빛원뿔 좌표계

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1. 개요
2. 정의
3. 상대성 이론에서의 빛원뿔 좌표계
- 3.1. 로렌츠 변환
4. 입자의 운동
- 4.1. 무질량 입자의 1차 양자화
5. 끈 이론에서의 빛원뿔 좌표계
- 5.1. 자유 입자 운동
참조

1. 개요

빛원뿔 좌표계는 민코프스키 공간의 직교 좌표계를 변환하여 얻는 좌표계로, 특수 상대성 이론, 일반 상대성 이론, 끈 이론 등에서 널리 사용된다. 이 좌표계는 두 개의 널 벡터 좌표와 나머지 공간 좌표로 구성되며, 인과 관계 분석과 로렌츠 변환 계산을 용이하게 한다. 빛원뿔 좌표계는 입자의 운동, 특히 무질량 입자와 끈 이론에서 닫힌 끈의 운동을 설명하는 데 유용하며, 끈 위의 점을 매개변수로 표현하여 1+1차원 장론으로 해석할 수 있게 한다.

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빛원뿔 좌표계
개요
정의	상대성 이론에서 시공간을 기술하는 한 방법
관련 개념	민코프스키 공간
좌표계
일반적인 좌표	(x¹ , x² , ..., xᵈ⁻¹, xᵈ, xᵈ⁺¹)
광원뿔 좌표	(x¹ , x² , ..., xᵈ⁻¹, x⁺, x⁻)
x⁺ 변환 공식	(xᵈ⁺¹ + xᵈ)/√2
x⁻ 변환 공식	(xᵈ⁺¹ - xᵈ)/√2
역사
최초 제안	폴 디랙 (1949년)
참고 문헌	Dirac, P. A. M. (1949). Forms of Relativistic Dynamics. Reviews of Modern Physics, 21(392), 392–399.

2. 정의

$(1,D-1)$ 차원 민코프스키 공간의 직교 좌표계 $(x^0,x^1,\dots,x^{D-1})$ 를 생각하자. 직교 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같이 주어진다.

: $ds^2=-(dx^0)^2+\sum_{i=1}^{D-1}(dx^i)^2$

여기서 새로운 좌표 $x^\pm$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $x^\pm=(x^1\pm x^0)/\sqrt{2}$

이를 이용한 빛원뿔 좌표계는 $(x^+,x^-,x^2,\dots,x^{D-1})$ 이다. 빛원뿔 좌표계에서 계량 텐서는 다음과 같이 표현된다.

: $ds^2 = 2dx^+dx^-+\sum_{i=2}^{D-1}(dx^i)^2$

이 경우, 아래 첨자(공변) 성분과 위 첨자(반변) 성분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $x_\pm = 2x^\mp$

빛원뿔 좌표계에서 좌표 중 두 개( $x^+$ 와 $x^-$ )는 널 벡터이고, 나머지 모든 좌표( $x^2,\dots,x^{D-1}$ )는 공간 좌표이다. 후자의 공간 좌표들을 $x_\perp$ 로 표기하기도 한다.

다른 부호 규약인 (d,1) 로렌츠 부호를 사용한다고 가정하면, 표준 좌표계에서 아인슈타인 표기법을 사용하여 계량 텐서를

: $ds^2=-dt^2+\delta_{ij}dx^i dx^j$ , ( $i,j=1,\dots,d$ )

로 쓸 때, 빛원뿔 좌표계에서는 다음과 같이 표현된다.

: $ds^2=-2dx^+dx^- + \delta_{ij}dx^i dx^j$ ( $i,j=1,\dots,d-1$ )

여기서 $x^+=\frac{t+x}{\sqrt{2}}$ 이고 $x^-=\frac{t-x}{\sqrt{2}}$ 이다. (이때 $x$ 는 $x^1$ 방향 좌표를 의미한다.)

$x^+$ 와 $x^-$ 둘 다 "시간" 좌표로 사용될 수 있다.^[2]

3. 상대성 이론에서의 빛원뿔 좌표계

특수 상대성 이론에서 시공간 평면은 분할 복소수 평면과 연관될 수 있으며, 이는 로렌츠 부스트를 설명하는 데 사용될 수 있다. 빛원뿔 좌표계는 이러한 분할 복소수의 대각 기저에 해당한다.

빛원뿔 좌표계는 두 개의 널 벡터 좌표와 나머지 공간 좌표로 구성된다. 널 벡터 좌표는 $x^+$ 와 $x^-$ 로, 공간 좌표는 $x_\perp$ 로 표기한다.

(d,1) 로렌츠 부호를 사용한다고 가정하면, 표준 좌표계에서의 계량 텐서는 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $ds^2=-dt^2+\delta_{ij}dx^i dx^j$ , ( $i,j=1,\dots,d$ )

이를 빛원뿔 좌표계로 변환하면 계량 텐서는 다음과 같다.

: $ds^2=-2dx^+dx^- + \delta_{ij}dx^i dx^j$ , ( $i,j=1,\dots,d-1$ )

여기서 $x^+=\frac{t+x}{\sqrt{2}}$ 이고 $x^-=\frac{t-x}{\sqrt{2}}$ 이다.

$x^+$ 와 $x^-$ 는 둘 다 시간 좌표처럼 사용될 수 있다.^[2] 빛원뿔 좌표계의 장점 중 하나는 인과 구조가 좌표계 자체에 부분적으로 포함된다는 점이다.

$(t,x)$ 평면에서의 로렌츠 부스트는 빛원뿔 좌표계에서 스퀴즈 매핑 $x^+ \to e^{+\beta}x^+$ , $x^- \to e^{-\beta}x^-$ , $x^i \to x^i$ 로 나타난다. $(i,j)$ 평면에서의 회전 변환은 공간 좌표 $x_\perp$ 에만 영향을 미친다.

포물선 변환은 빛원뿔 좌표계에서 다음과 같은 형태로 나타난다.

$x^+ \to x^+$ , $x^- \to x^- + \delta_{ij}\alpha^i x^j + \frac{\alpha^2}{2} x^+$ , $x^i \to x^i + \alpha^i x^+$
$x^+ \to x^+ + \delta_{ij}\alpha^i x^j + \frac{\alpha^2}{2} x^-$ , $x^- \to x^-$ , $x^i \to x^i + \alpha^i x^-$

빛원뿔 좌표계는 일반 상대성 이론의 곡선 시공간으로 확장될 수 있으며, 특정 계산을 더 간단하게 만드는 경우가 있다. 대표적인 예로 뉴먼-펜로즈 형식이 있다. 또한, 상대 속도가 광속에 매우 가까운 상대론적 충돌 문제나 빛원뿔 게이지를 사용하는 끈 이론 등에서 활용된다.

3. 1. 로렌츠 변환

파라미터 β를 이용해 x^d 방향으로 로렌츠 부스트를 고려하면, 로렌츠 변환에 의해 표준 좌표계에서는 다음과 같이 변환된다.

\begin{cases}x'^d =x^d\cosh\beta -x^{d+1}\sinh\beta \\x'^{d+1} =x^{d+1}\cosh\beta -x^d\sinh\beta \\\end{cases}

이 변환을 빛원뿔 좌표계

(x^+, x^-)

로 나타내면 다음과 같이 표현된다.

\begin{cases}x'^+ =\mathrm{e}^{-\beta} x^+ \\x'^- =\mathrm{e}^{+\beta} x^- \\\end{cases}

이처럼 빛원뿔 좌표계를 사용하면 로렌츠 변환 시

x^+

와

x^-

성분이 서로 섞이지 않아 계산이 간편해지는 장점이 있다.

4. 입자의 운동

빛원뿔 좌표계에서 좌표 성분은 공간적인 성분과 빛적인 성분만 있으며, 시간적인 성분을 갖지 않는다.

그러나 빛적인 성분 $x^+$ 와 $x^-$ 는 입자가 질량을 갖는 경우, 시간의 경과( $x^{d+1}$ 의 증가)에 대해 단조롭게 증가하므로, 둘 다 시간에 해당하는 좌표로 사용할 수 있다.^[2] 그래서 $x^+$ 를 빛원뿔 좌표계에서 시간에 해당하는 성분으로 선택하고, 광속 $c$ 를 사용하여 다음과 같이 '''빛원뿔 시간''' $t_\text{lc}$ 를 정의한다.

: $t_\text{lc} =\frac{1}{c} x^+$

입자의 위치 $x^\mu$ 를 빛원뿔 시간 $t_\text{lc}$ 로 미분하여 '''빛원뿔 속도''' $V^\mu$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $V^\mu =\frac{dx^\mu}{dt_\text{lc}}$

빛원뿔 속도의 $+$ 성분은 $V^+ = c$ 가 성립한다.

상대론적 입자의 운동을 나타내는 작용 $S$ 는 입자의 운동 경로 길이에 비례하며 다음과 같이 주어진다.

: $S[x] =-mc \int ds =-mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} V^\mu V^\nu}\, dt_\text{lc}$

여기서 $m$ 은 입자의 질량, $c$ 는 광속, $ds$ 는 고유 시간 간격, $\eta_{\mu\nu}$ 는 민코프스키 계량이다. 좌표에 공액인 운동량 $p_\mu$ 는 라그랑지언 $L = -mc \sqrt{-\eta_{\mu\nu} V^\mu V^\nu}$ 을 이용하여 다음과 같이 계산된다.

: $p_\mu =\frac{\partial L}{\partial V^\mu} =\frac{mcV_\mu}{\sqrt{-V^2}}$

빛원뿔 시간 $t_\text{lc}$ 에 공액인 운동량 성분 $p_+$ 를 이용하여 빛원뿔 좌표계에서의 해밀토니언 $H$ 를 계산하면 다음과 같다.

: $H =p_- V^- +\sum_{i=1}^{d-1} p_i V^i -L = -V^+ p_+ = cp^-$

따라서 빛원뿔 좌표계에서의 '''에너지''' $E_\text{lc}$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $E_\text{lc} =cp^-$

질량 껍질 조건 $-m^2c^2 =p^2 =\sum_{i=1}^{d-1}(p^i)^2 -2p^+p^-$ 을 이용하면, 에너지를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $E_\text{lc} =\frac{c}{2p^+} \left( m^2c^2 +\sum_{i=1}^{d-1}(p^i)^2 \right)$

이 식에서 볼 수 있듯이, 빛원뿔 좌표계로 에너지를 나타내는 경우 제곱근이 나타나지 않는 장점이 있다.

4. 1. 무질량 입자의 1차 양자화

빛원뿔 좌표계는 등각 불변이므로, 무질량 입자나 막과 같이 질량이 0인 대상을 다룰 때 유용하다.

예를 들어, (1,D-1)차원 시공간에서의 무질량 입자를 생각해 보자. 질량이 0이므로, 이 입자는

\operatorname{SO}(2,D)

등각 대칭을 갖는다.

이 입자의 작용은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

S = \int\mathrm dt\, \frac12e(t)^2\dot x^\mu(t)\dot x_\mu(x)

여기서

t\in\mathbb R

는 세계선의 임의의 좌표이며,

x^\mu\colon \mathbb R\to \mathbb R^{1,D-1}

는 입자의 위치를 나타내는

t

의 함수이다.

\dot x^\mu = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}x^\mu

는

t

에 대한 속력이며,

e\colon \mathbb R\to\mathbb R^+

는 세계선 위의 필바인이다. 그러나 이 작용 표현에서는 등각 대칭이 명확하게 드러나지 않는다는 단점이 있다.

등각 대칭을 명확하게 나타내기 위해, 가상의 "시간" 차원과 "공간" 차원을 추가하여 민코프스키 공간

\mathbb R^{2,D}

을 고려할 수 있다. 이 공간에서 다음과 같은 작용을 정의한다.^[4]

:

S = \int\mathrm dt\left(\frac12\dot X^M \dot X_M-\frac12\lambda X^MX_M\right)

여기서

X^M \colon \mathbb R \to \mathbb R^{2,D}

는 확장된 공간에서의 입자 위치이고,

\lambda\colon \mathbb R\to\mathbb R

는 보조장이다.

이 작용은 다음과 같은 게이지 대칭을 갖는다.

:

\delta X (t)= \epsilon(t)\dot X^M(t) - \frac12\dot\epsilon(t)X^M

:

\delta\lambda(t) = \epsilon(t)\dot\lambda(t) + 2\dot\epsilon(t)\lambda(t)+\frac12\overset\cdots\epsilon(t)

이제, 보조장

\lambda

의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

X^MX_M = 0

새로 추가한 두 차원의 빛원뿔 좌표를 이용하여

X^MX_M = X^\mu X_\mu + 2X_+X_-

라고 표현하면, 운동 방정식은 다음과 같이 정리된다.

:

X_- = -\frac{X^\mu X_\mu}{2X_+}

여기서

e = X_+

와

x^\mu = X^\mu / X_+

로 정의하면, 확장된 공간에서의 작용은 다음과 같이 원래의 작용으로 돌아감을 확인할 수 있다.

:

S = \frac12\int\mathrm dt\, \dot X^M\dot X_M=\frac12\int\mathrm dt\,\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(ex^\mu)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(ex_\mu)

\dot e \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (x^\mu x_\mu e)

\right)=\frac12\int\mathrm dt\, e^2 \dot x^\mu \dot x_\mu

5. 끈 이론에서의 빛원뿔 좌표계

끈 이론에서 빛원뿔 좌표계는 중요한 도구로 사용되며, 특히 빛원뿔 게이지에서 활용된다.

닫힌 끈은 점 입자를 일반화한 개념이다. 끈 위의 점들은 $\sigma$ 라는 매개변수를 사용하여 기술할 수 있는데, 이 매개변수는 $0$ 부터 $2\pi$ 까지 변한다. 시간은 $\sigma_0$ 라는 또 다른 매개변수로 나타낸다. 끈 위의 각 점은 D차원 시공간의 좌표 $x_0, x$ 와 횡방향 좌표 $x_i (i=2,...,D)$ 와 연결되며, 이 좌표들은 $1+1$ 차원 장론에서 장(field)처럼 취급된다.

이론을 다룰 때, 일반적인 시간 좌표 $x_0$ 와 공간 좌표 $x$ 대신 빛원뿔 좌표 $x_{\pm}$ 를 사용하는 것이 편리하다. 빛원뿔 좌표는 다음과 같이 정의된다.

: $x_{\pm}=\frac{1}{\sqrt 2}(x_0 \pm x)$

이 좌표계를 사용하면, 끈 이론의 메트릭 텐서 $ds^2$ 은 다음과 같이 표현된다.

: $ds^2 = 2dx_+dx_- -(dx_i)^2$

(여기서 $i$ 에 대한 합은 암묵적으로 가정한다.)

끈 이론에는 게이지 자유도가 존재한다. 이 자유도를 이용하여 $x_+=\sigma_0$ 로 설정하고, 이를 시간 변수처럼 다룰 수 있다. 또한, $\sigma \rightarrow \sigma + \delta\sigma$ 변환에 대한 재매개변수화 불변성(reparametrization invariance)을 이용하여 메트릭으로부터 제약 조건 ${\mathcal L}_0 =0$ 을 얻을 수 있다.

: ${\mathcal L}_0 = \frac{dx_-}{d\sigma} - \frac{dx_i}{d\sigma}\frac{dx_i}{d\sigma_0}=0.$

이 제약 조건 때문에 $x_-$ 는 더 이상 독립적인 자유도가 아니다.

${\mathcal L}_0$ 는 해당 뇌터 전하와 동일시될 수 있다. ${\mathcal L}_0(x_-,x_i)$ 를 고려하고 $x_i$ 와 $x_-$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 사용하면 다음 관계를 유도할 수 있다.

: $\delta{\mathcal L}_0 = \frac{\partial}{\partial \sigma}\bigg(\frac{\partial {\mathcal L}_0}{\partial(\partial x_i/\partial \sigma)}\delta x_i + \delta x_-\bigg).$

이를 뇌터 정리 $\delta{\mathcal L}_0 = \frac{\partial}{\partial \sigma}(Q\delta\sigma)$ 와 비교하면, 뇌터 전하 $Q$ 는 다음과 같이 주어진다.

: $Q=\frac{\partial{\mathcal L}_0}{\partial(\partial x_i/\partial\sigma)}\frac{\delta x_i}{\delta \sigma} + \frac{\delta x_-}{\delta \sigma} = -\frac{dx_i}{d\sigma_0}\frac{\delta x_i}{\delta \sigma} + \frac{\delta x_-}{\delta \sigma} = {\mathcal L}_0.$

즉, 제약 조건 ${\mathcal L}_0$ 자체가 뇌터 전하 $Q$ 와 같다는 결과를 얻으며, 이는 관련 문헌에서 제시된 결과와 일치한다.^[3]

5. 1. 자유 입자 운동

질량

m

인 자유 입자의 경우, 작용

S

는 라그랑지안

{\mathcal L}

을 적분하여 얻는다.

:

S=\int{\mathcal L}d\sigma, \;\;\; {\mathcal L} = -\frac{1}{2}\bigg[\frac{dx^{\mu}}{d\sigma}\frac{dx_{\mu}}{d\sigma} +m^2\bigg].

여기서

\sigma

는 입자의 경로를 나타내는 매개변수이며,

x^{\mu}

는 시공간 좌표,

m

은 입자의 질량이다.

빛원뿔 좌표계에서는 시간과 유사한 변수로

\sigma = x_+

를 사용한다. 이 좌표계에서 라그랑지안

{\mathcal L}

은 다음과 같이 표현된다.

:

{\mathcal L} = -\frac{dx_-}{d\sigma} + \frac{1}{2}\bigg(\frac{dx_i}{d\sigma}\bigg)^2 - \frac{m^2}{2}.

여기서

x_+

와

x_-

는 빛원뿔 좌표이고,

x_i

는 횡방향 공간 좌표들을 나타낸다.

각 좌표에 대한 정준 운동량은 라그랑지안을 해당 좌표의

\sigma

미분으로 편미분하여 구한다.

:

p_-=\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial(dx_-/d\sigma)}= -1, \;\;\; p_i =\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial( dx_i/d\sigma)}=\frac{dx_i}{d\sigma}.

p_-

는 -1이라는 상수값을 가지며,

p_i

는 횡방향 속도

dx_i/d\sigma

와 같다.

해밀토니안

{\mathcal H}

는 라그랑지안과 정준 운동량을 통해 다음과 같이 계산된다 (

\hbar = c = 1

인 자연 단위계 사용).

:

{\mathcal H} = \dot{x}_-p_- + \dot{x}_ip_i - {\mathcal L} = \frac{1}{2}p_i^2 + \frac{1}{2}m^2.

여기서

\dot{x}

는

dx/d\sigma

를 의미한다. 이 해밀토니안은 횡방향 운동 에너지와 질량 항의 합으로 나타난다.

이 해밀토니안으로부터 유도되는 비상대론적 해밀턴 방정식은 횡방향 좌표

x_i

에 대해 다음과 같은 해를 제공한다.

:

x_i(\sigma) = p_i\sigma + {\it const.}.

이는 입자가 횡방향으로 일정한 운동량

p_i

를 가지고 등속 운동함을 보여준다.

이러한 자유 입자에 대한 빛원뿔 좌표계 분석은 끈 이론에서 자유 끈의 운동을 기술하는 데 기초가 된다.

참조

_[1] 논문 Forms of Relativistic Dynamics 1949-07-01
_[2] 서적 A first course in string theory https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2004
_[3] 서적 Black Holes, Information and the String Theory Revolution World Scientific 2004
_[4] 논문 Conformal invariance of extended spinning particle mechanics 1988

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