유도계수

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1. 개요
2. 역사
3. 인덕턴스의 원리
4. 인덕턴스의 종류
5. 인덕턴스 계산
- 5.1. 맥스웰 방정식으로부터의 유도
6. 인덕턴스의 응용
참조

1. 개요

유도계수는 회로의 전류 변화에 따라 유도 기전력이 발생하는 정도를 나타내는 비례 상수이다. 전자기 유도 현상에 의해 전류가 흐르는 도체에 자기장이 형성되고, 전류의 변화는 자속의 변화를 유발하여 기전력을 유도한다. 유도계수는 자기유도와 상호유도 두 가지 종류로 나뉘며, 자체 인덕턴스는 한 회로에서, 상호 인덕턴스는 두 회로 사이의 전류 변화에 의해 발생한다. 인덕턴스는 회로의 기하학적 형태와 물질의 투자율에 따라 달라지며, 코일 형태의 인덕터는 자속 결합을 증가시켜 인덕턴스를 높인다. 유도계수는 맥스웰 방정식으로 계산되며, 변압기, 공진 회로 등 다양한 전기 회로에 응용된다.

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유도계수
개요
이름	유도 용량 (誘導容量)
영어 이름	Inductance
기호	L
단위	헨리(H)
차원	질량¹ · 길이² · 시간^-2 · 전류^-2
유도 단위	kg⋅m²⋅s⁻²⋅A⁻²
유도식	L = 전압 / (전류 / 시간)
다른 유도식	L = Φ / 전류
정의
정의	도체가 전류 변화에 저항하는 정도를 나타내는 전기 회로의 특성
설명
설명	전류의 변화는 전압을 유도하며, 유도되는 전압의 크기는 전류 변화율에 비례한다.
기타	유도 용량은 인덕터와 같은 전기 회로 소자에서 나타난다. 유도 용량은 전기 에너지의 형태로 자기장에 에너지를 저장한다.

2. 역사

전자기학의 한 측면인 전자기 유도에 대한 역사는 고대부터 관찰된 현상에서 시작되었다. 호박을 비단에 문지르는 것과 같은 정전기 현상, 번개와 같은 전류 현상, 그리고 자철석이 나타내는 자기적 인력 등이 그것이다. 이러한 자연의 힘들을 통합적으로 이해하고 전자기학이라는 과학적 이론으로 정립하는 과정은 19세기에 이르러 본격적으로 시작되고 완성되었다.

전자기 유도 현상은 1831년 마이클 패러데이에 의해 처음으로 체계적으로 설명되었다.^[8]^[9] 패러데이는 철로 된 고리의 양쪽에 각각 전선을 감는 실험을 설계했다. 그는 한쪽 전선에 전류를 흘려보내면, 어떤 종류의 파동이 고리를 통해 전달되어 반대쪽 전선에 전기적인 효과를 일으킬 것이라고 예측했다. 실험 결과, 첫 번째 코일에 건전지를 연결하거나 분리할 때마다 두 번째 코일에 연결된 검류계가 일시적인 전류 흐름을 감지하는 것을 확인했다.^[10] 이 전류는 건전지를 연결하고 분리하는 과정에서 발생하는 자속의 변화 때문에 유도되는 것이었다.^[11] 패러데이는 이 외에도 다양한 전자기 유도 현상을 발견했다. 예를 들어, 막대 자석을 전선 코일 안팎으로 빠르게 움직일 때 일시적인 전류가 발생하는 것을 관찰했으며, 미끄러지는 도체 리드를 사용하여 막대 자석 근처에서 구리 원반을 회전시켜 일정한(DC) 전류를 만들어내는 장치(패러데이 원반)를 고안하기도 했다.^[12]

3. 인덕턴스의 원리

전류가 도체를 흐르면 앙페르의 법칙에 따라 도체 주위에 자기장이 생성된다.^[13]^[14]^[15]^[16] 이 자기장은 회로를 통과하는 자속 $\Phi$ 를 형성한다. 일반적으로 자속은 전류 $I$ 에 비례하며, 그 비례 상수가 인덕턴스 $L$ 이다.

: $\mathit{\Phi}=LI$

회로에 흐르는 전류 $I(t)$ 가 시간에 따라 변하면, 회로를 통과하는 자속 $\Phi(t)$ 도 변한다. 패러데이의 전자기 유도 법칙에 따르면, 자속의 시간적 변화율은 회로에 기전력(EMF, $\mathcal{E}$ 또는 $V$ )을 유도한다.

: $\mathcal{E}(t) = V(t) = -\frac{ \text{d} }{ \text{d} t }\,\Phi(t)$

위 식의 음(-) 부호는 유도된 기전력이 그것을 생성한 전류의 변화를 방해하는 방향으로 작용함을 나타낸다. 이것을 렌츠의 법칙이라고 한다. 이 때문에 유도된 전위(전압)를 역기전력이라고 부르기도 한다. 예를 들어, 전류가 증가하면 유도 기전력은 전류가 들어오는 쪽이 양극(+), 나가는 쪽이 음극(-)이 되어 전류 증가를 억제하려 한다. 반대로 전류가 감소하면 유도 기전력은 전류가 나가는 쪽이 양극(+)이 되어 전류를 유지하려는 방향으로 작용한다.

유도된 기전력 $V$ 는 전류의 시간 변화율 $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$ 에 비례하는데, 이때의 비례 상수를 유도계수 또는 인덕턴스(inductance)라고 하며, 기호 $L$ 로 나타낸다.

: $V(t) = L\,\frac{\text{d}I(t) }{\text{d}t}$

따라서 인덕턴스는 전류의 변화에 저항하려는 회로의 성질, 즉 자기장으로 인한 전기적 관성으로 이해할 수 있다.

SI 단위계에서 인덕턴스의 단위는 헨리(기호 H)이며, 이는 19세기 미국의 과학자 조지프 헨리의 이름을 딴 것이다. 1 헨리는 1 암페어 매 초(A/s)의 비율로 전류가 변할 때 1 볼트(V)의 기전력을 유도하는 인덕턴스의 크기로 정의된다.

전류 $I$ 의 변화가 일어난 도체와 기전력 $V$ 가 유도된 도체가 동일한 경우, 이 현상을 '''자기 유도'''(self-induction)라고 하며, 이때의 인덕턴스 $L$ 을 '''자기 인덕턴스'''라고 한다. 만약 한 도체에서의 전류 변화가 근처의 다른 도체에 기전력을 유도하는 경우, 이를 '''상호유도'''(mutual induction)라고 하며, 이때의 인덕턴스를 '''상호 인덕턴스'''( $M$ )라고 한다.^[17] 상호 유도는 변압기의 기본 원리가 된다.

4. 인덕턴스의 종류

인덕터에 흐르는 전류 ''I''가 시간에 따라 변화하면 전자기 유도에 의해 자기장이 발생하고, 이 자기장은 다시 인덕터에 기전력 ''V''를 유도한다. 이때 전류 ''I''의 변화가 일어난 인덕터와 기전력 ''V''가 발생한 인덕터가 동일한 경우를 자기 유도(Self-induction)라 하고, 서로 다른 경우를 상호유도(Mutual induction)라고 한다. 인덕턴스는 이러한 유도 현상에서 전류 변화율과 유도 기전력 사이의 비례 상수를 의미하며, 자기 유도 현상에서의 인덕턴스를 자기 인덕턴스, 상호 유도 현상에서의 인덕턴스를 상호 인덕턴스라고 부른다.

=== 자기 인덕턴스 (Self-inductance) ===

자기 인덕턴스는 하나의 회로에서 전류의 변화가 자기 자신의 회로에 유도 기전력을 발생시키는 정도를 나타내는 값이다. 기호로는 보통 ''L''을 사용한다. 자기 인덕턴스 ''L''은 다음 식과 같이 정의된다.

: $V=L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

여기서 ''V''는 유도된 기전력, $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$ 는 시간에 따른 전류의 변화율이다.

솔레노이드 코일의 경우, 자기 인덕턴스는 코일의 기하학적 구조와 코어(core) 물질의 특성에 따라 결정된다. 자기 인덕턴스 ''L''은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $L=\frac{\mu N^2 |S|}{\ell}$

여기서 $\mu$ 는 코일 내부 코어 물질의 투자율, ''N''은 코일의 감은 수(권선수), $|S|$ 는 코일의 단면적, $\ell$ 은 코일의 길이이다. 즉, 코일의 감은 수가 많을수록, 단면적이 넓을수록, 길이가 짧을수록, 그리고 코어의 투자율이 높을수록 자기 인덕턴스는 커진다.

=== 상호 인덕턴스 (Mutual inductance) ===

상호 인덕턴스는 가까이 있는 두 개의 회로(또는 코일) 사이에서, 한쪽 회로(1차측)의 전류 변화가 다른 쪽 회로(2차측)에 유도 기전력을 발생시키는 정도를 나타내는 값이다. 기호로는 보통 ''M''을 사용한다. 1차측 회로의 전류를 $I_1$ , 2차측 회로에 유도되는 기전력을 $V_2$ 라고 할 때, 상호 인덕턴스 ''M''은 다음 식과 같이 정의된다.

: $V_2=M \frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}$

두 개의 솔레노이드 코일이 가까이 있을 때, 상호 인덕턴스 ''M''은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $M=k \frac{ \mu_1 N_1 N_2 |S_1|}{\ell_1}$

여기서 첨자 1은 1차 코일(전류 변화가 일어나는 쪽), 첨자 2는 2차 코일(기전력이 유도되는 쪽)을 의미한다. $\mu_1$ 은 1차 코일 코어의 투자율, $N_1$ 과 $N_2$ 는 각각 1차 코일과 2차 코일의 감은 수, $|S_1|$ 은 1차 코일의 단면적, $\ell_1$ 은 1차 코일의 길이이다. ''k''는 결합 계수(coupling coefficient|결합 계수^영어)라고 하며, 두 코일이 얼마나 잘 자기 결합되어 있는지를 나타내는 값으로, $0\le k\le 1$ 의 범위를 가진다. 결합 계수 ''k''는 1차 코일에서 발생한 자기 선속 중 2차 코일을 통과하는 비율을 의미한다.

상호 인덕턴스 ''M''은 각 코일의 자기 인덕턴스 $L_1$ , $L_2$ 와 다음과 같은 관계를 가진다.

: $M=k\sqrt{L_1L_2}$

이 관계식은 두 코일의 투자율, 길이, 단면적 등의 조건이 유사할 때 유용하게 사용된다. 상호 인덕턴스는 변압기와 같이 한 회로의 전기 에너지를 다른 회로로 전달하는 장치의 기본 원리가 된다.

인덕턴스의 국제단위계(SI) 단위는 조지프 헨리의 이름을 딴 헨리(H)이며, T² L² M I^-2의 차원을 가진다.

5. 인덕턴스 계산

가장 일반적인 경우, 유도계수(인덕턴스)는 맥스웰 방정식으로 계산할 수 있다. 그러나 많은 중요한 경우, 특히 도체가 가는 전선인 경우에는 더 간단한 공식을 사용하여 인덕턴스를 계산할 수 있다. 고주파 전류에서는 표피 효과로 인해 전류가 도체 표면에 집중되는 현상을 고려해야 할 수도 있다. 상세한 유도 과정은 아래 문단에서 다룬다.

어떤 회로 원소에 기전력 $V$ 가 가해질 때 전류 $I(t)$ 가 $V=L\dot I$ 관계를 만족하면, 비례 상수 $L$ 을 '''자체 유도계수''' 또는 단순히 '''인덕턴스'''라고 한다. 이는 전류 변화에 대해 회로 자체가 생성하는 역기전력의 크기를 나타낸다. 인덕턴스는 전류 경로의 기하학적 형태와 주변 물질의 투자율에 따라 달라진다. SI 단위는 헨리(H)이다.

두 개의 다른 회로 원소 1과 2가 있을 때, 회로 1의 전류 $I_1(t)$ 변화가 회로 2에 기전력 $V_2$ 를 유도하는 경우, 두 회로 사이에 '''상호 유도계수''' $M_{12}$ 가 존재한다고 하며, 관계식은 $V_2=\dot I_1M_{12}$ 이다. 상호 유도계수는 각 회로의 자체 유도계수 $L_1$ , $L_2$ 와 관련이 있으며, 다음과 같은 식으로 표현된다.

: $M_{12}=k\sqrt{L_1L_2}$

여기서 $k$ 는 '''결합 계수'''(coupling coefficient^영어)로, 두 회로 사이의 자기적 결합 정도를 나타내며 $0\le k\le 1$ 의 값을 가진다.

인덕턴스는 회로를 통과하는 자속 $\Phi$ 와 전류 $I$ 의 비율로도 정의할 수 있다: $L = {\Phi(i) \over i}$ .^[13]^[14]^[15]^[16] 인덕터는 특정 인덕턴스 값을 갖도록 설계된 전기 부품으로, 주로 전선을 코일 형태로 감아 만든다. 코일 중앙에 강자성체 자심을 넣으면 투자율이 높아져 인덕턴스를 크게 증가시킬 수 있다.

'''다양한 형태의 인덕턴스 계산'''

몇 가지 간단한 형태의 도체에 대한 인덕턴스 계산 공식은 다음과 같다. 이 공식들은 일반적으로 도선 반지름이 구조의 다른 치수에 비해 매우 작고 주변에 강자성체가 없다고 가정할 때 유효하다.

'''직선 도체:'''^[22] 길이가 $\ell$ 이고 반지름이 $r$ 인 직선 도선의 저주파(DC) 인덕턴스는 다음과 같이 근사할 수 있다.

L_\text{DC} \approx \frac{\mu_0}{2\pi} \ell \left[\ln\left(\frac{\,2\,\ell\,}{r}\right) - \tfrac{3}{4} \right] = 200\text{ }\tfrac{\text{nH}}{\text{m}}\, \ell \left[\ln\left(\frac{\,2\,\ell\,}{r}\right) - 0.75 \right]

고주파(AC)에서는 표피 효과로 인해 상수항이 0.75 대신 1이 된다.

L_\text{AC} \approx \frac{\mu_0}{2\pi} \ell \left[\ln\left(\frac{\,2\,\ell\,}{r}\right) - 1 \right] = 200\text{ }\tfrac{\text{nH}}{\text{m}}\, \ell \left[\ln\left(\frac{\,2\,\ell\,}{r}\right) - 1 \right]

'''솔레노이드:''' 길이가 $\ell$ 이고 단면적이 $A$ 이며 $N$ 번 감긴 솔레노이드의 인덕턴스는 다음과 같다. (끝 효과 무시)

L = \frac{\mu\, N^2\, A}{\ell}

여기서

\mu

는 코일 내부 물질의 투자율이다.

'''동축 케이블:''' 내부 도체 반지름 $a$ , 외부 도체 내부 반지름 $b$ 인 동축 케이블의 단위 길이당 인덕턴스는 고주파에서 다음과 같이 근사된다.

L' = \frac{\text{d}L}{\text{d}\ell} \approx \frac{\mu_d}{2 \pi} \ln \frac{b}{a}

여기서

\mu_d

는 내부와 외부 도체 사이 유전체의 투자율이다.

'''상호 인덕턴스 (노이만 공식):'''^[23] 두 필라멘트 회로 $C_m$ 과 $C_n$ 사이의 상호 인덕턴스는 노이만 공식으로 주어진다.

L_{m,n} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C_m} \oint_{C_n} \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_m\cdot \mathrm{d}\mathbf{x}_n}{\ \left| \mathbf{x}_m - \mathbf{x}_n \right|\ }

여기서

\mu_0

는 진공 투자율,

\mathrm{d}\mathbf{x}_m

,

\mathrm{d}\mathbf{x}_n

은 각 회로상의 미소 길이 벡터,

\mathbf{x}_m

,

\mathbf{x}_n

은 각 미소 길이 벡터의 위치이다. 자체 인덕턴스는 이 공식에서

m=n

인 경우에 해당하지만, 적분이 발산하므로 도선 반지름과 전류 분포를 고려한 수정이 필요하다.^[25]

'''가는 와이어 형태의 고유 인덕턴스 공식'''

가는 와이어 형태의 고유 인덕턴스
형태	인덕턴스 (L)	주석
동축 케이블 (고주파)	$L \approx \frac{\mu_0}{2\pi} \ell \ln\left(\frac{b}{a}\right)$
[39]	$L \approx \mu_0\ r\ \left[\ln\left(\frac{8 r}{a}\right) - 2 + \tfrac{1}{4}Y \right]$
[40]
평행한 두 개의 와이어 (고주파)

'''표 각주:'''

$\mu_0$ 는 진공 투자율 (약 4π×10⁻⁷ H/m)이다.
$Y$ 는 와이어 내 전류 분포에 따른 상수 (0 ≤ Y ≤ 1)이다.^[22]
$Y = 0$ : 전류가 도선 표면에만 흐름 (완전한 표피 효과).
$Y = 1$ : 전류가 도선 단면에 고르게 분포 (직류).
일반적인 경우 $Y \approx \frac{1}{\, 1 + a\ \sqrt{\tfrac{1}{8}\mu\sigma\omega \,} \,}$ 로 근사할 수 있다. ( $\omega = 2\pi f$ : 각주파수, $\mu$ : 와이어 투자율, $\sigma$ : 와이어 전도율, $a$ : 와이어 반지름)

'''자심이 있는 인덕터'''

자심을 사용하는 인덕터는 자기 포화와 같은 비선형적 특성을 보일 수 있다. 이 경우 인덕턴스는 전류의 크기에 따라 변하게 된다.

'''할선 인덕턴스''' ( $L_s$ ): 자속 계산에 사용되며, $L_s(i) = \frac{N\ \Phi}{i} = \frac{\Lambda}{i}$ 로 정의된다 ( $\Lambda$ : 총 자속 결합).
'''미분 인덕턴스''' ( $L_d$ ): 전압 계산에 사용되며, $L_d(i) = \frac{\text{d}(N \Phi)}{\text{d}i} = \frac{\text{d}\Lambda}{\text{d}i}$ 로 정의된다.

비선형 인덕터의 회로 전압은 패러데이 유도 법칙과 미적분학의 연쇄 법칙에 따라 미분 인덕턴스를 사용하여

v(t) = \frac{\text{d}\Lambda}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\Lambda}{\text{d}i}\frac{\text{d}i}{\text{d}t} = L_d(i)\frac{\text{d}i}{\text{d}t}

로 계산된다.

5. 1. 맥스웰 방정식으로부터의 유도

가장 일반적인 경우, 유도계수(인덕턴스)는 맥스웰 방정식으로 계산할 수 있다. 많은 중요한 경우는 단순화를 사용하여 해결할 수 있다. 고주파 전류가 고려되는 경우, 표피 효과를 사용하여 표면 전류 밀도와 자기장을 라플라스 방정식을 풀어 얻을 수 있다. 도체가 가는 전선인 경우, 자체 인덕턴스는 여전히 전선 반지름과 전선 내 전류 분포에 따라 달라진다. 이 전류 분포는 다른 길이 눈금보다 전선 반지름이 훨씬 작은 경우 거의 일정하다(전선 표면 또는 전선 부피에).

회로

i

와 회로

j

사이의 상호 인덕턴스

M_{ij}

는 다음과 같이 정의된다.

M_{ij} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{\Phi_{ij}}{I_j}

여기서

$I_j$ 는 $j$ 번째 도선을 흐르는 전류이며, 이 전류는 $i$ 번째 면을 통과하는 자속 $\Phi_{ij}$ 를 생성한다.
$\Phi_{ij}$ 는 $C_j$ 로 표시되는 전기 회로에 의한 $i$ 번째 면을 통과하는 자속이다.^[24]

자속

\Phi_{ij}

는 벡터 퍼텐셜

\mathbf{A}_j

를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

\Phi_{ij} = \int_{S_i} \mathbf{B}_j\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \int_{S_i} (\nabla\times\mathbf{A_j})\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} = \oint_{C_i} \mathbf{A}_j\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}_i = \oint_{C_i} \left(\frac{\mu_0 I_j}{4\pi} \oint_{C_j} \frac{\mathrm{d}\mathbf{s}_j}{\left|\mathbf{s}_i-\mathbf{s}_j\right|}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}_i

여기서

$C_i$ 는 면 $S_i$ 를 둘러싸는 곡선이며, $S_i$ 는 $C_i$ 를 경계로 하는 임의의 방향 지정 가능한 면적이다.
$\mathbf{B}_j$ 는 $j$ 번째 전류(회로 $C_j$ 의 전류)에 의한 자기장 벡터이다.
$\mathbf{A}_j$ 는 $j$ 번째 전류에 의한 벡터 퍼텐셜이다.

스토크스 정리가 세 번째 등식 단계에 사용되었다. 마지막 등식 단계에서는

\mathbf{A}_j

에 대한 지체 퍼텐셜 표현을 사용했고, 지체 시간의 영향은 무시했다(회로의 형상이 그 회로가 전달하는 전류의 파장에 비해 충분히 작다고 가정). 이는 근사 단계이며, 가는 도선으로 만들어진 국부 회로에 대해서만 유효하다. 위의 인덕턴스 방정식은 맥스웰 방정식의 결과이다. 가는 전선으로 구성된 전기 회로의 중요한 경우에는 유도 과정이 간단하다.

K개의 와이어 루프 시스템에서 각 루프는 하나 이상의 와이어 회전을 가지며, 루프 m의 자속 결합

\lambda_m

는 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \lambda_m = N_m \Phi_m = \sum\limits_{n=1}^K L_{m,n}\ i_n\,.

여기서

N_m

은 루프 m의 회전 수를 나타내고,

\Phi_m

은 루프 m을 통과하는 자속이며,

L_{m,n}

은 루프 m과 루프 n 사이의 유도계수이다. 이 방정식은 앙페르 법칙을 따른다. 즉, 자기장과 자속은 전류의 선형 함수이다. 패러데이 유도 법칙에 의해 다음을 얻는다.

\displaystyle v_m = \frac{\mathrm{d}\lambda_m}{\mathrm{d}t} = N_m \frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t} = \sum\limits_{n=1}^K L_{m,n}\frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t},

여기서

v_m

은 회로 m에 유도된 전압을 나타낸다. 계수

L_{m,n}

이 인덕턴스 계수로 식별되면 위의 인덕턴스 정의와 일치한다. 총 전류

N_n i_n

이

\Phi_m

에 기여하기 때문에

L_{m,n}

은 회전 수의 곱

N_m N_n

에 비례한다는 것도 알 수 있다.

자기인덕턴스 식

V=L \tfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

와 상호인덕턴스 식

V=M \tfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

을 맥스웰 방정식에서 유도할 수 있다.

먼저 상호인덕턴스 식의 증명 개요는 다음과 같다.

# 1차 코일의 전류 시간 변화

\tfrac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

가 1차 코일 내부의 자속 시간 변화

\tfrac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}

를 발생시킨다.

\Phi_1

중 비율

k

(결합 계수)가 2차 코일에 유입된다.

# 2차 코일에 유입된 자속

\Phi_2=k\Phi_1

의 시간 변화가 2차 코일에 전압

V_2

를 발생시킨다.

이 과정을 수식으로 표현하면 1차 코일의 자속 변화율과 전류 변화율의 관계식, 그리고 2차 코일의 자속 변화율과 유도 전압의 관계식을 얻을 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mu N_1|S_1|}{\ell_1}\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

:

\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{N_2}V_2

여기서

\mu

는 코어 물질의 투자율,

N_1, N_2

는 각 코일의 감은 수,

|S_1|

는 1차 코일의 단면적,

\ell_1

는 1차 코일의 길이이다. 상호유도계수

M=k\tfrac{\mu N_1N_2|S_1|}{\ell_1}

라고 정의하고, 결합 계수의 정의

\Phi_2=k\Phi_1

와 위 두 식을 결합하면 상호인덕턴스 식

V_2=M \tfrac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}

가 유도된다.

자기인덕턴스 식은 위 논의에서 1차 코일과 2차 코일이 동일하다고 가정하고(

k=1

),

L = \tfrac{\mu N^2|S|}{\ell}

로 두면

V=L \tfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

가 유도된다.

따라서 위 두 핵심 관계식을 증명하면 된다.
첫 번째 관계식( $\tfrac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}$ 관련) 증명(논의 편의상 1차 코일 관련 첨자 1 생략)

단면

S

, 높이

\ell

인 원기둥

S\times[0,\ell]

에

N

회 도선이 감긴 인덕터(솔레노이드 코일)를 생각한다.

S

위의 임의의 점 P를 고정하고, 원기둥 내부를 (P, 0)에서 (P, ℓ)로 가는 경로

C_P

와 원기둥 외부를 통해 (P, ℓ)에서 (P, 0)로 돌아오는 경로

C'_P

로 이루어진 폐곡선

\partial K = C_P \cup C'_P

와 이 곡선을 경계로 하는 곡면

K

를 생각한다.

\boldsymbol{j}

를 인덕터를 흐르는 전류 밀도,

\boldsymbol{E}

를 유도된 전기장,

\boldsymbol{H}

를 유도된 자기장(자화력)이라고 하면 다음 관계식이 성립한다.

N\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} \approx \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{C_P}\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}

이 식은 전류 밀도 정의, 맥스웰 방정식(변위 전류 항 무시), 스토크스 정리, 그리고 인덕터 내부 자기장이 외부보다 훨씬 강하다는 근사를 통해 단계적으로 유도된다.

위 식의 양변을 단면

S

에 대해 적분하면 좌변은

N|S|\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

가 된다. 우변을 변형하고 적분하면 최종적으로

\frac{\ell}{\mu}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}

와 같아짐을 보일 수 있다(

\mu

: 투자율,

\Phi

: 자속). 이 과정에서 인덕터가 충분히 길어 단면에서의 자속이 거의 균일하다는 가정이 사용된다. 좌변과 우변을 정리하면 첫 번째 핵심 관계식

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \approx \frac{\mu N|S|}{\ell}\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

이 유도된다.
두 번째 관계식( $\tfrac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t}$ 관련) 증명(논의 편의상 2차 코일 관련 첨자 2 생략)

자속의 시간 변화율은 다음과 같이 유도된다.

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \int_{S}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = -\int_{S}\nabla\times\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = -\oint_{\partial S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s} \approx \frac{1}{N}V

각 단계는 자속의 정의 (

\boldsymbol{B}

는 자기장), 맥스웰 방정식(패러데이 유도 법칙), 스토크스 정리, 그리고 코일 한 바퀴당 유도 기전력과 전체 전압

V

의 관계(

V \approx -N \oint_{\partial S}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{s}

)로부터 유도된다. 따라서 두 번째 핵심 관계식

\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \approx \frac{1}{N}V

이 증명된다.

6. 인덕턴스의 응용

인덕턴스는 다양한 전기 및 전자 회로에서 중요한 역할을 수행한다. 주요 응용 분야는 다음과 같다.

'''변압기(Transformer)'''

변압기는 상호유도 원리를 이용하여 교류 전압을 바꾸는 장치이다. 두 개의 코일(권선)이 자기적으로 결합되어 있을 때, 한쪽 코일(1차 권선)에 흐르는 전류의 변화가 다른 쪽 코일(2차 권선)에 전압을 유도하는 현상을 이용한다. 이상적인 변압기의 경우, 전압, 전류, 권선 수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$V_\text{s} = \frac{N_\text{s}}{N_\text{p}} V_\text{p}$

여기서

$V_\text{s}$ 는 2차 권선 양단의 전압,
$V_\text{p}$ 는 1차 권선 양단의 전압,
$N_\text{s}$ 는 2차 권선의 감은 수,
$N_\text{p}$ 는 1차 권선의 감은 수이다.

전류는 다음과 같은 관계를 가진다.

I_\text{s} = \frac{N_\text{p}}{N_\text{s}} I_\text{p}

여기서

$I_\text{s}$ 는 2차 권선을 통과하는 전류,
$I_\text{p}$ 는 1차 권선을 통과하는 전류이다. 이상적인 경우, 1차 권선에 공급된 전력과 2차 권선에서 나오는 전력은 같다.

'''공진 회로(Resonant circuit)'''

인덕터(L)와 축전기(C)를 함께 사용하여 공진 회로를 구성할 수 있다. 이는 특정 주파수의 신호만을 선택적으로 통과시키거나 차단하는 필터 회로 등에 널리 사용된다.

특히 변압기의 권선에 축전기를 연결하여 동조 회로(공진 회로)를 만들 수 있다. 한쪽 권선에만 축전기를 연결하면 단일 동조 트랜스포머, 양쪽 권선에 모두 연결하면 이중 동조 트랜스포머라고 한다. 이러한 '''공진 트랜스포머'''는 공진 주파수 근처의 신호는 잘 통과시키고 다른 주파수의 신호는 차단하는 대역 통과 필터 역할을 한다. 통과시키는 주파수 대역폭은 두 권선 사이의 상호 인덕턴스와 회로의 Q 계수에 따라 결정된다.

이중 동조 트랜스포머는 단일 동조 회로보다 더 넓은 대역폭을 가질 수 있다. 두 공진 회로 사이의 결합 정도는 결합 계수

k

값에 따라 느슨한 결합, 임계 결합, 과결합으로 나뉜다. 결합이 느슨하면 대역폭이 좁고, 결합이 강해질수록(상호 인덕턴스가 커질수록) 대역폭이 넓어진다. 임계 결합 이상으로 결합이 강해지면(과결합) 주파수 응답 곡선의 봉우리가 두 개로 갈라지며, 결합이 강해질수록 두 봉우리는 더 멀어진다.

'''무선 전력 전송'''

공진 유도 결합 방식은 강하게 결합된 자체 공진 코일을 이용하여 중간 거리(최대 2m)까지 무선 전력 전송을 가능하게 한다.^[34] 높은 효율로 전력을 전송하기 위해서는 강한 결합이 필요하며, 이 경우 주파수 응답에서 피크 분할 현상이 나타날 수 있다.^[35]^[36]

참조

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_[31] 서적 Linear and Nonlinear Circuits https://archive.org/[...] McGraw-Hill, Inc. 1987-01-01
_[32] 서적 Circuit Analysis Fundamentals https://archive.org/[...] Agile Press 2005-05-24
_[33] 학술지 Simultaneous 6-Gb/s Data and 10-mW Power Transmission Using Nested Clover Coils for Noncontact Memory Card
_[34] 학술지 Wireless Power Transfer via Strongly Coupled Magnetic Resonances 2007-07-06
_[35] 학술지 Analysis, Experimental Results, and Range Adaptation of Magnetically Coupled Resonators for Wireless Power Transfer
_[36] 논문 2022 IEEE 35th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems Conference (MEMS)
_[37] 논문 Formulas for the Skin Effect
_[38] 논문 Simple Inductance Formulas for Radio Coils
_[39] 서적 Electromagnetics IEEE Press
_[40] 서적 Inductance Calculations: Working formulas and tables Dover Publications, Inc.

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