동등자

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 집합론적 정의
- 2.2. 범주론적 정의
3. 차핵
4. 범주론에서의 동등자
5. 성질
참조

1. 개요

동등자는 집합론과 범주론에서 사용되는 개념으로, 집합론에서는 함수들의 집합에 대해 함수값이 같은 원소들의 집합을 의미하며, 범주론에서는 두 사상에 대해 특정 조건을 만족하는 대상과 사상으로 정의된다. 동등자는 극한의 한 예시이며, 차핵이라고도 불린다. 주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있지만, 곱과 당김을 가지는 범주에서는 항상 존재하며, 단사 사상이다.

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동등자

2. 정의

동등자는 집합론과 범주론 두 가지 관점에서 정의할 수 있다. 집합론적 정의는 집합의 원소들의 관점에서, 범주론적 정의는 사상(morphism)들의 관점에서 동등자를 정의한다.

2. 1. 집합론적 정의

집합 X, Y와 X에서 Y로 가는 함수들의 집합

\mathcal F\subset Y^X

가 주어졌을 때,

\mathcal F

의 '''동등자'''

\operatorname{Eq}(\mathcal F)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Eq}(\mathcal F)=\{x\in X|f(x)=g(x)\forall f,g\in\mathcal F\}

이는

\mathcal F

의 모든 함수 f, g에 대해 f(x) = g(x)를 만족하는 모든 x ∈ X의 집합이다.

자명한 경우로,

\mathcal F=\varnothing

(공집합)이면

\operatorname{Eq}(\varnothing)=X

이다.

\mathcal F=\{f\}

와 같이 하나의 원소만 갖는 경우에도

\operatorname{Eq}(\{f\})=X

이다. 이는 정의에 있는 전칭 양화가 자명한 의미에서 참이기 때문이다.

일반적으로, 두 함수 f, g: X → Y에 대해, f와 g의 동등자는 f(x) = g(x)를 만족하는 모든 x ∈ X의 집합이며, 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname{Eq}(f,g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}

Eq(f, g) 또는 {f = g} 등으로 나타낼 수 있다.

2. 2. 범주론적 정의

범주

\mathcal C

에서 대상

X,Y\in\mathcal C

와 사상

f, g \colon X \to Y

가 주어졌을 때,

f

와

g

의 '''동등자'''

(E,\operatorname{eq})

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$E$ 는 $\mathcal C$ 의 대상이다.
$\operatorname{eq}\in\hom_{\mathcal C}(E,X)$ 는 $\mathcal C$ 의 사상이며, $f\circ\operatorname{eq}=g\circ\operatorname{eq}$ 이다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다.

만약 $m\colon O\to X$ 가 $f\circ m=g\circ m$ 을 만족시킨다면, $\operatorname{eq}\circ u=m$ 인 유일한 사상 $u\colon O\to E$ 가 존재한다.

이는 극한의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주

J

는 두 개의 대상

X,Y

및 두 사상

f, g

를 가진다.

만약 범주

\mathcal C

가 곱 및 당김을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각하자.

:

\operatorname{diag}_Y=(\operatorname{id}_Y,\operatorname{id}_Y)\colon Y\to Y\times Y

:

(f,g)\colon X\to Y\times Y

그렇다면, 이에 대한 당김

:

X\times_{Y\times Y}Y

을 정의할 수 있으며, 이는

f

와

g

의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영

:

\pi_X\colon X\times_{Y\times Y}Y\to X

에 의하여 주어진다.

사상

m:O \rightarrow X

는

f \circ m = g \circ m

이라면

f

와

g

를 '''등화'''한다고 한다.^[1]

3. 차핵

이진 동등자(두 함수에 대한 동등자)는 차핵이라고도 불린다. 이는 DiffKer(''f'', ''g''), Ker(''f'', ''g''), 또는 Ker(''f'' - ''g'')로 표기될 수 있다. 마지막 표기법은 이러한 용어가 어디에서 유래되었는지, 그리고 왜 추상대수학의 맥락에서 가장 흔하게 사용되는지를 보여준다. ''f''와 ''g''의 차핵은 단순히 ''f'' - ''g''의 커널이다. 또한, 단일 함수 ''f''의 커널은 0이 영 값을 갖는 상수 함수인 차핵 Eq(''f'', 0)으로 재구성될 수 있다.

물론, 이 모든 것은 함수 커널이 해당 함수 아래에서 영의 원상인 대수적 맥락을 전제로 한다. 이는 모든 상황에서 사실이 아니다. 그러나 "차핵"이라는 용어는 다른 의미를 갖지 않는다.^[1]

4. 범주론에서의 동등자

동등자(Equalizer)는 보편 성질을 통해 정의되며, 집합의 범주에서 임의의 범주로 일반화할 수 있다. 범주론적 동등자는 단사 사상이며, 정칙 단사 사상과 관련된 개념이다. 완비 범주에서는 이항 동등자(binary equalizer)와 정칙 단사 사상이 일치한다.

범주 $\mathcal C$ 에서, 대상 $X,Y\in\mathcal C$ 와 사상 모임의 부분집합 $\mathcal F\subset\hom(X,Y)$ 가 주어졌을 때, $\mathcal F$ 의 동등자 $(E,\operatorname{eq})$ 는 다음과 같이 구성된다.

$E$ 는 $\mathcal C$ 의 대상이다.
$\operatorname{eq}\in\hom_{\mathcal C}(E,X)$ 는 $\mathcal C$ 의 사상이며, 모든 $f,g\in\mathcal F$ 에 대하여 $f\circ\operatorname{eq}=g\circ\operatorname{eq}$ 이다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다.

만약 $m\colon O\to X$ 가 임의의 $f,g\in\mathcal F$ 에 대하여 $f\circ m=g\circ m$ 을 만족시킨다면, $\operatorname{eq}\circ u=m$ 인 유일한 사상 $u\colon O\to E$ 가 존재한다.

이는 극한의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주

J

는 두 개의 대상

X,Y

및 사상 집합

\hom_J(X,Y)=\mathcal F

를 가진다.

주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있다. 다만, 만약

\mathcal F

가 공집합이거나 하나의 원소만을 갖는 경우 동등자는 항상 존재하며, 이 경우

(E,\operatorname{eq})=(X,\operatorname{id}_X)

이다.

만약 범주

\mathcal C

가 곱 및 당김을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각할 수 있다.

:

\operatorname{diag}_Y=(\operatorname{id}_Y,\operatorname{id}_Y)\colon Y\to Y\times Y

:

(f,g)\colon X\to Y\times Y

그렇다면, 이에 대한 당김

:

X\times_{Y\times Y}Y

을 정의할 수 있으며, 이는

f

와

g

의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영

:

\pi_X\colon X\times_{Y\times Y}Y\to X

에 의하여 주어진다.

일반적인 맥락에서, ''X''와 ''Y''는 대상이고, ''f''와 ''g''는 ''X''에서 ''Y''로의 사상이다. 이러한 대상과 사상들은 해당 범주에서 도표를 형성하며, 등화기는 해당 도표의 극한이다.

더 구체적으로 말하면, 등화기는 대상 ''E''와 사상 ''eq'' : ''E'' → ''X''로 구성되며,

f \circ eq = g \circ eq

를 만족하고, 임의의 대상 ''O''와 사상 ''m'' : ''O'' → ''X''에 대해, 만약

f \circ m = g \circ m

이라면,

eq \circ u = m

을 만족하는 유일한 사상 ''u'' : ''O'' → ''E''가 존재한다.

사상

m:O \rightarrow X

는

f \circ m = g \circ m

이라면

f

와

g

를 '''등화'''한다고 한다.^[1]

보편 대수적 범주에서, 차이 커널이 사용되는 범주뿐만 아니라 집합 자체의 범주를 포함하여, 대상 ''E''는 항상 등화기의 일반적인 개념으로 간주될 수 있으며, 사상 ''eq''는 그 경우 ''E''를 ''X''의 부분 집합으로의 포함 함수로 간주될 수 있다.

이것을 두 개 이상의 사상으로 일반화하는 것은 간단하다. 더 많은 사상이 있는 더 큰 도표를 사용하면 된다. 단 하나의 사상만 있는 퇴화적인 경우도 간단하며, 그러면 ''eq''는 대상 ''E''에서 ''X''로의 임의의 동형 사상이 될 수 있다.

사상이 ''없는'' 퇴화적인 경우에 대한 올바른 도표는 약간 미묘하다. 처음에 도표를 대상 ''X''와 ''Y''와 사상 없이 그릴 수도 있지만, 이는 잘못된 것이다. 왜냐하면 그러한 도표의 극한은 등화기가 아니라 ''X''와 ''Y''의 곱이기 때문이다. (그리고 실제로 곱과 등화기는 다른 개념이다.) 대신, 적절한 통찰력은 모든 등화기 도표가 근본적으로 ''X''와 관련되어 있으며, 도표에 나타나는 사상의 공역이기 때문에 ''Y''만 포함한다는 것이다. 이러한 관점에서, 만약 관련 사상이 없다면, ''Y''는 나타나지 않으며 등화기 도표는 ''X''만으로 구성된다. 이 도표의 극한은 ''E''와 ''X'' 사이의 임의의 동형 사상이다.

임의의 범주에서 등화기는 단사 사상임을 증명할 수 있다. 만약 역이 주어진 범주에서 성립한다면, 해당 범주는 (단사 사상의 의미에서) ''정칙''하다고 한다. 더 일반적으로, 임의의 범주에서 정칙 단사 사상은 어떤 사상 집합의 등화기인 임의의 사상 ''m''이다. 일부 저자는 더욱 엄격하게 ''m''이 정확히 두 개의 사상의 등화기인 ''이진'' 등화기여야 한다고 요구하지만, 해당 범주가 완비된 경우 두 정의는 일치한다.

차이 커널의 개념 또한 범주론적 맥락에서 의미가 있다. 용어 "차이 커널"은 모든 이진 등화기에 대해 범주론 전체에서 일반적이다. 전가법 범주 (즉, 아벨 군의 범주로 풍부화된 범주)의 경우, 사상의 차가 의미를 가지므로, "차이 커널"이라는 용어는 문자 그대로 차의 (범주론적인) 핵 으로 해석할 수 있다.

섬유곱 (당김)과 곱을 갖는 임의의 범주는 등화기를 갖는다.

5. 성질

''X''를 위상 공간, ''Y''를 하우스도르프 공간, ''f'', ''g'': ''X'' → ''Y''를 연속 함수라고 할 때, 이퀄라이저 Eq(''f'', ''g'')는 ''X''의 닫힌 집합이다.

참조

_[1] 서적 Category theory for computing science http://www.tac.mta.c[...] Prentice Hall International Series in Computer Science
_[2] 서적 Category theory for computing science http://www.math.mcgi[...] 2013-07-20

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