모형 이론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 1차 논리
4. 보편 대수학
5. 유한 모형 이론
6. 집합론과의 관계
7. 안정성 이론
8. 응용
9. 주요 개념
참조

1. 개요

모형 이론은 20세기 초 수리 논리학의 발전과 함께 시작되어, 1차 논리를 중심으로 발전해왔다. 1차 논리는 모형 이론에서 가장 널리 사용되는 논리 체계이며, 일차 논리식, 문장, 이론, 모형 등의 개념을 사용한다. 보편 대수학은 모형 이론의 특수한 경우로, 등식 이외의 관계를 포함하지 않고 방정식적인 이론의 모형들을 다룬다. 유한 모형 이론은 1차 논리 등 논리적 언어를 유한한 구조에 적용하는 것을 연구하며, 유한군, 그래프, 컴퓨터적 모형 등을 다룬다. 모형 이론은 집합론의 상대적 무모순성 증명, 안정성 이론, 대수학, 해석학 등 다양한 수학 분야에 응용되며, 시그니처, 구조, 정의 가능 집합, 최소성, 해석 가능성, 형, 모형 구성, 범주성 등의 주요 개념을 다룬다.

더 읽어볼만한 페이지

모형 이론 - 괴델의 불완전성 정리
괴델의 불완전성 정리는 산술을 표현할 수 있는 무모순적 공리계는 그 안에서 증명하거나 반증할 수 없는 명제가 존재하며, 특히 체계 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 수학적 논리 분야의 핵심 정리이다.
모형 이론 - 괴델의 완전성 정리
괴델의 완전성 정리는 1차 논리 이론에서 모형 이론적 진리와 증명 이론적 진리가 같음을 나타내며, 연역 체계가 완전함을 보장하고 일차 논리에서 통사론적 결과와 의미론적 결과가 동일하다는 것을 의미한다.
수리논리학 - NAND 게이트
NAND 게이트는 모든 입력이 1일 때 0을 출력하고 그 외에는 1을 출력하는 논리 게이트로서, 다양한 기호로 표현되며, AND 연산의 결과를 부정하는 연산을 수행하고, 여러 방식으로 구현될 수 있으며, 기능적으로 완전하여 디지털 회로 설계에 필수적이다.
수리논리학 - 셈
셈은 대상의 개수를 파악하는 기본적인 행위로, 수학에서는 집합의 원소 개수를 파악하는 과정으로 정의되며, 셈의 방식에 따라 결과가 달라질 수 있고, 셈을 배우는 과정은 아동의 교육 및 발달에 중요한 역할을 한다.
수학 - 회귀 분석
회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
수학 - 수학적 최적화
수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.

모형 이론
개요
분야	수학, 논리학, 철학
하위 분야	집합론 증명론 재귀 이론 모형 이론
주요 개념
기본 개념	구조 문장 이론
관련 개념	괴델의 완전성 정리 뢰벤하임-스콜렘 정리 초곱 포화 모형 범주적 이론 안정성 이론
주요 인물
초기 기여자	알프레트 타르스키 쿠르트 괴델 토랄프 스콜렘 아브라함 로빈슨
현대 기여자	사하라온 셸라흐 에후드 허디 그레고리 흐루숄츠키 보리스 질버

2. 역사

수리 논리학에서 모형 이론은 20세기 초 괴델의 완전성 정리, 뢰벤하임-스콜렘 정리, 콤팩트성 정리 등이 발표되면서 현대적인 형태로 출발했다. 레오폴트 뢰벤하임이 1915년에 발표한 하향 뢰벤하임-스콜렘 정리는 모형 이론의 초기 발전에 중요한 역할을 했다.^[52] 토랄프 스콜렘의 연구에서 싹을 보인 콤팩트성 정리는^[64] 1930년 쿠르트 괴델의 완전성 정리 증명의 보조 정리로 처음 발표되었다. 1936년과 1941년 아나톨리 말체프는 뢰벤하임-스콜렘 정리와 콤팩트성 정리를 일반적인 형태로 형식화했다.

알프레트 타르스키는 의미론적 진리 정의를 통해 모형 이론의 발전에 크게 기여했으며,^[51] 그의 의미론적 방법은 1950년대와 60년대에 그의 버클리 대학교 학생들과 함께 개발한 모형 이론에서 절정에 달했다.

1960년대에는 초곱 구성이 도입되어 대수학에서 새로운 응용 분야가 열렸다.^[54] 제임스 액스와 사이먼 B. 코헨은 액스-코헨 정리를 증명하여 유한체 이론 연구에 기여했다. 아브라함 로빈슨은 비표준 해석학을 개발하여 무한소를 엄밀하게 다루는 방법을 제시했다.

샤론 셸라는 안정성 이론을 발전시켜 모형 이론의 새로운 지평을 열었다.^[55] 최근에는 기하학적 안정성 이론이 발전하여 대수 기하학과 디오판토스 기하학 등 여러 분야에 응용되고 있다.

3. 1차 논리

1차 논리는 모형 이론에서 가장 널리 사용되는 논리 체계이다. 자유 변수가 없는 논리식을 문장(sentence)이라 하고, 문장들의 집합을 이론(theory)이라 한다. 어떤 이론 내의 모든 문장을 만족시키는 논리적 구조를 이론의 모형(model)이라 한다. 모형 이론은 1차 논리의 의미론을 이룬다.

일차 논리식은 $R(f(x,y),z)$ 또는 $y=x+1$ 과 같은 원자 논리식으로 구성되며, 부울 연결사 $\neg,\land,\lor,\rightarrow$ 와 한정사 $\forall v$ 또는 $\exists v$ 를 사용하여 만들어진다. 문장은 변수의 각 발생이 해당 한정사의 범위 내에 있는 논리식이다. 논리식의 예시는 다음과 같다. $\varphi$ (또는 $\varphi(x)$ 는 $\varphi$ 에서 $x$ 가 자유 변수임을 나타냄) 및 $\psi$ (또는 $\psi(x)$ )는 다음과 같이 정의된다.

: $\begin{array}{lcl} \varphi & = & \forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1,\\\psi & = & \forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor(v=x))\land x\ne 0\land x\ne1. \end{array}$

(여기서 등호 기호는 이중의 의미를 갖는다.) 이러한 논리식을 수학적 의미로 변환하는 방법은 직관적으로 명확하다. 예를 들어, 자연수 0과 1에 대한 상수와 덧셈 및 곱셈에 대한 이항 함수를 가진 구조로 간주되는 자연수의 반환 $\mathcal N$ 에서, 요소 $n$ 이 $\varphi$ 를 "만족"하는 것은 $n$ 이 소수일 때만 해당한다. 논리식 $\psi$ 는 이와 유사하게 기약성을 정의한다. 타르스키는 만족 관계 $\models$ 에 대한 엄격한 정의( "타르스키의 진리 정의")를 제공했으며, 이를 통해 다음을 쉽게 증명할 수 있다.

: $\mathcal N\models\varphi(n) \iff n$ 은 소수이다.

: $\mathcal N\models\psi(n) \iff n$ 은 기약이다.

문장의 집합 $T$ 는 (일차) 이론이라고 하며, 집합의 문장을 공리로 사용한다. 이론은 "모형" $\mathcal M\models T$ , 즉 집합 $T$ 의 모든 문장을 만족하는 구조(적절한 시그니처)를 가지고 있는 경우 "만족가능"하다. 완전한 이론은 모든 문장 또는 그 부정을 포함하는 이론이다. 구조에 의해 만족되는 모든 문장의 완전한 이론은 "해당 구조의 이론"이라고도 한다.

괴델의 완전성 정리(괴델의 불완전성 정리와 혼동하지 말 것)에 따르면 이론이 무모순일 경우에만 모형을 갖는다. 즉, 이론에 의해 모순이 증명되지 않는다. 따라서 모형 이론가들은 종종 "무모순"을 "만족가능"의 동의어로 사용한다.

모형 이론은 일반적으로 1차 술어 논리와 결합되어 있으며, (완전성이나 콤팩트성과 같은) 많은 중요한 결과는 2차 술어 논리나 다른 대체 이론에서는 성립하지 않는다. 1차 술어 논리에서는 모든 무한 농도는 가산인 언어에 대해서는 동일하게 보인다. 이것은 뢰벤하임-스콜렘 정리에서 다음과 같이 표현된다. 무한 모델 $\mathfrak{A}$ (적어도 그 언어의 무한 모델)을 갖는 모든 가산 이론은, 모든 문장에서 $\mathfrak{A}$ 와 일치하는 모든 무한 농도의 모델을 갖는다. 즉, 그들은 '초등 동치'이다.

4. 보편 대수학

보편 대수학(universal algebra)은 모형 이론의 특수한 경우로, (등식 이외의) 관계를 포함하지 않고 모든 공리가 방정식적인 이론의 모형들을 다룬다. 추상 대수학을 일반화하여 대수 구조를 연구하는 데 사용된다.

보편 대수학의 주요 개념은 부호수(signature) σ와 그것에 의해 규정되는 구조인 σ-대수(σ-algebra)이다. 예시는 다음과 같다.

환의 표준적인 부호수는 σ_ring = {×,+,−,0,1}이며, 여기서 × 와 +는 이항 연산, −는 단항 연산, 0 과 1는 무항(無項) 연산이다. 반환의 경우 여기서 - 연산을 제외한 것으로 볼 수 있다.
군의 표준적인 부호수는 σ_grp = {×,⁻¹,1}이며, 여기서 ⁻¹는 단항 연산이다.
환은 다음의 특성들을 '만족'시키는 σ_ring-구조라 할 수 있다. u + (v + w) = (u + v) + w, u + v = v + u, u + 0 = u, u + (−u) = 0, u × (v × w) = (u × v) × w, u × 1 = u, 1 × u = u, u × (v + w) = (u × v) + (u × w), (v + w) × u = (v × u) + (w × u).
군은 u × (v × w) = (u × v) × w, u × 1 = u, 1 × u = u, u × u−1 = 1, u−1 × u = 1를 만족시키는 σ-대수구조이다.
반군은 특성 u × (v × w) = (u × v) × w를 만족시키는 {×}-구조이고, 마그마는 그냥 {×}-구조이다.

이는 대수 구조들의 클래스를 정의하기에 아주 적합한 방식으로, 준동형 사상을 일반화시킨 σ-준동형(σ-homomorphism)이라는 것도 정의될 수 있기 때문이다.

보편대수학에 있어서 중요한 도구로는 초곱(ultraproduct)이라는 개념이 있다. 초곱

\Pi_{i\in I}A_i/U

라 표현할 때, I는 σ-구조 ''A_i''의 체계에 일종의 색인을 붙이는 무한 집합이고, U는 I의 초필터(ultrafilter)이다.

5. 유한 모형 이론

유한 모형 이론은 1차 논리 등 논리적 언어를 유한한 구조에 적용하는 것을 연구하는 분야이다. 형식 언어(구문론)와 그 해석(의미론) 간의 관계를 다루며, 1차 논리가 무한한 구조에 관한 모형론의 표준적인 논리체계인 것과는 대비된다. 유한한 구조로는 유한군, 그래프, 컴퓨터적 모형 따위가 있을 수 있다.

유한 구조로 제한하면 고전적 모형 이론의 많은 핵심 결과가 성립하지 않는데, 여기에는 콤팩트성 정리, 괴델의 완전성 정리, 그리고 일차 논리에 대한 초곱 방법이 포함된다.^[57] 유한 모형 이론과 무한 모형 이론의 경계에는 알고리즘적 또는 계산 가능한 모형 이론과 0-1 법칙 연구가 있으며, 여기서 구조 클래스의 일반적인 이론의 무한 모형은 유한 모형의 분포에 대한 정보를 제공한다.^[58]

유한 모형 이론의 주요 적용 분야는 기술적 복잡성 이론, 데이터베이스 이론 및 형식 언어 이론이다.^[59] 유한 모형 이론은 보편 대수와 밀접하게 관련되어 있으며, 보편 대수의 일부 분야와 마찬가지로, 그리고 모형 이론의 다른 분야와는 달리, 주로 유한 대수, 또는 더 일반적으로 시그니처 σ의 유한 σ-구조를 대상으로 한다.

6. 집합론과의 관계

집합론에서 상대적 무모순성을 증명할 때 모형 이론적 관점이 유용하게 사용된다. 쿠르트 괴델은 선택 공리와 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론의 다른 공리들과 모순되지 않음을 증명하기 위해 모형 이론을 사용했다. 그는 구성 가능한 집합들을 모은 구성 가능 전체를 구성하여 선택 공리와 일반화 연속체 가설이 성립함을 보였다.^[60]

뢰벤하임-스콜렘 정리에서 비롯된 스콜렘 역설에 따르면, 무모순적인 공리적 집합론은 가산 모형을 갖는다. 이는 집합론에 비가산 집합의 존재를 상정하는 진술이 있음에도, 가산 모형 내에서 참이 된다는 점에서 비직관적일 수 있다. 폴 코언은 연속체 가설 증명 과정에서 모형 내에서는 비가산, 모형 외부에서는 가산으로 보이는 집합 개념을 사용했다.^[60]

구성 가능성 공리, 큰 기수 공리 등 새로운 공리 연구에 모형 이론이 핵심적인 역할을 한다.^[61]

7. 안정성 이론

샤론 셸라가 발전시킨 안정성 이론은 모형의 복잡성을 분류하고, 모형 내에서 정의 가능한 집합의 구조를 연구하는 분야이다.^[32] 안정적인 이론의 모든 모형은 일반화된 연속체 가설이 참인지 여부에 관계없이 포화된 기본 확장을 갖는다.^[35]

이론이 비가산적으로 범주적이면 $\omega$ -안정적이다. 안정성 위계는 또한 이론의 모형 내에서 정의 가능한 집합의 기하학을 분석하는 데 매우 중요하다. $\omega$ -안정적 이론에서 모리 랭크는 모형 내의 정의 가능한 집합 ''S''에 대한 중요한 차원 개념이며, 초한 귀납법으로 정의된다.^[34]

모리 랭크는 ''S''가 비어 있지 않은 경우 0 이상이다.
''α''가 후속 서수인 경우, 모리 랭크는 ''M''의 어떤 기초 확장 ''N''에서 집합 ''S''가 랭크가 최소한 ''α'' − 1인 무한히 많은 서로소인 정의 가능한 부분 집합을 가질 경우, 최소한 ''α''이다.
''α''가 0이 아닌 극한 서수인 경우, 모리 랭크는 ''α'' 미만의 모든 ''β''에 대해 최소한 ''β''인 경우 최소한 ''α''이다.

모든 정의 가능한 집합이 잘 정의된 모리 랭크를 갖는 이론 ''T''는 ''전체 초월적''이라고 한다. ''T''가 가산적이면, ''T''는 ''T''가

\omega

-안정적인 경우에만 전체 초월적이다. 모리 랭크는 형식 내 공식의 모리 랭크 최솟값으로 설정하여 형식으로 확장할 수 있다. 따라서 매개변수 집합 ''A'' 위 원소 ''a''의 형식의 모리 랭크로 정의되는 ''A'' 위 원소 ''a''의 모리 랭크도 이야기할 수 있다.

이론이 초안정적(U-랭크)이거나 안정적(셸라의

\infty

-랭크)인 경우에만 잘 정의되는 모리 랭크 유사체도 있다. 이런 차원 개념은 독립성과 일반적 확장 개념을 정의하는 데 사용된다.

기하학적 안정성 이론은 안정성 이론을 발전시켜 대수 기하학 등 다른 분야와 연관성을 탐구한다.

8. 응용

모형 이론은 대수학, 해석학, 조합론 등 다양한 수학 분야에 응용된다.

대수적 구조 연구: 실수 닫힌 체, 부울 대수, 대수적으로 닫힌 체 등 다양한 대수적 구조의 성질을 밝히는 데 사용되었다.^[43]^[44] 타르스키는 양화사 제거를 통해 실수 닫힌 체와 대수적으로 닫힌 체의 일차 이론이 결정 가능함을 증명했다.^[43]^[44]
정수론 문제 해결: 디오판토스 기하학 분야의 모델-랑 추측과 같은 문제 해결에 기여했다.^[48] 액스-코헨 정리 증명에도 활용되었다.^[46]
비표준 해석학 개발: 아브라함 로빈슨은 모형 이론을 사용하여 무한소를 엄밀하게 다루는 비표준 해석학을 개발했다.^[47]
기타 분야 응용: 전산학, 기계 학습, 인공지능 등 분야에서 NIP (모형 이론) 이론 등이 활용된다.^[50] NIP 이론은 기계 학습 이론에서 PAC-학습 가능한 클래스를 설명하는 데 사용된다.^[50]

9. 주요 개념

모형 이론은 수학적 구조를 논리적 관점에서 연구하는 분야로, 보편 대수와 논리의 결합으로 볼 수 있다.^[4] 이는 대수 기하학에서 체를 제외한 것과 유사한 개념으로, 논리적 공식과 정의 가능한 집합 간의 관계를 탐구한다.^[5]
일차 논리일차 논리는 모형 이론의 핵심 도구이다. 일차 논리식은 $R(f(x,y),z)$ 또는 $y=x+1$ 과 같은 원자 논리식과 부울 연결사( $\neg,\land,\lor,\rightarrow$ ), 한정사( $\forall v$ , $\exists v$ )를 조합하여 구성된다. 변수가 한정사의 범위 안에 있는 논리식을 문장(sentence)이라고 한다.

예를 들어, 자연수 집합 $\mathcal N$ 에서 다음 논리식 $\varphi$ 는 소수를, $\psi$ 는 기약원을 정의한다.

: $\begin{array}{lcl} \varphi & = & \forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1,\\\psi & = & \forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor(v=x))\land x\ne 0\land x\ne1. \end{array}$

타르스키의 진리 정의는 만족 관계( $\models$ )를 엄밀하게 정의하여, $\mathcal N\models\varphi(n)$ 은 $n$ 이 소수임을, $\mathcal N\models\psi(n)$ 은 $n$ 이 기약원임을 의미한다.^[9]
이론과 모형문장들의 집합 $T$ 를 일차 이론이라고 하며, 이 문장들을 공리로 사용한다. 이론이 모형을 가지면 만족가능하다고 한다. 괴델의 완전성 정리에 따르면, 이론은 무모순일 경우에만 모형을 갖는다. 따라서 모형 이론가들은 "무모순"과 "만족가능"을 동의어로 사용한다.
구조, 부분구조, 임베딩시그니처는 비논리적 기호(상수, 함수, 관계)의 집합이다. 구조는 집합 $M$ 과 시그니처의 각 기호에 대한 해석으로 구성된다. 예를 들어, 정렬된 환의 시그니처는 $\sigma_{or}=(0,1,+,\times,-,<)$ 이며, 구조 $(\Q,\sigma_{or})$ 는 유리수 집합에서 일반적인 의미로 해석된다.

부분구조는 함수의 닫힘성을 만족하고, 원소적 부분구조는 모든 일차 논리식을 만족하는 부분구조이다. 임베딩은 구조를 다른 구조의 부분구조와 동형으로 만드는 사상이며, 원소적 임베딩은 원소적 부분구조와의 동형을 의미한다.
리덕트와 확장리덕트는 구조의 일부를 무시하는 것이고, 확장은 반대 관계이다. 예를 들어, 유리수의 덧셈 군은 곱셈을 추가하여 필드로 확장할 수 있다.
콤팩트성 정리와 뢰벤하임-스콜렘 정리콤팩트성 정리는 이론의 모든 유한 부분 집합이 만족 가능하면 전체 이론도 만족 가능하다는 정리이다. 뢰벤하임-스콜렘 정리는 가산 서명에서 무한 구조는 가산 기본 부분 구조를 가지며, 임의의 무한 기수 κ에 대해 κ보다 작은 카디널리티를 갖는 가산 서명의 모든 무한 구조는 카디널리티 κ의 다른 구조에 기본적으로 임베딩될 수 있다는 정리이다.
모형 이론과 의미론린드스트룀 정리에 따르면, 일차 논리는 뢰벤하임-스콜렘 정리와 콤팩트성 정리가 모두 성립하는 가장 표현력이 풍부한 논리이다. 모형 이론은 수리 논리학에서 지시적 의미론에 해당하며, 논리식의 구성 요소에 수학적 대상을 할당하는 해석(모형)을 연구한다.

9. 1. 정의 가능 집합

모형 이론에서 '''정의 가능 집합'''은 중요한 연구 대상이다. 예를 들어,

\mathbb N

에서 다음 공식은

:

\forall u\forall v(\exists w (x\times w=u\times v)\rightarrow(\exists w(x\times w=u)\lor\exists w(x\times w=v)))\land x\ne 0\land x\ne1

소수들의 부분 집합을 정의하며, 다음 공식은

:

\exists y (2\times y = x)

짝수들의 부분 집합을 정의한다.^[9]

비슷한 방식으로, 자유 변수가 ''n''개인 공식은

\mathcal{M}^n

의 부분 집합을 정의한다. 예를 들어, 체에서 다음 공식

:

y = x \times x

y = x^2

인 모든

(x,y)

의 곡선을 정의한다.^[9]

여기 언급된 두 정의 모두 '매개변수-free'이며, 즉, 정의하는 공식은 고정된 정의역 원소를 언급하지 않는다. 그러나 '모형으로부터의 매개변수'를 가진 정의도 고려할 수 있다. 예를 들어,

\mathbb{R}

에서 다음 공식

:

y = x \times x + \pi

\mathbb{R}

의 매개변수

\pi

를 사용하여 곡선을 정의한다.^[9]

일반적으로, 양화사가 없는 정의 가능 집합은 설명하기 쉽지만, 중첩된 양화사를 포함하는 정의 가능 집합은 훨씬 더 복잡할 수 있다.^[10]

이것은 양화사 제거를 정의 가능한 집합을 분석하는 데 중요한 도구로 만든다.^[11]

9. 2. 최소성

최소 구조는 정의 가능한 부분 집합이 유한하거나 공유한 구조이다. o-최소성은 순서 관계가 있는 구조에서 정의 가능한 부분 집합이 점과 구간의 유한 합집합인 경우를 말한다.^[18]

9. 3. 해석 가능성

해석 (모형 이론)은 한 구조를 다른 구조의 정의 가능한 부분 집합과 동치 관계를 이용하여 구성하는 방법이다.

주어진 수학적 구조에 대해, 원래 구조의 일부를 동치 관계를 통해 몫으로 구성할 수 있는 관련 구조가 매우 자주 존재한다. 중요한 예는 군의 몫군이다.

전체 구조를 이해하려면 이러한 몫을 이해해야 한다고 말할 수 있다. 동치 관계가 정의 가능할 때, 이전 문장에 정확한 의미를 부여할 수 있다. 이러한 구조를 "해석 가능"하다고 말한다.^[19]

핵심적인 사실은 해석된 구조의 언어에서 원래 구조의 언어로 문장을 변환할 수 있다는 것이다. 따라서 구조

\mathcal{M}

이 이론이 결정 불가능한 다른 구조를 해석한다면,

\mathcal{M}

자체가 결정 불가능함을 보일 수 있다.

9. 4. 형 (Type)

형 (모형 이론)은 구조의 원소들이 만족하는 논리식들의 집합이다.

구조

\mathcal{M}

의 원소 수열

a_1, \dots, a_n

과

\mathcal{M}

의 부분 집합 ''A''에 대해,

a_1, \dots, a_n

에 의해 만족되는, 매개변수가 ''A''에 속하는 모든 일차 논리식

\varphi(x_1, \dots, x_n)

의 집합을 고려할 수 있다. 이것을

a_1, \dots, a_n

이 ''A'' ''위에서 실현하는 완전 (n-)타입''이라고 부른다.

만약 ''A''에서 불변이고

a_1, \dots, a_n

을 각각

b_1, \dots, b_n

으로 보내는

\mathcal{M}

의 자기 동형 사상이 존재한다면,

a_1, \dots, a_n

과

b_1, \dots, b_n

은 ''A'' 위에서 동일한 완전 타입을 실현한다.

더 일반적으로,

\mathcal{M}

이 구조이고 ''A''가

\mathcal{M}

의 부분 집합일 때, (부분) ''A'' ''위의 n-타입''은

\mathcal{M}

의 기본 확장

\mathcal{N}

에서 실현되는, 최대 ''n''개의 자유 변수를 가진 논리식 ''p''의 집합이다. 만약 ''p''가 모든 그러한 논리식 또는 그 부정을 포함한다면, ''p''는 ''완전''하다. ''A'' 위의 완전 ''n''-타입의 집합은 종종

S_n^{\mathcal{M}}(A)

로 표기된다. 만약 ''A''가 공집합이라면, 타입 공간은

\mathcal{M}

의 이론

T

에만 의존한다. 표기

S_n(T)

는

T

와 일치하는 공집합 위의 타입 집합에 일반적으로 사용된다.

만약

\mathcal{M}

의 이론이 ''p''의 모든 논리식

\psi

에 대해

\varphi \rightarrow \psi

를 의미하는 단일 논리식

\varphi

가 있다면, ''p''는 ''고립''되었다고 불린다.

''A'' 위의 특정 타입을 실현하는

\mathcal{M}^n

의 정확한 원소로 표현될 수 있는

\mathcal{M}^n

의 부분 집합은 ''A'' 위에서 ''타입 정의 가능''이라고 한다.

모든 종류가 모든 구조에서 실현되는 것은 아니지만, 모든 구조는 고립된 종류를 실현한다. 구조에서 실현되는 공집합에 대한 유일한 종류가 고립된 종류뿐이라면, 그 구조를 ''원자적''이라고 부른다.

반면에, 어떤 구조도 모든 매개변수 집합에 대한 모든 종류를 실현하지 못한다. 만약

\mathcal{M}

전체를 매개변수 집합으로 한다면,

\mathcal{M}

에서 실현되는

\mathcal{M}

위의 모든 1-종류는

a \in \mathcal{M}

에 대한 ''a = x'' 형태의 공식에 의해 고립된다. 그러나

\mathcal{M}

의 어떤 진정한 기본적 확장은

\mathcal{M}

에 ''없는'' 요소를 포함한다. 따라서 구조가 실현할 것으로 예상되는 모든 종류를 실현한다는 아이디어를 포착하는 더 약한 개념이 도입되었다. 구조는 매개변수 집합

A \subset \mathcal{M}

에 대한 모든 종류를 실현하는 경우,

\mathcal{M}

자체보다 작은 기수를 가진다면 ''포화''라고 부른다.

''A''에서 상수인 자기 동형 사상은 항상 ''A'' 위의 종류를 보존하지만, 일반적으로 같은 종류를 ''A'' 위에서 만족하는 임의의 두 시퀀스

a_1, \dots, a_n

과

b_1, \dots, b_n

이 그러한 자기 동형 사상에 의해 서로 매핑될 수 있는 것은 아니다. 이 역이

\mathcal{M}

보다 작은 기수를 가진 모든 ''A''에 대해 성립하는 구조

\mathcal{M}

을 '''균질'''이라고 부른다.

9. 5. 모형 구성

형식 생략 정리는 특정 형식을 실현하지 않는 모형을 구성하는 방법을 제공한다. 초곱은 특정 유형을 실현하는 모델을 구성하는 데 사용된다.^[24]^[25]^[26]

모형 이론에서 특정 형식들을 실현하고 다른 형식들을 실현하지 않는 모형을 구성하는 것은 중요한 작업이다.^[24]

형식을 실현하지 않는 것을 해당 형식을 ''생략''한다고 하며, 일반적으로 ''(가산) 형식 생략 정리''를 통해 가능하다.

가산 시그니처에서 $\mathcal{T}$ 를 이론으로 하고, $\Phi$ 를 공집합에 대한 고립되지 않은 형식의 가산 집합으로 둔다.
그러면 $\mathcal{T}$ 의 모형 $\mathcal{M}$ 이 존재하며, 이 모형은 $\Phi$ 의 모든 형식을 생략한다.^[24]

이는 가산 시그니처의 이론이 공집합에 대해 가산 개의 형식만 가지고 있다면, 이 이론은 원자 모형을 갖는다는 것을 의미한다.

반면에, 고정된 매개변수 집합에 대한 형식의 모든 집합을 실현하는 기본 확장이 항상 존재한다.

$\mathcal{M}$ 을 구조로 하고 $\Phi$ 를 주어진 매개변수 집합 $A \subset \mathcal{M}.$ 에 대한 완전한 형식의 집합으로 둔다.
그러면 $\Phi$ 의 모든 형식을 실현하는 $\mathcal{M}$ 의 기본 확장 $\mathcal{N}$ 이 존재한다.^[25]

그러나, 매개변수 집합이 고정되어 있고

\mathcal{N}

의 기수에 대한 언급이 없으므로, 이는 모든 이론이 포화 모형을 갖는다는 것을 의미하지 않는다.

사실, 모든 이론이 포화 모형을 갖는지 여부는 집합론의 체르멜로-프렝켈 공리와 독립적이며, 일반화된 연속체 가설이 성립하면 참이다.^[26]

초생산은 특정 유형을 실현하는 모델을 구성하기 위한 일반적인 기법으로 사용된다.

''초생산''은 인덱스 집합에 대한 구조 집합의 직접곱에서, 거의 모든 항목에서 일치하는 튜플을 식별하여 얻어진다. 여기서 "거의 모든"은 초필터에 의해 정밀하게 정의된다. 동일한 구조의 복사본에 대한 초생산은 ''초거듭제곱''이라고 알려져 있다.

모형 이론에서 초생산을 사용하는 핵심은 ''워시의 정리''이다.

$\mathcal{M}_i$ 를 인덱스 집합에 의해 인덱싱된 -구조의 집합이라고 하고, 를 에 대한 초필터라고 하자. 그러면 -논리식 $\varphi([(a_i)_{i \in :I}])$ 는 $U$ 에 의한 $\mathcal{M}_i$ 의 초생산에서 참이 된다. 모든 $i \in I$ 에 대한 집합은 $\mathcal{M}_i \models \varphi(a_i)$ 가 에 속한다.

특히, 이론의 모델의 모든 초생산은 그 자체로 해당 이론의 모델이며, 따라서 두 모델이 동형인 초거듭제곱을 가지면 원자적으로 동등하다.

''카이슬러-셸라 정리''는 역을 제공한다.

만약 과 이 원자적으로 동등하다면, 라는 집합과 에 대한 초필터 가 존재하여, 과 의 에 의한 초거듭제곱은 동형이다.

따라서 초생산은 일차 이론을 전혀 언급하지 않고 원자적 동등성에 대해 이야기할 수 있는 방법을 제공한다. 콤팩트성 정리와 같은 모형 이론의 기본 정리는 초생산을 사용하여 대안적인 증명을 가지며, 존재하는 경우 포화된 원자적 확장을 구성하는 데 사용할 수 있다.

9. 6. 범주성

범주적 이론은 동형인 모형을 유일하게 결정하는 이론이다. 원래는 동형사상까지 구조를 결정하면 '범주적'이라고 불렀지만, 일차 논리의 표현력에 제약이 있어 유용하지 않다는 것이 밝혀졌다. 뢰벤하임-스코렘 정리에 따르면, 이론 ''T''가 무한 기수에 대한 무한 모형을 가지면, 충분히 큰 기수 에 대해 크기 의 모형을 갖는다. 서로 다른 크기의 두 모형은 동형일 수 없으므로, 유한 구조만 범주적 이론으로 설명할 수 있다.^[31]

하지만 더 약한 개념인 -범주성이 모형 이론에서 중요한 개념이 되었다. 이론 ''T''의 기수 인 모형 두 개가 동형일 경우 ''-범주적''이라고 한다. -범주성 문제는 가 언어의 기수(

\aleph_0 + |\sigma|

, 는 서명의 기수)보다 큰지 여부에 따라 달라진다. 유한 또는 가산 서명의 경우, 이는 -기수와 비가산 에 대한 -기수 사이에 큰 차이가 있음을 의미한다.^[31]

ω-범주적 이론은 타입 공간의 속성으로 특징지을 수 있다. 유한 또는 가산 시그니처에서 완전한 일차 논리 이론 ''T''에 대해 다음 조건은 동치이다.^[31]

# ''T''는 ω-범주적이다.

# ''S_n''(''T'')의 모든 타입은 고립되어 있다.

# 모든 자연수 ''n''에 대해, ''S_n''(''T'')은 유한하다.

# 모든 자연수 ''n''에 대해, ''T''를 modulo로 한 등가성에 따른 ''n''개의 자유 변수를 가진 공식 ''φ''(''x''₁, ..., ''x''_n)의 개수는 유한하다.

(\mathbb{Q},<)

의 이론은

(\mathbb{R},<)

의 이론이기도 한데, 모든 ''n''-타입

p(x_1, \dots, x_n)

이

x_i

간의 쌍별 순서 관계에 의해 고립되어 있으므로 ω-범주적이다. 이는 모든 가산 조밀한 선형 순서가 유리수 직선과 순서 동형임을 의미한다. 반면, 체로서의 , 및 의 이론은 ω-범주적이 아니다. 이는 모든 필드에서 무한히 많은 자연수 중 어느 것이라도

x = 1 + \dots + 1

형태의 공식으로 정의될 수 있다는 사실에서 비롯된다.^[31]

\aleph_0

-범주적 이론과 그 가산 모델은 oligomorphic group과 강한 연관성을 가진다. 유한 또는 가산 시그니처에서 완전한 일차 논리 이론 ''T''는 자기 동형 군이 oligomorphic한 경우에만 ω-범주적이다.^[31]

이 절의 동치 특징은 엥겔러, Ryll-Nardzewski, 스베노니우스에 의해 독립적으로 증명되었으며, 때로는 Ryll-Nardzewski 정리라고 불린다.^[31]

마이클 몰리는 1963년에 가산 언어에서 이론에 대한 '비가산 범주성'의 개념은 단 하나뿐임을 보였다.^[31]

몰리 범주성 정리에 따르면, 유한 또는 가산 서명의 일차 이론 ''T''가 어떤 비가산 기수 에 대해 -범주적이면, ''T''는 모든 비가산 기수 에 대해 κ-범주적이다.^[31]

몰리의 증명은 비가산 범주성과 모델의 내부 구조 사이의 깊은 연관성을 드러냈고, 이는 분류 이론과 안정성 이론의 시작점이 되었다. 비가산 범주적 이론은 여러 관점에서 가장 잘 정돈된 이론이다. 특히, 완전 강하게 최소인 이론은 비가산 범주적이다. 이는 주어진 표수의 대수적으로 닫힌 체의 이론이 비가산 범주적이며, 체의 초월 차수가 동형 유형을 결정한다는 것을 보여준다.^[31]

범주적이고 비가산 범주적인 이론을 ''완전 범주적''이라고 한다.^[31]

참조

_[1] 서적 p. 1 https://books.google[...]
_[2] 서적 The Stanford Encyclopedia of Philosophy Metaphysics Research Lab, Stanford University
_[3] 서적 Logic and Structure Springer 1980
_[4] 서적 p. 1 https://books.google[...]
_[5] 서적 p. vii 1997
_[6] 서적 p=32 2002
_[7] 서적 p=45 2002
_[8] 서적 p. 43
_[9] 서적 p=19 2002
_[10] 서적 p=71 2002
_[11] 서적 p=72 2002
_[12] 서적 p=85 2002
_[13] 간행물 Alfred Tarski and Decidable Theories http://dx.doi.org/10[...] 1988
_[14] 서적 p=45 2002
_[15] 서적 p=106 2002
_[16] 서적 p=208 2002
_[17] 서적 p=97 2002
_[18] 서적 pp. 31, 92 1993
_[19] 서적 I: A General Method in Proofs of Undecidability http://dx.doi.org/10[...] Elsevier 1953
_[20] 서적 pp=115-124 2002
_[21] 서적 pp=125-155 2002
_[22] 서적 p. 280 1993
_[23] 서적 pp=124–125 2002
_[24] 서적 p. 333 1993
_[25] 서적 p. 451 1993
_[26] 서적 492 1993
_[27] 서적 p. 450 1993
_[28] 서적 p. 452 1993
_[29] 서적 p. 102
_[30] 서적 p. 492 1993
_[31] 간행물 On theories categorical in uncountable powers 1963
_[32] 서적 p=135 2002
_[33] 서적 p=172 2002
_[34] 서적 p=136 2002
_[35] 서적 p. 494 1993
_[36] 서적 Classification theory and the number of non-isomorphic models http://worldcat.org/[...] North-Holland 1990
_[37] 서적 Simple theories https://link.springe[...] Springer 2011
_[38] 간행물 Model-Theoretic Logics: Background and Aims http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2022-01-15
_[39] 논문 On what I do not understand and have something to say (model theory) https://www.impan.pl[...] 2000
_[40] 논문 Simple homogeneous models 2002-10-08
_[41] 간행물 Quasiminimal excellence http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2022-01-23
_[42] 서적 Categoricity American Mathematical Society 2009-07-24
_[43] 문서 Hodges (1993), p. 68-69
_[44] 논문 Alfred Tarski and Decidable Theories http://dx.doi.org/10[...] 1988-03
_[45] 간행물 Ultraproducts for Algebraists http://dx.doi.org/10[...] Elsevier 2022-01-23
_[46] 논문 Diophantine Problems Over Local Fields: I. 1965
_[47] 간행물 Ultrafilters and Ultraproducts in Non-Standard Analysis http://dx.doi.org/10[...] Elsevier 2022-01-23
_[48] 뉴스 The Mordell-Lang Conjecture for Function Fields Journal of the American Mathematical Society 1996
_[49] 뉴스 Rational points of definable sets and results of André–Oort–Manin–Mumford type, O-minimality and the André–Oort conjecture for C Annals of Mathematics 2011
_[50] 논문 Model Theory and Machine Learning http://dx.doi.org/10[...] 2019-02-15
_[51] 논문 Contributions to the Theory of Models. I 1954
_[52] 서적 Philosophy and model theory 2018-05-24
_[53] 논문 The compactness of first-order logic:from Gödel to Lindström
_[54] 문서 Hodges (1993), p. 475
_[55] 서적 Model Theory and the Philosophy of Mathematical Practice http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2018-01-19
_[56] 서적 Mathematical logic in the 20th century Singapore University Press 2003
_[57] 서적 Finite Model Theory http://dx.doi.org/10[...] 1995
_[58] 서적 Finite Model Theory http://dx.doi.org/10[...] 1995
_[59] 서적 Finite Model Theory http://dx.doi.org/10[...] 1995
_[60] 서적 Set Theory College Publications 2011
_[61] 서적 Set Theory College Publications 2011
_[62] 문서 Hodges (1993), p. 272
_[63] 서적 Model Theory and the Philosophy of Mathematical Practice http://dx.doi.org/10[...] Cambridge University Press 2018-01-19
_[64] 문서 Vaught、van HeijenoortおよびDrebenの三人の解説者はみな、コンパクト性およびコンパクト性定理が Skolem (1923) の中に暗に示されていることを認めている [...], Dawson (1993).

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com