신경 (범주론)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 성질
4. 예
5. 신경 정리
- 5.1. Segal 조건
참조

1. 개요

신경은 작은 범주, 함자, 자연 변환의 2-범주에서 단체 집합, 단체 집합 사상, 단체 집합 호모토피의 2-범주로 가는 함자이다. 신경 함자는 작은 범주를 단체 집합에, 함자를 단체 집합 사이의 사상에, 자연 변환을 호모토피에 대응시킨다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 분류 공간 함자라고 한다. 신경 함자는 충실충만한 함자이며, 단체 집합이 작은 범주의 신경이 되기 위한 조건과 준군의 신경이 되기 위한 조건을 제시한다. 또한, 신경은 위상 공간과 관련된 여러 가지 예시를 가지며, 그로텐디크에 의해 단순 집합이 범주의 신경이 되기 위한 필요충분 조건이 제시되었다.

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신경 (범주론)
기본 정보
유형	수학적 구조
분야	범주론, 대수적 위상수학
발명가	장 베나부
발명 시기	1950년대
정의
정의	작은 범주의 대상과 사상에서 구성된 심플리셜 집합
속성
속성	범주의 신경은 그 범주의 골격을 코딩한다. 범주의 신경은 골격화로 볼 수 있다.
분류 공간	범주의 신경의 기하학적 실현은 범주의 분류 공간이다.
예시
예시	모임의 신경은 아미트론 복합체이다. 순서 집합의 신경은 집합의 순서 복합체이다. 그룹 간격의 신경은 에일렌베르크-매클레인 공간이다.
관련 개념
관련 개념	심플리셜 범주 완전한 심플리셜 집합 분류 공간

2. 정의

'''신경'''(神經, nerve^영어)은 작은 범주, 함자, 자연 변환의 2-범주 $\operatorname{Cat}$ 에서 단체 집합, 단체 집합 사상, 단체 집합 호모토피의 2-범주 $\operatorname{sSet}$ 로 가는 함자이다.

: $\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}$

즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다.

작은 범주 → 단체 집합
작은 범주 사이의 함자 → 단체 집합 사이의 사상
작은 범주 사이의 두 함자 사이의 자연 변환 → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 호모토피

단체 집합의 2-범주에서 위상 공간의 2-범주로 가는 기하학적 실현 함자

:

|-|\colon\operatorname{sSet}\to\operatorname{Top}

또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 '''분류 공간'''(classifying space^영어) 함자라고 한다.

:

|\operatorname{nerve}(-)|\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{Top}

== 추상적 정의 ==

작은 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 단체 범주

\triangle

는 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 가는(thin) 작은 범주로 생각할 수 있다.^[1]

함자

\operatorname{nerve}\mathcal C\colon\triangle^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

는 전순서 집합에서

\mathcal C

로 가는 함자들의 집합으로 정의된다.

:

\operatorname{nerve}\mathcal C\colon n\mapsto \hom_{\operatorname{Cat}}(n,\mathcal C)

이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 하며,

\mathcal C

의 '''신경'''이라고 한다. 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자

:

\operatorname B\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}

를 이룬다.^[1]

''C''의 각 대상에 대해 ''N''(''C'')의 0-단순체가 존재하고, ''C''의 각 사상 ''f'' : ''x'' → ''y''에 대해 1-단순체가 존재한다. ''f'' : ''x'' → ''y''와 ''g'' : ''y'' → ''z''가 ''C''의 사상이라면, 그들의 합성 ''gf'' : ''x'' → ''z''가 있고, 이 교환 삼각을 위해 2-단순체를 추가한다.

''N''(''C'')의 모든 2-단순체는 이런 방식으로 합성 가능한 사상의 쌍에서 나온다.^[1]

일반적으로, ''N''(''C'')_''k''는 합성 가능한 사상의 ''k''-튜플

:

A_0 \to A_1 \to A_2 \to \cdots \to A_{k-1} \to A_k

로 구성된다. 면 사상

d_i \colon N(C)_k\to N(C)_{k-1}

은 ''i''번째 대상에서의 사상의 합성에 의해 주어지거나, ''i''가 0 또는 ''k''일 때는 시퀀스에서 ''i''번째 대상을 제거한다. 즉, 사상 ''d''_''i''는 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''와 ''A''_''i'' → ''A''_''i''+1를 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''+1로 합성하여, 모든 ''k''-튜플에 대해 (''k'' − 1)-튜플을 생성한다. 퇴화 사상

s_i:N(C)_k\to N(C)_{k+1}

은 대상 ''A''_''i''에 항등 사상을 삽입하여 주어진다.^[1]

단순 집합은 함자 Δ^op → '''Set'''로 간주될 수 있으며, 여기서 Δ는 전순서 유한 집합과 순서 보존 사상의 범주이다. 모든 부분 순서 집합 ''P''는 대상이 ''P''의 원소이고 ''P''에서 ''q''까지의 고유한 사상이 있는 (작은) 범주 ''i''(''P'')를 생성한다. 범주 ''C''의 신경을 함자 Δ^op → '''Set'''로 설명할 수 있다.

:

N(C)(\_) = \mathrm{Fun}(i(\_),C). \,

^[1]

작은 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 함자는 단순 집합의 사상 ''N''(''C'') → ''N''(''D'')를 유도한다. 고차 범주론의 원리 중 하나의 시작점으로, 수반 함자는 호모토피 동치를 유도한다. 특히, ''C''가 초깃값 또는 종점을 가지면, 그 신경은 수축 가능하다.^[1]

== 구체적 정의 ==

작은 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 신경의 추상적인 정의는 다음과 같이 구체적으로 풀어 쓸 수 있다.^[1]

각 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여 집합

\Delta_n

을 다음과 같은, 합성이 가능한

\mathcal C

-사상들의 열의 집합이라고 정의한다.

:

X_0\xrightarrow{f_1}X_1\xrightarrow{f_2}X_2\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n

(

\Delta_0

은

\mathcal C

의 대상의 집합이며,

\Delta_1

은

\mathcal C

의 사상의 집합이다.)

각 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

및 자연수

0\le i\le n

에 대하여 함수

\partial_n^i

를 다음과 같이 정의한다.

:

\partial_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}

:

\partial_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{i-1}\xrightarrow{f_{i+1}\circ f_i}X_{i+1}\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

:

\partial_n^0\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

:

\partial_n^n\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1})

이는

i

번째 대상을 생략하는 함수이다. 즉, 사상 ''d''_''i''는 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''와 ''A''_''i'' → ''A''_''i''+1를 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''+1로 합성하여, 모든 ''k''-튜플에 대해 (''k'' − 1)-튜플을 생성한다.

또한, 각 자연수

n\in\mathbb N

및 자연수

0\le i\le n

에 대하여 함수

s_n^i

를 다음과 같이 정의한다.

:

s_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}

:

s_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_i\xrightarrow{\operatorname{id}_{X_i}}X_i\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

이는

i

번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수이다.

(\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}

는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주

\mathcal C

의 '''신경'''

\operatorname{nerve}\mathcal C

이라고 한다.

''C''의 각 대상에 대해 ''N''(''C'')의 0-단순체가 존재하며, ''C''의 각 사상 ''f'' : ''x'' → ''y''에 대해 1-단순체가 존재한다. ''f'' : ''x'' → ''y''와 ''g'' : ''y'' → ''z''가 ''C''의 사상이고, 그들의 합성 ''gf'' : ''x'' → ''z''가 있다면, 이 교환 삼각을 위해 2-단순체를 추가한다. ''N''(''C'')의 모든 2-단순체는 이런 방식으로 합성 가능한 사상의 쌍에서 나온다.

일반적으로, ''N''(''C'')_''k''는 합성 가능한 사상의 ''k''-튜플

A_0 \to A_1 \to A_2 \to \cdots \to A_{k-1} \to A_k

로 구성된다.

단순 집합은 또한 함자 Δ^op → '''Set'''로 간주될 수 있으며, 여기서 Δ는 전순서 유한 집합과 순서 보존 사상의 범주이다. 모든 부분 순서 집합 ''P''는 대상이 ''P''의 원소이고 ''P''에서 ''q''까지의 고유한 사상이 있는 (작은) 범주 ''i''(''P'')를 생성한다. 따라서 범주 Δ에서 작은 범주의 범주로의 함자 ''i''를 얻는다. 이제 범주 ''C''의 신경을 함자 Δ^op → '''Set'''로 설명할 수 있다.

:

N(C)(\_) = \mathrm{Fun}(i(\_),C). \,

신경에 대한 이러한 설명은 함자성을 투명하게 만든다. 예를 들어, 작은 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 함자는 단순 집합의 사상 ''N''(''C'') → ''N''(''D'')를 유도한다. 또한, 그러한 두 함자 사이의 자연 변환은 유도된 사상 사이의 호모토피를 유도한다.

2. 1. 추상적 정의

작은 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 단체 범주

\triangle

는 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 가는(thin) 작은 범주로 생각할 수 있다.^[1]

함자

\operatorname{nerve}\mathcal C\colon\triangle^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

는 전순서 집합에서

\mathcal C

로 가는 함자들의 집합으로 정의된다.

:

\operatorname{nerve}\mathcal C\colon n\mapsto \hom_{\operatorname{Cat}}(n,\mathcal C)

이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 하며,

\mathcal C

의 '''신경'''이라고 한다. 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자

:

\operatorname B\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}

를 이룬다.^[1]

''C''의 각 대상에 대해 ''N''(''C'')의 0-단순체가 존재하고, ''C''의 각 사상 ''f'' : ''x'' → ''y''에 대해 1-단순체가 존재한다. ''f'' : ''x'' → ''y''와 ''g'' : ''y'' → ''z''가 ''C''의 사상이라면, 그들의 합성 ''gf'' : ''x'' → ''z''가 있고, 이 교환 삼각을 위해 2-단순체를 추가한다.

''N''(''C'')의 모든 2-단순체는 이런 방식으로 합성 가능한 사상의 쌍에서 나온다.^[1]

일반적으로, ''N''(''C'')_''k''는 합성 가능한 사상의 ''k''-튜플

:

A_0 \to A_1 \to A_2 \to \cdots \to A_{k-1} \to A_k

로 구성된다. 면 사상

d_i \colon N(C)_k\to N(C)_{k-1}

은 ''i''번째 대상에서의 사상의 합성에 의해 주어지거나, ''i''가 0 또는 ''k''일 때는 시퀀스에서 ''i''번째 대상을 제거한다. 즉, 사상 ''d''_''i''는 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''와 ''A''_''i'' → ''A''_''i''+1를 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''+1로 합성하여, 모든 ''k''-튜플에 대해 (''k'' − 1)-튜플을 생성한다. 퇴화 사상

s_i:N(C)_k\to N(C)_{k+1}

은 대상 ''A''_''i''에 항등 사상을 삽입하여 주어진다.^[1]

단순 집합은 함자 Δ^op → '''Set'''로 간주될 수 있으며, 여기서 Δ는 전순서 유한 집합과 순서 보존 사상의 범주이다. 모든 부분 순서 집합 ''P''는 대상이 ''P''의 원소이고 ''P''에서 ''q''까지의 고유한 사상이 있는 (작은) 범주 ''i''(''P'')를 생성한다. 범주 ''C''의 신경을 함자 Δ^op → '''Set'''로 설명할 수 있다.

:

N(C)(\_) = \mathrm{Fun}(i(\_),C). \,

^[1]

작은 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 함자는 단순 집합의 사상 ''N''(''C'') → ''N''(''D'')를 유도한다. 고차 범주론의 원리 중 하나의 시작점으로, 수반 함자는 호모토피 동치를 유도한다. 특히, ''C''가 초깃값 또는 종점을 가지면, 그 신경은 수축 가능하다.^[1]

2. 2. 구체적 정의

작은 범주

\mathcal C

가 주어졌을 때, 신경의 추상적인 정의는 다음과 같이 구체적으로 풀어 쓸 수 있다.^[1]

각 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여 집합

\Delta_n

을 다음과 같은, 합성이 가능한

\mathcal C

-사상들의 열의 집합이라고 정의한다.

:

X_0\xrightarrow{f_1}X_1\xrightarrow{f_2}X_2\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n

(

\Delta_0

은

\mathcal C

의 대상의 집합이며,

\Delta_1

은

\mathcal C

의 사상의 집합이다.)

각 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

및 자연수

0\le i\le n

에 대하여 함수

\partial_n^i

를 다음과 같이 정의한다.

:

\partial_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n-1}

:

\partial_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{i-1}\xrightarrow{f_{i+1}\circ f_i}X_{i+1}\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

:

\partial_n^0\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

:

\partial_n^n\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto (X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1})

이는

i

번째 대상을 생략하는 함수이다. 즉, 사상 ''d''_''i''는 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''와 ''A''_''i'' → ''A''_''i''+1를 사상 ''A''_''i''−1 → ''A''_''i''+1로 합성하여, 모든 ''k''-튜플에 대해 (''k'' − 1)-튜플을 생성한다.

또한, 각 자연수

n\in\mathbb N

및 자연수

0\le i\le n

에 대하여 함수

s_n^i

를 다음과 같이 정의한다.

:

s_n^i\colon\Delta_n\to\Delta_{n+1}

:

s_n^i\colon(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)\mapsto(X_0\xrightarrow{f_1}X_1\to\cdots\to X_i\xrightarrow{\operatorname{id}_{X_i}}X_i\to\cdots\to X_{n-1}\xrightarrow{f_n}X_n)

이는

i

번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수이다.

(\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}

는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주

\mathcal C

의 '''신경'''

\operatorname{nerve}\mathcal C

이라고 한다.

''C''의 각 대상에 대해 ''N''(''C'')의 0-단순체가 존재하며, ''C''의 각 사상 ''f'' : ''x'' → ''y''에 대해 1-단순체가 존재한다. ''f'' : ''x'' → ''y''와 ''g'' : ''y'' → ''z''가 ''C''의 사상이고, 그들의 합성 ''gf'' : ''x'' → ''z''가 있다면, 이 교환 삼각을 위해 오른쪽 그림과 같은 2-단순체를 추가한다. ''N''(''C'')의 모든 2-단순체는 이런 방식으로 합성 가능한 사상의 쌍에서 나온다.

일반적으로, ''N''(''C'')_''k''는 합성 가능한 사상의 ''k''-튜플

A_0 \to A_1 \to A_2 \to \cdots \to A_{k-1} \to A_k

로 구성된다.

단순 집합은 또한 함자 Δ^op → '''Set'''로 간주될 수 있으며, 여기서 Δ는 전순서 유한 집합과 순서 보존 사상의 범주이다. 모든 부분 순서 집합 ''P''는 대상이 ''P''의 원소이고 ''P''에서 ''q''까지의 고유한 사상이 있는 (작은) 범주 ''i''(''P'')를 생성한다. ''p'' ≤ ''q'' in ''P''인 경우. 따라서 범주 Δ에서 작은 범주의 범주로의 함자 ''i''를 얻는다. 이제 범주 ''C''의 신경을 함자 Δ^op → '''Set'''로 설명할 수 있다.

:

N(C)(\_) = \mathrm{Fun}(i(\_),C). \,

신경에 대한 이러한 설명은 함자성을 투명하게 만든다. 예를 들어, 작은 범주 ''C''와 ''D'' 사이의 함자는 단순 집합의 사상 ''N''(''C'') → ''N''(''D'')를 유도한다. 또한, 그러한 두 함자 사이의 자연 변환은 유도된 사상 사이의 호모토피를 유도한다.

2-단순체.

3. 성질

신경 함자 $\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}$ 는 충실충만한 함자이다.

단체 집합 $S$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\operatorname{nerve}\mathcal C\cong S$ 인 작은 범주 $\mathcal C$ 가 존재한다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S\to1$ 은 모든 내부 뿔 포함 사상 $\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n$ ( $n\in\mathbb Z^+$ , $0)에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.$

단체 집합

S

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\operatorname{nerve}\mathcal G\cong S$ 인 준군 $\mathcal G$ 가 존재한다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S\to1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n$ ( $n\in\mathbb Z^+$ , $0\le i\le n$ )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

작은 범주

\mathcal C

에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$\mathcal C$ 는 준군이다.
$\operatorname{nerve}\mathcal C$ 는 칸 복합체이다. 즉, 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $\operatorname{nerve}\mathcal C\to1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n$ ( $n\in\mathbb Z^+$ , $0\le i\le n$ )에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $\operatorname{nerve}\mathcal C\to1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\wedge^i_n\hookrightarrow\triangle_n$ ( $n\in\mathbb Z^+$ , $0\le i\le n$ )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

위상 공간

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X\cong |S|$ 인 단체 집합 $S$ 가 존재한다.
$X\cong|\operatorname{nerve}\mathcal C|$ 인 작은 범주 $\mathcal C$ 가 존재한다.

4. 예

이산 위상을 부여한 군 $G$ 의 분류 공간 $\operatorname BG$ 를 정의할 수 있다.

군 $G$ 는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 $G$ 의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.

원시적인 예는 이산군 ''G''의 분류 공간이다. ''G''를 자기 사상이 ''G''의 원소인 하나의 객체를 가진 범주로 간주한다. 그러면 ''N''(''G'')의 ''k''-단순자는 ''G''의 원소의 ''k''-튜플이다. 면 사상은 곱셈으로 작용하고, 퇴화 사상은 항등원의 삽입으로 작용한다. 만약 ''G''가 두 개의 원소를 가진 군이라면, 각 음이 아닌 정수 ''k''에 대해 정확히 하나의 비퇴화 ''k''-단순자가 있으며, 이는 항등원을 포함하지 않는 ''G''의 원소의 고유한 ''k''-튜플에 해당한다. 기하학적 실현을 거치면, 이 ''k''-튜플은 무한 차원 실수 사영 공간에 대한 일반적인 CW 복합체 구조에서 고유한 ''k''-셀로 식별될 수 있다. 후자는 두 개의 원소를 가진 군의 분류 공간에 대한 가장 인기 있는 모델이다.

4. 1. 이산군의 분류 공간

이산 위상을 부여한 군

G

의 분류 공간

\operatorname BG

를 정의할 수 있다.

군

G

는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서

G

의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.

모든 "합리적인" 위상 공간은 작은 범주의 분류 공간과 위상 동형이다. 여기서 "합리적인"은 문제의 공간이 심플리시얼 집합의 기하학적 실현이라는 것을 의미한다. 이것은 분명히 필요한 조건이며, 충분 조건이기도 하다. 실제로, ''X''를 심플리시얼 집합 ''K''의 기하학적 실현이라고 하자. ''K''의 심플렉스 집합은 관계 ''x'' ≤ ''y''에 의해 부분적으로 순서가 지정되며, 이는 ''x''가 ''y''의 면인 경우에만 해당한다. 이 부분적으로 순서가 지정된 집합을 사상으로 관계를 가지는 범주로 간주할 수 있다. 이 범주의 신경은 ''K''의 바리 중심 세분이며, 따라서 그 실현은 ''X''와 위상 동형이다. 왜냐하면 ''X''는 가설에 의해 ''K''의 실현이고 바리 중심 세분은 실현의 위상 동형 유형을 변경하지 않기 때문이다.

4. 2. 열린 덮개의 신경

만약 ''X''가 열린 덮개 ''U''_''i''를 갖는 위상 공간이라면, 덮개의 신경은 덮개를 집합 포함 관계(따라서 사상)로 간주하여 부분적으로 순서화된 집합으로 얻어진 범주로 대체하여 위 정의로부터 얻어진다. 이 신경의 실현은 일반적으로 ''X''와 호모토피 동치가 되지 않는다는 점에 유의해야 한다. 호모토피 동치는 일반적으로 축소 가능한 교차점을 갖는 축소 가능한 집합에 의한 좋은 덮개에 대해서만 성립한다.

4. 3. 사상 공간

''D''를 범주라고 하고, ''X''와 ''Y''를 ''D''의 대상이라고 하면, 종종 사상 집합 ''X'' → ''Y''를 계산하는 데 관심을 가진다. 이 집합을 복구하기 위해 신경 구성을 사용할 수 있다. ''C'' = ''C''(''X'',''Y'')를 다음과 같은 다이어그램을 대상으로 하는 범주라고 할 수 있다.

:

X \longleftarrow U \longrightarrow V \longleftarrow Y

여기서 사상 ''U'' → ''X''와 ''Y'' → ''V''는 ''D''에서 동형사상이다. ''C''(''X'', ''Y'')의 사상은 다음 형태의 다이어그램으로 표현 가능하다.

:

여기서, 표시된 사상은 동형사상 또는 항등사상이어야 한다. ''C''(''X'', ''Y'')의 신경은 사상 ''X'' → ''Y''의 모듈 공간이다. 적절한 모형 범주 설정에서, 이 모듈 공간은 ''D''에서 ''X''에서 ''Y''로의 사상의 단체 집합과 약한 호모토피 동치이다.

5. 신경 정리

그로텐디크에 의해 단순 집합이 범주의 신경이 되기 위한 필요충분 조건은 Segal 조건을 만족하는 것이라는 정리가 증명되었다.^[2]

Segal 공간을 참고하라.

5. 1. Segal 조건

그로텐디크에 의해 단순 집합이 범주의 신경이 되기 위한 필요충분 조건은 Segal 조건을 만족하는 것이라는 정리가 증명되었다.^[2]

Segal 공간을 참고하라.

참조

_[1] 문서 The ith face of the simplex is then the one missing the ith vertex.
_[2] 웹사이트 Segal condition in NLab https://ncatlab.org/[...]

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