모서리
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
1. 개요
변은 기하학에서 선분으로 정의되며, 다각형, 그래프, 복합체 등 도형의 일부를 이룬다. 다각형의 변은 인접한 두 꼭짓점을 연결하는 선분이며, 다면체의 변은 두 면이 만나는 선분이다. 그래프 이론에서 변은 두 정점을 연결하는 추상적인 객체로, 다면체의 변과는 다르다. 고차원 볼록 다면체에서는 차원에 따라 변의 개념이 다르게 정의되며, 다각형의 변은 면, 3차원 다면체의 변은 모서리, 4차원 다포체의 변은 꼭짓점에 해당한다.
변은 선분이며, 일반적인 기하학에서는 직선을 가리킨다. 하지만 위상수학 등에서는 굽어 있는 것도 변이라고 부를 수 있다.[1]
그래프 이론에서 변(간선)은 두 정점을 연결하는 추상적인 객체로, 다각형이나 다면체의 변과는 달리 반드시 선분일 필요는 없다. 변은 보통 직선인 선분을 가리키지만, 위상수학적인 문맥 등에서는 굽어 있어도 변이라고 부를 수 있다.
2. 기하학적 정의
변을 포함하는 도형으로는 다각형, 그래프 이론에서의 그래프, 단순 복합체 등이 있다.[1]
변은 꼭짓점이라고 불리는 점의 집합 ''V''의 부분 집합으로 이루어진 집합족 ''D''를 도형으로 간주하여 정확하게 정의할 수 있다. ''V''의 두 꼭짓점 ''v'', ''w''에 대해, ''D''에 포함되는 {''v''}, {''w''}, {''v'', ''w''} 형태 (또는 여기에 공집합을 포함한 형태)로 표현되는 집합, 또는 {''v'', ''w''}의 멱집합에 순서 동형인 집합이 변이다.[1] 유클리드 공간 내의 점 집합을 도형으로 간주하는 입장에서는, 이러한 ''D''와 도형이 일대일로 대응한다고 보기 어렵다.[1]
변 위에는 무수한 점이 있으며, 꼭짓점을 정해도 변이 유일하게 결정되는 것은 아니다. 그럼에도 불구하고, 변은 이러한 방법을 통해 도형 안의 "부분"으로서 특징지어진다.[1]
2. 1. 다각형의 변
다각형에서 변은 인접한 두 꼭짓점을 연결하는 선분이다. 다각형의 종류 (삼각형, 사각형, 오각형 등)에 따라 변의 개수가 결정된다.
2. 2. 다면체의 변
다면체에서 변은 두 면이 만나는 선분이다. 위상수학적인 문맥 등, 경우에 따라서는 굽어 있어도 변이라고 부를 수 있다.
볼록 다면체의 표면은 오일러 지표
:V - E + F = 2
를 갖는다. 여기서 ''V''는 꼭짓점의 수, ''E''는 모서리의 수, ''F''는 면의 수이다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 모서리의 수는 꼭짓점과 면의 수의 합보다 2만큼 적다. 예를 들어, 정육면체는 8개의 꼭짓점과 6개의 면을 가지므로 12개의 모서리를 갖는다.
3. 그래프 이론에서의 변
:등식에서 등호를 사이에 둔 양쪽의 대상을 각각 변 (side)이라고 부르는 것과는 다른 개념이다.
변을 포함하는 도형으로는 다각형, 그래프, 단순 복합체 등이 있다.
3. 1. 다면체와 그래프의 관계
모든 다면체는 꼭짓점이 다면체의 기하학적 꼭짓점이고 변이 기하학적 변에 해당하는 그래프인 골격으로 표현될 수 있다.[6] 반대로, 3차원 다면체의 골격인 그래프는 슈타이니츠 정리에 의해 3-정점 연결 평면 그래프로 특징지을 수 있다.[7]
4. 고차원 도형에서의 변
고차원 볼록 다면체 이론에서, ''d''차원 다면체의 (''d'' - 1)차원 특징을 ''면''(facet)이라고 하고, ''모서리''(ridge)는 (''d'' - 2)차원 특징이며, ''꼭지점''(peak)은 (''d'' - 3)차원 특징이다.[10] 따라서 다각형의 변은 면이고, 3차원 볼록 다면체의 변은 모서리이며, 4차원 다포체의 변은 꼭지점에 해당한다.[10]
5. 기타
발린스키 정리에 따르면, ''d''차원 볼록 다면체의 모든 꼭짓점에서는 최소 ''d''개의 모서리가 만난다.[8] 다면체에서는 정확히 두 개의 2차원 면이 각 모서리에서 만나며,[9] 고차원 다면체에서는 셋 이상의 2차원 면이 각 모서리에서 만날 수 있다.
참조
[1]
서적
Lectures on Polytopes
https://books.google[...]
Springer
[2]
웹사이트
Polygon Edge
http://mathworld.wol[...]
[3]
웹사이트
Polytope Edge
http://mathworld.wol[...]
[4]
서적
Foundations of Geometry
McGraw-Hill
[5]
서적
Foundations of Geometry
McGraw-Hill
[6]
서적
Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination
https://books.google[...]
Springer
[7]
간행물
Geometry at work
https://books.google[...]
Math. Assoc. America
[8]
논문
On the graph structure of convex polyhedra in ''n''-space
http://projecteuclid[...]
[9]
서적
Polyhedron Models
https://books.google[...]
Cambridge University Press
[10]
간행물
Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86)
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
문의하기 : help@durumis.com