위상 끈 이론

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1. 개요
2. 전개
- 2.1. A-모형과 B-모형의 비교
3. 위상 시그마 모형
4. 다른 이론과의 관계
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

위상 끈 이론은 2차원 초등각 장론을 기반으로 하며, 로렌츠 대칭을 위상적으로 뒤틀어 A-모형과 B-모형을 생성한다. A-모형은 켈러 형식에 의존하고 켈러 중력 및 천-사이먼스 이론과 관련되며, B-모형은 복소 구조에 의존하고 고다이라-스펜서 중력과 관련된다. 이 두 모형은 거울 대칭으로 연결되며, 고파쿠마르-바파 쌍대성, 결정 융해 모형과의 쌍대성, 기하학적 변환, 정칙 이상 현상, 그리고 초대칭 게이지 이론의 계산에 활용된다. 위상 끈 이론은 에드워드 위튼에 의해 1988년에 도입되었다.

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위상 끈 이론
개요
유형	끈 이론
분야	이론 물리학
상세 정보
관련 개념	거울 대칭

2. 전개

위상 끈 이론은 1988년 에드워드 위튼이 고안한 "위상 꼬임"이라는 과정을 통해 일반적인 끈 이론의 시그마 모형을 변형하여 만들어진다.^[1] 이 이론은 R-대칭으로 알려진 두 개의 U(1) 대칭을 가지는데, 로렌츠 대칭을 회전 대칭성과 R-대칭성을 조합하여 수정할 수 있다. 이 두 R-대칭 중 하나를 사용하여 위상 꼬임을 가하면, A-모형과 B-모형이라는 두 가지 다른 이론을 얻을 수 있다.

세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않으면 U(1)_A 대칭은 깨져서 A-모형만 정의 가능하다. 예를 들어 과녁 공간이 켈러 다양체인 시그마 모형의 경우, 오직 A-모형만이 존재한다. 반대로 과녁 공간이 $\mathbb R^n$ 이고 초퍼텐셜을 가진 란다우-긴즈부르크 모형의 경우, 초퍼텐셜 형태에 따라 U(1)_V 대칭이 깨져 B-모형만 정의될 수 있다.

양자 역학적으로 U(1) 대칭은 이상이 발생하여 꼬임이 불가능할 수 있다. 예를 들어, H-플럭스가 0인 켈러 다양체의 경우, A-모형으로 이어지는 꼬임은 항상 가능하지만, B-모형은 시공간의 첫 번째 천 클래스가 사라질 때, 즉 시공간이 칼라비-야우 다양체일 때만 가능하다.

위상 끈 이론의 계산 결과는 일반적으로 정칙 함수를 포함하며, 그 값은 시공간 초대칭에 의해 보호되는 완전한 끈 이론 내의 모든 정칙량들을 부호화한다. 위상 끈 이론은 체른-시몬스 이론, 그로모프-위튼 불변량, 거울 대칭, 기하학적 랑글란즈 프로그램 등 여러 주제와 관련되어 있다.

위상 끈 이론의 연산자들은 일정량의 초대칭성을 보존하는 완전한 끈 이론에서의 연산자 대수를 나타낸다. 위상 끈 이론은 일반 끈 이론의 세계면 묘사를 위상 꼬임을 통해 얻어진다. 이 연산은 위상 양자장론의 구성과 유사하며, 국소적 자유도가 존재하지 않는다.

2. 1. A-모형과 B-모형의 비교

위상 끈 이론의 세계면 이론은 2차원

\mathcal N=(2,2)

초등각 장론이다. 이 경우 R대칭은 U(1)_V×U(1)_A인데, 이 두 성분 가운데 하나를 로런츠 대칭 SO(2)=U(1)_E과 대응시켜 위상적 뒤틂(topological twist)을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. U(1)_V로 뒤틀면 '''A-모형'''(A-model^영어), U(1)_A로 뒤틀면 '''B-모형'''(B-model^영어)을 얻는다.^[2]

만약 세계면 이론이 등각 대칭을 갖지 않는다면 U(1)_A 대칭은 깨지게 된다. 이 경우는 오직 A-모형만을 정의할 수 있다. 반대로, 과녁 공간이

\mathbb R^n

이고 초퍼텐셜을 가진 '''란다우-긴즈부르크 모형'''(Landau–Ginzburg model^영어)의 경우, 초퍼텐셜이 특수한 형태가 아니라면 U(1)_V 대칭이 고전적으로 깨지게 된다. 이 경우는 오직 B-모형만을 정의할 수 있다.

A-모형과 B-모형은 거울 대칭에 의하여 서로 연관된다.

성질	A-모형	B-모형
뒤트는 대칭	U(1)_V	U(1)_A
과녁 공간의 조건	(일반화) 켈러 다양체	복소다양체
매장 사상 $\Sigma\to M$ 의 국소화 조건	정칙 함수	상수 함수
초대칭 D-막	특수 라그랑주 부분다양체(special Lagrangian submanifold^영어)	정칙 부분다양체
손지기 환(chiral ring)	(a,c) 환	(c,c) 환
란다우-긴즈부르크 모형의 손지기 환	자명함	$\mathbb C[\phi^1,\dots,\phi^n]/(\partial_iW)$ (초퍼텐셜 $W$ 를 가진 $n$ 차원 란다우-긴즈부르크 모형)^[2]
시그마 모형의 손지기 환	양자 코호몰로지(quantum cohomology) (벡터 공간으로서 드람 코호몰로지 $H^q(M;\bigvee T^*M)$ 와 같지만 환 연산이 다름. 큰 부피 극한에서는 드람 코호몰로지로 수렴)^[2]	접다발의 외대수 다발의 돌보 코호몰로지 $H^q(M;\bigvee^pTM)$ ^[2]
정칙 변칙의 존재 여부	없음	있음 (BRST 불변 관측가능량이 모듈러스 공간 위에서 정칙함수가 아닐 수 있음)
관련된 범주	후카야 범주(Fukaya category)	연접층의 범주

위상학적 A-모델은 6차원 실수 공간의 일반화된 켈러 시공간인 대상 공간과 함께 제공된다. A-모델 닫힌 끈의 끈 장 이론은 켈러 중력으로 알려져 있으며, 마이클 버샤드스키와 블라디미르 사도프에 의해 소개되었다. N개의 D2-브레인 묶음에 대한 세계 부피 이론은 A-모델의 열린 끈의 끈 장 이론이며, 이는 U(N) 체른-시몬스 이론이다. 기본 위상 끈은 D2-브레인에서 끝날 수 있다.

B-모델은 또한 기본 끈을 포함하며, B-모델의 닫힌 끈의 끈장론은 중력의 코다이라-스펜서 이론으로 알려져 있으며, 마이클 버샤드스키, 세르지오 체코티, 오구리 히로시 및 쿰룬 바파에 의해 개발되었다. B-모델은 D(-1), D1, D3 및 D5-브레인을 가지며, 이들은 각각 정칙적인 0, 2, 4, 6-부분다양체를 감싼다. 여기서 6-부분다양체는 시공간의 연결 성분이다. D5-브레인에 대한 이론은 정칙적 체른-시몬스 이론으로 알려져 있다.

3. 위상 시그마 모형

$M$ 이 콤팩트 칼라비-야우 다양체이고, $\Sigma$ 가 콤팩트 리만 곡면(=세계면)이면, $M$ 위에 2차원 $\mathcal N=(2,2)$ 시그마 모형을 정의할 수 있다. 이 시그마 모형은 다음과 같이 정의된다.

$(\phi,\psi)\colon\Sigma\to TM$ 는 매끄러운 함수이다. 여기서 $TM$ 은 $M$ 의 (비정칙) 접다발의 전체 공간이며, 이 경우 $\psi(z,\bar z)\in T_{\phi(z,\bar z)}M$ 이다.

이들은 손지기 초장^[3]으로 표현 가능하다.

:

\Phi(\theta^\pm,\bar\theta^\pm)=\phi+\psi_+\theta^++\psi_-\theta^-+\cdots

(나머지 성분들은 보조장이거나,

\phi

및

\psi

의 도함수로 구성된다.)

이들은 R대칭에 대하여 다음과 같은 전하를 갖는다.^[3]

장	U(1)_V 전하	U(1)_A 전하	스핀 $h-\bar h$
$z$	0	0	−1
$\bar z$	0	0	+1
$\theta^+$	−1	−1	−½
$\bar\theta^+$	+1	−1	−½
$\theta^-$	−1	+1	+½
$\bar\theta^-$	+1	−1	+½
$\phi$	0	0	0
$\psi_+$	+1	+1	+½
$\bar\psi_+$	−1	−1	+½
$\psi_-$	+1	−1	−½
$\bar\psi_-$	−1	+1	−½

즉, 초장 $\Phi$ 는 로런츠 스칼라이자 모든 R대칭에 대하여 중성이다. 기호에서 윗첨자 ±는 뒤틀기 전 로런츠 스핀을 나타내며, 아랫첨자 ±는 로런츠 스핀의 반대 부호이다.

이 시그마 모형의 두 가지 위상 뒤틂은 각각 다음과 같다.^[3]

뒤틂	$\psi_+$	$\bar\psi_+$	$\psi_-$	$\bar\psi_-$
뒤틀기 이전	스핀 +½, $\sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes \phi^*T^{1,0}M$	스핀 +½, $\sqrt{\Omega^{1,0}\Sigma}\otimes\phi^*T^{0,1}M$	스핀 −½, $\sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M$	스핀 −½, $\sqrt{\Omega^{0,1}\Sigma}\otimes\phi^*T^{1,0}M$
A뒤틂 $h$ -\bar h=h-\bar h+q_V/2	스핀 +1, $\Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M$	스핀 0, $\phi^*T^{0,1}M$	스핀 0, $\phi^*T^{1,0}M$	스핀 −1, $\Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M$
B뒤틂 $h-\bar h'=h-\bar h-q_A/2$	스핀 +1, $\Omega^{1,0}\Sigma\otimes \phi^*T^{1,0}M$	스핀 0, $\phi^*T^{0,1}M$	스핀 −1, $\Omega^{0,1}\Sigma\otimes\phi^*T^{1,0}M$	스핀 0, $\phi^*T^{1,0}M$

위상 뒤틂에 따라 $\psi$ 의 스핀이 변화한다.

4. 다른 이론과의 관계

A모형의 관측 가능량은 그로모프-위튼 불변량으로 엄밀히 정의되며, 이는 양자 코호몰로지를 정의한다. 위상 끈 이론은 크게 위상 A모형과 위상 B모형으로 나뉜다. 위상 끈 이론의 계산 결과는 정칙 함수를 포함하며, 그 값은 시공간 초대칭에 의해 보호되는 완전한 끈 이론 내의 모든 정칙량들을 부호화한다.

위상 끈 이론은 체른-시몬스 이론, 그로모프-위튼 불변량, 거울 대칭, 기하학적 랑글란즈 프로그램 등 여러 주제와 관련되어 있다.

위상 끈 이론의 연산자는 일정량의 초대칭성을 보존하는 완전한 끈 이론에서의 연산자 대수를 나타낸다. 위상 끈 이론은 일반 끈 이론의 세계면 묘사를 위상 꼬임을 통해 얻어진다. 연산자들은 다른 스핀을 가지며, 이는 위상 양자장론의 구성과 유사하다. 위상 끈 이론에는 국소적 자유도가 존재하지 않는다.

고파쿠마르-바파 쌍대성에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰 N 극한과 같다.^[7] 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견했다. A모형 위상 끈 이론은 통계역학의 결정 융해 모형과도 쌍대적이다.^[8]^[9]

여러 쌍대성이 위 이론들을 연결한다. 두 개의 거울 다양체 상의 A-모델과 B-모델은 거울 대칭으로 연결되며, 이는 3차원 토러스 위의 T-쌍대성으로 설명되어 왔다.

4. 1. 유효 이론

일반적으로, (초)끈 이론은 낮은 에너지에서 (초)중력 유효 이론을 이룬다. A형 위상 끈 이론의 유효 이론은 '''켈러 중력'''(Kähler gravity^영어)이라고 불리며,^[4] 특수한 경우 천-사이먼스 이론으로 해석할 수 있다.^[5] B형 위상 끈 이론의 유효 이론은 '''고다이라-스펜서 중력'''(Kodaira–Spencer gravity^영어)이다.^[6]

4. 2. 쌍대성

고파쿠마르-바파 쌍대성(Gopakumar–Vafa duality)에 따르면, 코니폴드 위의 열린 끈 A모형은 U(N) 천-사이먼스 이론의 큰

N

극한과 같다.^[7] 이는 라제시 고파쿠마르와 캄란 바파가 발견하였다. A모형 위상 끈 이론은 또한 통계역학의 결정 융해 모형과 서로 쌍대적이라고 추측된다.^[8]^[9]

여러 쌍대성이 위 이론들을 연결한다. 두 개의 거울 다양체 상의 A-모델과 B-모델은 거울 대칭에 의해 연결되는데, 이는 3차원 토러스 위의 T-쌍대성으로 설명되어 왔다. 동일한 다양체 상의 A-모델과 B-모델은 S-쌍대성에 의해 연결될 것으로 추측되는데, 이는 원래의 브레인과 동일한 사이클을 감싸지만 반대 이론에서 나타나는, NS5-브레인과 유사한 NS 브레인이라고 불리는 여러 새로운 브레인의 존재를 암시한다. 또한 A-모델과 B-모델의 결합 및 B-모델의 켤레 복소수 결합은 일종의 차원 축소에 의해 위상 M-이론과 관련된다. 여기서 A-모델과 B-모델의 자유도는 동시에 관찰될 수 없는 것으로 보이며, 양자역학에서 위치와 운동량 사이의 관계와 유사한 관계를 가진다.

4. 2. 1. 정칙 이상 현상 (Holomorphic Anomaly)

B-모델은 정칙 이상 현상을 겪는데, 이는 고전적으로 정칙인 복소수 의존성이 비정칙 양자 보정을 받는다는 것을 의미한다. 에드워드 위튼은 [https://arxiv.org/abs/hep-th/9306122 문자열 이론의 양자 배경 독립성]에서 이러한 구조가 복소 구조 공간을 기하학적 양자화하는 과정에서 발견되는 구조와 유사하다고 주장했다. 이 공간이 양자화되면, 차원의 절반만 동시에 교환되므로 자유도의 수가 절반으로 줄어든다. 이 절반으로 줄어드는 것은 진공 편극이라고 하는 임의의 선택에 따라 달라진다. 켤레 모델은 누락된 자유도를 포함하므로, B-모델과 켤레 모델을 텐서곱하여 누락된 모든 자유도를 다시 얻고, 편극의 임의 선택에 대한 의존성을 제거한다.

4. 3. 기하학적 변환 (Geometric Transitions)

열린 끈으로 묘사되는 D-브레인을 갖는 구성과, 브레인이 플럭스로 대체된 구성은 쌍대성에 의해 연결된다. 이러한 쌍대성의 대표적인 예시는 라제쉬 고파쿠마르와 컴런 바파가 제시한 고파쿠마르-바파 쌍대성이다.

고파쿠마르-바파 쌍대성은 변형된 코니폴드에서 A-모형의 3-구에 있는 N개의 D6-브레인 묶음을, 스트링 결합 상수에 N을 곱한 값에 해당하는 B장을 가진 해결된 원뿔곡면에서 A-모형의 닫힌 끈 이론과 관련시킨다. A-모형의 열린 끈은 U(N) 천-사이먼스 이론으로 묘사되는 반면, A-모형의 닫힌 끈 이론은 켈러 중력으로 묘사된다.

원뿔곡면은 해결되었지만, 팽창된 2-구의 면적은 0이며, 0이 아닌 것은 면적의 복소수 부분으로 간주되는 B-장뿐이다. 실제로, 천-사이먼스 이론은 위상수학적이므로, 변형된 3-구의 부피를 0으로 줄여 이중 이론과 동일한 기하학에 도달할 수 있다.

이 쌍대성의 거울 쌍대성은 또 다른 쌍대성으로, 해결된 원뿔곡면에서 2-사이클을 감싸는 브레인 위의 B-모형의 열린 끈을 변형된 원뿔곡면 위의 B-모형의 닫힌 끈과 관련시킨다. B-모형의 열린 끈은 종단되는 브레인 위의 정칙 천-사이먼스 이론의 차원 축소로 묘사되는 반면, B-모형의 닫힌 끈은 고다이라-스펜서 중력으로 묘사된다.

4. 4. 초대칭 게이지 이론

A-모형 위상 끈 이론은 4차원 또는 5차원

\mathcal N=2

초대칭 게이지 이론의 프리퍼텐셜(prepotential^영어)을 계산하는 데 사용된다. B-모형 위상 끈 이론은 4차원

\mathcal N=1

초대칭 게이지 이론의 초퍼텐셜(superpotential^영어)을 계산하는 데 사용된다.^[10]

A-모형 계산은 BPS 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하는 데도 사용된다.^[10]

안드레이 오쿤코프, 니콜라이 레셰티킨^영어, 쿰룬 바파는 양자 A-모델이 끈 결합 상수의 역수에 해당하는 온도에서 고전적으로 용융되는 결정의 쌍대라는 예상을 제시했다.

5. 응용

A모형 위상 끈 이론은 4차원 및 5차원 N=2 초대칭 게이지 이론의 프리포텐셜을 계산하고, 5차원에서 회전하는 블랙홀의 BPS 상태를 계산하는 데 사용된다.^[10]

6. 역사

에드워드 위튼이 1988년에 위상 끈 이론을 도입하였다.^[11] 위상 끈 이론은 에드워드 위튼이 1988년에 고안한 위상 꼬임이라는 절차를 통해 시그마 모형을 수정하여 만들어진다.

참조

_[1] 간행물 Topological Sigma Models 1988-02
_[2] 서적 Mirror Symmetry http://www.claymath.[...] American Mathematical Society/Clay Mathematical Institute
_[3] 저널 A mini-course on topological strings 2005
_[4] 저널 Theory of Kähler Gravity
_[5] 저널 Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory
_[6] 저널 Kodaira-Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes http://projecteuclid[...] 1994
_[7] 저널 On the Gauge Theory/Geometry Correspondence
_[8] 저널 Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals
_[9] 저널 Quantum Foam and Topological Strings
_[10] 저널 Lectures on black holes, topological strings and quantum attractors (2.0)
_[11] 저널 Topological sigma models http://projecteuclid[...] 1988

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