역함수

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1. 개요

역함수는 함수 f: X → Y가 주어졌을 때, 임의의 x ∈ X에 대해 g(f(x)) = x를 만족하는 함수 g: Y → X를 의미한다. 역함수는 f의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이며, 역함수를 갖는 함수를 가역 함수 또는 일대일 대응, 전단사 함수라고도 한다. 함수 f가 가역적일 경우, 이 속성을 만족하는 함수는 유일하며, 일반적으로 f⁻¹로 표시한다. 함수 f는 전단사 함수일 경우에만 가역적이며, 역함수의 정의역은 원래 함수의 공역 및 치역과 같고, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 역함수는 함수와 서로 대칭적인 관계를 가지며, 함수의 합성 함수의 역함수는 (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹로 주어진다. 함수가 일대일 함수가 아니더라도 정의역을 제한하여 부분 역함수를 정의할 수 있으며, 삼각 함수의 역함수 정의에 중요하게 사용된다.

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역함수
정의
함수	어떤 집합의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계
역함수	원래 함수의 입출력을 뒤집어 놓은 함수
설명	함수 가 주어졌을 때, 의 역함수 는 의 결과값을 입력으로 받아, 원래의 입력값을 되돌려주는 함수 즉, () = 일 때, () = 가 성립함
성질
존재 조건	함수 가 역함수를 가지려면, 는 전단사 함수(일대일 대응)여야 함 즉, 모든 입력값에 대해 유일한 출력값을 가져야 하고, 모든 출력값에 대해 유일한 입력값이 존재해야 함
계산	에서 에 대해 풂 와 를 서로 맞바꿈
예시	함수 의 역함수는 임
주의사항
지수 표기와의 혼동	}}는 의 역함수를 나타내는 표기이며, 의 역수 ()와는 다름
역함수의 존재	모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아님 역함수가 존재하려면 원래 함수가 전단사 함수여야 함
용어
영어	Inverse function
일본어	逆写像 (Gyaku-shayō)
한국어 (북한)	거꿀함수

2. 정의

함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 함수 $g\colon Y\to X$ 가 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $g(f(x))=x$ 를 만족시키면, $f$ 의 '''왼쪽 역함수'''(-逆函數, left inverse function^영어)라고 한다. 마찬가지로, 함수 $h\colon Y\to X$ 가 임의의 $y\in Y$ 에 대하여 $f(h(y))=y$ 를 만족시키면, $f$ 의 '''오른쪽 역함수'''(-逆函數, right inverse function^영어)라고 한다.

함수 $f\colon X\to Y$ 의 '''역함수''' $f^{-1}\colon Y\to X$ 는 $f$ 의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 임의의 $x\in X$ 및 $y\in Y$ 에 대하여, $y=f(x)$ 와 $x=f^{-1}(y)$ 는 서로 필요 충분 조건이다. 역함수를 갖는 함수를 '''가역 함수'''(可逆函數, invertible function^영어) 또는 '''일대일 대응''' 또는 '''전단사 함수'''라고 한다.

$f$ 를 정의역이 집합 $X$ 이고 공역이 집합 $Y$ 인 함수라고 하자. 가 가역적이라면, 이 속성을 만족하는 함수는 유일하며,는 의 역함수라고 하며, 일반적으로 1813년 존 프레데릭 윌리엄 허셜에 의해 도입된 표기법인 로 표시된다.^[20]^[21]^[22]^[23]^[19]^[15]

함수 는 전단사 함수일 경우에만 가역적이다. 이는 모든 $x\in X$ 에 대해 $g(f(x))=x$ 라는 조건이 가 단사 함수임을 의미하고, 모든 $y\in Y$ 에 대해 $f(g(y))=y$ 라는 조건이 가 전사 함수임을 의미하기 때문이다.^[1]

만약 가 정의역이 이고 공역이 인 가역 함수라면,

: $f^{-1}\left(f(x)\right) = x$ 이며, 모든 $x \in X$ 에 대해, $f\left(f^{-1}(y)\right) = y$ 이며, 모든 $y \in Y$ 에 대해 성립한다.

함수의 합성을 사용하면, 이 문장은 함수 간의 다음 방정식으로 다시 쓸 수 있다.

: $f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X$ 그리고 $f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y,$

여기서 는 집합 에 대한 항등 함수이다. 즉, 인수를 변경하지 않고 그대로 두는 함수이다. 범주론에서 이 문장은 역 사상의 정의로 사용된다.^[1]

함수 합성을 고려하는 것은 표기법 을 이해하는 데 도움이 된다. 함수 를 반복적으로 자기 자신과 합성하는 것을 반복 함수 또는 거듭제곱이라고 한다. ^[1]

사상 의 정의역을 집합 , 치역을 집합 라고 한다. 사상 가 '''가역''' (''invertible'')^영어이라는 것은, 를 정의역, 를 치역으로 하는 사상 로, 조건

: $f(x) = y\iff g(y) = x$

를 만족하는 것이 존재할 때를 말한다. ^[25]

다른 말로 하면, 사상이 가역적이 되기 위한 필요충분 조건은 그것이 일대일이며 위로의 사상이 되는 것이다. 그러한 사상을 '''일대일 대응''' (''one-to-one correspondence'')^영어 또는 '''전단사''' (''bijection'')^영어라고 하며, 의 각 원소 에 정확히 하나의 원소 가 대응한다는 성질을 가진다.^[26]

일변수의 초등해석학에서는 실수를 실수로 대응시키는 실함수를 주로 생각한다. 실 일변수 실함수 는 그것이 일대일일 경우 역함수를 갖는다.^[26]

몇 가지 표준적인 실함수와 그 역함수
함수	역함수 (y)}}	주의


	}}
}}	}}
}}	}}	일 때에 한함
}}	}}	는 실수 (특히 제한 없음)
}}	p}} ( )}}	일반적으로
}}
}}	y}}	이고
삼각 함수	역삼각 함수	여러 제약이 있음
}}	람베르트 W 함수

3. 표기

함수 $f$ 의 역함수는 $f^{-1}$ 와 같이 표기하며, '''역함수 에프''' 또는 '''에프 인버스'''라고 읽는다. 이는 곱셈 이항 연산의 역원의 표기와 같다.

$f^{\langle -1\rangle}$ 는 곱셈 역원과의 모호성을 피하기 위해 역함수를 나타내는 데 사용될 수 있다.^[2]

역삼각 함수는 "arc" (아르쿠스/arcus^la)라는 접두사로 표시된다.^[17]^[18] 예를 들어, 사인 함수의 역함수는 아크사인 함수라고 불리며, $\arcsin(x)$ 로 표기된다.^[17]^[18] 마찬가지로, 쌍곡선 함수의 역함수는 "ar" (아레아/ārea^la)라는 접두사로 표시된다.^[18]

4. 성질

모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.
전단사 함수의 역함수는 항상 유일하다. 이는 $f^{-1}$ 표기를 사용할 수 있는 이유이다.
전단사 함수의 역함수의 정의역은 원래 함수의 공역 및 치역과 같으며, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 즉, 전단사 함수 $f$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{dom}f^{-1}=\operatorname{codom}f=\operatorname{ran}f$
: $\operatorname{codom}f^{-1}=\operatorname{ran}f^{-1}=\operatorname{dom}f$
전단사 함수의 역함수 역시 전단사 함수이며, 역함수의 역함수는 원래 함수 자기 자신이다. 즉, 전단사 함수 $f$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $(f^{-1})^{-1}=f$
전단사 함수 $f$ 의 역함수 $f^{-1}$ 의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.
: $f^{-1}(f(x))=x\qquad(\forall x\in X)$
: $f(f^{-1}(y))=y\qquad(\forall y\in Y)$
전단사 함수 $f$ 의 역함수 $f^{-1}$ 의 정의의 다른 한 가지 서술은 다음과 같다. (여기서 $\circ$ 는 함수의 합성의 기호이다.)
: $f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\operatorname{dom}f}$
: $f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\operatorname{codom}f}$
함수의 합성의 역함수에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 전단사 함수 $f,g$ 에 대하여,
: $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

:이는 역함수의 정의에 따라 쉽게 보일 수 있다. 또한, 이를 양말을 신은 뒤 신발을 신은 일을 취소하려면 신발을 벗은 뒤 양말을 벗어야 한다는 사실에 비유할 수 있다.

(역함수 정리) 역함수의 미분은 $(f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}$ 이다.

함수는 일종의 특수한 이항 관계이므로, 역함수의 많은 성질은 역관계의 성질과 일치한다.

== 유일성 ==

어떤 함수

f

에 대한 역함수가 존재한다면, 그 역함수는 유일하다.^[5] 이는 역함수가

f

에 의해 완전히 결정되는 역 관계여야 하기 때문이다. 주어진 사상

f

에 대해, 그 역사상은 존재한다면 유일하다. 그것은

f

를 관계로 봤을 때의 역관계와 일치해야 한다. 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없으며, 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.^[5] 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하며,

f^{-1}

표기를 사용할 수 있는 이유이다.

== 대칭성 ==

함수와 역함수는 서로 대칭적인 관계를 갖는다. 정의역이 X이고 공역이 Y인 가역 함수 f가 있다면, 그 역함수

f^{-1}

의 정의역은 Y이고 치역은 X이며,

f^{-1}

의 역함수는 원래 함수 f이다.^[5] 기호로 나타내면, 함수

f:X → Y

와

f^{-1}:Y → X

에 대해,

:

f^{-1}\circ f = \operatorname{id}_X

및

f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y.

역함수의 involutory 성질은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[6]

:

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

함수의 합성 함수의 역함수는 다음과 같이 주어진다.^[7]

:

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

g와 f의 순서가 바뀌었음에 유의해야 한다. f 다음에 g를 실행한 것을 되돌리려면 먼저 g를 되돌린 다음 f를 되돌려야 한다. 예를 들어,

f(x) = 3x

이고

g(x) = x + 5

라고 하자. 그러면 합성 함수

g ∘ f

는 먼저 3을 곱한 다음 5를 더하는 함수이다.

:

(g \circ f)(x) = 3x + 5.

이 과정을 되돌리려면 먼저 5를 빼고, 그런 다음 3으로 나누어야 한다.

:

(g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).

이것은 합성 함수

(f^{-1} ∘ g^{-1})(x)

이다.

== 자기 역성 ==

항등 함수는 자기 자신의 역함수이다. 즉, 집합 X에 대한 항등함수는 다음과 같다.

:

\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X

일반적으로, 함수

f : X → X

가 자기 자신의 역함수와 같으면 대합이다. 이는 합성

f ∘ f

가

id_X

와 같다는 필요충분조건이 된다.

4. 1. 유일성

어떤 함수 에 대한 역함수가 존재한다면, 그 역함수는 유일하다.^[5] 이는 역함수가 에 의해 완전히 결정되는 역 관계여야 하기 때문이다. 주어진 사상 에 대해, 그 역사상은 존재한다면 유일하다. 그것은 를 관계로 봤을 때의 역관계와 일치해야 한다. 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없으며, 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.^[5] 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하며, 표기

f^{-1}

를 사용할 수 있는 이유이다.

4. 2. 대칭성

함수와 역함수는 서로 대칭적인 관계를 갖는다. 정의역이 X이고 공역이 Y인 가역 함수 f가 있다면, 그 역함수 의 정의역은 Y이고 치역은 X이며, 의 역함수는 원래 함수 f이다.^[5] 기호로 나타내면, 함수 와 에 대해,

:

f^{-1}\circ f = \operatorname{id}_X

및

f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y.

역함수의 involutory 성질은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[6]

:

\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

thumb

함수의 합성 함수의 역함수는 다음과 같이 주어진다.^[7]

:

(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

g와 f의 순서가 바뀌었음에 유의해야 한다. f 다음에 g를 실행한 것을 되돌리려면 먼저 g를 되돌린 다음 f를 되돌려야 한다. 예를 들어, 이고 라고 하자. 그러면 합성 함수 는 먼저 3을 곱한 다음 5를 더하는 함수이다.

:

(g \circ f)(x) = 3x + 5.

이 과정을 되돌리려면 먼저 5를 빼고, 그런 다음 3으로 나누어야 한다.

:

(g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).

이것은 합성 함수 이다.

4. 3. 자기 역성

항등 함수는 자기 자신의 역함수이다. 즉, 집합 X에 대한 항등함수는 다음과 같다.

:

\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X

일반적으로, 함수 가 자기 자신의 역함수와 같으면 대합이다. 이는 합성 가 와 같다는 필요충분조건이 된다.

5. 예시

Addition^영어과 1=''f''(''x'') = ''x''²/subtraction}}은 서로 역연산 관계이며, 곱셈과 나눗셈 역시 서로 역연산 관계이다.

함수 에 대해 대응하는 정의역 의 점이 두 종류(하나는 양수, 다른 하나는 음수)가 존재하므로, 출력값에서 입력값을 특정할 수 없어 역함수가 존재하지 않는다. 하지만 정의역을 음이 아닌 실수로 제한하면, 이 함수는 단사 함수가 되므로 역함수를 가지게 된다. 이 경우 역함수는 ''(양의) 제곱근 함수''라고 불리며, $x\mapsto\sqrt x$ 로 표기된다.^[4]

다음 표는 몇 가지 표준 함수와 그 역함수를 보여준다.

함수	역함수	비고



(즉, )	(즉, )
	$\sqrt[p]y$ (즉, )	가 짝수일 경우 ; 정수
		및
		및
삼각 함수	역삼각 함수	다양한 제약 조건
쌍곡선 함수	역쌍곡선 함수	다양한 제약 조건

5. 1. 표준 역함수

다음 표는 몇 가지 표준 함수와 그 역함수를 보여준다.

함수	역함수	비고


	\|}}
}} (즉, )	}} (즉, )
	$\sqrt[p]y$ (즉, )	가 짝수일 경우 ; 정수
		및
		및
삼각 함수	역삼각 함수	다양한 제약 조건
쌍곡선 함수	역쌍곡선 함수	다양한 제약 조건

일변수의 초등해석학에서는 실수를 실수로 대응시키는 실함수를 주로 생각하며, 이러한 함수는 종종 `f(x) = (2x + 8)^3` 와 같은 명시적인 수식을 통해 정의된다. 실 일변수 실함수 는 그것이 일대일일 경우 역함수를 갖는다.

5. 2. 역함수 공식

일부 함수는 역함수를 명시적인 공식으로 표현할 수 있다. 가역 함수

f\colon\R\to\R

의 역함수

f^{-1}

는

f^{-1}(y)=(\text{함수 }f(x)=y\text{를 만족하는 유일한 원소 }x\in \R)

와 같이 표현된다. 이러한 특성을 이용하여 대수적 공식으로 주어진 많은 함수의 역함수를 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어,

f(x) = (2x + 8)^3

와 같은 함수는 역함수를 구할 수 있다.

:

\begin{align}y         & = (2x+8)^3 \\\sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x\end{align}

따라서 역함수 는

f^{-1}(y) = \frac{\sqrt[3]{y} - 8} 2

와 같이 주어진다.

하지만 함수의 역함수를 닫힌 형식 공식으로 표현할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어

f(x) = x - \sin x

와 같은 함수는 전단사 함수이므로 역함수를 가지지만, 역함수에 대한 공식은 무한 합으로 표현된다.

:

f^{-1}(y) =\sum_{n=1}^\infty\frac{y^{n/3}}{n!} \lim_{ \theta \to 0} \left(\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(\frac \theta { \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } \right)^n\right).

6. 그래프

함수 가 가역적이면, 함수 $y = f^{-1}(x)$ 의 그래프는 $x = f(y)$ 의 그래프와 같다. 이는 의 그래프를 정의하는 방정식 에서 와 의 역할을 바꾼 것과 같다. 따라서 의 그래프는 의 그래프에서 와 축의 위치를 바꿔 얻을 수 있으며, 이는 직선 에 대해 그래프를 반사하는 것과 같다.^[8]^[1]

7. 미분

역함수 정리에 따르면, 단일 변수 함수 $f\colon A\to\mathbb{R}$ (여기서 $A\subseteq\mathbb{R}$ )의 연속 함수는 오직 엄격하게 증가하거나 감소하는 경우(국소 극대 또는 극소가 없는 경우)에 한해 그 범위(상)에서 가역적이다.^[9] 예를 들어, 함수

: $f(x) = x^3 + x$

는 도함수

가 항상 양수이므로 가역적이다.

함수 가 구간 에서 미분가능하고 각 에 대해 이면, 역함수 는 에서 미분가능하다.^[9] 만약 이면, 역함수의 도함수는 역함수 정리에 의해 다음과 같이 주어진다.

: $\left(f^{-1}\right)^\prime (y) = \frac{1}{f'\left(x \right)}.$

라이프니츠 표기법을 사용하면 위 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}.$

이 결과는 연쇄 법칙에서 유도된다.

역함수 정리는 여러 변수의 함수로 일반화될 수 있다. 구체적으로, 연속적으로 미분가능한 다변수 함수 는 점 의 근방에서 의 야코비 행렬이 에서 가역인 한 가역적이다. 이 경우, 의 에서의 야코비 행렬은 의 에서의 야코비 행렬의 행렬 역수이다.

8. 일반화

8. 1. 부분 역함수

함수 가 일대일 함수가 아니더라도, 정의역을 제한하여 의 '''부분 역함수'''를 정의할 수 있다. 예를 들어, 함수

:

f(x) = x^2

는 이기 때문에 일대일 함수가 아니다. 그러나 정의역을 으로 제한하면 함수는 일대일 함수가 되며, 이 경우

:

f^{-1}(y) = \sqrt{y} .

가 된다. (만약 정의역을 으로 제한한다면, 역함수는 의 제곱근에 음수를 곱한 값이 된다.) 또는, 역함수가 다중값 함수가 되는 것에 만족한다면 정의역을 제한할 필요가 없다.

:

f^{-1}(y) = \pm\sqrt{y} .

때때로, 이 다중값 역함수를 의 '''전체 역함수'''라고 부르며, 부분(예: }} 및 −}} )을 ''분기''라고 부른다. 다중값 함수의 가장 중요한 분기(예: 양의 제곱근)를 ''주요 분기''라고 부르며, 에서의 그 값을 의 ''주요 값''이라고 부른다.

실수선에서 연속 함수의 경우, 각 극값 쌍 사이에 하나의 분기가 필요하다. 예를 들어, 극대값과 극소값을 갖는 삼차 함수의 역함수는 세 개의 분기를 갖는다(인접한 그림 참조).

이러한 고려 사항은 삼각 함수의 역함수를 정의하는 데 특히 중요하다. 예를 들어, 사인 함수는 일대일 함수가 아닌데,

:

\sin(x + 2\pi) = \sin(x)

가 모든 실수 에 대해 성립하기 때문이다(그리고 일반적으로 ''n'') = sin(''x'')}}가 모든 정수 에 대해 성립한다). 그러나 사인 함수는 구간 |2}}, |2}}}}에서 일대일 함수이며, 이에 해당하는 부분 역함수를 아크사인이라고 부른다. 이것은 역 사인 함수의 주요 분기로 간주되므로, 역 사인 함수의 주요 값은 항상 −|2}}와 |2}} 사이에 있다.

다음 표는 각 역 삼각 함수의 주요 분기를 설명한다:^[11]

함수	일반적인 주요 값의 범위
arcsin	\|2}} ≤ sin⁻¹(x) ≤ \|2}}}}
arccos	}}
arctan	< tan⁻¹(x) < \|2}}}}
arccot	}}
arcsec	}}
arccsc	\|2}} ≤ csc⁻¹(x) ≤ \|2}}}}

8. 2. 좌우 역함수

함수가 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.

일 때, 의 '''왼쪽 역함수'''는 함수 이며, 를 왼쪽에서 와 합성하면 항등 함수가 된다.^[12]

:

g \circ f = \operatorname{id}_X

즉, 함수 는 다음 규칙을 만족한다.

: 만약 ''y''}}라면, ''x''}}이다.

함수 는 의 치역에서 의 역함수와 같아야 하지만, 치역에 없는 의 원소에 대해서는 어떤 값이든 가질 수 있다.

공집합이 아닌 정의역을 가진 함수 는 왼쪽 역함수를 갖는 경우에만 단사 함수이다.^[13] 간단한 증명은 다음과 같다.

만약 가 의 왼쪽 역함수이고, 라면, 이다.
공집합이 아닌 가 단사 함수라면, 왼쪽 역함수 를 다음과 같이 구성한다. 모든 에 대해, 만약 가 의 치역에 있다면, 가 존재하여 가 성립한다. 라고 하자. 이 정의는 가 단사 함수이므로 유일하다. 그렇지 않으면, 를 의 임의의 원소로 둔다.

모든 에 대해, 는 의 치역에 있다. 구성에 의해, 이며, 이는 왼쪽 역함수의 조건이다.

고전 수학에서, 공집합이 아닌 정의역을 가진 모든 단사 함수 는 반드시 왼쪽 역함수를 갖는다. 그러나, 이는 구성적 수학에서는 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 내의 두 원소 집합의 포함 사상 의 왼쪽 역함수는 }} 집합에 대한 실수의 retraction을 제공함으로써 indecomposability를 위반한다.^[14]

사상 에 대해, 의 '''왼쪽 역사상''' (left inverse)^영어 또는 인출 (retract)^영어이란,

:

g \circ f = \operatorname{id}_X

을 만족하는 사상 를 말한다. 즉, 의 각 원소 에 대해 는

:

f(x) = y\implies g(y) = x

를 만족한다. 따라서 는 의 치역 상에서는 의 역사상과 일치해야 하지만, 치역에 들어가지 않는 의 원소에 대해서는 어떤 값을 갖든 상관없다. 사상 가 왼쪽 역사상을 가지면 는 단사임이 다음과 같이 증명될 수 있다. 사상 에 대해, 를 의 왼쪽 역사상이라고 하자. 가 를 만족한다고 하면, 로부터 이므로, 따라서, 는 단사이다.

반대로 사상 가 (공사상이 아닌) 단사이면, 적당한 를 선택하여, 다음과 같이 왼쪽 역사상 를 구성할 수 있다.

:

g(y) = \begin{cases} x, & \text{if }\exists x \in X[f(x) = y] \\ x_0, & \text{else} \end{cases}

이와 같이 고전 수학에서는 임의의 단사 는 왼쪽 역사상을 가질 필요가 있지만, 구성적 수학에서는 거짓이 될 수 있다. 예를 들어, 두 원소 집합에서 실수 직선으로의 포함 사상 의 왼쪽 역사상은, 실수 직선에서 두 점 집합 0,1}}으로의 인출을 제공할 때에 위배된다.

함수 의 '''오른쪽 역함수''' (또는 의 ''단면'')는 다음과 같은 함수 이다.

:

f \circ h = \operatorname{id}_Y .

즉, 함수 는 다음 규칙을 만족한다.

: 만약

\displaystyle h(y) = x

이면,

\displaystyle f(x) = y .

따라서, 는 아래에서 에 대응되는 의 임의의 원소일 수 있다.

함수 가 오른쪽 역함수를 갖는 것은 그 함수가 전사 함수일 필요충분 조건이다 (일반적으로 그러한 역함수를 구성하는 것은 선택 공리를 필요로 한다).

: 만약 가 의 오른쪽 역함수이면, 는 전사 함수이다. 모든

y \in Y

에 대해,

f(x) = f(h(y)) = y

인

x = h(y)

가 존재한다.

: 만약 가 전사 함수이면, 는 오른쪽 역함수 를 가지며, 이는 다음과 같이 구성될 수 있다: 모든

y \in Y

에 대해,

f(x) = y

인

x \in X

가 적어도 하나 존재하므로 (가 전사 함수이기 때문에), 의 값으로 하나를 선택한다.

사상 에 대해, 의 '''오른쪽 역사상''' (''right inverse'')^영어 또는 '''절단''' 혹은 '''단면''' (''section'')^영어이란

:

f \circ h = \operatorname{id}_Y

를 만족하는 사상 를 말한다. 즉 는 의 각 원소 에 대해

:

h(y) = x\implies f(x) = y

라는 조건을 만족한다. 따라서 는 에 의해 로 사상되는 라면 무엇이든 상관없다. 사상 가 오른쪽 역사상을 가질 필요충분 조건은, 가 전사라는 것이다 (단, 일반적으로는, 선택 공리가 필요하므로, 오른쪽 역사상을 구성적으로 얻을 수 없다).

(증명) 사상 에 대해, 를 의 오른쪽 역사상이라고 하자. 이때, 임의의 에 대해 라고 하면, 가 되므로 는 전사이다.

반대로 사상 를 전사라고 하자. 그러면, 임의의 에서 의 원상 ({''y''})}}는 공집합이 아니다. 따라서 집합족 ({''y''}))_{''y'' ∈ ''Y''}}} (이것은 에 의한 의 분류이기도 하다)에 대해 선택 함수 ({''y''}))_{''y'' ∈ ''Y''} → ''X''}}를 정의할 수 있다. 이때, ({''y''}))}}는 에서 로의 사상이 되어, 가 되므로 는 의 오른쪽 역사상이다. ∎

두 개의 역('''양측 역'''(two-sided inverse))이 모두 존재하는 역함수는, 만약 존재한다면, 유일해야 한다. 사실, 함수가 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수를 모두 가지고 있다면, 둘 다 동일한 양측 역함수이며, 따라서 이것을 '''역함수'''라고 부를 수 있다.

만약 g 가 f 의 왼쪽 역함수이고, h 가 오른쪽 역함수라면, 모든 y ∈ Y 에 대해 g(y) = g(f(h(y)) = h(y)이다.

함수는 양측 역함수가 존재할 필요충분조건은 전단사 함수인 것이다.

전단사 함수 f는 단사 함수이므로 왼쪽 역함수를 가진다. f는 전사 함수이므로 오른쪽 역함수를 가진다. 위에 따라, 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수는 동일하다.
만약 f가 양측 역함수 g를 가진다면, g는 f의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이므로, f는 단사 함수와 전사 함수이다.

8. 2. 1. 왼쪽 역함수

일 때, 의 '''왼쪽 역함수'''는 함수 이며, 를 왼쪽에서 와 합성하면 항등 함수가 된다.^[12]

:

g \circ f = \operatorname{id}_X

즉, 함수 는 다음 규칙을 만족한다.

: 만약 ''y''}}라면, ''x''}}이다.

함수 는 의 치역에서 의 역함수와 같아야 하지만, 치역에 없는 의 원소에 대해서는 어떤 값이든 가질 수 있다.

공집합이 아닌 정의역을 가진 함수 는 왼쪽 역함수를 갖는 경우에만 단사 함수이다.^[13] 간단한 증명은 다음과 같다.

만약 가 의 왼쪽 역함수이고, 라면, 이다.
공집합이 아닌 가 단사 함수라면, 왼쪽 역함수 를 다음과 같이 구성한다. 모든 에 대해, 만약 가 의 치역에 있다면, 가 존재하여 가 성립한다. 라고 하자. 이 정의는 가 단사 함수이므로 유일하다. 그렇지 않으면, 를 의 임의의 원소로 둔다.

모든 에 대해, 는 의 치역에 있다. 구성에 의해, 이며, 이는 왼쪽 역함수의 조건이다.

고전 수학에서, 공집합이 아닌 정의역을 가진 모든 단사 함수 는 반드시 왼쪽 역함수를 갖는다. 그러나, 이는 구성적 수학에서는 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 실수 내의 두 원소 집합의 포함 사상 의 왼쪽 역함수는 }} 집합에 대한 실수의 retraction을 제공함으로써 indecomposability를 위반한다.^[14]

사상 에 대해, 의 '''왼쪽 역사상''' (left inverse)^영어 또는 인출 (retract)^영어이란,

:

g \circ f = \operatorname{id}_X

을 만족하는 사상 를 말한다. 즉, 의 각 원소 에 대해 는

:

f(x) = y\implies g(y) = x

를 만족한다. 따라서 는 의 치역 상에서는 의 역사상과 일치해야 하지만, 치역에 들어가지 않는 의 원소에 대해서는 어떤 값을 갖든 상관없다. 사상 가 왼쪽 역사상을 가지면 는 단사임이 다음과 같이 증명될 수 있다. 사상 에 대해, 를 의 왼쪽 역사상이라고 하자. 가 를 만족한다고 하면, 로부터 이므로, 따라서, 는 단사이다.

반대로 사상 가 (공사상이 아닌) 단사이면, 적당한 를 선택하여, 다음과 같이 왼쪽 역사상 를 구성할 수 있다.

:

g(y) = \begin{cases} x, & \text{if }\exists x \in X[f(x) = y] \\ x_0, & \text{else} \end{cases}

이와 같이 고전 수학에서는 임의의 단사 는 왼쪽 역사상을 가질 필요가 있지만, 구성적 수학에서는 거짓이 될 수 있다. 예를 들어, 두 원소 집합에서 실수 직선으로의 포함 사상 의 왼쪽 역사상은, 실수 직선에서 두 점 집합 0,1}}으로의 인출을 제공할 때에 위배된다.

8. 2. 2. 오른쪽 역함수

함수 의 '''오른쪽 역함수''' (또는 의 ''단면'')는 다음과 같은 함수 이다.

:

f \circ h = \operatorname{id}_Y .

즉, 함수 는 다음 규칙을 만족한다.

: 만약

\displaystyle h(y) = x

이면,

\displaystyle f(x) = y .

따라서, 는 아래에서 에 대응되는 의 임의의 원소일 수 있다.

함수 가 오른쪽 역함수를 갖는 것은 그 함수가 전사 함수일 필요충분 조건이다 (일반적으로 그러한 역함수를 구성하는 것은 선택 공리를 필요로 한다).

: 만약 가 의 오른쪽 역함수이면, 는 전사 함수이다. 모든

y \in Y

에 대해,

f(x) = f(h(y)) = y

인

x = h(y)

가 존재한다.

: 만약 가 전사 함수이면, 는 오른쪽 역함수 를 가지며, 이는 다음과 같이 구성될 수 있다: 모든

y \in Y

에 대해,

f(x) = y

인

x \in X

가 적어도 하나 존재하므로 (가 전사 함수이기 때문에), 의 값으로 하나를 선택한다.

사상 에 대해, 의 '''오른쪽 역사상''' (''right inverse'')^영어 또는 '''절단''' 혹은 '''단면''' (''section'')^영어이란

:

f \circ h = \operatorname{id}_Y

를 만족하는 사상 를 말한다. 즉 는 의 각 원소 에 대해

:

h(y) = x\implies f(x) = y

라는 조건을 만족한다. 따라서 는 에 의해 로 사상되는 라면 무엇이든 상관없다. 사상 가 오른쪽 역사상을 가질 필요충분 조건은, 가 전사라는 것이다 (단, 일반적으로는, 선택 공리가 필요하므로, 오른쪽 역사상을 구성적으로 얻을 수 없다).

(증명) 사상 에 대해, 를 의 오른쪽 역사상이라고 하자. 이때, 임의의 에 대해 라고 하면, 가 되므로 는 전사이다.

반대로 사상 를 전사라고 하자. 그러면, 임의의 에서 의 원상 ({''y''})}}는 공집합이 아니다. 따라서 집합족 ({''y''}))_{''y'' ∈ ''Y''}}} (이것은 에 의한 의 분류이기도 하다)에 대해 선택 함수 ({''y''}))_{''y'' ∈ ''Y''} → ''X''}}를 정의할 수 있다. 이때, ({''y''}))}}는 에서 로의 사상이 되어, 가 되므로 는 의 오른쪽 역사상이다. ∎

왼쪽 역사상이자 오른쪽 역상인 역상(역함수)은 유일해야 한다. 마찬가지로, 가 의 왼쪽 역상일 때, 는 의 오른쪽 역상일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 또한 가 의 오른쪽 역상일 때도, 는 반드시 왼쪽 역상일 필요는 없다. 예를 들어 가 의 각 원소 에 대해 그 제곱을 주는 함수 }}이고, 가 각 에 대해 양의 제곱근을 주는 함수 }}라고 하면, 의 어떤 원소 에 대해서도 가 성립한다. 즉, 는 의 오른쪽 역함수이다. 그러나, 예를 들어 이므로, 는 의 왼쪽 역함수가 아니다.

8. 2. 3. 양측 역함수

모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 필요충분조건은 전단사 함수이다.

두 개의 역('''양측 역'''(two-sided inverse))이 모두 존재하는 역함수는, 만약 존재한다면, 유일해야 한다. 사실, 함수가 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수를 모두 가지고 있다면, 둘 다 동일한 양측 역함수이며, 따라서 이것을 '''역함수'''라고 부를 수 있다.

만약 g 가 f 의 왼쪽 역함수이고, h 가 오른쪽 역함수라면, 모든 y ∈ Y 에 대해 g(y) = g(f(h(y)) = h(y)이다.

함수는 양측 역함수가 존재할 필요충분조건은 전단사 함수인 것이다.

전단사 함수 f는 단사 함수이므로 왼쪽 역함수를 가진다. f는 전사 함수이므로 오른쪽 역함수를 가진다. 위에 따라, 왼쪽 역함수와 오른쪽 역함수는 동일하다.
만약 f가 양측 역함수 g를 가진다면, g는 f의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이므로, f는 단사 함수와 전사 함수이다.

8. 3. 원상 (Preimage)

함수 y/''f'': ''X'' → ''Y''}} (가역적일 필요는 없음)에서, 원소 의 모든 원소들 중 로 사상되는 원소들의 집합이다.

:

f^{-1}(y) = \left\{ x\in X : f(x) = y \right\} .

의 역상은 함수 의 (다중값) 전체 역함수 하에서 의 상으로 생각할 수 있다.

이 개념은 치역의 부분 집합으로 일반화될 수 있다. 가 의 임의의 부분 집합일 경우, 로 표기되는 의 역상은 로 사상되는 의 모든 원소들의 집합이다.

:

f^{-1}(S) = \left\{ x\in X : f(x) \in S \right\} .

예를 들어, 함수 는 전단사가 아니므로 가역적이지 않지만, 치역의 부분 집합에 대해 역상을 정의할 수 있다. 예를 들어,

:

f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\}) = \left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}

원래 개념과 그 일반화는 항등식

f^{-1}(y) = f^{-1}(\{y\}),

에 의해 연결된다. 단일 원소 (즉, 단일 집합 )의 역상은 때때로 의 올이라고 불린다. 가 실수 집합일 때, 를 레벨 집합이라고 부르는 것이 일반적이다.

9. 현실 세계의 예

섭씨로 나타낸 온도를 화씨로 변환하는 함수를 ''f''라고 하면, 다음과 같다.

:''F'' = ''f''(''C'') = 9/5''C'' + 32

이 함수의 역함수는 화씨 온도를 섭씨 온도로 변환한다.

:''C'' = ''f''^-1(''F'') = 5/9(''F'' - 32)^[10]

''f''가 가족의 각 자녀에게 출생 연도를 할당한다고 가정하면, 역함수는 주어진 연도에 태어난 자녀를 출력한다. 그러나 가족 구성원 중 같은 해에 태어난 자녀가 있다면(예: 쌍둥이 또는 세 쌍둥이 등), 입력이 공통 출생 연도일 때 출력을 알 수 없다. 또한, 어떤 자녀도 태어나지 않은 연도가 주어지면 자녀를 지명할 수 없다.

어떤 양의 ''x'' 퍼센트 증가를 나타내는 함수 ''R''과 ''x'' 퍼센트 감소를 나타내는 함수 ''F''가 있을 때, ''x'' = 10%인 100에 적용하면, 첫 번째 함수를 적용한 다음 두 번째 함수를 적용해도 원래 값 100이 복원되지 않으므로, 이 두 함수가 서로 역함수가 아님을 알 수 있다.

용액의 pH를 계산하는 공식은 pH = -log₁₀[H⁺]이다. pH 측정값으로부터 산의 농도를 찾아야 하는 경우, 역함수 [H⁺] = 10^-pH가 사용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Inverse Function https://mathworld.wo[...] 2020-09-08
_[2] 서적 Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Ernst Klett Verlag
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 논문
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 논문
_[10] 웹사이트 Inverse Functions https://www.mathsisf[...] 2020-09-08
_[11] 논문
_[12] 서적 Abstract Algebra
_[13] 서적 Categories for the Working Mathematician
_[14] 간행물 Abstract Set Theory
_[15] 문서
_[16] 서적 Plane Trigonometry Henry Holt & Company 2017-08-12
_[17] 서적 Mathematical handbook for scientists and engineers: Definitions, theorems, and formulars for reference and review https://archive.org/[...] Dover Publications, Inc. 2000
_[18] 서적 An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator Springer Science+Business Media, LLC 2009
_[19] 서적 A History of Mathematical Notations https://books.google[...] Open court publishing company 2016-01-18
_[20] 간행물 On a Remarkable Application of Cotes's Theorem Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall 1813
_[21] 서적 A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons 1820
_[22] 서적 Curves, Functions and Forces 1852
_[23] 서적 Formulaire mathématique 1903
_[24] 웹사이트 Differentiation http://www.math.wisc[...] 2015-01-24
_[25] 논문
_[26] 논문
_[27] 논문
_[28] 서적

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