backslash pi\; i\; -\; \backslash ln\; z)^\{1-s\}\}.$$

이 결과의 쌍방향 급수와 쌍곡선 코탄젠트에 대한 쌍방향 급수 모두 −''k''_max에서 ''k''_max까지의 대칭 부분 합은 ''k''_max → ∞로 무조건적으로 수렴한다. 합산을 대칭적으로 수행하면 Li_''s''(''z'')에 대한 이 급수는 모든 복소수 ''s''뿐만 아니라 모든 복소수 ''z''에 대해 성립한다.

제2종 스털링 수에 대한 명시적 표현을 음이 아닌 정수 차수의 폴리로그 함수에 대한 유한 합에 도입하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_\{-n\}(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash left(\; \{-z\; \backslash over\; 1-z\}\; \backslash right)^\{k+1\}\; \backslash sum\_\{j=0\}^k\; (-1)^\{j+1\}\; \{k\; \backslash choose\; j\}\; (j+1)^n\; \backslash qquad\; (n=0,1,2,\backslash ldots).$$

단순히 외부 합을 ∞까지 확장하여 얻은 무한 급수

: $$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash left(\; \{-z\; \backslash over\; 1-z\}\; \backslash right)^\{k+1\}\; ~\backslash sum\_\{j=0\}^k\; (-1)^\{j+1\}\; \{k\; \backslash choose\; j\}\; (j+1)^\{-s\}\; ,$$

합의 순서를 바꾸고 다음을 사용함으로써 |^−''z''⁄_(1−''z'')| < ¹⁄₂에 대해 모든 복소수 ''s''와 Re(''z'') < ¹⁄₂인 복소수 ''z''에 대해 폴리로그 함수로 수렴하는 것으로 밝혀졌다.

: $$\backslash sum\_\{k=j\}^\backslash infty\; \{k\; \backslash choose\; j\}\; \backslash left(\; \{-z\; \backslash over\; 1-z\}\; \backslash right)^\{k+1\}\; =\; \backslash left[\; \backslash left(\; \{-z\; \backslash over\; 1-z\}\; \backslash right)^\{-1\}\; -1\; \backslash right]^\{-j-1\}\; =\; (-z)^\{j+1\}.$$

이 급수의 내부 계수는 일반화된 조화수를 포함하는 스털링 수 관련 공식으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 다음 항등식의 증명을 찾으려면 생성 함수 변환을 참조한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\operatorname{Li}_2(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{2} \left(H_j^2+H_j^{(2)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}} \\

\operatorname{Li}_3(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{6} \left(H_j^3+3H_j H_j^{(2)} + 2 H_j^{(3)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}}.

\end{align}

Re(''z'') < ¹⁄₂인 다른 인수의 경우, 결과는 해석적 연속에 의해 얻는다. 이 절차는 폴리로그 함수를 정의하는 ''z''에 대한 급수에 오일러 변환을 적용하는 것과 같다.

7. 점근 전개

|''z''| ≫ 1일 때, 폴리로그 함수는 ln(−''z'')에 대한 점근 급수로 전개될 수 있다.

:$$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \{\backslash pm\; i\backslash pi\; \backslash over\; \backslash Gamma(s)\}\; [\backslash ln(-z)\; \backslash pm\; i\backslash pi]^\{s-1\}\; -\; \backslash sum\_\{k\; =\; 0\}^\backslash infty\; (-1)^k\; (2\backslash pi)^\{2k\}\; \{B\_\{2k\}\; \backslash over\; (2k)!\}\; \{[\backslash ln(-z)\; \backslash pm\; i\backslash pi]^\{s-2\; k\}\; \backslash over\; \backslash Gamma(s+1-2k)\},$$

:$$\backslash operatorname\{Li\}\_s(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^k\; (1-2^\{1-2k\})\; (2\backslash pi)^\{2k\}\; \{B\_\{2k\}\; \backslash over\; (2k)!\}\; \{[\backslash ln(-z)]^\{s-2\; k\}\; \backslash over\; \backslash Gamma(s+1-2k)\},$$

여기서 ''B''_2''k''는 베르누이 수이다. 두 버전 모두 모든 ''s''와 모든 arg(''z'')에 대해 유효하다. 일반적으로 항의 크기가 커지기 시작하면 합계를 종료해야 한다. 음의 정수 ''s''의 경우 전개는 완전히 사라지고, 음이 아닌 정수 ''s''의 경우에는 유한한 수의 항 이후에 중단된다.

8. 극한 거동

polylogarithm^영어의 다양한 표현에서 얻어진 극한은 다음과 같다.

$\backslash operatorname\{Re\}(\backslash mu)\; \backslash to\; \backslash infty$에 대한 첫 번째 극한은 Wood의 방정식 11.3에 따라 수정되었다. $\backslash operatorname\{Re\}(s)\; \backslash to\; -\backslash infty$에 대한 극한은 폴리로그 함수와 허위츠 제타 함수의 일반적인 관계에서 얻을 수 있다.

9. 이중로그

이중로그는 차수 ''s'' = 2인 다중로그 함수이다. 이중로그의 적분 표현은 다음과 같다.

:$$\backslash operatorname\{Li\}\_2\; (z)\; =\; -\backslash int\_0^z\{\backslash ln\; (1-t)\; \backslash over\; t\}\; dt\; =\; -\backslash int\_0^1\{\backslash ln\; (1-zt)\; \backslash over\; t\}\; dt.$$

일부 컴퓨터 대수 시스템에서는 이중로그를 dilog(''z'') = Li₂(1−''z'')로 정의하기도 하여 혼란을 야기하기도 한다.

이중로그에는 다음과 같은 다양한 항등식이 존재한다.

• 아벨 항등식:

• 오일러 반사 공식: ''y'' = 1−''x''일 때, 아벨 항등식은 오일러의 반사 공식으로 축약된다.

• 오각형 항등식: 새로운 변수 ''u'' = ''x''/(1−''y''), ''v'' = ''y''/(1−''x'')를 도입하면, 아벨 항등식은 다음과 같은 오각형 항등식으로 표현된다.

• 랜던 항등식: ''x'' = ''y'' = 1−''z''에 대한 아벨 항등식과 제곱 관계로부터 랜던의 항등식을 얻는다.

• 역 공식: 각 이중로그에 반사 공식을 적용하면 역 공식을 얻을 수 있다.

10. 다중로그 사다리

레너드 르윈은 특수 값에 대한 다중로그에 대한 여러 고전적 관계의 놀랍고 광범위한 일반화를 발견했다. 이것들은 현재 ''다중로그 사다리''라고 불린다. $\backslash rho\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; (\backslash sqrt\{5\}-1)$을 황금비의 역수로 정의하자. 그러면 두 개의 간단한 이중로그 사다리의 예는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Li\}\_2(\backslash rho^6)\; =\; 4\; \backslash operatorname\{Li\}\_2(\backslash rho^3)\; +\; 3\; \backslash operatorname\{Li\}\_2(\backslash rho^2)\; -\; 6\; \backslash operatorname\{Li\}\_2(\backslash rho)\; +\; \backslash tfrac\; \{7\}\{30\}\; \backslash pi^2$

콕세터에 의해 주어지며,^[1]

:$\backslash operatorname\{Li\}\_2(\backslash rho)\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{10\}\; \backslash pi^2\; -\; \backslash ln^2\backslash rho$

랜든에 의해 주어지는 식이다. 다중로그 사다리는 K-이론과 대수 기하학에서 자연스럽게 깊숙이 나타난다. 다중로그 사다리는 BBP 알고리즘을 통해 다양한 수학 상수를 빠르게 계산하는 기반을 제공한다.^[2]

11. 모노드로미

다중로그는 분기점 두 개를 갖는다. 하나는 ''z'' = 1이고 다른 하나는 ''z'' = 0이다. 두 번째 분기점 ''z'' = 0은 다중로그의 주 시트에서는 보이지 않으며, 함수를 다른 시트로 해석적 연속할 때만 보이게 된다. 다중로그의 모노드로미 군은 두 분기점을 도는 호모토피 클래스로 구성된다. 이들을 각각 ''m''₀과 ''m''₁으로 나타내면, 모노드로미 군은 다음과 같은 군 표시를 갖는다.

$$\backslash langle\; m\_0,\; m\_1\; \backslash vert\; w\; =\; m\_0\; m\_1\; m^\{-1\}\_0\; m^\{-1\}\_1,\; w\; m\_1\; =\; m\_1\; w\; \backslash rangle.$$

특히 이중로그의 경우, ''wm''₀ = ''m''₀''w''도 성립하며, 모노드로미 군은 하이젠베르크 군이 된다(''m''₀, ''m''₁ 및 ''w''를 각각 ''x'', ''y'', ''z''로 식별).

참조

_[1] 문서
_[2] 저널 The dilogarithm Function for complex argument 2003
_[3] 서적 Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II Grøndahl & Søn 1881
_[4] 저널 Note sur la série $\backslash scriptstyle\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^n\}\{n^s\}$ http://archive.numda[...] 1889