등거리변환

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 노름 공간 사이의 등거리 변환
- 4.1. 선형 등거리 변환
5. 다양체
- 5.1. 정의
- 5.2. 성질
6. 일반화
7. 직교 변환 및 유니타리 변환 (일본어 문서 내용)
8. 계량 (일본어 문서 내용)
참조

1. 개요

등거리 변환은 두 거리 공간 사이의 함수로, 두 점 사이의 거리를 보존한다. 등거리 변환은 단사 함수이며, 전단사일 경우 등거리 동형사상이라고 한다. 노름 공간에서 등거리 변환은 노름을 보존하는 선형 사상으로 정의되며, 내적 공간에서는 내적을 보존하는 사상으로 표현된다. 등거리 변환은 직교 변환과 유니타리 변환을 포함하며, 리만 다양체에서도 정의되어 기하학적 구조를 보존하는 변환으로 연구된다. 또한, 일반화된 개념으로 ε-등거리변환, 준 등거리변환 등이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

계량기하학 - 거리
거리는 수학에서 두 점 사이를 측정하는 함수, 물리학에서 물체의 위치 변화량, 일상생활에서 두 지점 사이의 길이를 의미하며, 국제단위계에서는 길이로 표현된다.
계량기하학 - 코시 열
코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.
함수와 사상 - 적분
적분은 아르키메데스가 고안하고 앙리 르베그가 완성한 미적분학의 핵심 개념으로, 도형의 면적과 부피를 구하는 데 사용되며 미분과 역의 관계를 갖고, 확률, 넓이, 부피 계산 등 다양한 분야에서 활용된다.
함수와 사상 - 지수 함수
지수 함수는 양의 상수 *a*를 밑으로 하는 *y = a^x* 형태의 함수이며, 특히 자연로그의 역함수인 *e^x*는 다양한 정의와 응용을 가지며 복소수로 확장될 수 있다.

등거리변환
개요
정의	두 거리 공간 사이의 거리를 보존하는 사상
다른 이름	등거리 변환, 합동 변환
관련 개념	위상 공간, 군론, 기하학
상세 내용
수학적 정의	두 거리 공간 , 사이의 사상 가 모든 점 , ∈ 에 대해 d}}(T(a), T(b)) = d}}(a, b)를 만족하면 는 등거리 사상이다.
성질	등거리 사상은 항상 단사 함수이다. 등거리 사상이 전사 함수이면 전단사 함수가 된다. 유클리드 공간 사이의 등거리 사상은 아핀 변환이다.
예시	유클리드 공간에서의 평행 이동, 회전, 반사 쌍곡 공간에서의 쌍곡 운동 군의 작용으로 정의되는 변환
활용 분야	기하학 암호학 데이터 압축
참고 문헌

2. 정의

거리 공간과 노름 공간에서 등거리 변환은 거리를 보존하는 중요한 개념이다.

거리 공간 $(X, d_X)$와 $(Y, d_Y)$ 사이의 등거리 변환 $f: X \to Y$는 임의의 두 점 $a, b \in X$에 대해 다음을 만족하는 함수이다.

:$d_X(a, b) = d_Y(f(a), f(b))$

즉, 두 점 사이의 거리가 함수 $f$를 통해 변환된 후에도 보존된다. 등거리 변환은 자동적으로 연속 함수이며, 단사 함수이다.
등거리 동형사상은 전단사 등거리 변환으로, 거리 공간 사이의 동형사상이다.

노름 공간 $(X, ||\cdot||_X)$와 $(Y, ||\cdot||_Y)$ 사이의 선형 등거리 변환 $f: X \to Y$는 노름을 보존하는 선형 변환이다. 즉, 임의의 $a \in X$에 대해 다음을 만족한다.

:$||a||_X = ||f(a)||_Y$

선형 등거리 변환은 항상 등거리 변환이다.

거리 공간에서 자신으로의 전단사 등거리 변환의 집합은 함수 합성에 대해 '''등거리군'''이라고 불리는 군을 형성한다.

또한, 곡선의 길이를 보존하는 사상인 '''경로 등거리 변환''' 또는 '''호별 등거리 변환'''도 있다.

2. 1. 거리 공간에서의 등거리 변환

(X,d_X)

와

(Y,d_Y)

가 거리 공간이라고 하자. 이 두 거리 공간 사이의 '''등거리 변환'''

f\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족하는 함수이다. 임의의

a,b\in X

에 대하여,

:

d_X(a,b)=d_Y(f(a),f(b))

.

등거리 변환은 자동적으로 연속 함수이다.

'''등거리 동형사상'''(isometric isomorphism^영어)은 전단사 등거리 변환이다. 이는 거리 공간 사이의 동형사상이다.

거리 공간을 갖는 계량 공간

X

와

Y

가 있고,

d_X

와

d_Y

는 각각의 계량(예: 거리)이라고 하자. 함수

f\colon X \to Y

는 모든

a, b \in X

에 대해, 다음과 같은 경우 '''등거리 변환''' 또는 '''거리 보존 사상'''이라고 한다.

:

d_X(a,b)=d_Y\!\left(f(a),f(b)\right).

^[4]

등거리 변환은 자동으로 단사 함수이다.

'''전역 등거리 변환''', '''등거리 동형 사상''' 또는 '''합동 사상'''은 전단사 함수인 등거리 변환이다.

두 개의 계량 공간 ''X''와 ''Y''는 ''X''에서 ''Y''로의 전단사 등거리 변환이 있는 경우 '''등거리'''라고 한다.

거리 공간 (*X*, *d*)의 임의의 원소를 *x*, *y*로 한다(*d*는 거리 함수). 이때, *X*에서 다른 거리 공간 (*X'*, *d'*)으로의 사상 *f*가,

:

d(x, y) = d' (f(x), f(y))

의 관계를 만족시킬 때, 사상 *f*는 '''거리를 보존한다''', 또는 *f*는 '''등장 사상'''이라고 한다. 정의로부터, 등장 사상이 단사라는 것을 바로 알 수 있다.

거리 공간 *X*, *Y* 사이에 거리를 보존하는 전단사 사상(isometry)이 존재할 때, *X*와 *Y*는 거리 공간으로서 등장(isometric)이라고 한다.

2. 2. 노름 공간에서의 등거리 변환

'''선형 등거리 변환'''(linear isometry^영어)은 노름 공간 사이에서 노름을 보존하는 선형 변환이다.

(X,\Vert\Vert_X)

와

(Y,\Vert\Vert_Y)

가 노름 공간일 때, 이 두 노름 공간 사이의 선형 등거리 변환

f\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족한다.

임의의

a\in X

에 대하여,

:

\Vert a\Vert_X=\Vert f(a)\Vert_Y

.

선형 등거리 변환은 등거리 변환이다.^[7]

두 노름 벡터 공간

V

와

W

가 주어졌을 때, 선형 등거리 변환은 노름을 보존하는 선형 맵

A : V \to W

이며, 모든

v \in V

에 대해 다음이 성립한다.

:

\|Av\|_W = \|v\|_V

노름 공간에서 벡터 공간 *X*의 노름을 || · ||_*X*로 나타낼 때, 사상 *f*: *X* → *X'*가 등장 사상이기 위한 조건은 다음과 같다.

:||*x* - *y*||_*X* = ||*f*(*x*) - *f*(*y*)||_*X'*

특히 *f*가 선형 사상이라면 이는 ||*x*||_*X* = ||*f*(*x*)||_*X'*와 같다.

2. 3. 경로 등거리 변환

거리 공간을 갖는 계량 공간에서 곡선의 길이를 보존하는 사상을 '''경로 등거리 변환''' 또는 '''호별 등거리 변환'''이라고 한다.^[5]^[6] 이러한 사상은 거리를 보존하는 등거리 변환일 필요는 없으며, 단사 함수이거나 전단사 함수일 필요도 없다. 종종 ''등거리 변환''으로 축약되므로, 어떤 유형이 의도되었는지 문맥에서 파악해야 한다.

예를 들어

x \mapsto |x|

는

\mathbb R

에서 ''경로 등거리 변환''이지만 (일반적인) 등거리 변환은 아니다. 등거리 변환과 달리, 이 경로 등거리 변환은 단사 함수일 필요가 없다.

3. 예시

모든 반사, 평행 이동 및 회전은 유클리드 공간에서 전역 등거리 변환이다. 유클리드 군 및 도 참고할 수 있다.
$x \mapsto |x|$ 는 $\mathbb R$ 에서 '경로 등거리 변환'이지만 (일반적인) 등거리 변환은 아니다. 일반적인 등거리 변환과 달리, 이 경로 등거리 변환은 단사 함수일 필요가 없다.^[5]^[6]

4. 노름 공간 사이의 등거리 변환

마주르-울람 정리에 따르면, 노름 공간 사이의 전사 등거리 변환이 0을 0으로 보내면 선형 등거리 변환이다. 이 정리는 다음과 같이 정의된다.

정의: 벡터 공간의 두 원소 x와 y의 중점은 벡터 $\frac{1}{2}(x+y)$ 이다.

정리: A : X → Y를 0을 0으로 보내는 노름 공간 사이의 전사 등거리 변환이라고 하자. (슈테판 바나흐는 이러한 사상을 '회전'이라고 불렀다.) 여기서 A가 선형 등거리 변환이라고 가정하지 않는다. 그러면 A는 중점을 중점으로 보내고, 실수 $\mathbb{R}$ 에 대한 사상으로서 선형이다. 만약 X와 Y가 복소 벡터 공간이라면, A는 $\mathbb{C}$ 에 대한 사상으로서 선형이 아닐 수 있다.^[1]^[2]

X를 노름 공간이라고 하고, X의 부분 집합 W에 대해, f(W) := {f(x) | x∈W}로 정의한다. X 내의 두 부분 집합 C, C'에 대해, 등장 사상 f가 존재하여 f(C') = C가 성립할 때, C와 C'는 합동이라고 한다. 또한, aC:= {ax | x∈C}로 했을 때, 어떤 양수 k가 존재하여 f(C') = kC가 성립하면, C와 C'는 닮음이라고 한다.

X가 계량 벡터 공간이고, ||x|| = <x, x>^1/2이며, f가 선형 변환이라면, f는 내적을 보존한다. 이는 다음과 같이 확인할 수 있다. X의 원소 x, y에 대해, 내적의 실부는 다음과 같다.

$\Re\langle f(x),f(y) \rangle$
	$= \frac{1}{2}($	x+y	^2-	x	^2-	y	^2)
	$=\Re\langle x,y \rangle$

허부가 같다는 것은, x를 -ix로 치환하면 <-ix, y>의 실부가 <x, y>의 허부와 같다는 것으로부터 확인할 수 있다. 역으로 내적을 보존하면 등장 사상이 된다.

4. 1. 선형 등거리 변환

노름 공간 사이의 '''선형 등거리 변환'''(linear isometry^영어)은 노름을 보존하는 선형 변환이다.

(X,\Vert\Vert_X)

와

(X,\Vert\Vert_Y)

가 노름 공간일 때, 이 두 노름 공간 사이의 선형 등거리 변환

f\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족한다.

:

\Vert a\Vert_X=\Vert f(a)\Vert_Y

(임의의

a\in X

에 대하여)

선형 등거리 변환은 등거리 변환이다.

내적 공간에서 위 정의는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\langle v, v \rangle_V = \langle Av, Av \rangle_W

(모든

v \in V

에 대해)

이는

A^\dagger A = \operatorname{Id}_V

임을 의미하며, 내적을 보존한다는 것을 뜻한다.

:

\langle A u, A v \rangle_W = \langle u, A^\dagger A v \rangle_V = \langle u, v \rangle_V

.

선형 등거리 변환이 항상 유니타리 연산자인 것은 아니다. 유니타리 연산자가 되려면

V = W

이고

A A^\dagger = \operatorname{Id}_V

(즉, 정의역과 공역이 일치하고

A

가 코아이소메트리를 정의함)를 추가로 만족해야 한다.

힐베르트 공간에 대한 등거리 전사 선형 연산자는 유니타리 연산자라고 한다.^[7]

마주르-울람 정리에 따르면,

\mathbb{R}

에 대한 노름 벡터 공간의 모든 등거리 변환은 아핀 변환이다.

선형 등거리 변환은 각도를 보존하므로, 등각 선형 변환이다.

'''예시'''

$\mathbb{C}^n$ 에서 자기 자신으로의 선형 맵은 (점곱)에 대해, 해당 행렬이 유니타리 행렬일 때에만 등거리 변환이다.^[8]^[9]

5. 다양체

다양체의 등거리변환은 해당 다양체를 자신 또는 점 사이의 거리에 대한 개념을 보존하는 다른 다양체로 매핑하는 (매끄러운) 매핑이다. 등거리변환의 정의에는 다양체에 대한 메트릭 개념이 필요하다. 양의 정부호 메트릭이 있는 다양체는 리만 다양체이고, 부정 메트릭이 있는 다양체는 유사 리만 다양체이다. 따라서 등거리변환은 리만 기하학에서 연구된다.

하나의 (유사)-리만 다양체에서 다른 다양체로의 '''국소 등거리변환'''은 두 번째 다양체의 메트릭 텐서를 첫 번째 다양체의 메트릭 텐서로 당겨오는 맵이다. 이러한 맵이 미분동형사상이면, '''등거리변환''' (또는 '''등거리 동형사상''')이라고 하며, 리만 다양체의 범주 '''Rm'''에서 동형사상 ("같음") 개념을 제공한다.

5. 1. 정의

다양체의 등거리변환은 해당 다양체를 자신 또는 점 사이의 거리에 대한 개념을 보존하는 다른 다양체로 매핑하는 모든 (매끄러운) 매핑이다.

등거리변환의 정의에는 다양체에 대한 메트릭의 개념이 필요하다. (양의 정부호) 메트릭이 있는 다양체는 리만 다양체이고, 부정 메트릭이 있는 다양체는 유사 리만 다양체이다. 따라서 등거리변환은 리만 기하학에서 연구된다.

하나의 (유사-)리만 다양체에서 다른 다양체로의 '''국소 등거리변환'''은 두 번째 다양체의 메트릭 텐서를 첫 번째 다양체의 메트릭 텐서로 당겨오는 맵이다. 이러한 맵이 또한 미분동형사상일 때, 이러한 맵은 '''등거리변환''' (또는 '''등거리 동형사상''')이라고 불리며, 리만 다양체의 범주 '''Rm'''에서 동형사상 ("같음")의 개념을 제공한다.

R = (M, g)

와

R' = (M', g')

를 두 개의 (유사-) 리만 다양체라고 하고,

f : R \to R'

를 미분 동형사상이라고 하자. 그러면

f

는 다음 조건과 동치이다.

'''등거리 변환''' (또는 '''등거리 동형사상''')
$g = f^{*} g'$

여기서

f^{*} g'

는

f

에 의한 랭크 (0, 2) 계량 텐서

g'

의 당김을 나타낸다.

동등하게, 밀어내기

f_{*}

의 관점에서,

M

위의 임의의 두 벡터장

v, w

(즉, 접다발

\mathrm{T} M

의 단면)에 대해 다음이 성립한다.

:

g(v, w) = g' \left( f_{*} v, f_{*} w \right)

만약

f

가

g = f^{*} g'

을 만족하는 국소 미분 동형사상이면,

f

를 '''국소 등거리 변환'''이라고 한다.

5. 2. 성질

다양체의 등거리변환은 해당 다양체를 자신 또는 점 사이의 거리를 보존하는 다른 다양체로 매핑하는 모든 매끄러운 매핑이다. 등거리 변환들의 모임은 일반적으로 등거리 변환군을 형성한다. 이 군이 연속군일 때, 이 군의 무한소 생성자는 킬링 벡터장이다.

마이어스-슈테인로드 정리에 따르면, 두 개의 연결된 리만 다양체 사이의 모든 등거리 변환은 매끄럽다(미분 가능하다). 또한, 리만 다양체의 등거리 변환군은 리 군이다.

대칭 공간은 모든 점에서 등거리 변환이 정의된 리만 다양체의 중요한 예이다.

6. 일반화

ε-등거리 변환(거의 등거리 변환, 하우스도르프 근사라고도 함)은 거리 공간 사이의 함수 $f \colon X \to Y$ 에서 다음 조건을 만족하는 변환이다.

$x, x' \in X$ 에 대해 $|d_Y(f(x),f(x')) - d_X(x,x')| < \varepsilon$
모든 점 $y \in Y$ 에 대해 $d_Y(y, f(x)) < \varepsilon$ 인 점 $x \in X$ 가 존재.

즉, ε-등거리 변환은 거리를 ε 이내로 보존하고, 공역의 어떤 요소도 정의역 요소의 이미지로부터 ε 이상 떨어져 있지 않다. ε-등거리 변환은 연속 함수일 필요가 없다.

제한 등거리 특성은 희소 벡터에 대한 거의 등거리 행렬을 특징짓는다.

준 등거리변환은 또 다른 유용한 일반화이다.

추상적인 유니탈 C*-대수에서,

a \in \mathfrak{A}

가

a^* \cdot a = 1.

일 때

a

를 등거리 변환으로 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 왼쪽 역이 오른쪽 역을 갖는다는 것을 의미하지 않으므로, 반드시 유니타리 요소는 아니다.

유사 유클리드 공간에서 "등거리 변환"이라는 용어는 크기를 보존하는 선형 전단사를 의미한다. 이차 공간도 참조하라.

7. 직교 변환 및 유니타리 변환 (일본어 문서 내용)

''X''가 실벡터 공간일 때, 선형 등거리 변환으로 '''직교 변환'''이 대응한다. 이는 직교 행렬 ''T''를 사용하여 ''Tx''로 쓸 수 있다. 복소 벡터 공간에서는 유사한 사상에 '''유니타리 변환''' (및 그 행렬 표현인 유니타리 행렬)이 대응한다.

일반적으로 실벡터 공간 내의 등거리 사상은 직교 행렬 ''T''와 어떤 벡터 ''a''를 사용하여 ''Tx'' + ''a''로 쓸 수 있다(아핀 변환). 이 중, |''T''| = 1인 것을 특히 유클리드 운동이라고 부른다. 이는 "회전"·"평행 이동"의 두 가지를 합성하여 만들 수 있다. 상술한 바와 같이, 등거리 사상은 유클리드 공간의 도형 사이의 합동을 가져오지만, 더욱 일반적으로, 리만 다양체 사이의 등거리 사상(각 점의 미분이 등거리 사상이 되는 것으로 정의된다.)은 그 구조를 모두 보존한다. 이러한 등거리 사상은 '''운동'''이라고 불리며, 운동 전체는 어떤 군을 이룬다.

8. 계량 (일본어 문서 내용)

''X''를 노름 공간으로 한다. ''X''의 부분 집합 ''W''에 대해, ''f''(''W'') := {''f''(''x'') | ''x''∈''W''}로 한다. ''X'' 내의 두 부분 집합 ''C'', ''C'''에 대해, 등장 사상 ''f''가 존재하여 ''f''(''C' '') = ''C''가 성립할 때, ''C''와 ''C'''는 '''합동'''이라고 한다. 또한, ''aC'':= {''ax'' | ''x''∈''C''}로 했을 때, 어떤 양수 ''k''가 존재하여 ''f''(''C' '') = ''kC''가 성립하면, ''C''와 ''C'''는 '''닮음'''이라고 한다.

''X''가 계량 벡터 공간이고, ||''x''|| = <''x'', ''x''>^1/2이며, ''f''가 선형 변환이라면, ''f''는 내적을 보존한다. 이는 다음과 같이 알 수 있다. ''X''의 원소 ''x'', ''y''에 대해, 내적의 실부에 관하여

식
$\Re\langle f(x),f(y) \rangle = \frac{1}{2}($	f(x)+f(y)	^2 -	f(x)	^2 -	f(y)	^2)
$= \frac{1}{2}($	x+y	^2-	x	^2-	y	^2) = \Re\langle x,y \rangle

가 된다. 허부가 같다는 것은, ''x''를 -''ix''로 치환하면 <-''ix'', ''y''>의 실부가 <''x'', ''y''>의 허부와 같다는 것으로부터 확인할 수 있다. 역으로 내적을 보존하면 물론 등장 사상이 된다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 논문 On isometries of Euclidean spaces https://www.ams.org/[...]
_[5] 웹사이트 Lipschitz and path isometric embeddings of metric spaces https://link.springe[...] 2013-10-01
_[6] 서적 A course in metric geometry Providence, RI: American Mathematical Society (AMS) 2001
_[7] 서적 Lineær algebra Aarhus University
_[8] 논문 Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding
_[9] 논문 Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds 2003-06

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com