보손화

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1. 개요
2. 전개
3. 수학적 기술
- 3.1. 전류 관계
4. 보손화의 예
- 4.1. 입자 물리학
- 4.2. 응집 물질
5. 응용
참조

1. 개요

보손화는 페르미온을 보손으로, 또는 그 반대로 변환하는 이론적 기법이다. 2차원 등각 장론에서 페르미온과 보손의 동등성을 설명하며, 디랙 페르미온을 실수 스칼라 보손으로 나타낼 수 있다. 비아벨 대칭을 가진 페르미온 계의 경우 비아벨 보손화를 사용하며, 2차원 양자 색역학을 풀이하는 데 활용된다. 보손화는 입자 물리학에서 티링 모형과 사인-고든 모형의 동등성을 설명하고, 응집 물질 물리학에서 초전도체, 루팅거 액체 모형 등을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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보손화
개요
학문 분야	이론물리학, 응집물질물리학, 수학물리학
관련 개념	양자장론, 등각장론, 끈 이론, Luttinger 액체
상세 정보
유형	물리학적 기법
설명	1+1차원 양자장론에서 페르미온과 보손을 관련짓는 수학적 기법

2. 전개

등각 장론에서, 바일 스피너로 표현되는 페르미온은 복소 스칼라 장을 이용하여 보손으로 나타낼 수 있다. 즉, 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손은 동등하다.

한 쌍의 카이랄 페르미온 $\psi_+,\bar\psi_+$ 이 있으며, 이 중 하나는 다른 하나의 켤레 변수이고, 카이랄 보손 $\phi$ 로 표현될 수 있다.

: $\psi_+ = :\exp\left(+i\int^z_\infty\partial_{++}\phi\right):,\qquad \bar\psi_+ = :\exp\left(-i\int^z_{\infty\partial_{++}\phi\right):$

여기서 이 두 모델의 전류는 다음과 같이 관련되어 있다.

: $\partial_{++}\phi=:\bar\psi_+\psi_+:$

여기서 합성 연산자는 정규화와 후속 재정의를 통해 정의되어야 한다.

마찬가지로, 디랙 페르미온은 주기가 $2\pi$ 인 실수 스칼라 보손으로 보손화된다.

페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는 경우, 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 '''비아벨 보손화'''를 사용한다. 비아벨 보손화는 베스-추미노-위튼 모형으로 기술된다. 에드워드 위튼이 1984년에 도입하였다.^[10]

2. 1. 바일 페르미온의 보손화

등각 장론에서, 바일 스피너로 표현되는 페르미온은 복소 스칼라 장을 이용하여 보손으로 나타낼 수 있다. 즉, 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손은 동등하다.

한 쌍의 카이랄 페르미온

\psi_+,\bar\psi_+

이 있으며, 이 중 하나는 다른 하나의 켤레 변수이고, 카이랄 보손

\phi

로 표현될 수 있다.

:

\psi_+ = :\exp\left(+i\int^z_\infty\partial_{++}\phi\right):,\qquad \bar\psi_+ = :\exp\left(-i\int^z_{\infty}\partial_{++}\phi\right):

여기서 이 두 모델의 전류는 다음과 같이 관련되어 있다.

:

\partial_{++}\phi=:\bar\psi_+\psi_+:

여기서 합성 연산자는 정규화와 후속 재정의를 통해 정의되어야 한다.

2. 1. 1. 등각 무게 비교

2차원 등각 장론에서 바일 스피너로 다루는 페르미온을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 복소수 성분을 지니고, 전칙함수 및 반정칙함수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라

\phi(z)

와

\bar\phi(\bar z)

를 생각하고, 스칼라장의 전파 인자를 다음과 같이 규격화한다.

이 경우, 일차장들의 등각 무게

(h,\bar h)

는 다음과 같다.

일차장	$h$	$\bar h$
$\partial\phi(z)$	1	0
$\bar\partial\bar\phi(\bar z)$	0	1
$:\exp(ik\phi(z)):$	$k^2\alpha'/4$	0
$:\exp(ik\bar\phi(\bar z)):$	0	$k^2\alpha'/4$
$\psi(z)$	1/2	0
$\bar\psi(\bar z)$	0	1/2

따라서, $\psi(z)$ 와 $\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\phi)$ 의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다.

2. 1. 2. 연산자 곱 전개 및 에너지-운동량 텐서 비교

2차원 등각 장론에서 바일 스피너로 다루는 페르미온을 생각하자. 2차원 바일 스피너는 하나의 복소수 성분을 지니고, 전칙함수 및 반정칙함수의 합

:

\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)

으로 나타낼 수 있다. 또한 (반)전칙함수로 나타나는 복소 스칼라

\phi(z)

와

\bar\phi(\bar z)

를 생각하고, 스칼라장의 전파 인자를 다음과 같이 규격화한다.

:

\langle\phi(z)\phi(z')\rangle=-\frac{\alpha'}2\ln(z-z')

:

\langle\bar\phi(\bar z)\bar\phi(\bar z')\rangle=-\frac{\alpha'}2\ln(\bar z-\bar z')

이 경우, 일차장들의 등각 무게

(h,\bar h)

는 다음과 같다.

일차장	$h$	$\bar h$
$\partial\phi(z)$	1	0
$\bar\partial\bar\phi(\bar z)$	0	1
$:\exp(ik\phi(z)):$	$k^2\alpha'/4$	0
$:\exp(ik\bar\phi(\bar z)):$	0	$k^2\alpha'/4$
$\psi(z)$	1/2	0
$\bar\psi(\bar z)$	0	1/2

따라서, $\psi(z)$ 와 $\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\phi)$ 의 무게가 일치하는 것을 볼 수 있다. 또한, 이들의 연산자 곱 전개(OPE) 및 에너지-운동량 텐서를 비교해 보면,

: $\psi(z)=:\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\phi(z)):$

: $\bar\psi(\bar z)=:\exp(-i\sqrt{2/\alpha'}\bar\phi(\bar z)):$

: $:\psi(z)\bar\psi(z):=i\partial\phi(z)$

와 같이 대응시키면 모든 성질이 같다는 사실을 알 수 있다. 여기서 $:\cdots:$ 는 표준 순서다. 즉, 2차원 등각장론에서 페르미온과 보손이 동등하다는 사실을 알 수 있다.

한 쌍의 카이랄 페르미온 $\psi_+,\bar\psi_+$ 이 있으며, 이 중 하나는 다른 하나의 켤레 변수이고, 카이랄 보손 $\phi$ 로 표현될 수 있다.

: $\psi_+ = :\exp\left(+i\int^z_\infty\partial_{++}\phi\right):,\qquad \bar\psi_+ = :\exp\left(-i\int^z_{\infty}\partial_{++}\phi\right):$

여기서 이 두 모델의 전류는 다음과 같이 관련되어 있다.

: $\partial_{++}\phi=:\bar\psi_+\psi_+:$

여기서 합성 연산자는 정규화와 후속 재정의를 통해 정의되어야 한다.

2. 2. 디랙 페르미온의 보손화

마찬가지로, 디랙 페르미온은 주기가

2\pi

인 실수 스칼라 보손으로 보손화된다. 구체적인 대응 관계는 아래 표와 같다.^[9]

디랙 페르미온의 보손화^[9]
설명	보손	페르미온
보존류 (정칙) $j(z)$	$i\partial\phi(z)$	$:\psi^\dagger(z)\psi(z):$
보존류 (반정칙) $\bar j(\bar z)$	$i\partial\phi(z)$	$:\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):$
페르미온 (정칙)	$:\exp(i\phi(z)):$	$\psi(z)$
페르미온 (반정칙)	$:\exp(i\phi(\bar z)):$	$\bar\psi(\bar z)$
에너지-운동량 텐서 (정칙) $T(z)$	$-\frac12:\partial\phi(z)\partial\phi(z):$	$-\frac12:\psi^\dagger(z)\partial\psi(z)-\partial\psi^\dagger(z)\psi(z):$
에너지-운동량 텐서 (반정칙) $T(z)$	$-\frac12:\partial\bar\phi(\bar z)\partial\bar\phi(\bar z):$	$-\frac12:\bar\psi^\dagger(\bar z)\partial\bar\psi(\bar z)-\partial\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):$
질량항	$\mu:\cos(\phi(z)+\bar\phi(\bar z)):$	$\bar\psi^\dagger(\bar z)\psi(z)+\psi^\dagger(z)\bar\psi(\bar z)$

2. 2. 1. 보존류 대응

:

\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)

인 디랙 페르미온은 주기가

2\pi

인 실수 스칼라 보손 :

\phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z)\in\mathbb R/2\pi

으로 보손화된다. 구체적인 대응 관계는 아래 표와 같다. 여기서

\mu

는 표준 순서

:\cdots:

를 가하는 에너지 눈금이다. (질량항의 경우, 등각 대칭을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.)

디랙 페르미온의 보손화^[9]
설명	보손	페르미온
보존류 (정칙) $j(z)$	$i\partial\phi(z)$	$:\psi^\dagger(z)\psi(z):$
보존류 (반정칙) $\bar j(\bar z)$	$i\partial\phi(z)$	$:\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):$
페르미온 (정칙)	$:\exp(i\phi(z)):$	$\psi(z)$
페르미온 (반정칙)	$:\exp(i\phi(\bar z)):$	$\bar\psi(\bar z)$
에너지-운동량 텐서 (정칙) $T(z)$	$-\frac12:\partial\phi(z)\partial\phi(z):$	$-\frac12:\psi^\dagger(z)\partial\psi(z)-\partial\psi^\dagger(z)\psi(z):$
에너지-운동량 텐서 (반정칙) $T(z)$	$-\frac12:\partial\bar\phi(\bar z)\partial\bar\phi(\bar z):$	$-\frac12:\bar\psi^\dagger(\bar z)\partial\bar\psi(\bar z)-\partial\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):$
질량항	$\mu:\cos(\phi(z)+\bar\phi(\bar z)):$	$\bar\psi^\dagger(\bar z)\psi(z)+\psi^\dagger(z)\bar\psi(\bar z)$

2. 2. 2. 에너지-운동량 텐서 대응

정칙 에너지-운동량 텐서

T(z)

는 보손 표현으로

-\frac12:\partial\phi(z)\partial\phi(z):

이며, 페르미온 표현으로

-\frac12:\psi^\dagger(z)\partial\psi(z)-\partial\psi^\dagger(z)\psi(z):

이다.^[9] 반정칙 에너지-운동량 텐서

\bar T(\bar z)

는 보손 표현으로

-\frac12:\partial\bar\phi(\bar z)\partial\bar\phi(\bar z):

이며, 페르미온 표현으로

-\frac12:\bar\psi^\dagger(\bar z)\partial\bar\psi(\bar z)-\partial\bar\psi^\dagger(\bar z)\bar\psi(\bar z):

이다.^[9]

2. 2. 3. 질량항 대응

다음은 디랙 페르미온과 스칼라 보손 사이의 대응 관계를 나타낸 것이다.

:

\psi(z,\bar z)=\psi(z)+\bar\psi(\bar z)

(디랙 페르미온)

:

\phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z)\in\mathbb R/2\pi

(주기가

2\pi

인 실수 스칼라 보손)

여기서

\mu

는 표준 순서

:\cdots:

를 가하는 에너지 눈금이다. 질량항의 경우, 등각 대칭을 깨므로 이 에너지 눈금이 중요해진다.^[9]

디랙 페르미온의 보손화
설명	보손	페르미온
질량항	$\mu:\cos(\phi(z)+\bar\phi(\bar z)):$	$\bar\psi^\dagger(\bar z)\psi(z)+\psi^\dagger(z)\bar\psi(\bar z)$

2. 3. 비아벨 보손화

페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는 경우, 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 '''비아벨 보손화'''를 사용한다. 비아벨 보손화는 에드워드 위튼이 1984년에 도입하였다.^[10]

2. 3. 1. 베스-추미노-위튼 모형

비아벨 보손화는 베스-추미노-위튼 모형으로 기술된다. 만약 페르미온 계가 비아벨 맛깔 대칭 등을 갖는 경우, 2차원에서는 이에 따라 계가 아핀 리 대수 대칭을 갖게 된다. 이 경우 보손화는 이 대칭을 보존해야 하며, 일반적인 (아벨) 보손화 대신 '''비아벨 보손화'''(non-Abelian bosonization^영어)를 사용한다. 페르미온 계의 보손화는 적절한 아핀 리 대수 대칭을 갖는 베스-추미노-위튼 모형이다. 이를 사용하여 2차원 양자 색역학을 보손화하여 완전히 풀 수 있다.^[10]

2. 3. 2. 양자 색역학 응용

2차원 양자 색역학은 보손화를 통해 완전히 풀 수 있다.^[10]

3. 수학적 기술

카이랄 페르미온 쌍 $\psi_+,\bar\psi_+$ 은 서로 켤레 변수 관계이며, 카이랄 보손 $\phi$ 로 표현 가능하다. 이 두 모델의 전류는 정규화 및 재정의를 거친 합성 연산자를 통해 특정 관계로 나타낼 수 있다.

3. 1. 전류 관계

한 쌍의 카이랄 페르미온

\psi_+,\bar\psi_+

이 있으며, 이 중 하나는 다른 하나의 켤레 변수이고, 카이랄 보손

\phi

로 표현될 수 있다.

:

\psi_+ = :\exp\left(+i\int^z_\infty\partial_{++}\phi\right):,\qquad \bar\psi_+ = :\exp\left(-i\int^z_{\infty}\partial_{++}\phi\right):

여기서 이 두 모델의 전류는 다음과 같이 관련되어 있다.

:

\partial_{++}\phi=:\bar\psi_+\psi_+:

여기서 합성 연산자는 정규화와 후속 재정의를 통해 정의되어야 한다.

4. 보손화의 예

보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 사인-고든 모형과 하나의 페르미온 장을 가진 티링 모형이 서로 동등하게 된다. 이는 S-이중성의 간단한 예이다. 상호작용하는 페르미온을 나타내는 도모나가-루팅거 모형은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여 완전히 풀 수 있다.

4. 1. 입자 물리학

보손화를 통해, 하나의 보손 장을 가진 사인-고든 모형과 하나의 페르미온 장을 가진 티링 모형이 서로 동등하게 된다. 이는 S-이중성의 간단한 예이다.

상호작용하는 페르미온을 나타내는 도모나가-루팅거 모형은 보손화를 통해 자유 보손 이론으로 치환하여 완전히 풀 수 있다.

(1+1)차원 디랙장에서, 질량이 있는 티링 모델과 양자 사인-고든 모델 사이의 등가성은 입자 물리학의 표준적인 예이다. 시드니 콜먼은 티링 모델이 사인-고든 모델과 S-이중성 관계에 있음을 보였다. 티링 모델의 기본 페르미온은 솔리톤(보손)에 해당한다.^[5]

4. 2. 응집 물질

루팅거 액체 모형은 토모나가 신이치로가 제안하고 조아퀸 마즈닥 루팅거가 재구성한 모형으로, 2차 상호 작용 하에서 1차원 전기 전도체 내의 전자를 설명한다. 다니엘 C. 매티스와 엘리엇 H. 리브는 1965년에 전자를 보존 상호 작용으로 모델링할 수 있음을 증명했다.^[6] 외부 섭동에 대한 전자 밀도의 반응은 플라즈몬 파동으로 취급될 수 있다. 이 모형은 스핀-전하 분리의 출현을 예측한다.

5. 응용

응집물질물리학에서 초전도체를 다루는 BCS 이론에서는 두 전자가 쿠퍼 쌍을 이루어 보손처럼 행동하여 초전도를 가능하게 한다.^[1] 또한, 헬륨-3이나 리튬-7과 같은 페르미온이 보손화하면 보스-아인슈타인 응축 상태에 도달할 수 있다.^[1]

끈 이론에서도 보손화가 쓰인다.^[1] 예를 들어, RNS 초끈을 다룰 때 나타나는 페르미온 장과 페르미온 유령은 보손화를 통하여 간단히 다룰 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 Bosonization and Strongly Correlated Systems https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 논문 Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model
_[3] 서적 Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons Springer
_[4] 서적 Mesoscopic electron transport Springer
_[5] 학술지 Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring model
_[6] 학술지 Exact solution of a many-fermion system and its associated boson field 1965-02
_[7] 서적 Bosonization World Scientific 1994-12
_[8] 서적 Bosonization and Strongly Correlated Systems Cambridge University Press 2004-12
_[9] 서적 Non-perturbative field theory: from two-dimensional conformal field theory to QCD in four dimensions Cambridge University Press 2010
_[10] 저널 Non-abelian bosonization in two dimensions http://projecteuclid[...] 1984

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