아브라암 드무아브르

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1. 개요
2. 생애
3. 주요 업적
4. 저서
5. 평가 및 영향
참조

1. 개요

아브라암 드무아브르는 프랑스에서 태어나 영국으로 망명한 수학자이다. 드무아브르의 정리를 증명했으며, 음이항 분포, 정규 분포, 스털링 근사 등 다양한 분야에서 업적을 남겼다. 그는 확률론 연구를 통해 해석 기하학과 확률 이론 발전에 기여했고, 《확률론》을 저술하여 확률론 발전에 기여했다.

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아브라암 드무아브르 - [인물]에 관한 문서
기본 정보
아브라함 드 무아브르
출생일	1667년 5월 26일
출생지	프랑스 왕국, 비트리르프랑수아
사망일	1754년 11월 27일
사망지	런던, 잉글랜드
분야	수학
학력	소뮈르 아카데미,
영향	아이작 뉴턴
업적
주요 업적	드 무아브르의 공식 드 무아브르의 법칙 드 무아브르의 마르팅게일 드 무아브르-라플라스 정리 포함-배제 원리 생성 함수
학문적 정보
지도 교수	자크 오자낭
기타 정보
명예	왕립 학회 회원

2. 생애

1667년 5월 26일 프랑스 마른주 비트리르프랑수아(Vitry-le-François^프랑스어)에서 태어났다. 아버지 다니엘 드무아브르(Daniel de Moivre^프랑스어)는 외과의사였으며, 드무아브르 가족은 위그노 신자였다.

11세부터 스당에 있는 위그노 스당 아카데미(Académie de Sedan^프랑스어)에서 그리스어를 공부하였다. 1682년에 스당 아카데미는 위그노 탄압으로 인해 강제로 폐교되었고, 드무아브르는 소뮈르에 있는 위그노 소뮈르 아카데미(Académie de Saumur^프랑스어)로 전학하여 2년 동안 논리학을 공부하였다. 1684년에 드무아브르는 파리로 상경하여 수학자 자크 오자망(Jacques Ozanam^프랑스어, 1640~1718) 아래서 수학을 공부하였다.

1685년 10월 22일에 루이 14세는 퐁텐블로 칙령을 내려, 위그노 교의 탄압을 강화하였고, 드무아브르는 강제로 생마르탱 수도회(Prieuré de Saint-Martin^프랑스어)에서 로마 가톨릭교회 교리를 교육받았다. 1687년에 드무아브르는 동생과 함께 영국 런던으로 망명하였다.

런던에서 드무아브르는 수학 가정 교사로 일했으며, 틈틈이 아이작 뉴턴의 《프린키피아》를 공부하였다. 이후 에드먼드 핼리와 아이작 뉴턴과 교우하였고, 1695년에 미적분학에 대한 첫 논문을 왕립 학회에 발표하였다. 1697년 11월에 드무아브르는 왕립 학회의 회원이 되었다.^[1]

드무아브르는 평생 교수직을 얻지 못했으며, 수학 개인 강사로 일하며 빈곤에 시달렸다. 노년에 자신의 수면 시간이 매일 15분씩 증가한다는 사실을 발견하였고, 1754년 11월 27일에는 하루 수면 시간이 24시간에 이르게 될 것이라고 예측했다. 실제로 드무아브르는 예측한 대로 이날 런던에서 사망하였고, 런던 세인트 마틴 인더 필즈 교회에 매장되었다.^[6]

2. 1. 유년기

1667년 5월 26일 프랑스 마른주 비트리르프랑수아(Vitry-le-François^프랑스어)에서 태어났다. 아버지 다니엘 드무아브르(Daniel de Moivre^프랑스어)는 외과의사였으며, 드무아브르 가족은 위그노 신자였다.

11세부터 스당에 있는 위그노 스당 아카데미(Académie de Sedan^프랑스어)에서 그리스어를 공부하였다. 1682년에 스당 아카데미는 위그노 탄압으로 인해 강제로 폐교되었고, 드무아브르는 소뮈르에 있는 위그노 소뮈르 아카데미(Académie de Saumur^프랑스어)로 전학하여 2년 동안 논리학을 공부하였다. 1684년에 드무아브르는 파리로 상경하여 수학자 자크 오자망(Jacques Ozanam^프랑스어, 1640~1718) 아래서 수학을 공부하였다.

1685년 10월 22일에 루이 14세는 퐁텐블로 칙령을 내려, 위그노 교의 탄압을 강화하였고, 드무아브르는 강제로 생마르탱 수도회(Prieuré de Saint-Martin^프랑스어)에서 로마 가톨릭교회 교리를 교육받았다. 드무아브르는 동생과 함께 1687년에 영국 런던으로 망명하였다.

2. 2. 성년기

런던에서 드무아브르는 수학 가정 교사로 일했으며, 틈틈이 아이작 뉴턴의 《프린키피아》를 공부하였다. 이후 에드먼드 핼리와 아이작 뉴턴과 교우하였고, 1695년에 미적분학에 대한 첫 논문을 왕립 학회에 발표하였다. 1697년 11월에 드무아브르는 왕립 학회의 회원이 되었다.^[1]

1718년에 드무아브르는 175쪽의 《확률론》(The doctrine of chances^영어) 초판을 출판하였다. 이는 확률론의 시초를 이루는 책 가운데 하나이다. 1730년에 드무아브르는 《해석잡론》(Miscellanea analytica^la)을 출판하였으며, 여기에 스털링 근사를 최초로 사용하였으나 스털링 근사의 상수항을 계산하지 못했다.

《확률론》 2판은 258쪽이었으며, 1738년에 출판되었다. 《확률론》 2판에서 드무아브르는 정규 분포와 중심 극한 정리를 최초로 사용하였다. 《확률론》 3판은 드무아브르 사후에 1756년에 출판되었으며, 총 348쪽이었다.

드무아브르는 런던에 도착했을 즈음, 여러 표준 교재에 대한 훌륭한 지식을 가진 유능한 수학자였다.^[1] 생계를 위해 런던에서 학생들을 방문하거나 커피 하우스에서 수학을 가르치는 개인 교사가 되었다. 드무아브르는 데본셔 백작을 방문하고 뉴턴의 최근 저서인 《프린키피아》를 본 후에도 수학 연구를 계속했다. 그는 그 책이 이전에 공부했던 책들보다 훨씬 더 심오하다는 것을 깨달았고, 그것을 읽고 이해하기로 결심했다. 그러나 학생들 사이를 이동하기 위해 런던을 오랫동안 걸어 다녀야 했기 때문에 공부할 시간이 거의 없었고, 그래서 책에서 페이지를 찢어 수업 사이에 읽기 위해 주머니에 넣고 다녔다.

아마도 사실이 아닐 수도 있는 이야기에 따르면, 뉴턴은 말년에 수학적 질문을 하는 사람들에게 드무아브르를 소개하며 "그는 이 모든 것을 나보다 더 잘 알고 있다"고 말했다.^[2]

1692년경, 드무아브르는 에드먼드 핼리와 친구가 되었고, 곧 아이작 뉴턴과도 친구가 되었다. 1695년, 핼리는 드무아브르가 유율법을 《프린키피아》에서 연구하면서 얻은 첫 번째 수학 논문을 왕립 학회에 전달했다. 이 논문은 같은 해 《철학 회보》에 게재되었다. 이 논문을 발표한 직후, 드무아브르는 또한 뉴턴의 이항 정리를 다항 정리로 일반화했다. 왕립 학회는 1697년에 이 방법을 알게 되었고, 1697년 11월 30일에 드무아브르를 회원으로 선출했다.

드무아브르가 받아들여진 후, 핼리는 그에게 천문학에 관심을 기울이도록 격려했다. 1705년, 드무아브르는 직관적으로 "어떤 행성의 구심력은 힘의 중심으로부터의 거리에 직접적으로 비례하고, 곡률 진화선의 지름과 접선에 수직인 선의 세제곱의 곱에 반비례한다"는 것을 발견했다. 즉, 행성 M이 초점 F를 중심으로 타원 궤도를 따라 이동하고 PM이 곡선에 접하고 FPM이 직각이 되어 FP가 접선에 수직인 지점 P를 갖는 경우, P점에서의 구심력은 FM/(R*(FP)³)에 비례하며, 여기서 R은 M에서의 곡률 반경이다. 수학자 요한 베르누이는 1710년에 이 공식을 증명했다.

이러한 성공에도 불구하고 드무아브르는 어떤 대학에서도 수학과 교수로 임명되지 못했는데, 이는 그를 당시 다른 대부분의 수학자들보다 더 큰 부담을 주었던, 시간을 많이 잡아먹는 개인 교습에 대한 의존에서 벗어나게 했을 것이다. 적어도 부분적인 이유는 그의 프랑스 출신에 대한 편견 때문이었다.^[3]^[4]^[5]

1697년 11월, 그는 왕립 학회 회원으로 선출되었고,^[1] 1712년에는 학회가 설치한 위원회에 아버스넛, 힐, 핼리, 존스, 머신, 버넷, 로바츠, 보넷, 아스톤, 그리고 테일러와 함께 임명되어 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 누가 발견했는지에 대한 주장을 검토했다. 논쟁의 자세한 내용은 라이프니츠와 뉴턴의 미적분학 논쟁 기사에서 찾을 수 있다.

드무아브르는 평생 가난하게 살았다. 그는 체스를 두며 약간의 돈을 벌었던 크랜본 스트리트의 세인트 마틴 레인에 있는 올드 슬로터 커피 하우스의 단골 고객이었다고 한다.

2. 3. 말년

드무아브르는 평생 교수직을 얻지 못했으며, 수학 개인 강사로 일하며 빈곤에 시달렸다. 그는 노년에 자신의 수면 시간이 매일 15분씩 증가한다는 사실을 발견하였다. 1754년 11월 27일에는 하루 수면 시간이 24시간에 이르게 되고, 이날에 자신이 사망할 것이라고 예측했다. 실제로 드무아브르는 예측한 대로 이날 런던에서 사망하였고, 런던 세인트 마틴 인더 필즈 교회에 매장되었다.^[6]

드무아브르는 1754년 사망할 때까지 확률론과 수학 분야를 계속 연구했으며, 사후에도 몇 편의 논문이 추가로 발표되었다. 나이가 들면서 그는 점점 더 무기력증에 시달렸고 더 긴 수면 시간을 필요로 했다. 드무아브르가 매일 밤 15분씩 더 잠을 자는 것을 알아차리고 수면 시간이 24시간에 도달하는 날, 즉 1754년 11월 27일을 자신의 사망일로 정확하게 계산했다는 주장이 널리 퍼져 있다. 그는 실제로 그날 런던에서 사망했으며, 그의 시신은 세인트 마틴 인 더 필즈에 매장되었지만, 나중에 이장되었다. 그러나 그가 자신의 죽음을 예측했다는 주장은 당시 어디에서도 문서화되지 않았다는 이유로 논쟁의 대상이 되었다.^[7]

3. 주요 업적

드무아브르는 크리스티안 호이겐스와 베르누이 가문의 연구를 확장하여 해석 기하학과 확률 이론의 발전을 이끌었다. 그는 확률 이론에 관한 교과서 《확률론: 도박에서 사건의 확률을 계산하는 방법》(The Doctrine of Chances)을 저술했다. 이 책은 1711년 라틴어로, 1718년, 1738년, 1756년에 영어로 총 네 번 출판되었다. 드무아브르는 책의 후기 판에서 가우스 함수(정규 분포)에서 이항 분포에 대한 근사치를 처음으로 제시하였다.^[8] 이는 주어진 크기의 오차가 발생할 확률을 구하는 최초의 방법이었으며, 가능 오차 계산을 처음으로 식별한 것이었다. 또한 그는 이러한 이론을 도박 문제와 생명 보험 통계표에 적용했다.

확률에서 n!과 같은 표현은 계산기가 없던 시절에는 계산하기 어려웠다. 1733년 드무아브르는 팩토리얼을 추정하는 공식으로 ''n''! = ''cn''^(''n''+1/2)''e''^−''n''을 제안했다. 그는 상수 ''c''에 대한 근사식을 얻었지만, c가 임을 밝힌 사람은 제임스 스털링이었다.^[9]

드무아브르는 "생명 연금에 관하여"라는 논문에서 사람의 나이에 따른 사망률의 정규 분포를 밝혔다. 이를 바탕으로 연간 지불금으로 발생하는 수입을 근사하는 공식을 만들었는데, 이는 오늘날 보험 회사가 사용하는 공식과 유사하다.

푸아송 분포에 대한 몇몇 결과는 드무아브르에 의해 처음 소개되었다.^[10] 그 결과, 일부 학자들은 푸아송 분포가 드무아브르의 이름을 따야 한다고 주장하기도 한다.^[11]^[12]

1707년, 드무아브르는 다음 식을 유도했다.

: $\cos x = \tfrac{1}{2} (\cos(nx) + i\sin(nx))^{1/n} + \tfrac{1}{2}(\cos(nx) - i\sin(nx))^{1/n}$

그는 이것을 모든 양의 정수 ''n''에 대해 증명할 수 있었다.^[13]^[14] 1722년, 그는 드무아브르의 공식의 더 잘 알려진 형태를 추론할 수 있는 식들을 제시했다.

: $(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx). \,$ ^[15]^[16]

1749년 오일러는 오일러 공식을 사용하여 이 공식을 임의의 실수 n에 대해 증명했다.^[17] 이 공식은 복소수와 삼각법을 관련짓는다는 점에서 중요하다.

3. 1. 확률론

아이작 뉴턴의 《프린키피아》를 공부한 드무아브르는 1718년에 확률론의 시초를 이루는 책 가운데 하나인 《확률론》(The doctrine of chances^영어) 초판을 출판하였다.^[8] 1738년에 출판된 《확률론》 2판에서 정규 분포와 중심 극한 정리를 최초로 사용하였다.^[8] 《확률론》 3판은 드무아브르 사후 1756년에 출판되었다. (드무아브르-라플라스 정리 참고)

드무아브르는 크리스티안 호이겐스와 베르누이 가문의 연구를 확장하여 해석 기하학과 확률 이론의 발전을 개척했다. 그는 확률 이론에 관한 두 번째 교과서인 《확률론: 도박에서 사건의 확률을 계산하는 방법》을 저술했다.^[8] 이 책은 1711년 라틴어로, 1718년, 1738년, 1756년에 영어로 총 네 번 출판되었다. 드무아브르는 책의 후기 판에서 현재 가우스 함수 또는 정규 분포라고 부르는 용어에서 이항 분포에 대한 근사치를 처음으로 제시하였다.^[8] 이는 분포의 변동성을 단위로 표현했을 때 주어진 크기의 오차가 발생할 확률을 구하는 최초의 방법이었으며, 가능 오차 계산을 처음으로 식별한 것이었다. 또한 그는 이러한 이론을 도박 문제와 생명 보험 통계표에 적용했다.

1733년 드무아브르는 팩토리얼을 추정하는 공식으로 ''n''! = ''cn''^(''n''+1/2)''e''^−''n''을 제안했다. 그는 상수 ''c''에 대한 근사식을 얻었지만, c가 임을 밝힌 사람은 제임스 스털링이었다.^[9]

드무아브르는 "생명 연금에 관하여"라는 논문에서 사람의 나이에 따른 사망률의 정규 분포를 밝혔다. 이를 통해 그는 사람의 나이를 기준으로 연간 지불금으로 발생하는 수입을 근사하는 공식을 만들었는데, 이는 오늘날 보험 회사가 사용하는 공식과 유사하다.

푸아송 분포에 대한 몇몇 결과는 드무아브르에 의해 처음 소개되었으며,^[10] 그 결과, 일부 저자들은 푸아송 분포가 드무아브르의 이름을 따야 한다고 주장하기도 한다.^[11]^[12]

음이항 분포, (이항 분포의 극한으로서의) 정규 분포, 오늘날 스털링 근사로 알려진 근사식 등도 그의 연구 성과이다. 다음 세대의 라플라스는 드 무아브르의 재귀 급수 절차가 라그랑주가 이후 선형 차분 방정식의 적분에 사용한 것과 같다고 기술했다.

3. 2. 스털링 근사

1730년에 드무아브르는 《해석잡론》(Miscellanea analytica^la)을 출판하였으며, 여기에 스털링 근사를 최초로 사용하였으나, 스털링 근사의 상수항을 계산하지는 못했다.^[18]^[19]^[20]

드무아브르는 확률을 연구하면서 이항 계수를 계산해야 했고, 이는 팩토리얼을 계산해야 함을 의미했다. 큰 값의 ''n''에 대해, 드무아브르는 이항 전개의 항의 계수를 근사했다. 짝수이고 큰 양의 정수 ''n''이 주어졌을 때, (1 + 1)^''n''의 중간 항의 계수는 다음 식으로 근사된다:^[21]^[22]

::

{n \choose n/2} = \frac {n!}{((\frac {n}{2})!)^2} \approx 2^n \frac{2 \frac{21}{125} {(n-1)}^{n-\frac{1}{2}}}{n^n}

1729년 6월 19일, 제임스 스털링은 드무아브르에게 편지를 보내 큰 값의 ''n''에 대해 이항 전개 (''a'' + ''b'')^''n''의 중간 항의 계수를 계산하는 방법을 제시했다.^[23]^[24] 1730년, 스털링은 그의 저서 《미분법》(Methodus Differentialis^la)을 출판했는데, 여기에는 log(''n''!)에 대한 그의 급수가 포함되어 있었다:^[25]

::

\log_{10} (n + \frac {1}{2})! \approx \log_{10} \sqrt{2\pi} + n \log_{10} n  - \frac {n} {\ln 10},

따라서 큰

n

에 대해

n! \approx \sqrt{2\pi} \left(\frac {n}{e}\right)^n

이다.

1733년 11월 12일, 드무아브르는 팸플릿 《이항식 (''a'' + ''b'')^''n''의 항의 합의 급수 전개에 대한 근사》(Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (''a'' + ''b'')^''n'' in Seriem expansi^la)를 사적으로 출판하고 배포했는데, 여기에서 그는 스털링의 편지를 인정하고 이항 전개의 중심 항에 대한 대체 표현식을 제안했다.^[26]

3. 3. 드무아브르의 정리

1707년, 드무아브르는 다음 식을 유도했는데, 이 식으로부터 다음을 추론할 수 있다.

:

\cos x = \tfrac{1}{2} (\cos(nx) + i\sin(nx))^{1/n} + \tfrac{1}{2}(\cos(nx) - i\sin(nx))^{1/n}

그는 이것을 모든 양의 정수 ''n''에 대해 증명할 수 있었다.^[13]^[14] 1722년, 그는 드무아브르의 공식의 더 잘 알려진 형태를 추론할 수 있는 식들을 제시했다.

:

(\cos x + i\sin x)^n = \cos(nx) + i\sin(nx). \,

^[15]^[16]

1749년 오일러는 오일러 공식을 사용하여 이 공식을 임의의 실수 n에 대해 증명했고, 이는 증명을 매우 간단하게 만들었다.^[17] 이 공식은 복소수와 삼각법을 관련짓는다는 점에서 중요하다. 또한, 이 공식을 통해 cos(''x'')와 sin(''x'')를 사용하여 cos(''nx'')와 sin(''nx'')에 대한 유용한 표현식을 도출할 수 있다.

3. 4. 기타 업적

드무아브르는 1718년에 175쪽의 《확률론》(The doctrine of chances^영어) 초판을 출판하였는데, 이는 확률론의 시초를 이루는 책 가운데 하나이다.^[27] 1730년에는 《해석잡론》(Miscellanea analytica^la)을 출판하였으며, 여기에 스털링 근사를 최초로 사용하였으나 스털링 근사의 상수항을 계산하지 못했다.

1738년에 출판된 《확률론》 2판은 258쪽으로, 정규 분포와 중심 극한 정리를 최초로 사용하였다. 《확률론》 3판은 드무아브르 사후인 1756년에 출판되었으며, 총 348쪽이었다.

음이항 분포, (이항 분포의 극한으로서의) 정규 분포, 오늘날 스털링 근사로 알려진 근사식 등도 그의 연구 성과이다. 다음 세대의 라플라스는 드무아브르의 재귀 급수 절차가 라그랑주가 이후 선형 차분 방정식의 적분에 사용한 것과 같다고 기술했다.

4. 저서

Miſcellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis. Acceſsere Variæ Conſiderationes de Methodis Comparationum, Combinationum & Differentiarum, Solutiones difficiliorum aliquot Problematum ad Sortem ſpectantium, itemque Conſtructiones faciles orbium planetarum, una cum determinatione maximarum & minimarum mutationum quæ in motibus Corporum cœleſtium occurrunt|수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論): 다양한 비교 · 조합 · 미분법, 운(運)에 대한 난제들의 해법, 행성 궤도의 용이한 작도법, 천체 운동의 최대·최소의 계산법을 포함^la
《확률론: 노름에서 사건의 확률의 계산법》
《확률론: 노름에서 사건의 확률의 계산법》 제2판
《확률론: 노름에서 사건의 확률의 계산법》 제3판

5. 평가 및 영향

샹파뉴 지방에서 태어났지만 칼뱅파 신교도(위그노)였기 때문에, 1685년 낭트 칙령이 폐지되자 잉글랜드로 망명했다.^[27] 그의 업적은 잉글랜드에서 이루어졌으며, 평생 궁핍하게 살았다.

주요 업적으로는 드 무아브르의 정리를 증명한 것으로 알려져 있다.^[27] 음이항 분포, (이항 분포의 극한으로서의) 정규 분포, 오늘날 스털링 근사로 알려진 근사식 등도 그의 연구 성과이다. 라플라스는 드 무아브르의 재귀 급수 절차가 라그랑주가 이후 선형 차분 방정식의 적분에 사용한 것과 같다고 기술했다. 1697년 왕립 학회 회원으로 선출되었다.^[27]

참조

_[1] MacTutor Biography
_[2] 서적 Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications Taylor & Francis
_[3] 서적 The ascent of mathematics McGraw-Hill
_[4] 서적 Cavendish https://books.google[...] American Philosophical Society
_[5] 서적 Encyclopedia of Mathematics https://books.google[...] Infobase Publishing
_[6] 서적 History of Mathematics American Mathematical Society
_[7] 웹사이트 Biographical details - Did Abraham de Moivre really predict his own death? http://hsm.stackexch[...]
_[8] 간행물 Abraham De Moivre (12 November 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)ⁿ in seriem expansi"
_[9] 학술지 Historical note on the origin of the normal curve of errors
_[10] 서적 Univariate Discrete distributions Wiley
_[11] 학술지 Poisson on the poisson distribution
_[12] 학술지 A. de Moivre:'De Mensura Sortis' or'On the Measurement of Chance'
_[13] 학술지 Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica 1707
_[14] citation A Source Book in Mathematics, Volume 3 https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[15] 학술지 De sectione anguli https://zenodo.org/r[...] 2020-06-06
_[16] 학술지 De reductione radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio $a + \sqrt{+b}$ , vel $a + \sqrt{-b}$ . Epistola. 1738
_[17] 학술지 Recherches sur les racines imaginaires des equations https://archive.org/[...] 1749
_[18] 간행물 Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (''a'' + ''b'')^''n'' in Seriem expansi"
_[19] 간행물 Original proofs of Stirling's series for log (''N''!)
_[20] 서적 Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis https://books.google[...] J. Tonson & J. Watts 1730
_[21] 간행물 From p. 102 of (de Moivre, 1730)
_[22] 학술지 A letter from the late Reverend Mr. Bayes, F.R.S. to John Canton, M.A. and F.R.S. 1763-12-31
_[23] 간행물 (de Moivre, 1730)
_[24] 서적 Symmetry and Its Discontents: Essays on the History of Inductive Probability https://books.google[...] Cambridge University Press 2005
_[25] 서적 Methodus Differentialis … https://archive.org/[...] G. Strahan 1730
_[26] 학술지 A rare pamphlet of Moivre and some of his discoveries 1926-10
_[27] Kotobank 2022-10-02

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