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연속 원순서 집합

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목차

1. 개요

연속 원순서 집합은 원순서 집합의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 경우를 의미한다. 원순서 집합 (P, ≼)의 두 원소 a, b에 대해, a가 b를 근사하거나 b보다 훨씬 아래에 있다는 것은 a ≼ ⋁ D인 모든 상향 집합 D에 대해 a ≼ d인 d ∈ D가 존재하거나, b ≼ ⋁ I인 모든 순서 아이디얼 I에 대해 a ∈ I가 성립하는 것과 동치이다. 근사 관계는 추이적 관계이며, P가 부분 순서 집합인 경우 반대칭적일 수 있지만 원순서가 아닐 수 있으며, 이 관계가 원순서인 것은 P의 오름 사슬 조건과 동치이다. 연속 원순서 집합은 임의의 a에 대해 ⇂a가 상향 집합이고 a = ⋁ ⇂a를 만족하는 원순서 집합이다. 연속 원순서 집합은 보간 성질을 가지며, dcpo, 완비 격자, 범주론적 성질 등 다양한 특성을 갖는다. 예시로는 모든 유한 원순서 집합, 실수 폐구간 [0, 1], 전순서 완비 격자, 멱집합 등이 있다.

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연속 원순서 집합
연속 순서 집합
정의연속 순서 집합은 완비 격자에 대한 자연스러운 일반화이다.
완비 격자는 각 부분집합이 최소 상계와 최대 하계를 갖는 순서 집합이다.
연속 순서 집합은 모든 방향성 있는 집합이 최소 상계를 갖고 모든 방향성 있는 집합의 쌍대 집합이 최대 하계를 갖는 순서 집합이다.
예시실수 집합 R은 일반적인 순서 ≤를 사용하여 연속 순서 집합이다.
마찬가지로, 모든 완비 격자 또한 연속 순서 집합이다.
연속 격자
설명격자 L이 있고, L의 모든 원소 x에 대해, x 위의 모든 원소의 집합이 L에서 방향성 있고 x 아래의 모든 원소의 집합이 L에서 방향성이 있다면, L은 연속 격자라고 한다.
연속 격자는 완비 격자이다.
연속 격자는 정보 과학에서 중요한 역할을 하며, 데이나 스콧의 영역 이론의 기초를 형성한다.
연속 원순서 집합
설명연속 원순서 집합은 각 원소에 대해 이상 집합과 필터 집합을 정의할 수 있는 원순서 집합이다.
이상 집합은 해당 원소보다 작거나 같은 원소들의 집합이고, 필터 집합은 해당 원소보다 크거나 같은 원소들의 집합이다.
사용연속 원순서 집합은 프로그래밍 언어 의미론에서 비결정적 계산의 의미를 모델링하는 데 사용될 수 있다.

2. 정의

원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.[1]


  • 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\lesssim d인 d\in D가 존재한다.
  • 임의의 순서 아이디얼 I\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee I라면, a\in I이다.


이 경우, '''a가 b를 근사한다'''(a approximates b영어) 또는 '''a가 b보다 훨씬 아래'''(a is way below b영어)라고 하며, 이를 a\ll b로 적는다.

근사 관계 \ll는 추이적 관계이며, P가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. \ll가 원순서인 것은 (P,\lesssim)의 오름 사슬 조건과 동치이다.[3]

원순서 집합 (P,\lesssim)의 임의의 원소 a\in L에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

:\mathop\Uparrow a=\{b\in L\colon a\ll b\}

:\mathop\Downarrow a=\{b\in L\colon b\ll a\}

\mathop\Uparrow a는 상집합이고, \mathop\Downarrow a는 하집합이다. 만약 P가 이음 반격자라면, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이다. 그러나 P가 만남 반격자이더라도 \mathop\Uparrow a는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 (P,\lesssim)가 다음 조건을 만족시키면, '''연속 원순서 집합'''이라고 한다.

  • 임의의 a\in P에 대하여, \mathop\Downarrow a는 상향 집합이며, a=\bigvee\mathop\Downarrow a이다.

3. 성질

연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


  • a\ll b
  • 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d인 d\in D가 존재한다.


이를 사용하여, 연속 원순서 집합 (P,\lesssim)의 근사 관계 \ll가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.

:\forall a,b\in P\colon a\ll b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b)

3. 1. 보간 성질

임의의 연속 전순서 집합 (P,\lesssim)의 두 원소 a,b\in P에 대해, a\ll b는 만약 모든 방향 집합 D\subseteq P에 대해 b\lesssim\sup D이고, d\in D가 존재하여 a\ll d가 성립할 때이다. 이것으로부터 연속 전순서 집합 (P,\lesssim)의 보간 성질이 따른다: a\ll b인 모든 a,b\in P에 대해 a\ll c\ll b를 만족하는 c\in P가 존재한다.

3. 2. 연속 dcpo

dcpo (P,\le)의 두 원소 a,b\in P에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

  • a\ll b이며, a\ne b
  • 임의의 상향 집합 D\subseteq P에 대하여, 만약 b\lesssim\bigvee D라면, a\ll d이며 a\ne d인 d\in D가 존재한다.


만약 P가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.[1]

:\forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\ne b\implies(\exist c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\ne c)

dcpo (P,\le)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

  • 연속 원순서 집합이다.
  • 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 \operatorname{Ideal}(P)는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.


구체적으로, 연속 dcpo (P,\le)에 대하여, \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(P)\to P의 왼쪽 수반 함자는

:\mathord\Downarrow\colon P\to\operatorname{Ideal}(P)

:\mathord\Downarrow\dashv\mathord\bigvee

이다.

유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo (P_i,\le)_{i\in I}들의 직접곱 \textstyle\prod_{i\in I}P_i는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 \textstyle a,b\in\prod_{i\in I}P_i에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • a\ll b
  • 임의의 i\in I에 대하여 a_i\ll b_i이며, \{i\in I\colon a_i\ne\bot\}는 유한 집합이다.


연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

3. 3. 연속 완비 격자

완비 격자 L의 두 원소 a,b\in L에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

  • a\ll b
  • 임의의 부분 집합 A\subseteq P에 대하여, 만약 b\le\bigvee A라면, a\le\bigvee F인 유한 부분 집합 F\subseteq A가 존재한다.


완비 격자 L에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 연속 원순서 집합이다.
  • 순서 아이디얼의 상한 함수 \bigvee\colon\operatorname{Ideal}(L)\to L은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 \operatorname{Ideal}(L)은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.[3]
  • 임의의 상향 집합들의 집합 \mathcal D\subseteq\mathcal P(L)에 대하여, \bigwedge_{D\in\mathcal D}\bigvee D=\bigvee_{f\in\prod\mathcal D}\bigwedge_{D\in\mathcal D}f(D)
  • 두 원소 격자 \{0,1\}의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 r\colon\{0,1\}^\kappa\to\{0,1\}^\kappa의 상 r(\{0,1\}^\kappa)과 동형이다.[4]


연속 완비 격자는 종종 '''연속 격자'''라고 불린다.

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

3. 4. 범주론적 성질

연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.[4]

4. 예

모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

실수 폐구간 [0,1]\subseteq\mathbb R은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 임의의 x,y\in[0,1]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.


  • x\ll y
  • x=0이거나, x

따라서, 항상

:\bigvee\mathop\Downarrow x=\bigvee([0,x)\cup\{0\})=x

이며, [0,1]은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 L의 임의의 두 원소 a,b\in L에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • a\ll b
  • 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
  • * a=b=\bot
  • * a
  • * a=b>\bot이며, a=b는 L의 어떤 도약 (c,a)의 두 번째 성분이다.

따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

임의의 집합 X에 대하여, 멱집합 (\mathcal P(X),\subseteq)는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 A\ll B는 A가 B의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, (\mathcal P(X),\subseteq)는 연속 완비 격자를 이룬다.

위상 공간 X의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 \operatorname{Open}(X)를 이룬다. 만약 X가 국소 콤팩트 공간이라면, \operatorname{Open}(X)는 연속 완비 격자를 이룬다.

다음과 같은 부분 순서 집합 \{\bot,\top,a_1,a_2,a_3,\dotsc,b\}을 생각하자.

:\bot

:\bot

이는 완비 격자를 이룬다.

:\{\bot,a_1,a_2,a_3,\dotsc\}

가 상향 집합이므로, b\not\ll b임을 알 수 있다. 따라서

:\bigvee\mathop\Downarrow b=\bigvee\{\bot\}=\bot\ne b

이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 B의 두 원소 a,b\in B에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • a\ll b
  • a=\bot


환 R의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 \operatorname{Ideal}(R)를 이룬다. 모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, \operatorname{Ideal}(R)는 연속 완비 격자를 이룬다.

5. 같이 보기

참조

[1] 서적 Continuous lattices and domains Cambridge University Press 2003
[2] 서적 Lattice Theory: Foundation Springer 2011
[3] 서적 Continuous lattices and domains Cambridge University Press 2003
[4] 서적 Lattice Theory: Foundation Springer 2011


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