쉼표 범주

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사와 어원
참조

1. 개요

쉼표 범주는 범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ 와 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal C$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$ 가 주어졌을 때 정의되는 새로운 범주이다. 쉼표 범주의 대상은 $(A,B,\phi)$ 형태의 튜플이며, 여기서 $A$ 와 $B$ 는 각각 $\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 의 대상이고, $\phi$ 는 $\mathcal C$ 내의 사상이다. 쉼표 범주는 화살표 범주, 조각 범주, 쌍대 조각 범주 등의 특수한 형태를 포함하며, 보편 사상의 개념을 표현하고, 수반 함자를 설명하는 데 사용될 수 있다. 쉼표 범주는 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 처음 소개했으며, 원래 표기법에서 쉼표를 사용했기 때문에 쉼표 범주라는 이름이 붙었다.

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쉼표 범주

2. 정의

범주 $\mathcal A$ , $\mathcal B$ , $\mathcal C$ 와 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal C$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$ 가 주어졌을 때, '''쉼표 범주''' $F\downarrow G$ 는 두 함자 사이의 관계를 나타내는 범주이다.

쉼표 범주는 다음과 같이 정의되는 대상과 사상을 가진다.

'''대상''': $(A,B,\phi)$ 와 같은 튜플 형태이다.
$A$ 는 $\mathcal A$ 의 대상, $B$ 는 $\mathcal B$ 의 대상이다.
$\phi$ 는 $\mathcal C$ 에서의 사상으로, $F(A)$ 에서 $G(B)$ 로 가는 사상이다.
'''사상''': $(f,g)\in\hom_{F\downarrow G}((A,B,\phi),(A',B',\phi'))$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.
$f\in\hom_{\mathcal A}(A,A')$ 이며 $g\in\hom_{\mathcal B}(B,B')$ 이고, $\phi'\circ F(f)=G(g)\circ\phi\in\hom_{\mathcal C}(F(A),G(B'))$ 를 만족한다.
'''사상의 합성''': $(f,g)\circ(f',g')=(f\circ f',g\circ g')$ 이다.
'''항등 사상''': $\operatorname{id}_{(A,B,\phi)}=(\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_B)$ 이다.

일부 범주론에서는 정의역이 하나의 객체와 하나의 사상 범주인 특수한 경우만 쉼표 범주로 고려하기도 하지만, 쉼표 범주라는 용어는 더 일반적인 경우에도 사용된다.

2. 1. 일반적인 형태

범주

\mathcal A

,

\mathcal B

,

\mathcal C

및 함자

:

F\colon\mathcal A\to\mathcal C

:

G\colon\mathcal B\to\mathcal C

가 주어졌을 때, '''쉼표 범주'''

F\downarrow G

는 다음과 같이 정의된다.

$F\downarrow G$ 의 대상은 다음과 같은 튜플 $(A,B,\phi)$ 이다.
* $A\in\mathcal A$ , $B\in\mathcal B$ 는 각각 $\mathcal A$ 또는 $\mathcal B$ 의 대상이다.
* $\phi\in\hom_{\mathcal C}(F(A),G(B))$ 는 $\mathcal C$ 속의 사상이다.
$F\downarrow G$ 의 사상 $(f,g)\in\hom_{F\downarrow G}((A,B,\phi),(A',B',\phi'))$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.
* $f\in\hom_{\mathcal A}(A,A')$ 이며 $g\in\hom_{\mathcal B}(B,B')$ 이며, 또한 $\phi'\circ F(f)=G(g)\circ\phi\in\hom_{\mathcal C}(F(A),G(B'))$ 이다.
$F\downarrow G$ 의 사상의 합성은 $(f,g)\circ(f',g')=(f\circ f',g\circ g')$ 이다.
$F\downarrow G$ 의 항등 사상은 $\operatorname{id}_{(A,B,\phi)}=(\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_B)$ 이다.

이때, 가장 일반적인 쉼표 범주는 동일한 공역을 가진 두 개의 함자를 포함한다.

2. 2. 화살표 범주

\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{C}

이고

F = G = \operatorname{Id}_{\mathcal{C}}

인 경우, 쉼표 범주는 화살표 범주(Arrow Category)

\mathcal{C}^{\to}

가 된다. 화살표 범주

\mathcal{C}^{\to}

의 대상은

\mathcal{C}

의 사상이며,

\mathcal{C}^{\to}

의 사상은

\mathcal{C}

의 가환 사각형이다.^[1]

2. 3. 조각 범주와 쌍대 조각 범주

1

을 하나의 대상과 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자.

X^*\colon 1 \to \mathcal{C}

가

1

의 유일한 대상을

X \in \mathcal{C}

로 대응시키는 함자라고 할 때, 다음이 정의된다.

'''조각 범주'''(slice category^영어): $\mathcal{C}/X = \operatorname{Id}_{\mathcal{C}} \downarrow X^*$
'''쌍대 조각 범주'''(coslice category^영어): $X\backslash\mathcal{C} = X^* \downarrow \operatorname{Id}_{\mathcal{C}$ ^[5]

슬라이스 범주의 쌍대 개념은 코슬라이스 범주이다.^[6]

3. 성질

쉼표 범주에는 원래 범주로의 망각 함자가 존재한다.^[2]

함자 종류	기능
영역 함자	$S\downarrow T \to \mathcal A$ 는 대상을 $(A, B, h)$ 에서 $A$ 로, 사상을 $(f, g)$ 에서 $f$ 로 사상한다.
공역 함자	$S\downarrow T \to \mathcal B$ 는 대상을 $(A, B, h)$ 에서 $B$ 로, 사상을 $(f, g)$ 에서 $g$ 로 사상한다.
화살표 함자	$S\downarrow T\to {\mathcal C}^{\rightarrow}$ 는 대상을 $(A, B, h)$ 에서 $h$ 로, 사상을 $(f, g)$ 에서 $(Sf,Tg)$ 로 사상한다.

$\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 가 완비 범주이고, $T : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ 가 연속 함자일 때, 쉼표 범주 $(S \downarrow T)$ 는 완비 범주가 된다.^[2] 마찬가지로, $\mathcal{A}$ 와 $\mathcal{B}$ 가 쌍대완비 범주이고, $S : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$ 가 쌍대연속이면, $(S \downarrow T)$ 는 쌍대완비 범주이다.

보편 사상은 쉼표 범주를 사용하여 표현할 수 있다. 예를 들어, 함자 $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 가 각 대상 $c$ 를 $(c, c)$ 로 보내는 경우, $(a, b)$ 에서 $F$ 로의 보편 사상은 쉼표 범주 $((a, b) \downarrow F)$ 의 초기 대상이다.

윌리엄 로어는 수반을 쉼표 범주를 통해 집합을 사용하지 않고 설명할 수 있음을 보였다.^[3]

자연 변환은 쉼표 범주로의 함자로 나타낼 수 있다. 자연 변환 $\eta:S\to T$ 는 각 대상 $A$ 를 $(A, A, \eta_A)$ 로 매핑하는 함자 $\mathcal A \to (S\downarrow T)$ 에 해당한다.

4. 예시

Set^영어이 한원소 집합일 때, 쌍대 조각 범주 $\{\bullet\}\backslash\operatorname{Set}$ 는 점을 가진 집합의 범주이다.^[7] 마찬가지로, $\{\bullet\}\backslash\operatorname{Top}$ 은 점을 가진 공간의 범주이다.^[7]
$\operatorname{CRing}$ 이 가환환의 범주라고 할 때, 쌍대 조각 범주 $R\backslash\operatorname{CRing}$ 은 $R$ 에 대한 가환 대수의 범주 $R\text{-CAlg}$ 와 동치이다.^[7]
대수기하학에서 $\operatorname{Sch}/K$ 는 체의 아핀 공간 $\operatorname{Spec}K$ 에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 $S\in\operatorname{Sch}$ 에 대하여, $\operatorname{Sch}/S$ 는 $S$ -스킴들의 범주이다.^[7]
함자 $D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}$ 가 $D(S)=S\times S$ 라고 하면, $\operatorname{Id}_{\operatorname{Set}}\downarrow D$ 는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다.^[7]
$\operatorname{forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}$ 가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자이고, $S^*\colon 1\to\operatorname{Set}$ 가 $1$ 의 유일한 대상을 집합 $S$ 로 대응시키는 함자라고 하면, $S^*\downarrow\operatorname{forget}$ 의 시작 대상은 $S$ 로 생성되는 자유군이다.^[7]

5. 역사와 어원

프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 쉼표 범주를 도입하였다.^[8] 원래 쉼표 범주의 표기법은 쉼표를 사용한 $(F,G)$ 였기 때문에 ‘쉼표 범주’라는 이름이 붙었다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.

참조

_[1] 서적 Abstract and Concrete Categories http://katmat.math.u[...] John Wiley & Sons 1990
_[2] 서적 Computational category theory http://www.cs.man.ac[...] Prentice Hall 1988
_[3] 서적 Categories for the Working Mathematician Springer-Verlag
_[4] 문서 演算子としての「コンマ」の使用は混乱を招く可能性があるため、標準表記が変更されても名称はそのままとなっている。ローヴェア自身も「コンマ圏」という用語を適切だとは考えていないという。
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 서적 Shape theory: categorical methods of approximation http://store.doverpu[...] Dover 2014-10-26
_[8] 간행물 Functorial semantics of algebraic theories and some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories http://www.tac.mta.c[...] 2004

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