동차함수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 일반적인 동차성
- 2.2. 양의 동차성
3. 성질
- 3.1. 오일러의 동차 함수 정리
4. 예시
5. 응용
- 5.1. 미분 방정식
- 5.2. 분포 (일반화 함수)
6. 일반화
- 6.1. 모노이드 작용에 대한 동차성
참조

1. 개요

동차함수는 변수의 스케일링에 따라 함수 값이 특정 방식으로 변화하는 함수를 의미한다. 일반적으로, 함수 f가 k차 동차 함수라는 것은 f(sx) = s^k f(x)를 만족하는 것을 의미하며, 여기서 s는 스케일링 인자, k는 동차 차수이다. 이러한 개념은 실변수 함수에서 벡터 공간 간의 함수로 확장되었으며, 일반적인 정의와 양의 동차성 정의가 존재한다. 동차 함수는 사영 기하학, 미분 방정식, 분포 이론 등 다양한 분야에서 활용되며, 오일러의 동차 함수 정리는 동차 미분가능 함수의 특성을 나타낸다.

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동차함수
정의
유형	함수
분야	수학
성질	곱셈 스케일링 동작을 가짐
수학적 정의
변수	f: 함수 V: 벡터 공간 F: 스칼라 필드 k: 차수 v: 벡터 s: 스칼라
조건	f(s v) = s^k f(v)
일반화 및 관련 개념
일반화	오일러의 동차함수 정리
관련 개념	동차 다항식 동차 좌표 거의 동차 함수 준동차 함수 방사 동차 함수 양의 동차 함수
예시
1차 동차 함수	선형 함수
2차 동차 함수	이차 형식
활용
활용 분야	물리학 공학 경제학

2. 정의

동차함수의 개념은 원래 실변수 함수에 대해 도입되었다. 19세기 말 벡터 공간의 정의와 함께, 변수 값의 튜플을 좌표 벡터로 간주할 수 있으므로, 이 개념은 벡터 공간 간의 함수로 자연스럽게 확장되었다.

일반적으로 두 가지 정의가 사용된다. 하나는 임의의 체에 대한 벡터 공간에서 작동하며, 정수인 차수로 제한되는 일반적인 정의이고, 다른 하나는 실수의 체나 순서체에서 작동하며, 스케일링 인자를 양수 값으로 제한하는 ''양의 동차성'' 정의이다. 양수 동차성을 사용하면 절댓값과 노름과 같이 더 많은 함수를 동차 함수로 간주할 수 있다. 스케일링 인자를 양의 실수 값으로 제한하면, 임의의 실수를 차수로 하는 동차 함수도 고려할 수 있다.^[3]

2. 1. 일반적인 동차성

체에 대한 벡터 공간에서 작동하며, 정수인 동차성에 대한 차수로 제한된다.

실수의 체 또는 보다 일반적으로 순서체에서 작동한다고 가정한다. 이 정의는 정의에 나타나는 스케일링 인자를 양수 값으로 제한하므로, 종종 혼동의 위험이 없을 때 "양수"라는 수식어를 생략하고 ''양수 동차성''이라고 부른다. 양수 동차성은 더 많은 함수를 동차 함수로 간주하게 한다. 예를 들어, 절댓값과 모든 노름은 동차 함수가 아닌 양수 동차 함수이다.

스케일링 인자를 양의 실수 값으로 제한하면 동차 차수가 임의의 실수인 동차 함수도 고려할 수 있다.

V^영어와 W^영어를 체 F^영어 위의 두 벡터 공간이라고 하자. V^영어의 선형 원뿔은 다음을 만족하는 V^영어의 부분 집합 C^영어이다.

:

sx\in C

는 모든

x\in C

와 모든 0이 아닌

s\in F

에 대해 성립한다.

V^영어에서 W^영어로의 ''동차 함수'' f^영어는 선형 원뿔 C^영어를 정의역으로 가지며 다음을 만족하는 부분 함수이다.

:

f(sx) = s^kf(x)

여기서 k^영어는 어떤 정수이며, 모든

x\in C,

와 모든 0이 아닌

s\in F

에 대해 성립한다. 정수 k^영어는 f^영어의 ''동차 차수'' 또는 간단히 ''차수''라고 한다.

차수 k^영어의 동차 함수의 전형적인 예는 차수 k^영어의 동차 다항식에 의해 정의된 함수이다. 두 동차 다항식의 몫에 의해 정의된 유리 함수는 동차 함수이며, 그 차수는 분자와 분모의 차수의 차이이다. 이 함수의 ''정의 원뿔''은 분모의 값이 0이 아닌 점들의 선형 원뿔이다.

동차 함수는 사영 기하학에서 기본적인 역할을 하는데, V^영어에서 W^영어로의 모든 동차 함수 f^영어는 V^영어와 W^영어의 사영화 사이에서 잘 정의된 함수를 정의하기 때문이다. 차수가 0인 동차 유리 함수(동일한 차수의 두 동차 다항식의 몫에 의해 정의된 함수)는 사영 스킴의 Proj 구성에서 필수적인 역할을 한다.

2. 2. 양의 동차성

실수 위에서 작업할 때, 또는 더 일반적으로 순서체 위에서 작업할 때, "양의 동차성"을 고려하는 것이 일반적으로 편리하다. 양의 동차성의 정의는 선형 원뿔 및 동차 함수의 정의에서 "영이 아닌 "를 ""로 대체하는 것을 제외하고는 앞 절의 정의와 정확히 동일하다.

이러한 변경을 통해 양의 실수 밑수를 갖는 지수가 잘 정의되어 있으므로 모든 실수를 차수로 하는 (양의) 동차 함수를 고려할 수 있다.

정수 차수의 경우에도 동차성은 아니지만 양의 동차성을 갖는 유용한 함수가 많이 있다. 특히, 절댓값 함수와 노름은 모두 차수가 1인 양의 동차성을 갖는다.

|-x|=|x|\neq -|x|

이고

x\neq 0.

이므로 동차 함수가 아니다. 이는 복소수의 경우에도 마찬가지인데, 복소수 체

\C

와 모든 복소수 벡터 공간은 실수 벡터 공간으로 간주될 수 있기 때문이다.^[3]

오일러의 동차 함수 정리는 양의 동차 미분가능 함수의 특성으로, "동차 함수에 대한 기본 정리"로 간주될 수 있다.^[3]

3. 성질

동차 함수는 사영 기하학에서 기본적인 역할을 한다.^[3] 오일러의 동차 함수 정리에 따르면, 연속 미분 가능한 k차 동차 함수의 1차 편도함수는 k-1차 동차 함수이다.^[3] 단일 실수 변수 함수의 경우, 차수가 $k$ 인 연속 미분 가능하고 양의 동차 함수는 $x>0$ 일 때 $f(x)=c_+ x^k$ , $x<0$ 일 때 $f(x)=c_- x^k$ 형태를 가진다. 여기서 상수 $c_+$ 와 $c_-$ 는 절댓값의 경우처럼 반드시 같을 필요는 없다.^[3]

3. 1. 오일러의 동차 함수 정리

'''오일러의 동차 함수 정리'''는 주어진 차수의 양의 동차 함수가 특정 편미분 방정식의 정확한 해라는 것을 보여준다.

만약

f

가

n

개의 실수 변수에 대한 (부분) 함수이고, 차수가

k

인 양의 동차 함수이며,

\R^n

의 어떤 열린 부분 집합에서 연속 미분 가능하다면, 이 열린 집합에서 다음의 편미분 방정식을 만족한다.

k\,f(x_1, \ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1, \ldots,x_n).

반대로, 이 편미분 방정식의 모든 최대 연속 미분 가능 해는 양의 원뿔에서 정의된 차수

k

의 양의 동차 함수이다(여기서 '최대'는 해가 더 큰 영역을 가진 함수로 연장될 수 없음을 의미한다).^[3]

결과적으로, 만약

f : \R^n \to \R

가 연속 미분 가능하고 차수

k

의 동차 함수라면, 그것의 1차 편도함수

\partial f/\partial x_i

는 차수

k - 1

의 동차 함수이다.

4. 예시

모든 실수 x에 대하여 $f(x)=x^2$ 는 2차 동차함수이다. 모든 실수 $\lambda$ 에 대하여 다음이 성립하기 때문이다.

: $f(\lambda x)=(\lambda x)^2=\lambda ^2 x^2$

가장 기본적인 1차 함수 $f(x)=ax$ 의 경우에도 다음이 성립한다.

: $f(\lambda x)=\lambda ax$

함수 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 는 2차 동차 함수이다.

: $f(tx, ty) = (tx)^2 + (ty)^2 = t^2 \left(x^2 + y^2\right) = t^2 f(x, y).$

4. 1. 선형 함수

체 위의 벡터 공간 사이의 선형 사상

f : V \to W

는 선형성의 정의에 따라 1차 동차 함수이다. 즉, 모든

\alpha \in {F}

및

v \in V

에 대해 다음이 성립한다.

:

f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{v})

마찬가지로, 다중선형 함수

f : V_1 \times V_2 \times \cdots V_n \to W

는 다중선형성의 정의에 따라

n

차 동차 함수이다. 모든

\alpha \in {F}

및

v_1 \in V_1, v_2 \in V_2, \ldots, v_n \in V_n

에 대해 다음이 성립한다.

:

f\left(\alpha \mathbf{v}_1, \ldots, \alpha \mathbf{v}_n\right) = \alpha^n f(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n)

4. 2. 동차 다항식

n

개의 변수에 대한 단항식은 동차 함수를 정의한다. 예를 들어,

f(x, y, z) = x^5 y^2 z^3

는 다음과 같으므로 10차 동차 함수이다.

f(\alpha x, \alpha y, \alpha z) = (\alpha x)^5 (\alpha y)^2 (\alpha z)^3 = \alpha^{10} x^5 y^2 z^3 = \alpha^{10} f(x, y, z)

차수는 변수에 대한 지수의 합이며, 이 예에서

10 = 5 + 2 + 3

이다.

동차 다항식은 같은 차수의 단항식의 합으로 구성된 다항식이다. 예를 들어,

x^5 + 2x^3 y^2 + 9xy^4

는 5차 동차 다항식이다. 동차 다항식은 또한 동차 함수를 정의한다.

4. 3. 유리 함수

두 동차 다항식의 비로 표현되는 유리 함수는 분모가 0이 되는 점을 제외한 곳에서 동차 함수가 된다. 만약 ''f''가 동차 차수 ''m''을 가지고, ''g''가 동차 차수 ''n''을 가지면, 유리 함수 ''f''/''g''의 동차 차수는 ''m'' − ''n''이 된다.

4. 4. 절댓값과 노름

실수의 절댓값은 1차 양의 동차 함수이지만,

s>0

일 때

|sx|=s|x|

이고,

s<0

일 때

|sx|=-s|x|

이므로 동차 함수는 아니다.^[1]

복소수의 절댓값은 실수에 대해 1차 양의 동차 함수이다(즉, 복소수를 실수를 대상으로 하는 벡터 공간으로 간주할 때).^[1] 이는 실수와 복소수 모두에 대해 동차 함수가 아니다.^[1]

일반적으로, 모든 노름과 세미노름은 1차 양의 동차 함수이며, 동차 함수는 아니다.^[1] 절댓값의 경우와 마찬가지로, 노름 또는 세미노름이 복소수 위의 벡터 공간에서 정의되면, 양의 동차 함수의 정의를 적용하기 위해 이 벡터 공간은 실수 위의 벡터 공간으로 간주되어야 한다.^[1]

4. 5. Min/max

모든 가중치 집합

w_1, \dots, w_n

에 대해 다음 함수는 1차 양의 동차 함수이지만 동차 함수는 아니다.

$\min\left(\frac{x_1}{w_1}, \dots, \frac{x_n}{w_n}\right)$ (레온티예프 효용 함수)
$\max\left(\frac{x_1}{w_1}, \dots, \frac{x_n}{w_n}\right)$

5. 응용

동차함수는 미분 방정식과 분포(일반화 함수) 분야에서 응용된다.

5. 1. 미분 방정식

`v = y / x`로 치환하면 상미분 방정식

`I(x, y)dy/dx + J(x,y) = 0`

(여기서 `I`와 `J`는 같은 차수의 동차 함수)을 변수 분리형 미분 방정식으로 변환할 수 있다.

`x dv/dx = - J(1,v)/I(1,v) - v`

5. 2. 분포 (일반화 함수)

'''R'''^''n'' 위의 콤팩트 지지 집합을 갖는 연속 함수 ƒ가 동차 ''k''-차 함수가 되기 위한 필요충분 조건은 임의의 콤팩트 지지 집합을 갖는 시험 함수 ''φ''와 0이 아닌 실수 ''t''에 대해 다음이 성립하는 것이다.

:

\int_{\mathbb{R}^n} f(tx)\varphi(x)\, dx = t^k \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\varphi(x)\, dx

같은 의미로, 변수 변환을 수행하면, ƒ가 동차 ''k''-차 함수가 되기 위한 필요충분 조건은 임의의 ''t''와 시험 함수 ''φ''에 대해 다음이 성립하는 것이다.

:

t^{-n}\int_{\mathbb{R}^n} f(y)\varphi(y/t)\, dy = t^k \int_{\mathbb{R}^n} f(y)\varphi(y)\, dy

이를 통해 슈바르츠 초함수의 동차성을 정의할 수 있다. 즉, 슈바르츠 초함수 ''S''가 동차 ''k''-차 함수라는 것은 임의의 0이 아닌 실수 ''t''와 시험 함수 ''φ''에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다.

:

t^{-n}\langle S, \varphi\circ\mu_t\rangle = t^k\langle S,\varphi\rangle

여기서 산형 괄호 ⟨⟩는 슈바르츠 초함수와 시험 함수의 쌍대성 내적을 나타내며, 는 실수 ''t''에 의한 스칼라 곱셈 작용소를 나타낸다.

6. 일반화

모노이드 작용이 정의된 집합 `X`와 `Y`가 있고, 항등원 `1 ∈ M`을 가진 모노이드 `M`이 있을 때, 함수 `f : X → Y`를 생각해 볼 수 있다.

음이 아닌 정수 `k`에 대해, 모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해 다음 식이 성립하면,

:`f(mx) = m^k f(x)`

`f`를 `M`에 대한 `k`차 동차라고 한다.

`m ↦ |m|`으로 표시되는 함수 `M → M` (절댓값)이 존재하고, 모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해 다음 식이 성립하면,

:`f(mx) = |m|^k f(x)`

`f`를 `M`에 대한 `k`차 절대 동차라고 한다.

`M`에 대한 1차 동차 함수는 그냥 `M`에 대한 동차 함수, 1차 절대 동차 함수는 `M`에 대한 절대 동차 함수라고 부른다.

`m^k`가 정수가 아닌 `k`에 대해서도 정의될 수 있는 경우 (예를 들어, `M`이 실수이고 `k`가 0이 아닌 실수), 위와 같은 등식이 성립하면 `f`를 `M`에 대한 `k`차 동차라고 부를 수 있다.

:`f(mx) = m^k f(x)` (모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해)
`M`에 대한 `k`차 절대 동차의 개념도 비슷하게 일반화할 수 있다.

6. 1. 모노이드 작용에 대한 동차성

Monoid^영어 작용이 정의된 집합 `X`와 `Y`가 있고, 항등원 `1 ∈ M`을 가진 모노이드 `M`이 있을 때, 함수 `f : X → Y`를 생각해보자.

음이 아닌 정수 `k`에 대해, 모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해 다음 식이 성립하면,

:`f(mx) = m^k f(x)`

`f`를 `M`에 대한 `k`차 동차라고 한다.

`m ↦ |m|`으로 표시되는 함수 `M → M` (절댓값)이 존재하고, 모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해 다음 식이 성립하면,

:`f(mx) = |m|^k f(x)`

`f`를 `M`에 대한 `k`차 절대 동차라고 한다.

`M`에 대한 1차 동차 함수는 그냥 `M`에 대한 동차 함수, 1차 절대 동차 함수는 `M`에 대한 절대 동차 함수라고 부른다.

`m^k`가 정수가 아닌 `k`에 대해서도 정의될 수 있는 경우 (예를 들어, `M`이 실수이고 `k`가 0이 아닌 실수), 위와 같은 등식이 성립하면 `f`를 `M`에 대한 `k`차 동차라고 부를 수 있다.

:`f(mx) = m^k f(x)` (모든 `x ∈ X`와 `m ∈ M`에 대해)
`M`에 대한 `k`차 절대 동차의 개념도 비슷하게 일반화할 수 있다.

참조

_[1] 문서 f(rx) = r f(x)에 대한 설명
_[2] 문서 同次関数とも呼ぶ
_[3] 문서 英名は、Euler's homogeneous function theorem。日本語では同次関数に関する'''オイラーの定理'''と呼ぶことがある。

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