삼각 적분 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 전개
5. [[지수 적분 함수]]와의 관계
6. 효율적인 계산
- 6.1. 보조 함수
참조

1. 개요

삼각 적분 함수는 사인, 코사인, 쌍곡 사인, 쌍곡 코사인 함수를 적분하여 정의되는 특수 함수들을 통칭한다. 사인 적분 함수 Si(x)와 si(x), 코사인 적분 함수 Ci(x), ci(x), Cin(x), 쌍곡 사인 적분 함수 Shi(x), 쌍곡 코사인 적분 함수 Chi(x) 등이 있으며, 각각 정적분 형태로 정의된다. 이 함수들은 다양한 급수 전개, 특히 로랑 급수, 베셀 급수, 초기하 급수 등으로 표현될 수 있으며, 점근 전개와 수렴 급수도 존재한다. 삼각 적분 함수는 미분, 적분, 그리고 지수 적분 함수와의 관계를 가지며, 닐센의 나선과 같은 시각적 표현에도 활용된다. 효율적인 계산을 위해 파데 근사 및 보조 함수가 사용된다.

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삼각 적분 함수
개요
유형	특수 함수
분야	수학, 공학
정의	적분을 통해 정의됨
삼각 적분 함수 종류
사인 적분 함수	Si(x) = ∫(0에서 x) sin(t)/t dt
코사인 적분 함수	Ci(x) = -∫(x에서 ∞) cos(t)/t dt
성질
사인 적분 함수 (Si(x))	홀함수, Si(0) = 0
코사인 적분 함수 (Ci(x))	Ci(0) = -∞
관련 함수
지수 적분 함수	Ei(x)
Fresnel 적분 함수	S(x), C(x)

2. 정의

삼각 적분 함수는 특정 삼각 함수나 쌍곡 함수를 포함하는 피적분 함수의 적분으로 정의되는 여러 특수 함수들을 가리킨다.

주요 삼각 적분 함수에는 다음과 같은 종류가 있다. 각 함수의 구체적인 정의와 성질은 해당 하위 섹션에서 자세히 설명한다.

사인 적분 함수: $\operatorname{Si}(x)$ 와 $\operatorname{si}(x)$ 로 표기하며, 싱크 함수 $\frac{\sin t}{t}$ 의 적분과 관련된다.
코사인 적분 함수: $\operatorname{Ci}(x)$ , $\operatorname{ci}(x)$ , $\operatorname{Cin}(x)$ 등으로 표기하며, $\frac{\cos t}{t}$ 또는 $\frac{1-\cos t}{t}$ 의 적분과 관련된다.
쌍곡사인 적분 함수: $\operatorname{Shi}(x)$ 로 표기하며, $\frac{\sinh t}{t}$ 의 적분으로 정의된다.
쌍곡코사인 적분 함수: $\operatorname{Chi}(x)$ 로 표기하며, $\frac{\cosh t - 1}{t}$ 의 적분 및 오일러-마스케로니 상수, 로그 함수와 관련된다.

2. 1. 사인 적분 함수 (Sine integral)

$0 \le x \le 8\pi$ 에 대한 ''' $\operatorname{Si}(x)$ '''의 그래프

'''사인 적분'''(sine integral|사인 적분^영어) 함수는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의된다.

:

\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

:

\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

여기서 피적분 함수

\frac{\sin t}{t}

는 싱크 함수(sinc function)이며, 0차 구면 베셀 함수이기도 하다.

\operatorname{sinc}(t)

함수는 짝함수이자 전해석 함수이므로,

\operatorname{Si}(x)

역시 홀함수이자 전해석 함수이다.

정의에 따라,

\operatorname{Si}(x)

는

x=0

에서 값이 0인

\frac{\sin x}{x}

의 정적분이고,

\operatorname{si}(x)

는

x=\infty

에서 값이 0인 정적분이다. 두 함수의 차이는 디리클레 적분 값과 같다.

:

\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}

:

\operatorname{si}(x) = \operatorname{Si}(x) - \frac{\pi}{2}

신호 처리 분야에서 사인 적분 함수의 진동 현상은 중요한 의미를 가진다. sinc 필터를 사용할 때 오버슈트(overshoot)와 링잉 아티팩트(ringing artifact)를 발생시키는 원인이 되며, 잘린(truncated) sinc 필터를 저역 통과 필터로 사용하는 경우에는 주파수 영역에서의 링잉 현상을 유발한다.

이러한 현상은 깁스 현상과 밀접한 관련이 있다. 사인 적분 함수를 sinc 함수와 헤비사이드 계단 함수의 합성곱(convolution)으로 해석할 수 있는데, 이는 푸리에 급수를 특정 항에서 잘라내는 것과 유사하며, 이것이 깁스 현상을 일으키는 원리이다.

2. 2. 코사인 적분 함수 (Cosine integral)

0 < ''x'' ≤ 8π에 대한 '''Ci(''x'')'''의 그래프.

코사인 적분 함수는 코사인 함수를 포함하는 적분을 통해 정의되는 함수로, 여러 다른 정의가 사용된다.

주요 정의는 다음과 같다.

:

\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt \qquad (\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi)

여기서

\gamma \approx 0.57721566 \dots

는 오일러-마스케로니 상수이다.

\operatorname{Ci}(x)

는

\cos x / x

의 부정적분으로,

x \to \infty

일 때 0이 된다.

다른 정의로는 다음이 있다.

:

\operatorname{ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt

:

\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

위 정의들 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

\operatorname{ci}(x) = \operatorname{Ci}(x)

:

\operatorname{Cin}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Ci}(x)

따라서

\operatorname{Ci}(x)

는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)

\operatorname{Cin}(x)

함수는 우함수이며 전체 함수이다. 이러한 이유로 일부 문헌에서는

\operatorname{Cin}(x)

를 기본 함수로 취급하고 이를 이용하여

\operatorname{Ci}(x)

를 정의하기도 한다.

복소 함수로서 코사인 적분

\operatorname{Ci}(z)

는 다중값 함수이지만, 복소 로그 함수

\log z

와 정칙 함수

\operatorname{Cin}(z)

의 합으로 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{Ci}(z) = \gamma+\log{z}-\operatorname{Cin}(z)

여기서

\operatorname{Cin}(z) = \int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t

이다.

2. 3. 쌍곡사인 적분 함수 (Hyperbolic sine integral)

쌍곡사인 적분 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Shi}(x) = \int_0^x \frac{\sinh t}{t}\,dt

여기서

\sinh t

는 쌍곡사인 함수이다. 때로는

\operatorname{shi}(x)

로 표기하기도 한다.

이 함수의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

:

\operatorname{Shi}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2(2n)!} = x + \frac{x^3}{3!\cdot 3} + \frac{x^5}{5!\cdot 5} + \frac{x^7}{7!\cdot 7} + \cdots

쌍곡사인 적분 함수는 일반적인 사인 적분

\operatorname{Si}(x)

와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x)

여기서

i

는 허수 단위이다.

2. 4. 쌍곡코사인 적분 함수 (Hyperbolic cosine integral)

쌍곡 코사인 적분 함수(Hyperbolic cosine integral)는 다음과 같이 정의된다.

:

{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이며, 이 함수는 쌍곡 코사인 함수의 적분과 관련이 있다.

쌍곡 코사인 적분 함수 ''Chi(z)''를 복소 평면에서 ''−2 − 2i''에서 ''2 + 2i''까지의 그림

복소 평면 상에서

|\operatorname{Arg}(x)| < \pi

인 경우, 함수는 다음과 같이 표현된다.

\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt

급수 전개는 다음과 같다.

\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12})

3. 성질

삼각 적분 함수는 소위 "보조 함수"를 사용하여 이해할 수 있다. 두 보조 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\begin{array}{rcl}f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt&=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \\g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt&=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.\end{array}$

이 함수들을 이용하면 삼각 적분 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다. (참고: 아브라모위츠와 스테건, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_232.htm 232쪽])

$\begin{array}{rcl}\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x) &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \\\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\\end{array}$

3. 1. 미분

${d \over dz}\operatorname{Si}(z)={d \over dz}\operatorname{si}(z)=\frac{\sin(z)}{z}$
${d \over dz}\operatorname{Ci}(z)=\frac{\cos(z)}{z}$

3. 2. 적분

${d \over dz}\operatorname{Si}(z)={d \over dz}\operatorname{si}(z)=\frac{\sin(z)}{z}$
${d \over dz}\operatorname{Ci}(z)=\frac{\cos(z)}{z}$
$\int \operatorname{Si}(z)dz=z\operatorname{Si}(z)+\cos(z)+C$
$\int \operatorname{Ci}(z)dz=z\operatorname{Ci}(z)-\sin(z)+C$

또한, Si(z)의 z→∞일 때의 값은 다음과 같다.

:

\lim_{z\rightarrow\infty}\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}

이 값은 디리클레 적분이라고 하며, 복소 적분 등을 이용하여 계산할 수 있다.

3. 3. 닐센의 나선 (Nielsen's spiral)

\operatorname{si}(t)

와

\operatorname{ci}(t)

함수의 매개변수 플롯으로 형성되는 나선은 닐센의 나선(Nielsen's spiral)으로 알려져 있다. 나선은 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현될 수 있다.

x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)

y(t) = a \times \operatorname{si}(t)

이 나선은 프레넬 적분 및 오일러 나선과 밀접한 관련성을 가진다. 닐센의 나선은 시각 처리, 도로 및 트랙 건설 등 다양한 분야에서 응용된다.^[1]

4. 전개

삼각 적분 함수의 값을 계산하기 위해, 인수의 범위에 따라 다양한 전개식을 사용할 수 있다.

4. 1. 점근 전개 (Asymptotic expansion)

\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2}

\frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
\frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)

\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)

\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.

복소 평면에서 코사인 적분 함수 Ci(''z'')의 플롯( -2 − 2''i''에서 2 + 2''i''까지) — 복소 평면에서 코사인 적분 함수 Ci(''z'')의 플롯 −2 − 2''i''에서 2 + 2''i''까지

이 급수들은 점근 전개(asymptotic expansion)이며 발산한다. 하지만

x

의 실수부가 매우 클 때, 즉

\Re(x) \gg 1

인 경우, 함수값의 근사값을 계산하는 데 유용하게 사용될 수 있다.

4. 2. 수렴 급수 (Convergent series)

:

{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots

:

{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

위 급수들은 모든 복소수 ''x''에 대해 수렴한다. 하지만 |''x''|가 매우 클 경우에는 수렴 속도가 느려져서, 높은 정밀도로 계산하려면 많은 항이 필요하다. 여기서 ''γ''는 오일러-마스케로니 상수이다.

4. 3. 급수 전개 유도(사인 적분 함수)

사인 함수의 매클로린 급수 전개로부터 사인 적분 함수 Si(''x'')의 급수 전개를 유도할 수 있다. 먼저 사인 함수의 매클로린 급수는 다음과 같다.

\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots

이 급수의 양변을 ''x''로 나누면 다음과 같은

\frac{\sin\,x}{x}

의 급수 전개를 얻는다.

\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots

마지막으로, 위 급수를 항별로 적분하면 사인 적분 함수 Si(''x'')의 급수 전개를 얻을 수 있다.

\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin\,t}{t}dt = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots

이는 다음과 같이 합 기호로 나타낼 수 있다.

\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}

5. [[지수 적분 함수]]와의 관계

아래 함수는 지수 적분 함수 $\operatorname{E}_1(z)$ 이다.

$\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad(\Re(z) \ge 0)$

이 함수는 삼각 적분 함수 $\operatorname{Si}(x)$ 와 $\operatorname{Ci}(x)$ 와 다음과 같이 밀접하게 연관되어 있다.

$\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad (x > 0)$

여기서 $\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt$ 이고 $\operatorname{ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt$ 이며, $\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \frac{\pi}{2}$ 와 $\operatorname{Ci}(x) = \operatorname{ci}(x)$ 관계가 성립한다.

각 함수는 인수가 음의 실수 축에 있을 때 분지 절단(branch cut)을 갖는 것을 제외하면 해석적이다. 따라서 위 관계식의 유효 영역은 실수부가 양수인 복소수 $x$ , 즉 $\Re(x) > 0$ 인 영역까지 확장될 수 있다. 이 범위를 벗어나면 관계식에 $\pi$ 의 정수배 항이 추가로 나타날 수 있다.

6. 효율적인 계산

파데 근사는 수렴하는 테일러 급수의 작은 인수에 대한 함수를 효율적으로 평가하는 방법을 제공한다. Rowe 외(2015)가 제공한 다음 공식^[2]은 범위에서 보다 정확하다.

$\begin{array}{rcl}\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left(\frac{\begin{array}{l}1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\~~~ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\~~~ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\~~~ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}\end{array}}\right)\\&~&\\\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\&& x^2 \cdot \left(\frac{\begin{array}{l}$

0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\

~~~ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot 10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\\end{array}}{\begin{array}{l}1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\~~~ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\~~~ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\\end{array}}\right)\end{array}

인수가 큰 경우(

x \ge 4

), 보조 함수

f(x)

및

g(x)

에 대한 파데 근사를 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다.^[2] 이 근사들은 미만의 오차를 가진다.

\begin{array}{rcl}f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{\begin{array}{l}1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\~~~ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\~~~ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\~~~ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\~~~ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\~~~ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}\end{array}}\right) \\& &\\g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{\begin{array}{l}1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\~~~ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\~~~ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\~~~ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\~~~ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\~~~ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}\end{array}}\right) \\\end{array}

6. 1. 보조 함수

삼각 적분은 소위 "보조 함수"를 사용하여 이해할 수 있다.

\begin{array}{rcl}f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt&=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~,  \\g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt&=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.\end{array}

이러한 함수를 사용하여 삼각 적분을 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

(cf. 아브라모위츠와 스테건, 232쪽)

\begin{array}{rcl}\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\\end{array}

참조

_[1] 서적 Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces.
_[2] 간행물 GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit

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