오차 방정식

3. 근과 계수와의 관계

오차방정식 $\backslash textstyle\; ax^5\; +\; bx^4\; +\; cx^3\; +\; dx^2\; +\; ex+\; f=0$의 다섯 근을 $\backslash textstyle\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma,\; \backslash delta,\; \backslash epsilon$라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$(x-\backslash alpha)\; (x-\; \backslash beta)\; (x-\; \backslash gamma)\; (x-\; \backslash delta)\; (x-\backslash epsilon)=0$

:$x^5\; -(\backslash alpha+\; \backslash beta+\; \backslash gamma+\; \backslash delta+\; \backslash epsilon)x^4+(\backslash alpha\backslash beta+\; \backslash alpha\backslash gamma+\; \backslash alpha\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash epsilon+\backslash beta\backslash gamma+\; \backslash beta\backslash delta+\; \backslash beta\backslash epsilon+\; \backslash gamma\backslash delta+\; \backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash delta\backslash epsilon\; )x^3$

$-\; (\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash epsilon\; +\backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; +\backslash alpha\backslash gamma\backslash epsilon\; +\backslash alpha\backslash delta\backslash epsilon\; +\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\; +\backslash beta\backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash beta\backslash delta\backslash epsilon+\; \backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon\; )x^2$

:$+(\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash delta\backslash epsilon+\backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon\; +\; \backslash beta\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon)x\; -\; \backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon\; =0$

위 식에서 각 항의 계수는 다음과 같다.

:$\backslash alpha+\; \backslash beta+\; \backslash gamma+\; \backslash delta+\; \backslash epsilon\; =\; -\{\; b\; \backslash over\; a\}$

:$\backslash alpha\backslash beta+\; \backslash alpha\backslash gamma+\; \backslash alpha\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash epsilon+\backslash beta\backslash gamma+\; \backslash beta\backslash delta+\; \backslash beta\backslash epsilon+\; \backslash gamma\backslash delta+\; \backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash delta\backslash epsilon\; =\; \{\; c\; \backslash over\; a\}$

:$\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash epsilon\; +\backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\; +\backslash alpha\backslash gamma\backslash epsilon\; +\backslash alpha\backslash delta\backslash epsilon\; +\; \backslash beta\backslash delta\backslash epsilon\; +\backslash beta\backslash delta\backslash gamma\; +\backslash beta\backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon\; =\; -\{\; d\; \backslash over\; a\}$

:$\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash epsilon+\; \backslash alpha\backslash beta\backslash delta\backslash epsilon+\backslash alpha\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon\; +\; \backslash beta\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon=\; \{\; e\; \backslash over\; a\}$

:$\backslash alpha\backslash beta\backslash gamma\backslash delta\backslash epsilon=\; -\{\; f\; \backslash over\; a\}$

특히 각 항($x^5,x^4,x^3,x^2,x,f$)에 따른 계수의 출현에 대한 조합의 경우의 수는 조합으로 따져 볼 수 있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 $\backslash textstyle\; \backslash alpha,\; \backslash beta,\; \backslash gamma,\; \backslash delta,\backslash epsilon$라고 하면, 각 근의 개수에 따른 조합의 경우의 수는 다음과 같다.

4. 차고차항 압축 정리(취른하우스 변형)

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항($n$차항)의 $x$의 계수, $a$로 나눈 다음 $\backslash textstyle\; x=y-\; \{b\; \backslash over\; \backslash mathbf\{n\}\; a\}$의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리라고 칭한다.

이 과정을 5차 방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다.

먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

:$x^5+\{b\; \backslash over\; a\}x^4+\{c\; \backslash over\; a\}x^3+\{d\; \backslash over\; a\}x^2+\{e\; \backslash over\; a\}x+\{f\; \backslash over\; a\}=0$

그리고 $y$로 치환한다.

:$x=y-\{b\; \backslash over\; \backslash mathbf\{5\}\; a\}$

그러면, 방정식은

:$y^5+py^3+qy^2+ry+s=0$

의 꼴로 정리된다. 여기서 $p,\; q,\; r,\; s$는 다음과 같다.

:$p=$

:$q=$

:$r=$

:$s=$

5. 일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들

일반적인 5차 방정식은 사칙연산과 거듭제곱근을 이용한 해법이 존재하지 않지만, 특수한 형태의 5차 방정식은 일반적인 해법이 존재한다. 라그랑주가 3차, 4차 방정식에서 사용한 방법을 응용하여 5차 방정식의 해를 구할 수도 있지만, 이 경우 더 높은 차수의 방정식을 풀어야 하는 문제가 발생한다.

1861년 아서 케일리는 더 낮은 차수의 치환을 주는 식을 제시했다.

:$x=(\backslash alpha\_1\backslash alpha\_2+\backslash alpha\_2\backslash alpha\_3+\backslash alpha\_3\backslash alpha\_4+\backslash alpha\_4\backslash alpha\_5+\backslash alpha\_5\backslash alpha\_1-\backslash alpha\_1\backslash alpha\_3-\backslash alpha\_2\backslash alpha\_4-\backslash alpha\_3\backslash alpha\_5-\backslash alpha\_4\backslash alpha\_1-\backslash alpha\_5\backslash alpha\_2)^2$

이 경우 6차 방정식을 푸는 문제로 귀착되는데, 근의 제곱이 유리수가 되는 경우에 한해 대수적으로 풀 수 있다. 이는 5차 방정식이 대수적으로 풀릴 필요충분조건이다.^[12]

5. 1. 상반방정식

5. 2. 이항방정식

6. 오차방정식의 판별식

실베스터 행렬의 종결식을 이용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차 방정식의 판별식을 유도할 수 있다.^[1]

5차 방정식 $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$을 $a\_5\; x^5+a\_4\; x^4+a\_3\; x^3+a\_2\; x^2+a\_1x^1+a\_0=0$으로 계수를 표현할 때, 실베스터 행렬 M은 $(2n-1)\backslash cdot(2n-1)$ 행렬이다.

:$$

M=\begin{bmatrix}

a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 & 0 \\

0 &a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\

0 & 0 &a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\

0 & 0 & 0 &a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\

5a_5 &4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 & 0 & 0 \\

0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 & 0 \\

0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0a_0 & 0 \\

0a_0 & 0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 \\

0 & 0a_0 & 0 & 0 &5a_5 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\

\end{bmatrix}

5차 방정식의 판별식 D는 다음과 같이 표현된다.

:$D=\; (-1)^\{n(n-1)\backslash over\; 2\}\; a\_n^\{-1\}\; M$

:$D=\; (-1)^\{5(5-1)\backslash over\; 2\}\; a\_5^\{-1\}\; M$

:$D=\; (-1)^\{20\backslash over\; 2\}\; a\_5^\{-1\}\; M$

:$D=\; (-1)^\{10\}\; a\_5^\{-1\}\; M$

7. 브링-제라드 형태

오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을^[13] 갖는다.

5차 방정식은 다음과 같은 브링-제라드 형태로 변환될 수 있다.

: $x^5\; +\; px\; +\; q\; =\; 0$

19세기 후반, 존 스튜어트 글래샨(John Stuart Glashan), 조지 팩스턴 영(George Paxton Young), 카를 룽게(Carl Runge)는 초등함수를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다.^[13]

: $x^5\; +\; \backslash frac\{5\backslash mu^4(4\backslash nu\; +\; 3)\}\{\backslash nu^2\; +\; 1\}x\; =\; \backslash frac\{4\backslash mu^5(2\backslash nu\; +\; 1)(4\backslash nu\; +\; 3)\}\{\backslash nu^2\; +\; 1\}$

이 방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

: $x\; =\; \backslash frac\{2\backslash mu\backslash sqrt\{20\backslash nu\; +\; 15\}\}\{5\backslash sqrt[4]\{\backslash nu^2\; +\; 1\}\}\backslash cosh\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash text\{arcosh\}\backslash biggl[\backslash frac\{125\backslash sqrt[4]\{\backslash nu^2\; +\; 1\}(2\backslash sqrt\{\backslash nu^2\; +\; 1\}\; +\; 2\backslash nu\; -\; 1)\}\{(20\backslash nu\; +\; 15)^\{3/2\}\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}\; -$

: $-\; \backslash frac\{2\backslash mu\backslash sqrt\{20\backslash nu\; +\; 15\}\}\{5\backslash sqrt[4]\{\backslash nu^2\; +\; 1\}\}\backslash sinh\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash text\{arsinh\}\backslash biggl[\backslash frac\{125\backslash sqrt[4]\{\backslash nu^2\; +\; 1\}(2\backslash sqrt\{\backslash nu^2\; +\; 1\}\; -\; 2\backslash nu\; +\; 1)\}\{(20\backslash nu\; +\; 15)^\{3/2\}\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}$

μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예시는 다음과 같다.

: $x^5\; +\; 15x\; =\; 12$

: $x\; =\; \backslash tfrac\{2\}\{5\}\backslash sqrt\{15\}\backslash cosh[\backslash tfrac\{1\}\{5\}\backslash text\{arcosh\}(\backslash tfrac\{5\}\{9\}\backslash sqrt\{15\})]\; -\; \backslash tfrac\{2\}\{5\}\backslash sqrt\{15\}\backslash sinh[\backslash tfrac\{1\}\{5\}\backslash text\{arsinh\}(\backslash tfrac\{5\}\{3\}\backslash sqrt\{15\})]$

매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해 쌍을 설정할 수 있다.

: $x^5\; +\; x\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}y^\{-5/4\}\backslash frac\{(1\; +\; y\; -\; y^2)\backslash sqrt\{2\; +\; 2y^2\}\}\{\backslash sqrt[4]\{10\; +\; 15y\; -\; 10y^2\}\}$

: $x\; =\; \backslash frac\{2\}\{5\}y^\{-1/4\}\backslash sqrt[4]\{10\; +\; 15y\; -\; 10y^2\}\backslash cosh\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash text\{arcosh\}\backslash biggl[\backslash frac\{5\backslash sqrt\{5\; +\; 5y^2\}\}\{(1\; +\; 2y)\backslash sqrt\{4\; +\; 6y\; -\; 4y^2\}\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}\; -$

: $-\; \backslash frac\{2\}\{5\}y^\{-1/4\}\backslash sqrt[4]\{10\; +\; 15y\; -\; 10y^2\}\backslash sinh\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{5\}\backslash text\{arsinh\}\backslash biggl[\backslash frac\{5y\backslash sqrt\{5\; +\; 5y^2\}\}\{(2\; -\; y)\backslash sqrt\{4\; +\; 6y\; -\; 4y^2\}\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}$

이 해 공식은 모든 실수 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.

임의의 5차 방정식

:$x^5\; +\; a\_4\; x^4\; +\; a\_3\; x^3\; +\; a\_2\; x^2\; +\; a\_1\; x\; +\; a\_0\; =0$

는 Tschirnhaus transformation|칠른하우스 변환^영어

:$y=x^4\; +\; b\_3\; x^3\; +\; b\_2\; x^2\; +\; b\_1\; x\; +\; b\_0$

에서 적절한 계수 ''b_j''를 선택함으로써, 브링-제라드의 표준형

:$y^5\; +\; y\; +\; b\; =\; 0$

으로 변환하는 것이 가능하다. 따라서, 먼저 이 형태로 귀착시킨다. 이 절차는 대수적으로 실행 가능하지만, ''b_j''는 ''a_l''의 복잡한 함수이다.^[3]

8. 모듈러 타원 함수를 통한 해결책

샤를 에르미트는 모듈러 방정식을 이용하여 5차 방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다.^[1][2] 5차 방정식은 대수적 조작을 통해 브링-제라드 표준형으로 변환할 수 있다.^[3] 브링-제라드 표준형은 다음과 같다.

:$x^5\; -\; 2^4\; \backslash cdot\; 5^3\; \backslash kappa^2\; (1\; -\; \backslash kappa^2)^2\; x\; -\; 2^6\; \backslash cdot\; 5^\{\backslash frac\{5\}\{2\}\}\; \backslash kappa^2\; (1\; -\; \backslash kappa^2)^2\; (1\; +\; \backslash kappa^2)\; =\; 0$

여기서 $\backslash kappa(\backslash tau)$는 모듈러 방정식의 해와 관련된 값으로, 복소수이다.

:$b=-\{\backslash rm\{i\}\}\; \backslash frac\{2(1\; +\; \backslash kappa^2)\}\{5^\{\backslash frac\{5\}\{4\}\}\backslash sqrt\{\backslash kappa(1-\backslash kappa^2)\}\}$

위의 변환식을 통해 5차 방정식과 브링-제라드 표준형을 연관시킬 수 있다.

레벨 5의 모듈러 방정식은 다음과 같다.^[5]

:$\backslash frac\{L\text{'}\}\{L\}\; =\; 5\; \backslash frac\{K\text{'}\}\{K\}.$

여기서 K, L은 각각 모수가 $k,\; l$인 제1종 완전 타원 적분이고, $K\text{'},\; L\text{'}$은 각각 모수가 $k\text{'}:=\backslash sqrt\{1-k^2\}$^[6], $l\text{'}:=\backslash sqrt\{1\; -\; l^2\}$인 제1종 완전 타원 적분이다.^[7]

$n\; =\; 5$일 때, 모듈러 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$F\backslash left[-\backslash sqrt[4]\{\backslash kappa(5\; \backslash tau)\},\; \backslash sqrt[4]\{\backslash kappa(\backslash tau)\}\backslash right]\; =\; 0,\backslash quad$

F(x,y)=x^6 - y^6 + 5 x^2 y^2 (x^2 - y^2) - 4 x y (x^4 y^4 - 1)=0,

이 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash alpha\_\{\backslash infty\}=-\backslash sqrt[4]\{\backslash kappa(5\backslash tau)\},\backslash quad$

\alpha_{l}=\sqrt[4]{\kappa\left(\frac{\tau + 16 l}{5}\right)}\quad l\in\{1,2,3,4\}



이 해들을 이용하여 다음과 같이 정의하면,

:$\backslash begin\{align\}$

r_0 &=(\alpha_\infty - \alpha_0)(\alpha_1 - \alpha_4)(\alpha_2 - \alpha_3)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\

r_1 &=(\alpha_\infty - \alpha_1)(\alpha_2 - \alpha_0)(\alpha_3 - \alpha_4)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\

r_2 &=(\alpha_\infty - \alpha_2)(\alpha_1 - \alpha_3)(\alpha_0 - \alpha_4)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\

r_3 &=(\alpha_\infty - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_4)(\alpha_1 - \alpha_0)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)\\

r_4 &=(\alpha_\infty - \alpha_4)(\alpha_0 - \alpha_3)(\alpha_1 - \alpha_2)\sqrt[4]{\kappa}(\tau)

\end{align}

$r\_i$는 브링-제라드 표준형 5차 방정식의 해가 된다.^[8]

$\backslash kappa(\backslash tau)$ 와 $\backslash tau$는 타원 곡선 ''C''

:$y^2\; =\; (1\; -\; x^2)(1\; -\; \backslash kappa^2\; x^2)$

상의 제1종 적분

:$\backslash xi\; =\; \backslash frac\{dx\}\{y\}\; =\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^2)(1\; -\; \backslash kappa^2\; x^2)\}\}$

의 주기의 비, 즉 제1종 완전 타원 적분

:$K=K(\backslash kappa)=\backslash int^1\_0\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^2\; )(1\; -\; \backslash kappa^2\; x^2)\}\},\backslash quad$

K'=K'(\kappa)=K(\kappa')=\int^1_0\frac{dx}{\sqrt{(1 - x^2 )(1 - {\kappa'}^2 x^2)}},\quad

\kappa'=\sqrt{1 - \kappa^2}

를 이용하여,

:$\backslash tau\; =\; \backslash frac\; K\text{'}\}\{K\}$

의 관계를 갖는다.

이러한 과정을 통해, 5차 방정식의 해를 타원 적분, 테타 함수, 렘니스케이트 함수 등을 포함하는 초월적인 형태로 표현할 수 있다.

9. 로저스 라마누잔 연속 분수

로저스 라마누잔 연속 분수(Rogers Ramanujan continued fraction)는 다음과 같이 정의된다.^[16]

:$R(z)\; =\; z^\{1/5\}\; \backslash frac\{(z;z^5)\_\{\backslash infty\}(z^4;z^5)\_\{\backslash infty\}\}\{(z^2;z^5)\_\{\backslash infty\}(z^3;z^5)\_\{\backslash infty\}\}$

여기서 두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 포흐하머 기호를 나타낸다.

또한, 로저스 라마누잔 연속 분수는 야코비 세타 함수(ϑ)를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$R(z)\; =\; \backslash tan\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z^\{1/2\})^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^\{5/2\})^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{2/5\}\; \backslash tan\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arccot\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z^\{1/2\})^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^\{5/2\})^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{1/5\}$

:$R(z^2)\; =\; \backslash tan\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z)^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^5)^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{2/5\}\; \backslash tan\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arccot\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z)^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^5)^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{1/5\}$

:$S(z)\; =\; \backslash tan\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arctan\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z)^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^5)^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{1/5\}\; \backslash cot\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash arccot\backslash biggl[\backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}(z)^2\}\{2\backslash vartheta\_\{00\}(z^5)^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}^\{2/5\}$

:$S(z)\; =\; \backslash frac\{R(z^4)\}\{R(z^2)R(z)\}$

이러한 로저스 라마누잔 연속 분수를 이용하면 5차 방정식의 해를 표현할 수 있다. 일반적인 5차 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$x^5\; +\; x\; =\; w$

이 방정식의 해는 다음과 같이 로저스 라마누잔 연속 분수와 야코비 세타 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.

:$x\; =\; \backslash frac\{S\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}\backslash bigr\backslash rangle^2\; -\; R\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^2\backslash bigr\backslash rangle\}\{S\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}\backslash bigr\backslash rangle^2\}\; \backslash times$

:$\backslash times\; \backslash frac\{1\; -\; R\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^2\backslash bigr\backslash rangle\backslash ,S\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}\backslash bigr\backslash rangle\}\{R\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^2\backslash bigr\backslash rangle^2\}\; \backslash times$

:$\backslash times\; \backslash frac\{\backslash vartheta\_\{00\}\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^5\backslash bigr\backslash rangle\backslash ,\backslash vartheta\_\{00\}\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^\{1/5\}\backslash bigr\backslash rangle^2\; -\; 5\backslash ,\backslash vartheta\_\{00\}\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}^5\backslash bigr\backslash rangle^3\}\{2\backslash sqrt[4]\{20\}\backslash ,\backslash text\{sl\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash ,\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]\backslash ,\backslash vartheta\_\{00\}\backslash bigl\backslash langle\; q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{5\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash ,w)]^2\backslash \}\backslash bigr\backslash rangle^3\}$

예를 들어, $x^5\; +\; x\; =\; 3$일 때,

:$q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{15\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\})]^2\backslash \}\; \backslash approx\; 0.452374059450344348576600264284387826377845763909$

:$x\; \backslash approx\; 1.132997565885065266721141634288532379816526027727$

그리고 $x^5\; +\; x\; =\; 7$일 때,

:$q\backslash \{\backslash text\{ctlh\}[\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash text\{aclh\}(\backslash tfrac\{35\}\{4\}\backslash sqrt[4]\{5\})]^2\backslash \}\; \backslash approx\; 0.53609630892200161460073096549143569900990236$

:$x\; \backslash approx\; 1.4108138510595771319852918753499397839215989$

10. 초기하 함수를 이용한 해법

클라인은 초기하 함수를 이용하여 5차 방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다^[1][2]. 클라인은 5차 방정식을 정20면체 방정식(60차 방정식)으로 귀착시키고, 정20면체 방정식의 해를 초기하 함수로 표현하는 방법을 제시하였다.

정20면체를 이차원 구면 S|에스^영어2에 내접시킨다. 이차원 구면 S|에스^영어2과 리만 구면 (복소 사영 직선)을 동일시한다. 복소 사영 직선의 균차 좌표를 $z\_1,z\_2\; (z=\{z\_1\}/\{z\_2\})$로 하고, 다음 식을 얻는다.

:$f\; =\; z\_1z\_2\; (z\_1^\{10\}+11z\_1^5z\_2^5-z\_2^\{10\}),$

:$H\; =\; -(z\_1^\{20\}+z\_2^\{20\}\; )+228(z\_1^\{15\}z\_2^5-z\_1^5z\_2^\{15\})-494z\_1^\{10\}z\_2^\{10\},$

:$T\; =\; (z\_1^\{30\}+z\_2^\{30\})+522(z\_1^\{25\}z\_2^5-z\_1^5z\_2^\{25\})-10005(z\_1^\{20\}z\_2^\{10\}+z\_1^\{10\}z\_2^\{20\}).$

이것들을 사용하여

:$q(z)=\backslash frac\; \{H(z\_1,z\_2)^3\}\{1728f(z\_1,z\_2)^5\}=\backslash frac\; \{H(z,1)^3\}\{1728f(z,1)^5\}$

가 되고, $q(z)=u$는 60차 방정식, 이른바 정20면체 방정식

:$((z^\{20\}+1)-288(z^\{15\}-z^5)+494z^\{10\})^3+1728uz^5(z^\{10\}+11z^5-1)^5=0$

이 된다.

역을 구하면 F(α,β,γ;ｚ）를 가우스 초기하 함수로 하여^[9]

:$z=\backslash frac\; \{F(\backslash frac\; \{11\}\{60\},\backslash frac\; \{31\}\{60\},\backslash frac\; \{6\}\{5\};\backslash frac\; \{1\}\{u\})\}\{\backslash sqrt[5]\{1728\}F(-\backslash frac\; \{1\}\{60\},\backslash frac\; \{19\}\{60\},\backslash frac\; \{4\}\{5\};\backslash frac\; \{1\}\{u\})\}$

11. 갈루아 이론

갈루아는 방정식이 대수적으로 풀릴 수 있는 조건을 제시했다(갈루아 이론 참조).^[10]

5차 전이군은 다음과 같은 5가지 종류가 있다.

기약인 $\backslash mathbb\{Q\}$ 계수의 5차 방정식 $x^5\; +\; a\; x^4\; +\; b\; x^3\; +\; c\; x^2\; +\; d\; x\; +\; e\; =\; 0$의 갈루아 군 G는 ♯G = 120, 60, 20, 10, 5이다.^[11]

• 5차 대칭군
• 5차 교대군
• 위수 20인 프로베니우스 군
• 10차 이산면체군
• 5차 순환군

12. 초멱근을 이용한 해법

사칙 연산과 일반적인 멱근을 취하는 것에 더해 초멱근(즉, 기약 방정식 의 유일한 실수 근)을 취하는 조작도 "대수적 조작"으로 허용했을 경우, 이 확장된 의미에서 일반 오차 방정식이 "대수적으로" 풀릴 수 있다는 것이 알려져 있다.

참조

_[1] 서적 正20面体と5次方程式改訂新版 シュプリンガー・ジャパン 2005
_[2] 서적 Lectures on the Icosahedron and the Solution of the Fifth Degree Cosimo Inc. 2007
_[3] 서적 楕円関数論 東京大学出版会 2000
_[4] 문서
_[5] 서적 Ramanujan---Twelve lectures on subjects suggested by his life and work(reprint) AMS Chelsy Publishing 1999
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 논문 クラインとポアンカレの往復書簡について―保型関数論の源流 https://www2.tsuda.a[...]
_[10] 논문 5次方程式の可解性の高速判定法（数式処理における理論と応用の研究） https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所
_[11] 웹사이트 方程式のガロア群 https://www.tsuyama-[...]
_[12] 문서
_[13] 웹인용 Bring-Jerrard Quintic Form https://mathworld.wo[...] 2022-01-24
_[14] 저널 인용 Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858 https://zenodo.org/r[...] 1858-12-01
_[15] 저널 인용 Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions https://doi.org/10.1[...] 2014-01-24
_[16] 웹인용 Rogers-Ramanujan Continued Fraction https://mathworld.wo[...] 2022-01-24