베스-추미노-위튼 모형

1. 개요

베스-추미노-위튼 모형은 콤팩트 리만 곡면과 매끄러운 함수에 대해 정의되는 2차원 등각장론으로, 천-사이먼스 이론과 밀접한 관련이 있다. 이 모형은 리만 곡면과 리 군, 그리고 레벨(level)이라고 불리는 정수를 사용하여 정의되며, 작용(action)은 비선형 시그마 모형으로 표현된다. 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수를 대칭 대수로 가지며, 천-사이먼스 이론과의 관계, D막, 장방정식, 스펙트럼, 장과 상관 함수, 게이지 WZW 모형 등 다양한 성질을 갖는다. 이 모형은 끈 이론, 양자 홀 효과, 블랙홀 등 다양한 분야에 응용되며, 율리우스 베스, 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼 등에 의해 발견되었다.

2. 정의

G^영어를 콤팩트하고 단일 연결된 리 군으로 하고, g를 그 단순 리 대수로 한다. γ를 G^영어 값을 갖는 복소 평면상의 장으로 한다. 또한, γ를 리만 구면 S² 상에서 정의하고자 한다. 이것은 무한원점을 추가함으로써 복소 평면을 콤팩트화한 것이다.

베스-추미노-위튼(WZW) 모형은 γ로 정의되는 비선형 시그마 모형으로, 다음과 같은 작용을 갖는다.
:$S\_k(\backslash gamma)=\; -\; \backslash ,\; \backslash frac\; \{k\}\{8\backslash pi\}\; \backslash int\_\{S^2\}\; d^2x\backslash ,$
\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \, , \,
\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm{WZ}}(\gamma).

여기서
* $\backslash partial\_\backslash mu$는 편미분
* 합은 유클리드 계량의 인덱스를 넘는 일반적인 아인슈타인 표기법을 사용
* $\backslash mathcal\{K\}$는 g 위의 킬링 형식

따라서 첫 번째 항은 장론의 표준적인 역학적 항이다.

$S^\{WZ\}$ 항은 베스-추미노 항 (Wess–Zumino term)이라고 불리며, 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$S^\{\backslash mathrm\{WZ\}\}(\backslash gamma)\; =\; -\; \backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{48\backslash pi^2\}\; \backslash int\_\{B^3\}\; d^3y\backslash ,$
\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left(
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \,
\left[
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,
\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}
\right]
\right)

여기서
* [,]는 교환자
* ε^ijk는 완전 반대칭 텐서
* 적분은 좌표 yⁱ (i = 1, 2, 3)에 대해 단위 구 $B^3$를 넘는다.

이 적분에서는 장 γ는 단위 구의 내부에서 정의되도록 확장된다. 호모토피군 π₂(G)가 항상 임의의 콤팩트한 단일 연결된 리 군 위에서는 0이 되므로, 이 확장은 언제든지 가능하다. 원래 γ는 2차원 구면 $S^2\; =\; \backslash partial\; B^3$에서 정의했다.

2.1. 리 군 위의 제르브

다음이 주어졌다고 하자.

* 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$. 그 리 대수가 $\backslash mathfrak\; g$라고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

:$\backslash operatorname\; H^3(G;\backslash mathbb\; Z)\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; Z$

임을 보일 수 있다. 그 생성원을 $[\backslash mu]$라고 하자. 기하학적으로, 이는 $G$ 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, $\backslash mathfrak\; g$의 킬링 형식

:$B\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Sym\}^2\backslash mathfrak\; g\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$

및 3차 형식

:$\backslash tilde\backslash mu|\_1\; \backslash in\; \backslash bigwedge^3\backslash mathfrak\; g^*$
:$\backslash tilde\backslash mu|\_1\; \backslash colon\; x\backslash wedge\; y\backslash wedge\; z\backslash mapsto\; B(x,[y,z])$

을 정의하고, 이를 왼쪽 평행 이동을 통해 $G$ 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash tilde\backslash mu\; =\; B(\backslash theta\backslash wedge\; [\backslash theta\backslash wedge\backslash theta])\; \backslash in\; \backslash Omega^3(G)$

여기서 $\backslash theta\backslash in\backslash Omega^1(G;\backslash mathfrak\; g)$는 $G$의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 $[\backslash mu]$에 비례한다.

:$[\backslash mu]=\backslash alpha\; [\backslash tilde\backslash mu]$

그렇다면, $[\backslash mu]$의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

:$\backslash mu=\backslash alpha\backslash tilde\backslash mu$

로 정의할 수 있다.

2.2. 베스-추미노-위튼 작용

리만 곡면 $\backslash Sigma$에서 리 군 G로의 매끄러운 함수 $\backslash phi$에 대한 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)\; =\; \backslash exp(\backslash mathrm\; iS\_1+k\backslash mathrm\; iS\_2)\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; Z)$

:$S\_1\; \backslash propto\; \backslash int\_\backslash Sigma\; -B(g^\{-1\}(\backslash theta,\backslash theta))$

여기서 k는 준위(level)라고 불리는 정수이다. $S\_1$의 양의 실수 스칼라배는 $g$의 재정의로 흡수될 수 있다.

세계면 $\backslash Sigma$에 n개의 구멍이 존재하고, 그 경계를 $C\_1,\backslash dotsc,C\_n$이라고 할 때, $\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)$는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.

:$\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)\; \backslash in\; \backslash bigotimes\_\{i=1\}^n\; \backslash mathcal\; L\_\{g\backslash restriction\; C\_i\}$

여기서
* $\backslash mathcal\; L$은 고리군 $\backslash mathcal\; LG\; =\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S^1,G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 실수 형식에 대응하는 리 군이다.
* $g\; \backslash restriction\; C\_i\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; S^1\; \backslash cong\; C\_i\; \backslash to\; G$는 $g$의 경곗값이다.
* $\backslash mathcal\; L\_x$는 선다발 $\backslash mathcal\; L$의, $x\backslash in\backslash mathcal\; LG$에서의 올이다.
* $\backslash mathcal\; L$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 $G$가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

* 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 지표 $a,b,c,\backslash dots$
* $\backslash Sigma$의 지표 $i,j,k,\backslash dots$
* $M\_3$의 지표 $I,J,K,\backslash dots$

:$S=S\_1+S\_2$
:$S\_1=-\backslash frac\{k\}\{8\backslash pi\}\backslash int\_\{S^2\}d^2x\backslash ,(Dg)^2$
:$S\_2=-\backslash frac\; k\{24\backslash pi\}\backslash int\_\{B^3\}d^3y\backslash ,\backslash epsilon^\{ijk\}f\_\{abc\}D\_Ig^aD\_Jg^bD\_Kg^c$

여기서 $\backslash epsilon^\{IJK\}$는 레비-치비타 기호, $f\_\{abc\}$는 리 대수의 구조 상수다.

3. 작용

만약 세계면 $\backslash Sigma$에 $n$개의 구멍이 존재하고, 그 구멍의 경계를 $C\_1,\backslash dotsc,C\_n$이라고 할 때, 일반적으로 $\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)$는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.
:$\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)\; \backslash in\; \backslash bigotimes\_\{i=1\}^n\; \backslash mathcal\; L\_\{g\backslash restriction\; C\_i\}$
여기서
* $\backslash mathcal\; L$은 고리군 $\backslash mathcal\; LG\; =\; \backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; S^1,G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
* $g\; \backslash restriction\; C\_i\; \backslash colon\; \backslash mathbb\; S^1\; \backslash cong\; C\_i\; \backslash to\; G$는 $g$의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
* $\backslash mathcal\; L\_x$는 선다발 $\backslash mathcal\; L$의, $x\backslash in\backslash mathcal\; LG$에서의 올이다.
* $\backslash mathcal\; L$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

$(M\_3,f,\backslash omega)$, $(M\_3\text{'},f\text{'},\backslash omega\text{'})$ 두 데이터를 방향을 따라 다음과 같이 이어붙일 수 있다.
:$\backslash tilde\; M\_3\; =\; M\_3\backslash cup\_\backslash Sigma\; M\_3\text{'}$
:$\backslash tilde\; f\backslash colon\; \backslash tilde\; M\_3\backslash to\; G$
이에 따라, $\backslash tilde\; M\_3$은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, $\backslash mu$가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,
:$\backslash int\_\{\backslash tilde\; M\_3\}\backslash tilde\; f^*\backslash mu\; =\; [\backslash tilde\; M\_3]\; \backslash frown\; [\backslash mu]\; \backslash in\backslash mathbb\; Z$
이다. ($\backslash frown$은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하면,
:$$
\int_\Sigma(\alpha - \alpha')=\int_{M_3}\phi^*\mu - \int_{M_3'}\phi'^*\mu \in \mathbb Z
임을 알 수 있다.

따라서,
:$\backslash exp(\backslash mathrm\; iS\_2)\; =\; \backslash exp\backslash left(2\backslash pi\backslash mathrm\; i\backslash int\_\backslash Sigma\backslash alpha\backslash right)$
는 $(M\_3,\backslash phi,\backslash alpha)$의 선택에 상관이 없다.

하지만, $S\_2$로 인하여 오직 $\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)\; \backslash in\; \backslash mathbb\; C$만이 잘 정의될 수 있다.

3.1. 정의

리만 곡면 Σ, 리 군 G, 복소수 k에 대해 k 레벨에서의 G-WZW 모형을 정의하면 다음과 같다. 이 모형은 작용이 장 γ:Σ → G의 함수인 비선형 시그마 모형이다.

(경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) $\backslash Sigma$ 및 매끄러운 함수(스칼라장) $\backslash phi\backslash colon\; \backslash Sigma\backslash to\; G$가 주어졌다고 하자.

이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

* $\backslash partial\; M\_3\; =\; \backslash Sigma$가 되는 3차원 유향 경계다양체 $M\_3$
* $f\backslash restriction\backslash sigma\; =\; \backslash phi$가 되는 연속 함수 $f\backslash colon\; M\_3\backslash to\; G$
* $\backslash mathrm\; d\backslash omega\; =\; f^*\backslash mu$가 되는 2차 미분 형식 $\backslash omega\backslash in\backslash Omega^2(M\_3)$

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다.

이제, $\backslash Sigma$에 임의의 리만 계량 $g$를 부여하자. $G$의 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

:$\backslash exp(\backslash mathrm\; iS)\; =\; \backslash exp(\backslash mathrm\; iS\_1+k\backslash mathrm\; iS\_2)\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; Z)$

:$S\_1\; \backslash propto\; \backslash int\_\backslash Sigma\; -B(g^\{-1\}(\backslash theta,\backslash theta))$

($S\_1$의 양의 실수 스칼라배는 $g$의 재정의로 흡수될 수 있다.) $k$는 준위(level^영어)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

* 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 지표 $a,b,c,\backslash dots$
* $\backslash Sigma$의 지표 $i,j,k,\backslash dots$
* $M\_3$의 지표 $I,J,K,\backslash dots$

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

:$S=S\_1+S\_2$
:$S\_1=-\backslash frac\{k\}\{8\backslash pi\}\backslash int\_\{S^2\}d^2x\backslash ,(Dg)^2$
:$S\_2=-\backslash frac\; k\{24\backslash pi\}\backslash int\_\{B^3\}d^3y\backslash ,\backslash epsilon^\{ijk\}f\_\{abc\}D\_Ig^aD\_Jg^bD\_Kg^c$

여기서 $\backslash epsilon^\{IJK\}$는 레비-치비타 기호, $f\_\{abc\}$는 리 대수의 구조 상수다.

이 작용은 다음과 같다.

:$S\_k(\backslash gamma)=\; -\backslash frac\{k\}\{8\backslash pi\}\; \backslash int\_\{\backslash Sigma\}\; d^2x\backslash ,\; \backslash mathcal\{K\}\; \backslash left\; (\backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash gamma,\; \backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash gamma\; \backslash right\; )\; +\; 2\backslash pi\; k\; S^\{\backslash mathrm\; WZ\}(\backslash gamma).$

여기서 $\backslash Sigma$는 평평한 유클리드 계량을 갖추고 있고, $\backslash partial\_\backslash mu$는 편미분, $\backslash mathcal\{K\}$는 $G$의 리 대수에 대한 킬링 형식이다. 이 작용의 베스-추미노 항은 다음과 같다.

:$S^\{\backslash mathrm\; WZ\}(\backslash gamma)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{48\backslash pi^2\}\; \backslash int\_\{\backslash mathbf\{B\}^3\}\; d^3y\backslash ,\; \backslash epsilon^\{ijk\}\; \backslash mathcal\{K\}\; \backslash left(\; \backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial\_i\; \backslash gamma,\; \backslash left[\backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial\_j\; \backslash gamma,\; \backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial\_k\; \backslash gamma\; \backslash right]\backslash right).$

여기서 $\backslash epsilon^\{ijk\}$는 완전 반대칭 텐서이고, $[.,.]$는 리 괄호이다. 베스-추미노 항은 경계가 $\backslash partial\; \backslash mathbf\{B\}^3\; =\; \backslash Sigma$인 3차원 다양체 $\backslash mathbf\{B\}^3$에 대한 적분이다.

만약 $G$가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

3.2. 베스-추미노 항의 위상수학적 성질

베스-추미노 항은 3차원 다양체에 대한 적분으로 정의되는데, 이 다양체의 경계는 2차원 세계면이어야 한다. 이러한 확장이 가능하려면 호모토피 군 $\backslash pi\_2(G)$가 자명해야 하며, 이는 모든 콤팩트 리 군 $G$에 대해 성립한다.

주어진 사상 $\backslash gamma:\backslash Sigma\; \backslash to\; G$의 3차원 다양체로의 확장은 유일하지 않다. 베스-추미노-위튼 모형이 잘 정의되려면, $e^\{iS\_k(\backslash gamma)\}$는 확장 선택에 의존하지 않아야 한다. 베스-추미노 항은 $\backslash gamma$의 작은 변형에 불변이며, 그 호모토피류에만 의존한다. 가능한 호모토피류는 호모토피 군 $\backslash pi\_3(G)$에 의해 결정된다.

모든 콤팩트 연결 단순 리 군 $G$에 대해 $\backslash pi\_3(G)=\backslash mathbb\{Z\}$이므로, $\backslash gamma$의 서로 다른 확장은 정수만큼 다른 $S^\{\backslash mathrm\; WZ\}(\backslash gamma)$ 값을 생성한다. 따라서 레벨 $k$가 정수일 때, $e^\{iS\_k(\backslash gamma)\}$는 동일한 값을 갖게 된다.

:$k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}.$

레벨의 정수 값은 아핀 리 대수의 표현론에서도 중요한 역할을 한다. 레벨이 양의 정수이면, 아핀 리 대수는 유니타리 최고 무게 표현을 갖는다.

$\backslash mathrm\{SL\}(2,\backslash R)$와 같은 비콤팩트 단순 리 군의 경우, $\backslash pi\_3(\backslash mathrm\{SL\}(2,\backslash R))$는 자명하며, 레벨은 정수로 제한되지 않는다.

3.3. 베스-추미노 항의 기하학적 해석

Wess–Zumino term^영어인 베스-추미노 항은 리 대수의 구조 상수를 사용하여 기하학적으로 해석할 수 있다. e_a가 리 대수의 기저 벡터라면, $\backslash mathcal\{K\}\; (e\_a,\; [e\_b,\; e\_c])$는 리 대수의 구조 상수이다. 구조 상수는 완전 반대칭이므로, 이들은 리 군의 군 다양체에서 3-형식을 결정한다. 따라서 베스-추미노 항의 적분은 조화 3-형식의 당김을 $\backslash mathbf\{B\}^3$ 구로 나타낸 것이다. 조화 3-형식을 c로, 당김을 $\backslash gamma^*$로 표기하면, 베스-추미노 항은 다음과 같이 표현된다.

:$S^\{\backslash mathrm\; WZ\}(\backslash gamma)\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbf\{B\}^3\}\; \backslash gamma^\{*\}\; c.$

이 표현은 베스-추미노 항에 대한 위상학적 분석으로 이어진다.

기하학적으로 이 항은 다양체의 비틀림을 나타낸다. 이 비틀림의 존재는 다양체의 평행이동을 강제하며, 따라서 비틀림을 가진 곡률 텐서의 자명화를 강제한다. 이는 재정규화 흐름의 중단, 즉 재정규화군의 적외선 고정점을 의미하며, 기하학 정지(geometrostasis^영어)라고 불리는 현상이다.

4. 성질

베스-추미노-위튼 모형은 다양한 물리적, 수학적 성질을 갖는다. 예를 들어 베스-추미노-위튼 모형은 천-사이먼스 이론과 관계가 있으며, D막을 포함한다.

4.1. 장방정식

베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash partial(g^\{-1\}\backslash bar\backslash partial\; g)\; =\; 0$

(편의상, $\backslash Sigma$ 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

4.2. 천-사이먼스 이론과의 관계

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 경계가 있는 3차원 다양체 위에 천-사이먼스 이론을 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다. 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태는 서로 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS₃/CFT₂)로 생각할 수 있다. 에드워드 위튼은 1989년에 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성을 발견하였다.

4.3. D막

베스-추미노-위튼 모형에서 열린 끈을 나타내려면 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 설정해야 한다. 이 관계는 대칭류를 통해 정의한다.

대칭류는 다음과 같이 정의한다.
: $J\; =\; -\backslash partial\; g\; g^\{-1\}$
: $\backslash bar\; J=\; g^\{-1\}\backslash bar\backslash partial\; g$

열린 끈의 경계 조건은 $J\; =\; -\backslash bar\; J$이며, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.
: $0\; =\; (\backslash partial\; g)g^\{-1\}\; -\; g^\{-1\}\backslash bar\backslash partial\; g$
= \operatorname{Ad}(g) g^{-1}\partial g
- g^{-1} \bar\partial g

이를 다시 정리하면 다음과 같다.
: $$
(\operatorname{Ad}(g)+1)
g^{-1}(\partial-\bar\partial)g
+
(\operatorname{Ad}(g)-1)
g^{-1}(\partial+\bar\partial)g
=0


킬링 형식을 사용해 $G$의 $g$에서의 접공간 $\backslash mathrm\; T\_gG$를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 $\backslash mathrm\; T^\backslash parallel\_gG$과 수직한 부분 공간 $\backslash mathrm\; T^\backslash perp\_gG$으로 나눌 수 있다. $\backslash mathrm\; T^\backslash perp\_gG$에서 $\backslash operatorname\{Ad\}(g)\; =\; 1$이므로, 다음이 성립한다.

: $\backslash left(g^\{-1\}(\backslash partial-\backslash bar\backslash partial)g\backslash right)^\backslash perp\; =\; 0$

이는 접벡터 $g^\{-1\}(\backslash partial-\backslash bar\backslash partial)g$가 딸림표현 궤도, 즉 리 군의 켤레류 모양을 한 D막에 해당함을 의미한다.

양자 이론에서 확률 진폭이 잘 정의되려면 켤레류에 대응하는 무게 $\backslash lambda$가 정수 무게이어야 한다.

$G$의 극대 원환면 $T\; \backslash le\; G$와 그 리 대수(보렐 부분 대수) $\backslash mathfrak\; h$를 고르자. 무게 $\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathfrak\; \backslash mathfrak\; h^\backslash vee$에 대해, 켤레류는 다음과 같이 대응된다.

: $\backslash \{g\; \backslash exp(2\backslash pi\backslash lambda/k)\; g^\{-1\}\; \backslash colon\; g\; \backslash in\; G\backslash \}$

D막이 이 켤레류에 존재하기 위한 필요 충분 조건은 $\backslash lambda$가 정수 무게인 것이다. 즉, $G$의 모든 근 $\backslash alpha$에 대하여 $\backslash langle\backslash alpha,\backslash lambda\backslash rangle\backslash in\backslash mathbb\; Z$를 만족해야 한다.

5. 대칭 대수

베스-추미노-위튼 모형의 보존류($h=1$인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; H\_k\; =\; \backslash bigoplus\_\{R\backslash in\backslash operatorname\{IrRep\}(G,k)\}\; \backslash overline\{$
V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}
여기서
* $\backslash operatorname\{IrRep\}(G)$는 $G$의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
* $\backslash operatorname\{IrRep\}(G,k)\; \backslash subsetneq\; \backslash operatorname\{IrRep\}(G)$는 $G$의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 $\backslash lambda\_R\backslash in\backslash mathfrak\; h$가 $\backslash langle\backslash phi\_\{\backslash mathfrak\; g\},\backslash lambda\_R\backslash rangle\; \backslash le\; k$를 만족시키는 것이다. 여기서 $\backslash phi\_\{\backslash mathfrak\; g\}$는 $\backslash mathfrak\; g$의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 $\backslash Delta$의 양근의 집합 $\backslash Delta^+$에 대하여, $\backslash forall\backslash alpha\backslash in\backslash Delta^+\backslash colon\; \backslash alpha+\backslash phi\backslash \}$이다.)
* $R\backslash in\backslash operatorname\{IrRep\}(G)$ 및 $k\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, $R\_k$는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 $\backslash mathsf\; k\backslash in\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 값이 $k$가 된다.
* $\backslash overline\{\backslash color\{White\}V\}$는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우 중심 전하는 다음과 같다.
:$c\; =\; \backslash frac\{k\backslash dim\; G\}\{k+h^\backslash vee(G)\}$
여기서 $h^\backslash vee(G)$는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 $\backslash mathcal\; LG$의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 $G\; =\; \backslash operatorname\{SU\}(2)$일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로
:$\backslash operatorname\{IrRep\}(\backslash operatorname\{SU\}(2))\; =\; \backslash \{0,1/2,1,3/2,2,\backslash dotsc\backslash \}$
:$\backslash operatorname\{IrRep\}(\backslash operatorname\{SU\}(2),k)\; =\; \backslash \{0,1/2,1,\backslash dotsc,k/2\backslash \}$
이다.

5.1. 일반화된 군 대칭성

베스-추미노-위튼 모형은 군 $G$의 원소에 의한 전역 변환 하에서 대칭일 뿐만 아니라 더 풍부한 대칭성을 갖는다. 이 대칭성은 종종 $G(z)\; \backslash times\; G(\backslash bar\{z\})$ 대칭성이라고 불린다. 즉, 임의의 정칙 $G$-값을 갖는 함수 $\backslash Omega(z)$와 ( $\backslash Omega(z)$와 완전히 독립적인) 다른 반정칙 $G$-값을 갖는 함수 $\backslash bar\{\backslash Omega\}(\backslash bar\{z\})$가 주어졌을 때, 유클리드 공간 좌표 $x,y$에 대해 $z=x+iy$ 및 $\backslash bar\{z\}\; =\; x-iy$를 식별하면 다음 대칭성이 성립한다.

:$S\_k\; (\backslash gamma)\; =\; S\_k\; (\backslash Omega\; \backslash gamma\; \backslash bar\{\backslash Omega\}^\{-1\}\; )$

이 대칭성의 존재를 증명하는 한 가지 방법은 $G$-값을 갖는 장의 곱에 관한 폴리야코프-비그만 항등식을 반복적으로 적용하는 것이다.

:$S\_k\; (\backslash alpha\; \backslash beta^\{-1\})\; =\; S\_k(\backslash alpha)\; +\; S\_k(\backslash beta^\{-1\})\; +\; \backslash frac\{k\}\{16\backslash pi^2\}\backslash int\; d^2\; x\; \backslash textrm\{Tr\}(\backslash alpha^\{-1\}\; \backslash partial\_\{\backslash bar\{z\}\}\; \backslash alpha\; \backslash beta^\{-1\}\; \backslash partial\_\{z\}\; \backslash beta)$

정칙 및 반정칙 전류 $J(z)\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}k\; (\backslash partial\_z\; \backslash gamma)\; \backslash gamma^\{-1\}$ 및 $\backslash bar\{J\}(\backslash bar\{z\})\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; k\; \backslash gamma^\{-1\}\; \backslash partial\_\{\backslash bar\{z\}\}\; \backslash gamma$는 이 대칭성과 관련된 보존 전류이다.

5.2. 아핀 리 대수

아핀 리 대수는 베스-추미노-위튼 모형의 보존류($h=1$인 일차장)들의 대수이다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

$J^a(z)$를 모드로 전개하면 다음과 같다.

:$J^a(z)\; =\; \backslash sum\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\}\; J\_n^a\; z^\{-n-1\}$

이때, $\backslash \{J\_n^a\backslash \}$에 의해 생성된 current algebra는 WZW 모형의 수준 $k$와 일치하는 레벨을 갖는 $G$의 리 대수에 관련된 아핀 리 대수이다. 만약 $\backslash mathfrak\{g\}=\backslash mathrm\{Lie\}(G)$이면, 아핀 리 대수의 표기는 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\{g\}\}\_k$이다. 아핀 리 대수의 교환 관계는 다음과 같다.

:$[J^a\_n,J^b\_m]\; =\; f^\{ab\}\_c\; J^c\_\{m+n\}\; +\; kn\backslash delta^\{ab\}\backslash delta\_\{n+m,0\}$

이 아핀 리 대수는 왼쪽으로 움직이는 전류 $\backslash mathcal\{K\}(t^a,\backslash partial\_z\; g\; g^\{-1\})$와 관련된 카이랄 대칭 대수이다. 동일한 아핀 리 대수의 두 번째 복사본은 오른쪽으로 움직이는 전류 $\backslash mathcal\{K\}(t^a,\; g^\{-1\}\backslash partial\_\{\backslash bar\; z\}\; g)$와 관련되어 있다. 이 두 번째 복사본의 생성자 $\backslash bar\; J^a(z)$는 반해석적이다. WZW 모형의 전체 대칭 대수는 아핀 리 대수의 두 복사본의 곱이다.

5.3. 스가와라 구성

스가와라 구성은 비라소로 대수를 아핀 리 대수의 유일한 포락 대수로 임베딩하는 방법이다. 이는 베스-추미노-위튼(WZW) 모형이 등각장론임을 보여주는 중요한 구성이다. 또한, 스가와라 구성은 상관 함수에 대한 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 유도하는 데 사용된다.

스가와라 구성은 전류(current)를 사용하여 가장 간결하게 표현된다. 아핀 리 대수의 전류 $J^a(z)$를 이용하여, 에너지-운동량 텐서 $T(z)$를 다음과 같이 정의한다.

:$T(z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2(k\; +\; h^\{\backslash vee\})\}\; \backslash sum\_a\; :\; J^a\; J^a\; :\; (z),$

여기서 $:$는 정규 순서(normal ordering)를 나타내고, $h^\{\backslash vee\}$는 쌍대 콕세터 수이다. 윅의 정리와 전류의 OPE를 이용하면, $T(z)$의 OPE가 다음과 같이 비라소로 대수의 교환 관계와 동일함을 알 수 있다.

:$T(y)T(z)\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{c\}\{2\}\}\{(y-z)^4\}\; +\; \backslash frac\{2T(z)\}\{(y-z)^2\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; T(z)\}\{y-z\}\; +\; \backslash mathcal\{O\}(1),$

이때 비라소로 대수의 중심 전하(central charge) $c$는 아핀 리 대수의 레벨 $k$와 다음과 같은 관계를 가진다.

:$c\; =\; \backslash frac\{k\backslash mathrm\{dim\}(\backslash mathfrak\{g\})\}\{k\; +\; h^\{\backslash vee\}\}.$

아핀 리 대수의 생성자 $J^a\_n$을 사용하여 스가와라 구성을 표현하면 다음과 같다.

:$$
L_{n\neq 0} = \frac{1}{2(k + h^{\vee})} \sum_a \sum_{m\in\mathbb{Z}} J^a_{n-m} J^a_m,

:$$
L_0 = \frac{1}{2(k + h^{\vee})} \left(2\sum_a \sum_{m=1}^\infty J^a_{-m}J^a_m + J^0_aJ^0_a\right).


여기서 $L\_n$은 에너지-운동량 텐서 $T(z)$의 모드(mode)이며, $T(z)\; =\; \backslash sum\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\}\; L\_nz^\{-n-2\}$와 같이 표현된다.

6. 스펙트럼

베스-추미노-위튼 모형의 보존류(일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이루며, 이에 따라 베스-추미노-위튼 모형은 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; H\_k\; =\; \backslash bigoplus\_\{R\backslash in\backslash operatorname\{IrRep\}(G,k)\}\; \backslash overline\{$
V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}

여기서
* $\backslash operatorname\{IrRep\}(G)$는 $G$의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
* $\backslash operatorname\{IrRep\}(G,k)\; \backslash subsetneq\; \backslash operatorname\{IrRep\}(G)$는 $G$의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 $\backslash lambda\_R\backslash in\backslash mathfrak\; h$가 $\backslash langle\backslash phi\_\{\backslash mathfrak\; g\},\backslash lambda\_R\backslash rangle\; \backslash le\; k$를 만족시키는 것이다. 여기서 $\backslash phi\_\{\backslash mathfrak\; g\}$는 $\backslash mathfrak\; g$의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다.
* $R\backslash in\backslash operatorname\{IrRep\}(G)$ 및 $k\backslash in\backslash mathbb\; N$에 대하여, $R\_k$는 아핀 리 대수 $\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 $\backslash mathsf\; k\backslash in\backslash hat\{\backslash mathfrak\; g\}$의 값이 $k$가 된다.
* $\backslash overline\{\backslash color\{White\}V\}$는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우
:$c\; =\; \backslash frac\{k\backslash dim\; G\}\{k+h^\backslash vee(G)\}$
이다. 여기서 $h^\backslash vee(G)$는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 $\backslash mathcal\; LG$의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 $G\; =\; \backslash operatorname\{SU\}(2)$일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{IrRep\}(\backslash operatorname\{SU\}(2))\; =\; \backslash \{0,1/2,1,3/2,2,\backslash dotsc\backslash \}$
:$\backslash operatorname\{IrRep\}(\backslash operatorname\{SU\}(2),k)\; =\; \backslash \{0,1/2,1,\backslash dotsc,k/2\backslash \}$

6.1. 콤팩트하고 단일 연결된 군을 갖는 WZW 모형

리 군 $G$가 콤팩트하고 단일 연결인 경우, WZW 모형은 유리적이며 대각적이다. 유리적인 이유는 스펙트럼이 [가장 높은 무게 표현]이라고 불리는 (레벨에 의존하는) 아핀 리 대수의 적분 가능한 유한 집합의 기약 표현으로부터 구성되기 때문이며, 대각적인 이유는 왼쪽으로 움직이는 대수의 표현이 오른쪽으로 움직이는 대수의 동일한 표현과 결합되기 때문이다.

예를 들어, 레벨 $k\backslash in\backslash mathbb\{N\}$에서 $SU(2)$ WZW 모형의 스펙트럼은 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\{S\}\_k\; =\; \backslash bigoplus\_\{j=0,\backslash frac12,1,\backslash dots,\; \backslash frac\{k\}\{2\}\}\; \backslash mathcal\{R\}\_j\backslash otimes\; \backslash bar\{\backslash mathcal\{R\}\}\_j\backslash \; ,$

여기서 $\backslash mathcal\{R\}\_j$는 스핀 $j$의 아핀 가장 높은 무게 표현이다. 이는 상태 $|v\backslash rangle$에 의해 생성되는 표현이며, 다음을 만족한다.
:$$
J^a_{n<0}|v\rangle = J^-_0|v\rangle=0\ ,
여기서 $J^-$는 $SU(2)$의 리 대수의 생성자 $t^-$에 해당하는 전류이다.

γ의 구체 내부로의 확장은 유일하지 않다. 구체 내부로의 두 개의 다른 확장을 생각해보면, 평평한 3차원 공간에서 리 군 G로의 사상이며, 두 구를 경계 $S^2$에서 서로 붙이는 것을 생각할 수 있다. 붙인 결과는 위상수학적인 3-구체가 되며, 각각의 구체 $B^3$은 $S^3$의 반구이다. γ의 각각의 구체에서의 두 개의 다른 확장은 사상 $S^3\backslash rightarrow\; G$가 된다. 콤팩트한 단일 연결 리 군 G에 대해, 호모토피 군 π₃(G) = Z이다.

이에 따라,
:$S^\{\backslash mathrm\{WZ\}\}(\backslash gamma)\; =\; S^\{\backslash mathrm\{WZ\}\}(\backslash gamma\text{'})+n$
을 얻는다. 여기서 γ와 γ'는 두 개의 다른 구체로의 확장을 나타내며, n은 정수이며 서로 붙였을 때의 꼬임수를 나타낸다.

만약,

:$\backslash exp\; \backslash left(i2\backslash pi\; k\; S^\{\backslash mathrm\{WZ\}\}(\backslash gamma)\; \backslash right)=\; \backslash exp\; \backslash left(\; i2\backslash pi\; k\; S^\{\backslash mathrm\{WZ\}\}(\backslash gamma\text{'})\backslash right)$

라면, 이들 모형이 이끄는 물리 현상이 같아야 한다. 따라서, 위상수학적인 고찰은 레벨 k는 G가 콤팩트한 단일 연결 단준 리 군일 때 정수여야 한다는 결론을 낸다. 반 단순 또는 비연결 콤팩트 리 군에 대해서는, 각각의 연결되고 단순한 성분마다 정수의 레벨이 있다.

이 위상수학적 장애는 이론의 아핀 리 대수의 대칭성의 표현론으로 간주할 수 있다. 각각의 레벨이 양의 정수인 경우에, 아핀 리 대수는 어떤 절대적인 정수의 최고 무게인 유니타리 표현론을 갖는다. 그러한 표현은, 각각의 단순 근에서 형성되는 부분 대수에 관해서, 유한 차원 부분 대수로 분해되고, 대응하는 음의 근과 그 교환자는 카르탕 생성자를 형성한다.

6.2. 다른 유형의 군을 갖는 WZW 모형

군 $G$가 콤팩트하지만 단일 연결되지 않은 경우, WZW 모형은 유리적이지만 반드시 대각선은 아니다. 예를 들어, SO(3) WZW 모형은 짝수 정수 레벨 $k\backslash in\; 2\backslash mathbb\{Z\}$에 대해 존재하며, 그 스펙트럼은 유한 개의 적분 가능한 최고 무게 표현의 비대각선 조합이다.

만약 군 $G$가 콤팩트하지 않다면, WZW 모형은 비유리적이다. 게다가, 그 스펙트럼은 최고 무게 표현이 아닌 표현을 포함할 수 있다. 예를 들어, $\backslash mathrm\{SL\}(2,\backslash mathbb\{R\})$ WZW 모형의 스펙트럼은 최고 무게 표현과 아핀 리 대수의 스펙트럼 흐름 자기 동형사상 하에서의 이들의 이미지로 구성된다.

6.3. 아핀 리 대수를 기반으로 하는 다른 이론

아핀 리 대수를 기반으로 하는 알려진 등각 장론은 WZW 모형에 국한되지 않는다.

예를 들어, SU(2) WZW 모형의 아핀 리 대수의 경우, 모듈러 불변 토러스 분할 함수는 ADE 분류를 따르며, 여기서 SU(2) WZW 모형은 A 계열에만 해당한다. D 계열은 SO(3) WZW 모형에 해당하며, E 계열은 어떠한 WZW 모형에도 해당하지 않는다.

또 다른 예시는 $H\_3^+$ 모형이다. 이 모형은 SL(2,{{lang WZW 모형과 동일한 대칭 대수를 기반으로 하며, 이는 윅 회전에 의해 관련되어 있다. 그러나 $H\_3^+$은 엄밀히 말해 WZW 모형은 아닌데, $H\_3^+\; =SL(2,\backslash mathbb\{C\})/SU(2)$는 군이 아닌 잉여류이기 때문이다.

7. 장과 상관 함수

군 $G$가 콤팩트하면, 베스-추미노-위튼 모형의 스펙트럼은 최고 무게 표현으로 구성되며, 모든 상관 함수는 Ward 항등식을 통해 아핀 기본 장의 상관 함수로부터 유추할 수 있다.

리만 곡면 $\backslash Sigma$가 리만 구면인 경우, 아핀 기본 장의 상관 함수는 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 따른다. 더 높은 종수의 리만 곡면에서는 상관 함수가 장의 위치뿐만 아니라 곡면의 모듈에 대한 미분을 포함하는 크니즈니크-자몰로드치코프-베르나르 방정식을 따른다.

7.1. 장

단순한 표현 $\backslash rho$가 $G$의 리 대수의 표현으로 주어지면, 아핀 기본장 $\backslash Phi^\backslash rho(z)$는 $\backslash rho$의 표현 공간에서 값을 갖는 장으로, 다음을 만족한다.
:$$
J^a(y) \Phi^\rho(z) = -\frac{\rho(t^a)\Phi^\rho(z)}{y-z} + O(1)\ .

아핀 기본장은 슈가와라 구성을 통해 얻은 비라소로 대수에 대한 기본장이기도 하다. 아핀 기본장의 컨포멀 차원은 표현 $\backslash rho$의 2차 카시미르 $C\_2(\backslash rho)$ (즉, 킬링 형식의 행렬 $\backslash mathcal\{K\}(t^a,t^b)$의 역행렬인 $K\_\{ab\}$를 사용하여 2차 카시미르 원소 $K\_\{ab\}t^at^b$의 고윳값)를 사용하여 다음과 같이 주어진다.
:$$
\Delta_\rho = \frac{C_2(\rho)}{2(k+h^\vee)}\ .

예를 들어, $SU(2)$ WZW 모형에서, 스핀 $j$의 기본장의 컨포멀 차원은 다음과 같다.
:$\backslash Delta\_j\; =\; \backslash frac\{j(j+1)\}\{k+2\}\; \backslash \; .$


상태-장 대응에 의해, 아핀 기본장은 아핀 기본 상태에 대응하며, 이는 아핀 리 대수의 최고 무게 표현의 최고 무게 상태이다.

7.2. 상관 함수

군 $G$가 콤팩트하면, 베스-추미노-위튼 모형(WZW)의 스펙트럼은 최고 무게 표현으로 구성되며, 모든 상관 함수는 Ward 항등식을 통해 아핀 기본 장의 상관 함수로부터 유추할 수 있다.

리만 곡면 $\backslash Sigma$가 리만 구면인 경우, 아핀 기본 장의 상관 함수는 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 따른다. 더 높은 종수의 리만 곡면에서는 상관 함수가 장의 위치뿐만 아니라 곡면의 모듈에 대한 미분을 포함하는 크니즈니크-자몰로드치코프-베르나르 방정식을 따른다.

8. 게이지 WZW 모형

리 군 부분군 $H\backslash subset\; G$가 주어졌을 때, $G/H$ 게이지 WZW 모형 (또는 코셋 모형)은 $H$의 $G$에 대한 수반 작용에 대한 몫 $G/H$를 목표 공간으로 하는 비선형 시그마 모형이다. 이 게이지 WZW 모형은 등각장론이며, 그 대칭 대수는 $G$와 $H$ WZW 모형의 두 아핀 리 대수의 몫이고, 중심 전하는 이들의 중심 전하의 차이이다. WZW 모형의 곱을 취하면, 중심 전하가 원래의 두 가지 차이인 새로운 등각장론을 얻을 수 있다.

9. 응용

SL(2,R)군의 보편 피복인 리 군 WZW 모형은 후안 말다세나와 오구리 히로시가 3차원 반 드 시터 공간 $AdS\_3$에서의 보존 끈 이론을 설명하는 데 사용했다. $AdS\_3\backslash times\; S^3$ 위의 초끈은 초군 $PSU(1,1|2)$에서 WZW 모형으로 설명되며, 라몽-라몽 플럭스가 켜져 있으면 변형된 형태로 설명된다.

WZW 모형과 그 변형은 정수 양자 홀 효과의 평평한 구간 전이를 설명하기 위해 제안되었다.

$SL(2,\backslash mathbb\{R\})/U(1)$ 게이지 WZW 모형은 위튼의 2차원 유클리드 블랙홀로서 끈 이론에서 해석된다. 동일한 모형은 임계 상태에 있는, 예를 들어 임계 반강자성 포츠 모형과 같은 특정 2차원 통계 시스템도 설명한다.

10. 역사

율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.