야코비 타원함수

3. 성질

야코비 타원함수는 타원 함수의 일종으로, 실수축과 허수축 방향으로 주기를 갖는 이중 주기 함수이다. 주요 성질은 다음과 같다.

• 주기성: sn, cn, dn 함수는 각각 실수축 방향으로 4K(m), 허수축 방향으로 4iK'(m)의 주기를 갖는다. 여기서 K(m)과 K'(m)은 제1종 완전 타원 적분으로 정의되는 특수 함수이다.
• 극점과 영점: sn, cn, dn 함수는 복소 평면에서 반복되는 극점과 영점을 갖는다. 각 함수는 자신의 역함수와 극점, 영점의 위치가 서로 바뀐다.
• 삼각함수·쌍곡함수와의 관계: 매개변수 m의 값에 따라 야코비 타원함수는 삼각함수 (m=0) 또는 쌍곡함수 (m=1)로 축소된다.
• 항등식: 야코비 타원함수는 삼각함수와 유사하게 sn²(u;m) + cn²(u;m) = 1, m sn²(u;m) + dn²(u;m) = 1 등의 항등식을 만족한다.
• 미분: sn, cn, dn 함수의 미분은 각각 cn(z)dn(z), -sn(z)dn(z), -m sn(z)cn(z)이다.

3. 1. 주기성

(−1)^''γ''가 −1이면 준주기성을, 1이면 완전 주기성을 나타낸다. 예를 들어, α가 짝수일 때 α만 포함하는 함수는 4''K''(''m'')과 2''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를 갖는다. β만 포함하는 함수는 2K(m) 및 4''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를, α + β를 갖는 함수는 4''K''(''m'') 및 4''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를 갖는다.

3. 2. 극점과 영점

• $\backslash operatorname\{sn\}(0;m)=0$
• $\backslash operatorname\{cn\}(K(m);m)=0$
• $\backslash operatorname\{dn\}(K(m)+iK\text{'}(m);m)=0$

인자 (−1)^''γ''가 −1과 같을 때, 이 방정식은 준주기성을 나타낸다. 1과 같을 때는 완전 주기성을 나타낸다.

각 함수의 역은 대각선과 반대이며, 극과 영점이 교환된 동일한 크기의 단위 셀을 갖는다. (0,0), (''K'',0), (0,''K''′) 및 (''K'',''K''′)로 형성된 보조 사각형의 극과 영점 배치는 위에 설명된 극과 영점 배치 설명과 일치한다. 원점에 가장 가까운 극(즉, 보조 사각형 내)의 잔류물은 다음 표에 나열되어 있다.

2''K''만큼 위로 이동하거나 2''K''′만큼 오른쪽으로 이동한 극은 부호가 반전된 동일한 값을 가지며, 대각선 맞은편에 있는 극은 동일한 값을 갖는다.

극에 대한 정보는 야코비 타원 함수를 특성화하는 데 사용될 수 있다.^[15]

• 함수 $u\backslash mapsto\backslash operatorname\{sn\}(u,m)$은 $2rK+(2s+1)iK\text{'}$($r,s\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$)에서 $(-1)^r/\backslash sqrt\{m\}$의 잔류물을 갖는 유일한 타원 함수이며, $0$에서 $0$의 값을 갖는다.
• 함수 $u\backslash mapsto\backslash operatorname\{cn\}(u,m)$은 $2rK+(2s+1)iK\text{'}$($r,s\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$)에서 $(-1)^\{r+s-1\}i/\backslash sqrt\{m\}$의 잔류물을 갖는 유일한 타원 함수이며, $0$에서 $1$의 값을 갖는다.
• 함수 $u\backslash mapsto\backslash operatorname\{dn\}(u,m)$은 $2rK+(2s+1)iK\text{'}$($r,s\backslash in\backslash mathbb\{Z\}$)에서 $(-1)^\{s-1\}i$의 잔류물을 갖는 유일한 타원 함수이며, $0$에서 $1$의 값을 갖는다.

3. 3. 삼각함수·쌍곡함수와의 관계

• $\backslash operatorname\{sn\}(u;0)=\backslash sin\; u$
• $\backslash operatorname\{cn\}(u;0)=\backslash cos\; u$
• $\backslash operatorname\{dn\}(u;0)=1$

• $\backslash operatorname\{sn\}(u;1)=\backslash tanh\; u$
• $\backslash operatorname\{cn\}(u;1)=\backslash operatorname\{dn\}(u;1)=\backslash frac1\{\backslash cosh\; u\}$

• $\backslash operatorname\{sl\}u=\backslash operatorname\{sn\}(u,-1)$
• $\backslash operatorname\{cl\}u=\backslash operatorname\{cd\}(u,-1)=\backslash frac\{\backslash operatorname\{cn\}(u,-1)\}\{\backslash operatorname\{dn\}(u,-1)\}$

야코비 진폭의 경우, $\backslash operatorname\{am\}(u,0)=u$이고 $\backslash operatorname\{am\}(u,1)=\backslash operatorname\{gd\}u$이며, 여기서 $\backslash operatorname\{gd\}$는 구데르만 함수이다.

일반적으로 p, q가 모두 d가 아니면 $\backslash operatorname\{pq\}(u,1)=\backslash operatorname\{pq\}(\backslash operatorname\{gd\}(u),0)$이다.

3. 4. 항등식

• \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)

• k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)

3. 5. 합 공식

3. 6. 미분

• $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\backslash ,\; \backslash operatorname\{sn\}\; z\; =\; \backslash operatorname\{cn\}z\backslash operatorname\{dn\}z$
• $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\backslash ,\; \backslash operatorname\{cn\}z\; =\; -\backslash operatorname\{sn\}z\; \backslash operatorname\{dn\}z$
• $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\backslash ,\; \backslash operatorname\{dn\}z\; =\; -\; m\backslash operatorname\{sn\}z\; \backslash operatorname\{cn\}z$

또한, 타원 적분과 관련된 함수의 미분은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dz\}\backslash mathcal\{E\}(z)=\backslash operatorname\{dn\}(z)^2.$

덧셈 정리를 통해, 0 < ''m'' < 1인 주어진 ''m''에 대해 주요 함수는 다음 비선형 상미분 방정식의 해가 된다.

• $\backslash operatorname\{sn\}(x)$는 다음 미분 방정식을 만족한다.
• * $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; +\; (1+m)\; y\; -\; 2\; m\; y^3\; =\; 0$
• * $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (1-y^2)\; (1-m\; y^2)$
• $\backslash operatorname\{cn\}(x)$는 다음 미분 방정식을 만족한다.
• * $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; +\; (1-2m)\; y\; +\; 2\; m\; y^3\; =\; 0$
• * $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (1-y^2)\; (1-m\; +\; my^2)$
• $\backslash operatorname\{dn\}(x)$는 다음 미분 방정식을 만족한다.
• * $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; -\; (2\; -\; m)\; y\; +\; 2\; y^3\; =\; 0$
• * $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (y^2\; -\; 1)\; (1\; -\; m\; -\; y^2)$

4. 역사

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum^la)에서 도입하였다.^[33]

5. 표기법

타원 함수는 다양한 표기법으로 나타낼 수 있으며, 이는 혼란을 야기할 수 있다. 타원 함수는 두 변수의 함수이다. 첫 번째 변수는 '''진폭''' $\backslash varphi$로 표현될 수 있으며, 더 흔하게는 $u$로 표현된다. 두 번째 변수는 '''매개변수''' $m$으로, 또는 $k^2=m$인 '''타원 모듈러스''' $k$로, 또는 $m=\backslash sin^2\backslash alpha$인 '''모듈 각도''' $\backslash alpha$로 표현될 수 있다.^[2] $k$와 $m$의 여원은 $m\text{'}=1-m$ 및 $k\text{'}\; =\; \backslash sqrt\{m\text{'}\}$로 정의된다.

12개의 야코비 타원 함수는 일반적으로 $\backslash operatorname\{pq\}(u,\; m)$로 표기되며, 여기서 $\backslash mathrm\; p$와 $\backslash mathrm\; q$는 $\backslash mathrm\; c$, $\backslash mathrm\; s$, $\backslash mathrm\; n$, $\backslash mathrm\; d$ 중 임의의 문자이다. $\backslash operatorname\{pp\}(u,m)$ 형태의 함수는 표기 완성을 위해 자명하게 1로 설정된다. "주요" 함수는 일반적으로 $\backslash operatorname\{cn\}(u,m)$, $\backslash operatorname\{sn\}(u,m)$ 및 $\backslash operatorname\{dn\}(u,m)$으로 간주되며, 이들로부터 다른 모든 함수를 파생할 수 있다.

이 함수는 곱셈 규칙에 의해 서로 표기적으로 관련된다. (인수는 생략)

:$\backslash operatorname\{pq\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{p\text{'}q\text{'}\}=\; \backslash operatorname\{pq\text{'}\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{p\text{'}q\}$

이로부터 다른 일반적으로 사용되는 관계를 파생할 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash operatorname\{pr\}\}\{\backslash operatorname\{qr\}\}=\backslash operatorname\{pq\}$

:$\backslash operatorname\{pr\}\backslash cdot\; \backslash operatorname\{rq\}=\backslash operatorname\{pq\}$

:$\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{qp\}\}=\backslash operatorname\{pq\}$

곱셈 규칙은 타원 함수를 네빌 세타 함수로 식별하는 데서 바로 유래한다.^[5]

:$\backslash operatorname\{pq\}(u,m)=\backslash frac\{\backslash theta\_\backslash operatorname\{p\}(u,m)\}\{\backslash theta\_\backslash operatorname\{q\}(u,m)\}$

6. 야코비 세타 함수를 이용한 정의

마찬가지로, 야코비 타원 함수는 세타 함수를 사용하여 정의할 수 있다.^[10] 야코비 타원 함수는 야코비 세타 함수를 사용하여 정의할 수 있다.

$z,\backslash tau\backslash in\backslash mathbb\{C\}$이고 $\backslash operatorname\{Im\}\backslash tau\; >0$일 때, 야코비 세타 함수는 다음과 같다.

:$\backslash theta\_1(z|\backslash tau)=\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (-1)^\{n-\backslash frac12\}e^\{(2n+1)iz+\backslash pi\; i\backslash tau\backslash left(n+\backslash frac12\backslash right)^2\},$

:$\backslash theta\_2(z|\backslash tau)=\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{(2n+1)iz+\backslash pi\; i\backslash tau\; \backslash left(n+\backslash frac12\backslash right)^2\},$

:$\backslash theta\_3(z|\backslash tau)=\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{2niz+\backslash pi\; i\backslash tau\; n^2\},$

:$\backslash theta\_4(z|\backslash tau)=\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; (-1)^n\; e^\{2niz+\backslash pi\; i\backslash tau\; n^2\}$

$\backslash theta\_2(\backslash tau)=\backslash theta\_2(0|\backslash tau)$, $\backslash theta\_3(\backslash tau)=\backslash theta\_3(0|\backslash tau)$, $\backslash theta\_4(\backslash tau)=\backslash theta\_4(0|\backslash tau)$로 놓으면, $K=K(m)$, $K\text{'}=K(1-m)$, $\backslash zeta=\backslash pi\; u/(2K)$ 및 $\backslash tau=iK\text{'}/K$에 대해, 야코비 타원 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname{cn}(u,m)&=\frac{\theta_4(\tau)\theta_2(\zeta|\tau)}{\theta_2(\tau)\theta_4(\zeta|\tau)},\\

\operatorname{dn}(u,m)&=\frac{\theta_4(\tau)\theta_3(\zeta|\tau)}{\theta_3(\tau)\theta_4(\zeta|\tau)}.\end{align}

야코비 zn 함수는 세타 함수로도 표현할 수 있다.

:

&=\frac{\pi}{2K}\frac{\theta_{2}'(\zeta|\tau)}{\theta_{2}(\zeta|\tau)}+\frac{\operatorname{dn}(u,m)\operatorname{sn}(u,m)}{\operatorname{cn}(u,m)}\\

&=\frac{\pi}{2K}\frac{\theta_{1}'(\zeta|\tau)}{\theta_{1}(\zeta|\tau)}-\frac{\operatorname{cn}(u,m)\operatorname{dn}(u,m)}{\operatorname{sn}(u,m)}\end{align}

여기서 $\text{'}$는 첫 번째 변수에 대한 편미분을 나타낸다.

야코비 타원 함수는 테타 함수를 사용하여 정의할 수도 있다. $\backslash vartheta(0;\backslash tau)$를 $\backslash vartheta$로 줄여 쓰고, $\backslash vartheta\_\{01\}(0;\backslash tau),\; \backslash vartheta\_\{10\}(0;\backslash tau),\; \backslash vartheta\_\{11\}(0;\backslash tau)$도 각각 $\backslash vartheta\_\{01\},\; \backslash vartheta\_\{10\},\; \backslash vartheta\_\{11\}$(테타 상수)로 줄여 쓴다. 이 때, 모수 ''k''는 $k=\backslash left(\{\backslash vartheta\_\{10\}\; \backslash over\; \backslash vartheta\}\backslash right)^2$가 된다. $u\; =\; \backslash pi\; \backslash vartheta^2\; z$로 놓으면,

:$\backslash mathrm\{sn\}(u;\; k)\; =\; -\{\backslash vartheta\; \backslash vartheta\_\{11\}(z;\backslash tau)\; \backslash over\; \backslash vartheta\_\{10\}\; \backslash vartheta\_\{01\}(z;\backslash tau)\}$

:$\backslash mathrm\{cn\}(u;\; k)\; =\; \{\backslash vartheta\_\{01\}\; \backslash vartheta\_\{10\}(z;\backslash tau)\; \backslash over\; \backslash vartheta\_\{10\}\; \backslash vartheta\_\{01\}(z;\backslash tau)\}$

:$\backslash mathrm\{dn\}(u;\; k)\; =\; \{\backslash vartheta\_\{01\}\; \backslash vartheta(z;\backslash tau)\; \backslash over\; \backslash vartheta\; \backslash vartheta\_\{01\}(z;\backslash tau)\}$

가 된다.

이로써 야코비 함수가 모수 ''k''(τ)의 식으로 정의되었으므로, 이것을 반전하여 τ를 ''k''의 식으로 나타낼 필요가 있다. 먼저, ''여모수''$k\text{'}\; =\; \backslash sqrt\{1-k^2\}$를 생각한다. 이것은 τ의 함수로,

:$k\text{'}(\backslash tau)\; =\; \backslash left(\{\backslash vartheta\_\{01\}\; \backslash over\; \backslash vartheta\}\backslash right)^2$

로 쓸 수 있다.

다음으로,

:$\backslash ell\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \{1-\backslash sqrt\{k\text{'}\}\; \backslash over\; 1+\backslash sqrt\{k\text{'}\}\}\; =$

{1 \over 2} {\vartheta - \vartheta_{01} \over \vartheta + \vartheta_{01}}

로 정한다.

그리고, 노름 ''q''를 $q\; =\; \backslash exp\; (\backslash pi\; i\; \backslash tau)$로 정의하고, 노름 ''q''에 관하여 $\backslash ell$을 멱급수의 상으로 전개하면,

:$\backslash ell\; =\; \{q\; +\; q^9\; +\; q^\{25\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash over\; 1\; +\; 2q^4\; +\; 2q^\{16\}\; +\; \backslash cdots\}$

가 된다.

급수의 반전을 수행하면,

:$q\; =\; \backslash ell\; +\; 2\backslash ell^5\; +\; 15\backslash ell^9\; +\; 150\backslash ell^\{13\}\; +\; 1707\backslash ell^\{17\}\; +\; 20910\backslash ell^\{21\}\; +\; 268616\backslash ell^\{25\}\; +\; \backslash cdots$

를 얻는다.

τ의 허수가 1/2 sqrt(3) 이상인 경우로 귀결시키면 되므로, ''q''의 절대값은 exp(-1/2 sqrt(3) π) ~ 0.0658 이하인 경우만 고려하면 된다. 이 값은 작기 때문에 위의 급수는 빠르게 수렴하여, 간단하게 ''q''의 값을 계산할 수 있다.

7. 네빌 세타 함수를 이용한 정의

야코비 타원 함수는 네빌 세타 함수를 사용하여 매우 간단하게 정의할 수 있다.^[13]

:$\backslash operatorname\{pq\}(u,m)=\backslash frac\{\backslash theta\_\backslash operatorname\{p\}(u,m)\}\{\backslash theta\_\backslash operatorname\{q\}(u,m)\}$

야코비 타원 함수의 복잡한 곱셈을 단순화하는 것은 종종 이러한 항등식을 사용하여 더 쉽게 만들 수 있다.

8. 야코비 변환

야코비 타원 함수는 모듈러스(m)에 따라 다양한 형태로 변환될 수 있다. 이러한 변환은 야코비 허수 변환과 야코비 실수 변환으로 나뉜다.^[5]

야코비 허수 변환은 허수 변수 ''i u''의 함수를 ''m'' 매개변수의 다른 값으로 표현하는 관계식이다.^[12] 주요 함수에 대한 야코비 허수 변환은 다음과 같다.

• cn^영어(u, m) = nc^영어(i u, 1-m)
• sn^영어(u, m) = -i sc^영어(i u, 1-m)
• dn^영어(u, m) = dc^영어(i u, 1-m)

• $\backslash mu\_R(m)\; =\; 1/m$: 실수 변환에서 파라미터 ''m''에 대한 변환
• $\backslash mu\_I(m)\; =\; 1-m\; =\; m\text{'}$: 허수 변환에서 ''m''의 변환

야코비 변환의 가치는 임의의 실수 값 매개변수 ''m''을 가진 야코비 타원 함수 집합을

8. 1. 야코비 허수 변환

• cn^영어(u, m) = nc^영어(i u, 1-m)
• sn^영어(u, m) = -i sc^영어(i u, 1-m)
• dn^영어(u, m) = dc^영어(i u, 1-m)

쌍곡선 함수는 허수 인수를 가진 원형 삼각함수에 비례하므로, 야코비 함수는 m=1일 때 쌍곡선 함수가 된다.^[5]

8. 2. 야코비 실수 변환

예를 들어 RIR 변환에 대한 표를 만들 수 있다.^[13] 변환은 일반적으로 $\backslash operatorname\{pq\}(u,m)=\backslash gamma\_\{\backslash operatorname\{pq\}\}\backslash ,\backslash operatorname\{pq\text{'}\}(k\text{'}\backslash ,u,-m/m\text{'})$로 작성된다. (인자 $(k\text{'}\backslash ,u,-m/m\text{'})$은 생략)

야코비 변환의 가치는 임의의 실수 값 매개변수 ''m''을 가진 야코비 타원 함수 집합을

8. 3. 기타 야코비 변환

• $\backslash mu\_R(m)\; =\; 1/m$: 실수 변환에서 파라미터 ''m''에 대한 변환
• $\backslash mu\_I(m)\; =\; 1-m\; =\; m\text{'}$: 허수 변환에서 ''m''의 변환

예를 들어 RIR 변환에 대한 표를 만들 수 있다.^[13] 변환은 일반적으로 $\backslash operatorname\{pq\}(u,m)=\backslash gamma\_\{\backslash operatorname\{pq\}\}\backslash ,\backslash operatorname\{pq\text{'}\}(k\text{'}\backslash ,u,-m/m\text{'})$로 작성된다. (인자 $(k\text{'}\backslash ,u,-m/m\text{'})$은 생략됩니다)

9. 야코비 쌍곡선

복소수를 도입하면, 타원은 연관된 쌍곡선을 갖는다. 아래의 표는 모든 야코비 타원 함수 pq(u,m)에 대한 식을 변수 (''x'',''y'',''r'') 및 (''φ'', dn)에 대해 요약한 것이다. 여기서 $r\; =\; \backslash sqrt\{x^2+y^2\}$이다.

10. 소함수

기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn의 비는 다음과 같이 정의한다.

함수 이름의 두 글자 순서를 바꾸면 위 세 함수의 역수가 된다.

:$$

\operatorname{ns}(u) = \frac{1}{\operatorname{sn}(u)}, \qquad \operatorname{nc}(u) = \frac{1}{\operatorname{cn}(u)}, \qquad

\operatorname{nd}(u) = \frac{1}{\operatorname{dn}(u)}.



마찬가지로, 세 개의 기본 함수의 비율은 분자의 첫 글자와 분모의 첫 글자를 차례로 나타낸다.

:$$

\operatorname{sc}(u) = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{cn}(u)}, \qquad

\operatorname{sd}(u) = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}, \qquad \operatorname{dc}(u) = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{cn}(u)}, \qquad \operatorname{ds}(u) = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{sn}(u)}, \qquad \operatorname{cs}(u) = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{sn}(u)}, \qquad

\operatorname{cd}(u) = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}.



더 간결하게 표현하면, 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{pq\}(u)=\backslash frac\{\backslash operatorname\{pn\}(u)\}\{\backslash operatorname\{qn\}(u)\}$

여기서 p와 q는 s, c, d 중 임의의 문자이다.

11. 주기성, 극점, 유수

복소 평면에서 변수 ''u''에 대해 야코비 타원 함수는 극(및 영점)의 반복 패턴을 형성한다.^[5] 각 함수 pq(''u'',''m'')는 극과 영점의 위치가 바뀌는 "역함수"(곱셈적 의미) qp(''u'',''m'')을 갖는다.^[5] 반복 주기는 보통 실수 및 허수 방향에서 다르므로 "이중 주기"라는 용어를 사용하여 이를 설명한다.^[5]

야코비 타원 함수의 이중 주기는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash operatorname\{pq\}(u\; +\; 2\; \backslash alpha\; K(m)\; +\; 2\; i\; \backslash beta\; K(1-m)\backslash ,,\backslash ,m)=(-1)^\backslash gamma\; \backslash operatorname\{pq\}(u,m)$

여기서 ''α''와 ''β''는 임의의 정수 쌍이고, ''K''(⋅)는 사분의 일 주기라고도 불리는 제1종 완전 타원 적분이다. (−1)^''γ''에서 음의 단일성(''γ'')의 거듭제곱은 다음 표와 같다.

인자 (−1)^''γ''가 −1과 같으면, 위 방정식은 준주기성을 나타낸다. 1과 같으면 완전 주기성을 나타낸다. 예를 들어, α가 짝수일 때 α만 포함하는 항목의 경우 위 방정식은 완전 주기성을 나타내며, 함수는 4''K''(''m'')과 2''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를 갖는다. ''β''만 포함하는 항목이 있는 함수는 2K(m) 및 4''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를 가지며, α + β를 갖는 함수는 4''K''(''m'') 및 4''iK''(1 − ''m'')의 완전 주기를 갖는다.^[5]

각 함수의 역은 대각선과 반대이며, 극과 영점이 교환된 동일한 크기의 단위 셀을 갖는다. (0,0), (''K'',0), (0,''K''′) 및 (''K'',''K''′)로 형성된 보조 사각형의 극과 영점 배치는 위에 설명된 극과 영점 배치 설명과 일치한다. 극을 나타내는 흰색 타원의 크기는 해당 극의 잔류물의 절대값의 대략적인 척도이다. 원점에 가장 가까운 극(즉, 보조 사각형 내)의 잔류물은 다음 표에 나열되어 있다.^[5]

2''K''만큼 위로 이동하거나 2''K''′만큼 오른쪽으로 이동한 극은 부호가 반전된 동일한 값을 가지며, 대각선 맞은편에 있는 극은 동일한 값을 갖는다. 왼쪽 및 하단 모서리의 극과 영점은 단위 셀의 일부로 간주되지만, 상단 및 오른쪽 모서리의 극과 영점은 그렇지 않다.^[5]

12. 특수값

$m\; =\; -1$일 때, 뢴니스케이트 타원 함수 $\backslash operatorname\{sl\}$과 $\backslash operatorname\{cl\}$을 얻는다.

:$\backslash operatorname\{sl\}u=\backslash operatorname\{sn\}(u,-1),\backslash quad\; \backslash operatorname\{cl\}u=\backslash operatorname\{cd\}(u,-1)=\backslash frac\{\backslash operatorname\{cn\}(u,-1)\}\{\backslash operatorname\{dn\}(u,-1)\}.$

$m\; =\; 0$ 또는 $m\; =\; 1$일 때, 야코비 타원 함수는 타원 함수가 아닌 함수로 축소된다.

야코비 진폭의 경우, $\backslash operatorname\{am\}(u,0)=u$이고 $\backslash operatorname\{am\}(u,1)=\backslash operatorname\{gd\}u$이며, 여기서 $\backslash operatorname\{gd\}$는 구데르만 함수이다.

일반적으로 p, q가 모두 d가 아니면 $\backslash operatorname\{pq\}(u,1)=\backslash operatorname\{pq\}(\backslash operatorname\{gd\}(u),0)$이다.

13. 항등식

야코비 타원함수는 삼각함수와 유사하게 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

:$\backslash operatorname\{sn\}^2(u;m)+\backslash operatorname\{cn\}^2(u;m)=1$

:$m\backslash operatorname\{sn\}^2(u;m)+\backslash operatorname\{dn\}^2(u;m)=1$

이들 방정식으로 정해지는 두 이차 곡면의 공통 부분은 타원 곡선이며, (cn, sn, dn)은 타원 곡선의 매개변수 표현을 제공한다.

야코비 타원 함수가 갖는 대수적인 관계식은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{cn\}^2(u,k)\; +\; \backslash operatorname\{sn\}^2(u,k)\; =\; 1$

:$\backslash operatorname\{dn\}^2(u,k)\; +\; k^2\; \backslash \; \backslash operatorname\{sn\}^2(u,k)\; =\; 1$

• 야코비 실수 변환^[5]은 타원 함수를 ''m''의 다른 값으로 표현하는 식을 제공한다.

13. 1. 반각 공식

13. 2. K 공식

13. 3. 함수 제곱 간의 관계

• \operatorname{dn}^2{}+m'= -m\operatorname{cn}^2 = m\operatorname{sn}^2-m

• m'\operatorname{nd}^2{}+m'= -mm'\operatorname{sd}^2 = m\operatorname{cd}^2-m

• \operatorname{dn}^2(u)+m_1= -m\;\operatorname{cn}^2(u) = m\;\operatorname{sn}^2(u)-m

• m_1\;\operatorname{nd}^2(u)+m_1= -mm_1\;\operatorname{sd}^2(u) = m\;\operatorname{cd}^2(u)-m

13. 4. 덧셈 정리

• \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)

• k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)

14. 비선형 상미분 방정식의 해로서의 야코비 타원 함수

야코비 타원 함수는 다음과 같은 비선형 상미분 방정식의 해로 나타낼 수 있다.^[5]

• $\backslash mathrm\{sn\}\backslash ,(x)$는 다음 미분 방정식의 해이다.

• $\backslash mathrm\{cn\}\backslash ,(x)$는 다음 미분 방정식의 해이다.

• $\backslash mathrm\{dn\}\backslash ,(x)$는 다음 미분 방정식의 해이다.

14. 1. 첫 번째 변수에 대한 미분

위의 덧셈 정리를 사용하고 0 < ''m'' < 1인 주어진 ''m''에 대해, 주요 함수는 다음 비선형 상미분 방정식의 해이다.

• $\backslash operatorname\{sn\}(x)$는 미분 방정식 $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; +\; (1+m)\; y\; -\; 2\; m\; y^3\; =\; 0$와 $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (1-y^2)\; (1-m\; y^2)$를 푼다.
• $\backslash operatorname\{cn\}(x)$는 미분 방정식 $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; +\; (1-2m)\; y\; +\; 2\; m\; y^3\; =\; 0$와 $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (1-y^2)\; (1-m\; +\; my^2)$를 푼다.
• $\backslash operatorname\{dn\}(x)$는 미분 방정식 $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; -\; (2\; -\; m)\; y\; +\; 2\; y^3\; =\; 0$와 $\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\backslash right)^2\; =\; (y^2\; -\; 1)\; (1\; -\; m\; -\; y^2)$를 푼다.

14. 2. 두 번째 변수에 대한 미분

15. 노름에 관한 전개

노메를 $q=\backslash exp(-\backslash pi\; K\text{'}(m)/K(m))=e^\{i\backslash pi\; \backslash tau\}$, $\backslash operatorname\{Im\}(\backslash tau)>0$, $m=k^2$로 하고, $v=\backslash pi\; u\; /(2K(m))$라고 하면, 야코비 타원 함수들은 다음과 같은 람베르트 급수로 전개된다.

:$\backslash operatorname\{sn\}(u,m)=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{kK(m)\}$

\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin ((2n+1)v),

:$\backslash operatorname\{cn\}(u,m)=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{kK(m)\}$

\sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos ((2n+1)v),

:$\backslash operatorname\{dn\}(u,m)=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2K(m)\}\; +\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{K(m)\}$

\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos (2nv),

:$\backslash operatorname\{zn\}(u,m)=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{K(m)\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{q^n\}\{1-q^\{2n\}\}\backslash sin\; (2nv)$

이때, 이다.

이변수 거듭제곱 급수 전개는 Schett에 의해 발표되었다.^[16]

16. 고속 계산

세타 함수 비율은 야코비 타원 함수를 효율적으로 계산하는 방법을 제공한다. 산술-기하 평균과 란덴 변환을 기반으로 하는 다른 방법이 있다.^[7]

야코비 진폭의 계산을 피하면서 산술-기하 평균을 통해 야코비 타원 함수를 빠르게 계산하는 방법은 허버트 E. 살저(Herbert E. Salzer)가 제시했다.^[18]

다음과 같이 정의한다.

:$0\backslash le\; m\backslash le\; 1,\backslash ,0\backslash le\; u\backslash le\; K(m),\backslash ,\; a\_0=1,\backslash ,\; b\_0=\backslash sqrt\{1-m\},$

:$a\_\{n+1\}=\backslash frac\{a\_n+b\_n\}\{2\},\backslash ,\; b\_\{n+1\}=\backslash sqrt\{a\_n\; b\_n\},\backslash ,c\_\{n+1\}=\backslash frac\{a\_n-b\_n\}\{2\}.$

그리고 다음을 설정한다.

:

y_{N-1}&=y_N+\frac{a_Nc_N}{y_N}\\

y_{N-2}&=y_{N-1}+\frac{a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}\\

\vdots&=\vdots\\

y_0&=y_1+\frac{m}{4y_1}.\end{align}

그러면 다음이 성립한다.

:

\operatorname{cn}(u,m)&=\sqrt{1-\frac{1}{y_0^2}}\\

\operatorname{dn}(u,m)&=\sqrt{1-\frac{m}{y_0^2}}\end{align}

($N\backslash to\backslash infty$일 때.)

문헌에서 발견된 야코비 타원 사인 함수를 빠르게 수렴하는 고속 계산을 위한 또 다른 방법은 다음과 같다.^[19]

다음과 같이 정의한다.

:$\backslash begin\{align\}$

&a_0 = u &b_0 = \frac{1-\sqrt{1-m}}{1+\sqrt{1-m}} \\

&a_1 = \frac{a_0}{1+b_0} &b_1 = \frac{1-\sqrt{1-b^2_0 }}{1+\sqrt{1-b^2_0}}\\

&\vdots = \vdots &\vdots = \vdots \\

&a_n = \frac{a_{n-1}}{1+b_{n-1}} &b_n = \frac{1-\sqrt{1-b^2_{n-1}}}{1+\sqrt{1-b^2_{n-1}}}\\

\end{align}

그리고 다음을 설정한다.

:$\backslash begin\{align\}$

y_{n+1} &= \sin(a_n) \\

y_{n} &= \frac{y_{n+1}(1+b_n)}{1+y^2_{n+1}b_n} \\

\vdots &= \vdots\\

y_0 &= \frac{y_1(1+b_0)}{1+y^2_1b_0} \\

\end{align}

그러면 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{sn\}(u,m)\; =\; y\_0\; \backslash text\{\; as\; \}n\; \backslash rightarrow\backslash infty$.

17. 쌍곡선 함수를 이용한 근사

$m$이 1에 가까워서 $m\text{'}^2$ 및 $m\text{'}$의 더 높은 거듭제곱을 무시할 수 있는 경우, 야코비 타원 함수는 쌍곡선 함수를 사용하여 다음과 같이 근사할 수 있다.^[20][21]

• sn(''u''): $\backslash operatorname\{sn\}\; (u,m)\backslash approx\; \backslash tanh\; (u)+\backslash frac\{1\}\{4\}m\text{'}(\backslash sinh\; (u)\backslash cosh\; (u)\; -u)\backslash operatorname\{sech\}^2\; (u).$
• cn(''u''): $\backslash operatorname\{cn\}\; (u,m)\backslash approx\; \backslash operatorname\{sech\}\; (u)-\backslash frac\{1\}\{4\}\; m\text{'}(\backslash sinh\; (u)\backslash cosh\; (u)\; -u)\backslash tanh\; (u)\; \backslash operatorname\{sech\}\; (u).$
• dn(''u''): $\backslash operatorname\{dn\}\; (u,m)\; \backslash approx\; \backslash operatorname\{sech\}\; (u)+\backslash frac\{1\}\{4\}\; m\text{'}(\backslash sinh\; (u)\backslash cosh(u)\; +u)\backslash tanh\; (u)\; \backslash operatorname\{sech\}\; (u)\; .$

18. 연분수

실수 $a,p$가

:$$

\begin{align}

&\frac{\textrm{dn}\left((p/2-a)\tau K\left[\frac{p\tau}{2}\right];k\left(\frac{p\tau}{2}\right)\right)}{\sqrt{k'\left(\frac{p\tau}{2}\right)}} = \frac{\sum^\infty_{n=-\infty}q^{p/2 n^2+(p/2-a)n}}{\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^nq^{p/2 n^2+(p/2-a)n}}\\[4pt]

={}&-1+\frac{2}{1-{}} \, \frac{q^a+q^{p-a}}{1-q^p+{}} \, \frac{(q^a+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}} \, \frac{q^p(q^a+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}} \, \frac{q^{2p}(q^a+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}\cdots

\end{align}



타원 모듈러스 $k$를 가진 $\backslash textrm\{sn\}(t),\backslash textrm\{cn\}(t)$ 및 $\backslash textrm\{dn\}(t)$를 포함하는 알려진 연분수는 다음과 같다.

$z\backslash in\backslash Complex$이고, 에 대해:^[23]

:$\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}\backslash textrm\{sn\}(t)e^\{-tz\}\backslash ,\; \backslash mathrm\; dt=\backslash frac\{1\}\{1^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{1\backslash cdot\; 2^2\backslash cdot\; 3k^2\}\{3^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{3\backslash cdot\; 4^2\backslash cdot\; 5k^2\}\{5^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\backslash cdots$

$z\; \backslash in\; \backslash Complex\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이고, 에 대해:^[23]

:$\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}\backslash textrm\{sn\}^2(t)e^\{-t\; z\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt=\backslash frac\{2z^\{-1\}\}\{2^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{2\backslash cdot\; 3^2\backslash cdot\; 4k^2\}\{4^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{4\backslash cdot\; 5^2\backslash cdot\; 6k^2\}\{6^2(1+k^2)+z^2-\{\}\}\backslash cdots$

$z\backslash in\backslash Complex\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이고, 에 대해:^[24]

:$\backslash int^\backslash infty\_0\; \backslash textrm\{cn\}(t)e^\{-t\; z\}\backslash ,\; \backslash mathrm\; dt=\backslash frac\{1\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{1^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{2^2k^2\}\{z+\{\}\}\backslash ,\; \backslash frac\{3^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{4^2k^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{5^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash cdots$

$z\backslash in\backslash Complex\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이고, 에 대해:^[23]

:$\backslash int^\backslash infty\_0\backslash textrm\{dn\}(t)e^\{-t\; z\}\backslash ,\; \backslash mathrm\; dt=\backslash frac\{1\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{1^2k^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{2^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{3^2k^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{4^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{5^2k^2\}\{z+\{\}\}\; \backslash cdots$

$z\backslash in\backslash Complex$이고, 에 대해:^[23]

:$\backslash int^\{\backslash infty\}\_\{0\}\backslash frac\{\backslash textrm\{sn\}(t)\backslash textrm\{cn\}(t)\}\{\backslash textrm\{dn\}(t)\}e^\{-tz\}\backslash ,\; \backslash mathrm\; dt=\backslash frac\{1\}\{2\backslash cdot\; 1^2(2-k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{1\backslash cdot\; 2^2\backslash cdot\; 3k^4\}\{2\backslash cdot\; 3^2(2-k^2)+z^2-\{\}\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{3\backslash cdot\; 4^2\backslash cdot\; 5k^4\}\{2\backslash cdot\; 5^2(2-k^2)+z^2-\{\}\}\backslash cdots$

19. 역함수

야코비 타원 함수의 역함수는 역삼각 함수와 유사하게 정의된다. 예를 들어, $x=\backslash operatorname\{sn\}(\backslash xi,\; m)$이면, $\backslash xi=\backslash operatorname\{arcsn\}(x,\; m)$이다. 이들은 타원 적분으로 나타낼 수 있으며,^[25][26][27] 멱급수 표현도 가능하다.^[28][3]

• $\backslash operatorname\{arcsn\}(x,m)\; =\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}t\}\{\backslash sqrt\{(1-t^2)(1-mt^2)\}\}$
• $\backslash operatorname\{arccn\}(x,m)\; =\backslash int\_x^1\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}t\}\{\backslash sqrt\{(1-t^2)(1-m+mt^2)\}\}$
• $\backslash operatorname\{arcdn\}(x,m)\; =\; \backslash int\_x^1\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}t\}\{\backslash sqrt\{(1-t^2)(t^2+m-1)\}\}$

20. 지도 투영법

퍼스 퀸컨셜 도법은 야코비 타원 함수를 사용하는 지도 투영법이다. 또한 각국에서 표준적으로 사용되는 가우스-크뤼거 도법에서도 투영식을 야코비 타원 함수로 나타낼 수 있다.

참조

_[1] 서적 Elliptic Functions Cambridge University Press
_[2] 논문 The Analyticity of Jacobian Functions with Respect to the Parameter k https://www.jstor.or[...] 2003
_[3] 웹사이트 NIST Digital Library of Mathematical Functions (Release 1.0.17) http://dlmf.nist.gov[...] National Institute of Standards and Technology 2018-02-26
_[4] 웹사이트 cplot, Python package for plotting complex-valued functions https://github.com/n[...]
_[5] 서적 Jacobian Elliptic Functions https://archive.org/[...] Oxford University Press 1944
_[6] 문서
_[7] 논문 Transformations of the Jacobian Amplitude Function and Its Calculation via the Arithmetic-Geometric Mean https://epubs.siam.o[...] 1989-11
_[8] 간행물 Jacobian Elliptic Functions
_[9] 간행물 Elliptic Integrals
_[10] 서적 A Course of Modern Analysis Cambridge University Press 1927
_[11] 논문 The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss https://www.research[...] 1984-01
_[12] 서적 A Course in Modern Analysis https://archive.org/[...] The MacMillan Co. 1940
_[13] 웹사이트 Introduction to the Jacobi elliptic functions http://functions.wol[...] Wolfram Research, Inc. 2018-01-07
_[14] 웹사이트 Elliptic Functions: Complex Variables https://paramanands.[...]
_[15] 서적 A Course of Modern Analysis Cambridge University Press 1927
_[16] 논문 Properties of the Taylor series expansion coefficients of the Jacobian Elliptic Functions
_[17] 문서
_[18] 논문 Quick calculation of Jacobian elliptic functions 1962-07
_[19] 논문 The Even- and Odd-Mode Capacitance Parameters for Coupled Lines in Suspended Substrate https://ieeexplore.i[...] 1971-05-05
_[20] 간행물 Jacobian Elliptic Functions
_[21] 간행물 Jacobian Elliptic Functions
_[22] 간행물 Evaluations of series related to Jacobi elliptic functions https://www.research[...] 2020
_[23] 서적 Analytic Theory of Continued Fractions Van Nostrand 1948
_[24] 서적 Die Lehre von den Kettenbruchen B.G. Teubner 1957
_[25] 간행물 "§22.15 Inverse Functions"
_[26] 웹사이트 The AMath and DAMath Special Functions: Reference Manual and Implementation Notes http://www.wolfgang-[...] 2013-07-17
_[27] 서적 Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists Springer-Verlag 1971
_[28] 논문 Power series for inverse Jacobian elliptic functions https://www.ams.org/[...] 2013-07-17
_[29] 문서 http://nbviewer.ipyt[...]
_[30] 간행물 "§22.15 Inverse Functions"
_[31] 웹사이트 The AMath and DAMath Special Functions: Reference Manual and Implementation Notes http://www.wolfgang-[...] 2013-07-17
_[32] 논문 Power series for inverse Jacobian elliptic functions http://www.ams.org/j[...] 2013-07-17
_[33] 서적 http://archive.org/d[...]