D-막

1. 개요

D-막(D-brane)은 끈 이론에서 사용되는 확장된 물체로, 끈의 끝점이 부착될 수 있는 표면을 의미한다. 1976년 워런 시걸에 의해 처음 고려되었으나, 로런츠 대칭 문제를 겪었다. 1989년 다이진, 로버트 리, 조지프 폴친스키 등에 의해 T-이중성을 통해 노이만 경계 조건과 디리클레 경계 조건이 동등하다는 것이 증명되었고, 폴친스키는 D-막이 라몽-라몽 전하를 가지며 초대칭을 보존하여 안정하다는 것을 보였다. D-막은 디랙 작용을 따르며, 게이지 전하와 라몽-라몽 장, 딜라톤, 중력자와 상호작용한다. D-막의 장력은 닫힌 끈 결합 상수와 레게 기울기로 표현되며, T-이중성에 따라 차원이 변화한다. D-막은 0차원의 D(-1)-막부터 10차원의 D9-막까지 존재하며, 라몽-라몽 장을 포함하는 끈 이론에서 안정적이다. D-막은 겹쳐지면서 비가환 게이지 대칭을 형성하고, 마이어스 효과를 통해 퍼지 구를 이루기도 하며, D-막 결합 상태를 형성할 수 있다. D-막은 게이지 이론 구축에 사용되며, 블랙홀 연구와 브레인 우주론에도 활용된다.

2. 역사

1976년 워런 시걸(Warren Siegel^영어)은 열린 끈의 디리클레 경계 조건을 처음으로 고려하였다. 그러나 이 연구는 로런츠 대칭을 깨는 문제 때문에 오랫동안 주목받지 못했다.

1989년 다이진(), 로버트 리(Robert G. Leigh^영어), 조지프 폴친스키, 페트르 호르자바(Petr Hořava^체코어)는 T-이중성을 통해 노이만 경계 조건과 디리클레 경계 조건이 서로 동등하다는 것을 증명하였다. 이는 노이만 경계 조건을 가진 열린 끈 이론은 디리클레 경계 조건도 허용해야 함을 의미한다. 같은 해에 리는 D-막이 디랙-보른-인펠트 작용을 따른다는 것을 증명하였다.

1995년 폴친스키는 D-막이 라몽-라몽 전하를 가지며, 초대칭의 일부를 보존하여 안정하다는 것을 보였다. 이 발견은 제2차 끈 이론 혁명의 계기가 되었으며, 홀로그래피 원리와 M이론 발전에 큰 영향을 미쳤다.

3. 성질

끈 이론에서 열린 끈(끝점이 있는 끈)의 끝점은 노이만 경계 조건(끝점이 빛의 속도로 자유롭게 움직임)과 디리클레 경계 조건(끝점이 고정됨) 중 하나를 만족해야 한다. 끈의 각 좌표는 이 조건들 중 하나를 만족해야 하며, 두 끝점이 서로 다른 경계 조건(NN, DD, ND, DN)을 만족할 수도 있다.

p개의 공간 차원이 노이만 경계 조건을 만족하면, 끈의 끝점은 p차원 초평면(Dp-브레인) 내에서 움직인다. D-브레인은 결합이 0에 가까울 때는 단단하지만, 열린 끈의 스펙트럼에는 D-브레인의 요동을 나타내는 모드가 포함되어 동적인 객체임을 알 수 있다.

여러 D-브레인이 거의 겹쳐 있을 때, 그 사이를 뻗는 끈의 스펙트럼은 매우 풍부해진다. 이 스펙트럼의 한 세트는 D-브레인의 세계 부피에 비가환 게이지 이론을 생성하고, 다른 세트는 브레인의 각 가로 차원에 대한 행렬을 나타낸다. 이 행렬들이 교환 가능하면 대각화될 수 있으며, 고유값은 공간에서 D-브레인들의 위치를 정의한다. 더 일반적으로, 브레인은 마이어스 효과(Dp-브레인 모음이 D(p+2)-브레인으로 확장)를 포함하는 비가환 기하학으로 설명된다.

타키온 응축은 아쇼크 센이 IIB형 끈 이론에서 타키온 응축을 통해 임의의 D-브레인 구성을 D9 및 반 D9-브레인의 스택에서 얻을 수 있다고 주장하면서 중요해졌다. 에드워드 위튼은 이러한 구성이 시공간의 K-이론으로 분류될 수 있음을 보였다. 하지만 타키온 응축은 타키온의 오프쉘 진화를 설명할 정확한 끈 장 이론이 없어 아직 완전히 이해되지 않았다.

점 입자는 0+1차원 브레인, 끈은 1+1차원 브레인으로 생각할 수 있다. D-브레인은 D 뒤에 숫자를 붙여 차원을 표현한다. (D0-브레인(D-입자), D1-브레인(D-스트링), D2-브레인, 0+0차원 D(-1)-브레인(D인스턴턴) 등).

보존 끈 이론은 26차원 시공간을 다루므로 D(-1)부터 D25까지의 브레인을 생각할 수 있지만, 초대칭이 없으면 모두 불안정하다. 초끈 이론에서는 초대칭 전하 보존 법칙에 의해 특정 차원의 D-브레인만 안정적으로 존재한다. (IIA형 초끈 이론: 짝수 공간 차원 D-브레인, IIB형 초끈 이론: 홀수 공간 차원 D-브레인).

3.1. 작용

D-막은 기본적으로 난부-고토 작용을 일반화한 디랙 작용(Dirac action)을 따른다. D-막은 게이지 전하를 가질 수 있으며, 라몽-라몽 장, 딜라톤, 중력자 등과 상호작용하며, 디랙-보른-인펠트 작용으로 나타낼 수 있다.

D-막은 열린 끈과 상호작용한다. D-막에 붙어 있는 열린 끈의 진동 모드는 D-막 위의 게이지 장과 D-막의 움직임을 나타낸다.

3.2. 장력

Dp-막의 장력 ($T\_p$)은 D-막의 에너지 밀도를 나타내는 상수이다. D-막의 에너지 밀도 $\backslash tau\_p$는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash tau\_p=T\_p\backslash exp(-\backslash Phi)=T\_pg\_\backslash text\{s\}^\{-1\}$

여기서 $\backslash exp\backslash Phi\; =\; g\_\backslash text\{s\}$는 닫힌 끈 결합 상수이다.

이는 T-이중성을 통해 유도할 수 있다. 반지름 $R$로 축소화된 방향에 감긴 D$p$-막을 생각하면, D-막의 나머지 9차원에서 에너지 밀도는 다음과 같다.

:$T\_pg\_\backslash text\{s\}^\{-1\}2\backslash pi\; R$

T-이중성에 의해, 이는 크기가 $\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\}/R$로 축소화된 공간에 존재하는, 감기지 않은 D$(p-1)$-막과 같다. ($\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\}=\backslash sqrt\{\backslash alpha\text{'}\}$는 레게 기울기의 제곱근이다.) 이 막의 에너지 밀도는 다음과 같다.

:$\backslash frac\{T\_\{p-1\}\}\{g\_\backslash text\{s\}\text{'}\}$

여기서 $g\_\backslash text\{s\}\text{'}$는 T-이중 이론의 결합 상수로, $g\_\backslash text\{s\}\text{'}=g\_\backslash text\{s\}\text{'}R/\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\}$이다. 따라서,

:$T\_p=T\_\{p-1\}/(2\backslash pi\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\})$

임을 알 수 있다. 즉,

:$T\_p=T\_0(2\backslash pi\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\})^\{-p\}$

이다.

$T\_0$는 보손 끈 이론에서 다음과 같다.

:$T\_0=\backslash frac\{\backslash pi\}\{256\backslash kappa\_0^2\}(2\backslash pi\backslash ell\_\backslash text\{s\})^\{22\}$.

여기서 $\backslash kappa\_0$는 끈의 아인슈타인-힐베르트 작용에 나타나는 상수이다.

초끈의 경우에는 다음과 같다.

:$T\_0=\backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\{\backslash kappa\_0\}(2\backslash pi\backslash ell\_\backslash text\{s\})^3=\backslash frac1\{g\_\backslash text\{s\}\backslash ell\_\backslash text\{s\}\}$

D-막의 장력은 M이론을 통해서도 설명할 수 있다. M이론에 따르면, ⅡA 끈 이론의 D2-막은 M이론의 M2-막과 같으며, D4-막은 원에 감긴 M5-막과 같다. 이 경우 해당 D-막들의 장력은 M이론에서 계산한 M-막들의 장력과 일치한다.

D2-막의 장력은

:$T\_2\; =\; \backslash frac1\{g\_\{\backslash text\{s\}\}\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\}(2\backslash pi\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\})^2\}\; =\; \backslash frac1\{2\backslash pi(g\_\{\backslash text\{s\}\}^\{1/3\}\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\})^2\}$

인데, M이론에서 11차원 플랑크 길이 $\backslash ell\_\{\backslash text\{p\}\}\; =\; g\_\{\backslash text\{s\}\}^\{1/3\}\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\}$이므로, 이는 M2-막의 장력

:$T\_\{\backslash text\{M2\}\}\; =\; \backslash frac1\{2\backslash pi\backslash ell\_\{\backslash text\{p\}\}^3\}$

과 같다.

마찬가지로, D4-막의 장력은

:$T\_4\; =\; \backslash frac1\{g\_\{\backslash text\{s\}\}\backslash ell\_\backslash text\{s\}(2\backslash pi\backslash ell\_\{\backslash text\{s\}\})^4\}$
=\frac{R_{11}}{(2\pi)^4\ell_\text{p}^6}
=2\pi R_{11}T_{\text{M5}}

이다. 여기서 $R\_\{11\}\; =\; g\_\backslash text\{s\}\backslash ell\_\backslash text\{s\}$는 축소화된 11번째 차원의 반지름이며, $T\_\{\backslash text\{M5\}\}$는 M5-막의 장력이다. 이는 D4-막이 둘레 $2\backslash pi\; R\_\{11\}$의 원에 감긴 M5-막이기 때문이다.

3.3. T-이중성

D-막은 T-이중성에 따라 그 차원이 바뀐다. Dp-막의 세계부피 방향으로 축소화한 후 T-이중성을 가하면 D(p-1)-막이 되고, 세계부피 방향이 아닌 방향으로 축소화한 후 T-이중성을 가하면 D(p+1)-막이 된다.

4. 분류

D-막은 시공의 차원에 따라 다양한 차원을 가질 수 있다. 0차원의 D(-1)-막(D-순간자)부터 (초끈 이론의 경우) 10차원의 D9-막까지 존재한다. (보손 끈 이론에서는 D25-막까지 가능하다.)

D-막은 일반적으로 불안정하지만, 라몽-라몽 장을 포함하고 해당 라몽-라몽 전하를 가질 경우 안정될 수 있다. 이는 초대칭의 깨짐과 관련이 있으며, D-막이 존재하는 초대칭의 절반만 깨기 때문에 남은 초대칭에 의해 안정된다. 이러한 상태를 BPS 상태라고 한다.

ⅡA종 이론에서는 짝수 차원의 D-막(D0, D2, D4, D6, D8)이 안정하다. ⅡB종 이론에서는 홀수 차원의 D-막(D(-1), D1, D3, D5, D7, D9)이 안정하다.

Ⅰ종 끈 이론에서는 D1, D5, D9-막이 안정하며, BPS가 아닌 안정한 D0-막도 존재한다. 잡종 끈 이론에서는 열린 끈이 없으므로 D-막이 존재하지 않는다.

4.1. 위상 K이론 분류

D-막은 시공간 다양체에 위상 K이론을 적용하여 분류한다.

예를 들어, 평탄한 10차원 시공간 $\backslash mathbb\; R^\{10\}$ 위에 존재하는 ⅡB종 초끈 이론의 Dp-막은 콤팩트 지지 K군
:$K\_\{\backslash text\{c\}\}^0(\backslash mathbb\; R^\{9-p\})=\backslash tilde\; K^0(S^\{9-p\})=\backslash begin\{cases\}$
\mathbb Z&p\equiv1\pmod2\\
0&p\equiv0\pmod2\\
\end{cases}
으로 분류된다. 따라서 $p=1,3,5,7,9$가 존재한다. ⅡA종 초끈 이론은
:$\backslash tilde\; K^1(S^\{9-p\})=\backslash begin\{cases\}$
\mathbb Z&p\equiv0\pmod2\\
0&p\equiv1\pmod2\\
\end{cases}
에 의하여 분류된다. 따라서 $p=0,2,4,6,8$이 존재한다.

시공간이 $R^\{10-n\}\backslash times\; X\_n$의 꼴이고, $X\_n$이 $n$차원 콤팩트 공간이면, D-막은 상대 K군
:$K\_\{\backslash text\{c\}\}^0(\backslash mathbb\; R^\{10-n\}\backslash times\; X\_n)=K^0(\backslash mathbb\; S^\{10-n\}\backslash times\; X\_n,X\_n)$
으로 주어진다. 예를 들어, $X\_n=S^1$일 경우,
:$K\_\{\backslash text\{c\}\}^0(M\backslash times\; S^1)=K\_\{\backslash text\{c\}\}^0(M)\backslash oplus\; K^1(M^+)$
이다. 여기서 $K\_\{\backslash text\{c\}\}^0(M)$은 $S^1$에 감긴 D-막들을, $K^1(M^+)$는 감기지 않은 D-막들을 나타낸다.

Ⅰ종 끈 이론의 안정 D-막은 복소수 벡터 다발 대신 실수 벡터 다발을 사용한 K^O군으로 묘사된다. 즉, 평탄한 10차원 시공간 위에서 존재하는 Ⅰ종 끈 이론의 D-막은
:$$
\operatorname{KO}_{\text{c}}^0(\mathbb R^{9-p}) =
\operatorname{KO}^0(\mathbb S^{9-p})
=
\begin{cases}
\mathbb Z&p\in\{1,5,9\}\\
\mathbb Z/(2)&p\in\{-1,0,7,8\}\\
0&p\in\{2,3,4,6\}
\end{cases}
에 대응한다. 이 가운데 $p\backslash in\backslash \{1,5,9\backslash \}$인 경우는 BPS D-막에 해당하며, $p\; \backslash in\backslash \{-1,0,7,8\backslash \}$인 경우는 BPS가 아니지만 (하나만 있을 때) 안정된 D-막들이다.

4.2. M이론과의 관계

M이론을 원 위에 축소화하면 ⅡA 종 끈 이론을 얻는다. 이 경우, D2-막은 11차원의 M2-막에 해당하며, D4-막은 축소화 원에 감긴 M5-막에 해당한다. D0-막과 D6-막은 칼루차-클라인 들뜬 상태에 해당한다.

점과 같이 공간 0차원으로 시간 방향으로만 뻗어있는 소립자는 0+1차원의 브레인으로 생각할 수 있다. 마찬가지로 끈은 1+1차원의 브레인이다. D-브레인은 다양한 차원의 넓이를 가질 수 있다. D 뒤에 숫자를 붙여, 점 형태는 D0-브레인(D-입자), 선 형태는 D1-브레인(D-끈), 면 형태는 D2-브레인으로 나타낸다. 시간 방향으로 넓이를 갖지 않는 0+0차원의 D(-1)-브레인(D인스턴턴)도 존재한다.

26차원 시공간의 보존 끈 이론에서는 D(-1)부터 D25까지의 브레인을 생각할 수 있지만, 초대칭이 없는 이론에서는 모두 불안정하다. 초끈 이론에서는 초대칭 전하의 보존 법칙에 의해 특정 차원의 D-브레인이 안정적으로 존재할 수 있다. 예를 들어, IIA형 초끈 이론에는 공간 차원이 짝수인 D-브레인이, IIB형 초끈 이론에는 공간 차원이 홀수인 D-브레인이 존재한다.

5. 막의 결합 상태

D-막은 특수한 경우에 안정된 결합 상태(bound state^영어)를 이룰 수 있다. 두 D-막을 배치할 때는 여차원(두 막 중 하나는 뻗어 있지만 다른 하나는 뻗어 있지 않은 방향의 수)을 기준으로 한다.

두 D-막의 배치는 일반적으로 다음과 같은 표로 나타낸다.

5.1. 겹친 D-막

같은 차원의 평행한 D-막들은 (BPS 성질에 의하여) 서로 인력 및 척력을 느끼지 않아 겹칠 수 있다. 겹친 D-막은 열린 끈의 상태에 천-페이턴 인자라는 군론적인 지수를 붙이며, 유효 이론에서는 이를 비가환 게이지 대칭으로 해석한다. 즉, 일반적으로 D-막들이 겹치게 되면 그 게이지 대칭이 확장되게 된다.

D-막이 겹치는 경우, D-막의 위치는 더 이상 명확하지 않고 비가환 기하학을 따르게 된다. N장의 Dp 브레인이 겹쳐 있을 경우, 브레인에 수직인 각 방향에 대해 $N\; \backslash times\; N$ 행렬을 이루는 질량 0의 스칼라가 나타난다. 이 스칼라들이 동시 대각화 가능할 경우, 그 고윳값은 $N$장의 D-막의 공간 좌표를 정의한다. 그렇지 않은 경우, 브레인 위의 기하학은 비가환 기하학으로 설명된다.

5.1.1. 마이어스 효과

D-막이 겹치는 경우, D-막의 위치는 더 이상 명확하지 않고 비가환 기하학을 따르게 된다. 특히, 특별한 경우에는 D-막들이 퍼지 구를 이룰 수 있다. 이를 마이어스 효과(Myers effect^영어)라고 한다.

AdS_p×S^q 꼴의 공간에서, 점입자가 S^q−2 모양의 D(q−2)-막으로 바뀌는 현상이 나타난다. 이를 거대 중력자(giant graviton^영어)라고 하며, AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

N장의 Dp 브레인이 겹쳐 있을 경우, 브레인에 수직인 각 방향에 대해 $N\; \backslash times\; N$ 행렬을 이루는 질량 0의 스칼라가 나타난다. 이 스칼라들이 동시 대각화 가능하지 않을 경우, 브레인 위의 기하학은 비가환 기하학으로 설명된다. 이러한 비가환 기하학은 Dp 브레인의 집합을 D(p+2) 브레인 위에 전개하는 마이어스 효과와 같은 특이한 현상을 유발한다.

5.2. D-막 결합 상태

D-막은 특수한 경우에 안정된 D-막 결합 상태(bound state^영어)를 이룰 수 있다. 두 D-막의 배치는 여차원(두 막 중 하나는 뻗어 있지만 다른 하나는 뻗어 있지 않은 방향의 수)으로 특징지어진다.

두 D-막의 배치는 일반적으로 다음과 같은 표로 나타낸다.

5.3. (p, q)-끈

ⅡB 초끈 이론에서, D1-막(D-끈)과 기본 끈(F-끈)은 ⅡB 초끈 이론의 PSL(2,ℤ) S-이중성에 대하여 2중항(doublet)으로 변환하며, 따라서 D1-막과 F-끈의 결합 상태가 존재한다. p개의 F-끈과 q개의 D-끈이 결합한 끈을 (p,q) 끈((p,q)-string^영어)이라고 한다. 이 경우, p와 q는 서로소여야 한다. (만약 그렇지 않은 경우에는 n개의 (p/n, q/n)-끈으로 해체될 수 있다.) (p,q) 끈들은 ½BPS 상태이며, 이들이 보존하는 초대칭들은 원래 D-끈과 F-끈이 보존하는 초대칭들의 선형결합이다.

마찬가지로, D5-막과 NS5-막은 S-이중성의 2중항으로 변환하며, 이에 따라서 (p,q)5-막((p,q)5-brane^영어)이 존재한다. D7-막의 경우에도 마찬가지로 다양한 결합 상태가 존재하며, 이들은 F-이론으로 분류된다.

5.4. 분수 막

D-막을 오비폴드 특이점에 배치할 경우, D-막은 분수 막(fractional brane^영어)이라는 조각들로 분해된다. 구체적으로, 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$의, 유한군 $\backslash Gamma\; \backslash le\; \backslash operatorname\{SO\}(n)$의 작용에 대한 오비폴드 $\backslash mathbb\; R^n/\backslash Gamma$를 생각하자. 1의 D-막을 오비폴드 특이점에 배치한다고 하자. 이는 오비폴드를 가하기 이전에 $|\backslash Gamma|$개의 원상에 해당한다.

이 $|\backslash Gamma|$개의 D-막들의 천-페이턴 인자의 공간 $\backslash mathbb\; C^$