유효 질량

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1. 개요
2. 정의
3. 유도
- 3.1. 운동 방정식
- 3.2. 유효 질량
4. 다양한 경우에서의 유효 질량
5. 유효 질량의 측정
- 5.1. 실험적 방법
- 5.2. 이론적 방법
6. 유효 질량의 중요성
7. 무거운 전자계
참조

1. 개요

유효 질량은 고체 내 전자의 움직임을 설명하기 위해 사용되는 개념으로, 전자가 격자 내 원자와의 상호 작용으로 인해 진공 상태에서의 질량과 다르게 나타나는 현상을 반영한다. 이는 전기장이나 자기장 하에서 전자의 운동을 기술하는 데 활용되며, 텐서 형태로 표현되어 고체 구조에 따른 에너지 분산 관계의 곡률에 의해 결정된다. 유효 질량은 반도체 물성에서 중요한 개념으로, 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동, 전자의 분산 관계, 플라즈마 진동, 전기 전도도, 열전능, 전류 자기 효과 등 다양한 현상에서 관찰될 수 있다. 반도체나 절연체에서는 자유 전자의 질량과 크게 다를 수 있으며, N형 반도체에서는 첨가된 원소의 영향으로 전자가 무거워진 것처럼 보이기도 한다. 유효 질량은 전자 수송, 캐리어 밀도, 상태 밀도 계산 등에 활용되며, 특히 고전도성과 제벡 계수가 중요한 열전 재료에서 중요한 역할을 한다.

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유효 질량
개요
이름	유효 질량
로마자 표기	yu hyo jil lyang
영어	effective mass
기호	μ
차원	M
계	2계 텐서
고체 물리학에서의 유효 질량
정의	고체 내에서 입자가 외부 힘에 반응하는 정도를 나타내는 질량
특징	실제 입자의 질량과 다를 수 있음 입자가 고체 내부의 다른 입자와 상호작용하는 영향을 반영 결정 격자 내에서 전자의 운동을 기술하는 데 사용
계산	에너지-운동량 관계의 곡률에서 결정됨
관련 개념	밴드 구조 준입자 전자 정공
중요성	고체 내 전자 수송 특성 이해 및 고체 소자 설계에 필수적
응용 분야
반도체 소자	트랜지스터 다이오드 레이저
광학 소자	태양 전지 광 검출기
기타	고체 재료 연구 신소재 개발
추가 정보
질량 텐서	유효 질량은 일반적으로 텐서로 표현
유효 질량의 종류	전도 유효 질량 밀도 유효 질량 광학 유효 질량
관련 이론	근사 유효 질량 이론 k·p 섭동 이론

2. 정의

고체 내의 전자나 정공은 격자상의 많은 원자와 상호작용하고 있기 때문에, 이 모든 것을 고려한 물리 법칙을 세우고 결과를 예측하는 것은 불가능하다. 따라서 수많은 원자로부터의 영향을 근사적으로 접근해야 한다. 유효 질량을 이용한 준 고전적 근사 방법은 전자나 정공에 전기장 혹은 자기장이 가해졌을 때의 운동을 기술하는 데 있어 자유 전자에서 성립하는 물리 법칙을 최대한 이용하려는 접근 방법이다. 실제로 격자상의 원자들에 의한 효과는 많은 경우 고체 내의 전자가 질량이 무거워지거나 가벼워지는 효과로 근사함으로써 정성적으로도 결과를 예측하기 용이하고, 많은 경우 수치적으로도 정확한 예측을 할 수 있게 된다.

수식적으로 유효 질량은 2차 텐서 형식으로 다음과 같이 정의된다.

: $m^{*}_{\mu\nu} = \hbar^2 \cdot \left[ \right]^{-1} \ .$

여기서 $k$ 는 결정운동량이므로 유효 질량은 고체의 구조에 따른 에너지 분산 관계 $\displaystyle\varepsilon (k)$ 의 곡률에 의해서 결정된다.

진공 중의 자유 전자의 (정지) 질량 *m*에 대해, 결정 내의 전자는 외관상 이와 다른 질량을 가지고 있는 것처럼 관측되는 경우가 있다. 이것을, 반도체 물성에서는 '''유효 질량'''이라고 한다.^[18]^[19]^[20] 3차원의 경우, 유효 질량은 텐서로 표현된다(→ 이방성이 존재하는 경우가 있다). 이것은 계가 지니는 대칭성에 의존하며, (완전히) 등방적인 계에서는 텐서의 대각 성분만 남는다(그리고 모든 대각 요소가 같은 값이 된다).

전자를 파수로 생각하고, 그 가속도 $\mathbf{a}$ 는 군 속도 $\mathbf{v}_\text{g}$ 의 시간 미분으로 주어진다. 군 속도의 정의 $\mathbf{v}_\text{g}=\nabla_k \omega(\mathbf{k})$ 를 이용하면, 가속도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\mathbf{a} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\,\mathbf{v}_\text{g} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(\nabla_k\,\omega\left(\mathbf{k}\right)\right) =\nabla_k\frac{\operatorname{d}\omega\left(\mathbf{k}\right)}{\operatorname{d}t} =\nabla_k\left(\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right)$

여기서 운동 방정식과 결정 운동량의 정의 $\mathbf{p}_{\text{crystal}}=\hbar\mathbf{k}$ 에서,

: $\mathbf{F} =\frac{\operatorname{d}\mathbf{p}_{\text{crystal}}}{\operatorname{d}t} =\hbar\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}$

이기 때문에,

: $\mathbf{a} = \nabla_k\left(\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right) = \frac{1}{\hbar^2}\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\mathbf{F}$

라고 쓸 수 있다. 여기서 드 브로이 관계식 $E=\hbar\omega$ 를 사용했다. 이것을 성분 표시하면,

: $a_i = \left(\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E\left(\mathbf{k}\right)}{\partial k_i \partial k_j}\right)\!F_j$

여기서 *j*에 대해서는 아인슈타인의 축약 기호를 사용했다. 이것을 운동 방정식과 비교하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

: $\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}$

3. 유도

결정 운동량의 정의( $\mathbf{p}_{\text{crystal}}=\hbar\mathbf{k}$ )와 운동 방정식에 따르면, 힘( $\mathbf{F}$ )은 다음과 같이 표현된다.^[18]^[19]^[20]

: $\mathbf{F} = \frac{\operatorname{d}\mathbf{p}_{\text{crystal}}}{\operatorname{d}t} = \hbar\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}$

파수로 나타낸 전자의 가속도 $\mathbf{a}$ 는 군 속도 $\mathbf{v}_\text{g}$ 의 시간 미분으로 표현할 수 있다. 군 속도의 정의 $\mathbf{v}_\text{g}=\nabla_k \omega(\mathbf{k})$ 를 이용하면, 가속도는 다음과 같이 유도된다.

: $\mathbf{a} = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\,\mathbf{v}_\text{g} = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(\nabla_k\,\omega\left(\mathbf{k}\right)\right) = \nabla_k\frac{\operatorname{d}\omega\left(\mathbf{k}\right)}{\operatorname{d}t} = \nabla_k\left(\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right)$

위 식에 $\mathbf{F}$ 를 적용하면,

: $\mathbf{a} = \nabla_k\left(\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right) = \frac{1}{\hbar^2}\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\mathbf{F}$

여기서 드 브로이 관계식 $E=\hbar\omega$ 이 사용되었다. 이 식을 성분별로 표시하면 다음과 같다.

: $a_i = \left(\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E\left(\mathbf{k}\right)}{\partial k_i \partial k_j}\right)\!F_j$

여기서 *j*는 아인슈타인의 축약 기호를 따른다. 이 식을 운동 방정식과 비교하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

: $\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}$

3. 1. 운동 방정식

고체 내의 전자의 군 속도는 에너지 분산 관계식을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.^[18]^[19]^[20]

:

\vec{v_g} = \nabla_\vec{k} \omega = {1 \over \hbar} \nabla_{\vec{k}} \varepsilon

전기장과 자기장에 의해 군 속도가 어떻게 변하는지 보면, 먼저 전기장에 대해 다음과 같은 식을 전개할 수 있다.

:

\delta \varepsilon = \hbar v_g \delta \vec{k}= \nabla_\vec{k} \varepsilon\cdot {\delta \vec{k}} = -e\vec{E}\cdot{\delta \vec{x}} = -e\vec{E}\cdot\vec{v}{\delta t} = {-e\vec{E} \over {\hbar}}\cdot {\nabla_\vec{k} \varepsilon} {\delta  t}

:

\delta \vec{k}=-(\frac{e \vec{E}}{\hbar}) \delta t

자기장에 대해서도 같은 방식으로 운동방정식을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\frac{\delta\vec{k}}{\delta t}=-\frac{e}{\hbar ^2} \nabla_{\vec{k}}\varepsilon \times \vec{B}

이 둘 모두 다음의 운동방정식을 만족한다.

:

\hbar \frac{\delta \vec{k}}{\delta t}=\vec{F}

전자를 파수로 생각하고, 그 가속도

\mathbf{a}

는 군 속도

\mathbf{v}_\text{g}

의 시간 미분으로 주어진다. 군 속도의 정의

\mathbf{v}_\text{g}=\nabla_k \omega(\mathbf{k})

를 이용하면, 가속도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{a} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\,\mathbf{v}_\text{g} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(\nabla_k\,\omega\left(\mathbf{k}\right)\right) =\nabla_k\frac{\operatorname{d}\omega\left(\mathbf{k}\right)}{\operatorname{d}t} =\nabla_k\left(\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right)

여기서 운동 방정식과 결정 운동량의 정의

\mathbf{p}_{\text{crystal}}=\hbar\mathbf{k}

에서,

:

\mathbf{F} =\frac{\operatorname{d}\mathbf{p}_{\text{crystal}}}{\operatorname{d}t} =\hbar\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}

이기 때문에,

:

\mathbf{a} = \nabla_k\left(\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right) = \frac{1}{\hbar^2}\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\mathbf{F}

라고 쓸 수 있다. 여기서 드 브로이 관계식

E=\hbar\omega

를 사용했다. 이것을 성분 표시하면,

:

a_i =  \left(\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E\left(\mathbf{k}\right)}{\partial k_i \partial k_j}\right)\!F_j

여기서 *j*에 대해서는 아인슈타인의 축약 기호를 사용했다. 이것을 운동 방정식과 비교하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

:

\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}

3. 2. 유효 질량

군 속도를 시간에 대해 미분하여 뉴턴 방정식에 해당하는 운동 방정식을 얻을 수 있으며, 여기서 유효 질량에 해당하는 값을 도출할 수 있다.^[18]^[19]^[20] 이는 뉴턴 제2법칙과 유사하다.

전자를 파수로 생각하고, 그 가속도

\mathbf{a}

는 군 속도

\mathbf{v}_\text{g}

의 시간 미분으로 주어진다. 군 속도의 정의

\mathbf{v}_\text{g}=\nabla_k \omega(\mathbf{k})

를 이용하면, 가속도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{a} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\,\mathbf{v}_\text{g} =\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(\nabla_k\,\omega\left(\mathbf{k}\right)\right) =\nabla_k\frac{\operatorname{d}\omega\left(\mathbf{k}\right)}{\operatorname{d}t} =\nabla_k\left(\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right)

여기서 운동 방정식과 결정 운동량의 정의

\mathbf{p}_{\text{crystal}}=\hbar\mathbf{k}

에서,

:

\mathbf{F} =\frac{\operatorname{d}\mathbf{p}_{\text{crystal}}}{\operatorname{d}t} =\hbar\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}

이기 때문에,

:

\mathbf{a} = \nabla_k\left(\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right) = \frac{1}{\hbar^2}\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\mathbf{F}

라고 쓸 수 있다. 여기서 드 브로이 관계식

E=\hbar\omega

를 사용했다. 이것을 성분 표시하면,

:

a_i =  \left(\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E\left(\mathbf{k}\right)}{\partial k_i \partial k_j}\right)\!F_j

여기서 *j*에 대해서는 아인슈타인의 축약 기호를 사용했다. 이것을 운동 방정식과 비교하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

:

\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}

3차원의 경우, 유효 질량은 텐서로 표현된다. 이것은 계가 지니는 대칭성에 의존하며, (완전히) 등방적인 계에서는 텐서의 대각 성분만 남는다(그리고 모든 대각 요소가 같은 값이 된다).

진공 중의 자유 전자의 (정지) 질량 *m*에 대해, 결정 내의 전자는 외관상 이와 다른 질량을 가지고 있는 것처럼 관측되는 경우가 있는데, 이를 '''유효 질량'''이라고 한다.^[18]^[19]^[20]

유효 질량의 관측 방법으로는, 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동이 있다. 이 홀 효과나 드 하스-반 알펜 효과 등, 자장을 이용하여 관측되는 전자의 유효 질량을 특히 「사이클로트론 질량」이라고 한다.

N형 반도체에서는, 첨가한 원소는 전자를 많이 포함하기 때문에, 결정 구조에 참가하지 않는 전자가 자유 전자처럼 결정 내를 이동할 수 있다. 하지만 첨가 원자는 약간 플러스가 되므로, 전자는 약하게 속박되어 전장에 대한 반응이 둔하다. 이것을 마치 전자가 무거워진 것처럼 생각하는 것이다.

반도체나 절연체에서는 유효 질량 *m***가 자유 전자의 질량 *m*과 크게 다른 경우가 있다. 또 란타노이드나 악티노이드 원소의 화합물 중에도, 무거운 전자계라고 불리는 유효 질량의 비 (*m*/ *m*)가 때로는 1000 정도가 되는 것도 있다. 한편, 알칼리 금속의 가전자 부분처럼, 거의 자유 전자로 생각할 수 있는 경우는 유효 질량의 비도 1에 가까운 값이 된다.

4. 다양한 경우에서의 유효 질량

자유 전자와 달리, 결정 내의 전자는 외부 힘에 다르게 반응하며, 이는 유효 질량 개념으로 설명된다. 3차원 결정에서 유효 질량은 텐서로 표현되며, 계의 대칭성에 따라 달라진다. 등방적인 계에서는 텐서의 대각 성분만 남고 모든 대각 요소가 같은 값을 가진다.^[18]^[19]^[20]

전자의 가속도 $\mathbf{a}$ 는 군 속도 $\mathbf{v}_\text{g}$ 의 시간 미분으로 표현되며, 군 속도와 결정 운동량의 정의를 이용하면 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

: $\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}$

유효 질량은 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동, 드 하스-반 알펜 효과 등으로 관측할 수 있다. 특히 자기장을 이용해 관측되는 전자의 유효 질량을 '사이클로트론 질량'이라고 한다. 이 외에도 전자의 분산 관계, 플라스마 진동, 전기 전도도, 열전능, 전류 자기 효과 등에서 유효 질량을 관찰할 수 있다.^[18]^[19]^[20]

N형 반도체에서는 첨가 원자가 자유 전자처럼 행동하는 전자를 생성하지만, 첨가 원자의 양(+) 전하로 인해 전자가 약하게 속박되어 전자에 대한 반응이 둔해진다. 이는 마치 전자가 무거워진 것처럼 보이게 한다.

반도체나 절연체에서 유효 질량은 자유 전자의 질량과 크게 다를 수 있으며, 란타노이드나 악티노이드 원소 화합물 중에는 무거운 전자계라 불리는, 유효 질량 비가 1000에 달하는 경우도 있다. 반면, 알칼리 금속의 가전자 부분처럼 자유 전자로 간주될 수 있는 경우에는 유효 질량 비가 1에 가깝다.

4. 1. 단순한 경우: 포물선형, 등방성 분산 관계

많은 반도체(Ge, Si, GaAs 등)에서 에너지띠 구조는 국소적으로 다음과 같이 근사할 수 있다.^[1]

:

E(\mathbf k) = E_0 + \frac{\hbar^2 \mathbf k^2}{2 m^*}

여기서

E(\mathbf k)

는 해당 띠에서 파수 벡터

\mathbf k

를 갖는 전자의 에너지이고,

E_0

는 해당 띠의 에너지 가장자리를 나타내는 상수이며,

m^*

는 상수(유효 질량)이다.

위 근사의 유효 범위 내에 있는 한, 이러한 띠에 위치한 전자는 질량만 다른 자유 전자처럼 행동한다. 결과적으로, 드루드 모형과 같은 모형에서 전자 질량은 유효 질량으로 대체되어야 한다.^[1]

하나 주목할 만한 특징은 띠가 최댓값에서 아래로 휘어질 때 유효 질량이 ''음수''가 될 수 있다는 점이다. 음의 질량의 결과로, 전자는 전기장과 자기장에 대해 정상적인 경우와 반대 방향으로 속도를 얻는다. 이러한 전자는 음전하를 갖고 있지만, 마치 양전하(그리고 양의 질량)를 갖는 것처럼 궤적을 그린다. 이것은 반도체에서 발견될 수 있는 양전하, 양의 질량 준입자인 원자가띠 정공의 존재를 설명한다.^[1]

4. 2. 중간 경우: 포물선형, 비등방성 분산 관계

몇몇 중요한 반도체(특히 실리콘)에서 전도대의 가장 낮은 에너지는 등방성인 경우의 구 대신 일정 에너지 표면이 타원체이기 때문에 대칭적이지 않다. 각 전도대 극소는 다음과 같이 근사할 수 있다.

:

E\left(\mathbf{k}\right) =E_0 + \frac{\hbar^2}{2 m_x^*}\left(k_x - k_{0,x}\right)^2 + \frac{\hbar^2}{2 m_y^*}\left(k_y - k_{0,y}\right)^2 + \frac{\hbar^2}{2 m_z^*}\left(k_z - k_{0,z}\right)^2

여기서 ''x'', ''y'', ''z'' 축은 타원체의 주축에 정렬되고, ''m''_''x''^*, ''m''_''y''^*, ''m''_''z''^*는 이러한 서로 다른 축을 따라 나타나는 관성 유효 질량이다. 오프셋 ''k''_0,''x'', ''k''_0,''y'', ''k''_0,''z''는 전도대 극소가 더 이상 영 벡터에서 중심이 아니라는 것을 반영한다. (이러한 유효 질량은 관성 유효 질량 텐서의 주요 구성 요소에 해당한다.^[3])

이 경우 전자 운동은 더 이상 자유 전자와 직접 비교할 수 없다. 전자의 속도는 방향에 따라 달라지며 힘의 방향에 따라 다른 정도로 가속된다. 그러나 실리콘과 같은 결정에서 전도도와 같은 전반적인 특성은 등방성으로 보인다. 이는 서로 다른 축을 따라 재배열된 유효 질량을 가진 여러 계곡(전도대 극소)이 있기 때문이다. 계곡은 집합적으로 작용하여 등방성 전도도를 제공한다. 자유 전자 모델을 다시 사용하기 위해 서로 다른 축의 유효 질량을 어떤 식으로든 평균낼 수 있다. 그러나 평균 방법은 목적에 따라 달라지는 것으로 나타났다.^[4]

기하 평균을 사용하여 상태 밀도의 총합과 총 반송자 밀도를 계산하기 위해, 계곡의 수를 세는 축퇴 인자 ''g''와 결합한다 (실리콘의 경우 ''g'' = 6).^[3]

:

m^*_\text{density} = \sqrt[3]{g^2 m_x m_y m_z}

(이 유효 질량은 상태 밀도 유효 질량에 해당한다.) 계곡당 상태 밀도와 계곡당 반송자 밀도의 경우 축퇴 인자는 제외된다.

드루드 모델과 같이 전도도를 계산하기 위해 조화 평균을 사용한다.

:

m^*_\text{conductivity} = 3 \left[\frac{1}{m_x^*} + \frac{1}{m_y^*} + \frac{1}{m_z^*}\right]^{-1}

드루드 법칙은 산란 시간에도 의존하는데, 이는 크게 다르므로 이 유효 질량은 거의 사용되지 않는다. 대신 전도도는 일반적으로 반송자 밀도와 실험적으로 측정된 매개변수인 반송자 이동도로 표현된다.

4. 3. 일반적인 경우

일반적으로 분산 관계는 포물선으로 근사할 수 없기 때문에, 이러한 경우 유효 질량을 사용하려면 정확한 정의가 필요하다. 보통 관성 유효 질량 텐서를 사용하지만, 이는 파수 벡터의 행렬값 함수이며 띠 구조보다 더 복잡할 수 있다. 유효 질량은 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동이나 드 하스-반 알펜 효과 등을 통해 관측할 수 있다.

진공에서 자유 전자의 정지 질량과 달리, 결정 내의 전자는 다른 유효 질량을 가지는 것처럼 관측될 수 있다. 3차원에서는 유효 질량이 텐서로 표현될 수 있으며, 이는 계의 대칭성에 따라 달라진다. 등방적인 계에서는 텐서의 대각 성분만 남고, 모든 대각 요소가 같은 값을 가진다. 전자를 파수로 생각하면, 가속도

\mathbf{a}

는 군 속도

\mathbf{v}_\text{g}

의 시간 미분으로 나타낼 수 있다. 군 속도의 정의와 결정 운동량의 정의를 이용하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

:

\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}

N형 반도체에서는 첨가된 원소에 의해 자유 전자처럼 움직이는 전자가 발생한다. 하지만 첨가 원자는 약간 양(+)의 성질을 띄므로 전자는 약하게 속박되어 전장에 대한 반응이 둔해진다. 이는 전자가 무거워진 것처럼 보이는 현상으로 설명할 수 있다.

반도체나 절연체에서 유효 질량은 자유 전자의 질량과 크게 다를 수 있다. 란타노이드나 악티노이드 원소 화합물 중에는 무거운 전자계라 불리는, 유효 질량 비가 1000 정도가 되는 경우도 있다. 반면, 알칼리 금속의 가전자 부분처럼 자유 전자로 생각할 수 있는 경우에는 유효 질량 비가 1에 가깝다.

4. 3. 1. 관성 유효 질량 텐서

힘을 받는 고전적인 입자의 가속도는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 결정되며, 이는 띠 구조에서 유도된 반고전 근사에서도 동일하게 나타난다.^[5]^[6] 관성 유효 질량 텐서는 다음과 같이 정의된다.

:

M_{\text{inert}}^{-1}=\frac{1}{\hbar^2} \nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right).

그 요소는 다음과 같다.

:

\left[M_{\text{inert}}^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2}  \left[\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}\,.

이 텐서는 가속도와 힘이 다른 방향일 수 있고 가속도의 크기가 힘의 방향에 따라 달라질 수 있게 한다. 이는 뉴턴의 운동 제2법칙의 표현과 유사하며, 여기서 유효 질량에 해당하는 값을 도출해낼 수 있다.

:

a = m^{-1}F

와 유사하다.

:

F_\mu=\left[ m^*\right]_{\mu\nu}\frac{d\vec{v_{g \nu}}}{dt}

여기서

:

m^{*}_{\mu\nu} = \hbar^2 \cdot \left[  \right]^{-1} \ .

그래핀의 전자와 같이

E\propto k

인 선형 분산을 갖는 띠의 경우 군 속도는 고정되어 힘 방향과 평행하게 이동하는 전자는 가속될 수 없으며, 이때

M_{\text{inert}}^{-1}

의 대각 요소는 0이 된다. 그러나 힘에 수직인 성분으로 이동하는 전자는 힘의 방향으로 가속될 수 있으며,

M_{\text{inert}}^{-1}

의 비대각 요소는 0이 아니게 된다.^[7]

4. 3. 2. 사이클로트론 유효 질량

고전적으로 자기장 내에서 대전된 입자는 자기장 축을 따라 나선형으로 움직인다. 이 운동의 주기 ''T''는 입자의 질량 ''m''과 전하 ''e''에 따라 결정되며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[18]^[19]^[20]

:

T = \left\vert\frac{2\pi m}{e B}\right\vert

여기서 ''B''는 자기선속밀도이다.

에너지띠 구조가 비대칭적인 입자의 경우, 입자는 정확하게 나선형으로 움직이지 않지만, 자기장에 수직인 방향으로는 여전히 닫힌 루프(반드시 원은 아님)를 그리며 움직인다. 이 루프를 완성하는 데 걸리는 시간은 자기장에 반비례하며, 위의 방정식을 사용하여 측정된 주기로부터 ''사이클로트론 유효 질량''을 정의할 수 있다.

입자의 반고전적 운동은 k-공간에서 닫힌 루프로 설명할 수 있다. 이 루프에서 입자는 일정한 에너지와 자기장 축을 따라 일정한 운동량을 유지한다. 를 이 루프에 의해 둘러싸인 면적으로 정의하면(이 면적은 에너지 , 자기장의 방향 및 축 방향 파동 벡터 에 따라 달라짐), 사이클로트론 유효 질량은 에너지에 대한 이 면적의 도함수를 통해 에너지띠 구조에 따라 달라짐을 보일 수 있다.

:

m^*\left(E, \hat{B}, k_{\hat{B}}\right) = \frac{\hbar^2}{2\pi} \cdot \frac{\partial}{\partial E} A\left(E, \hat{B}, k_{\hat{B}}\right)

일반적으로 사이클로트론 공명, 드 하스-반 알펜 효과 등의 사이클로트론 운동 측정 실험은 페르미 준위 근처의 에너지에 대한 운동만을 조사하도록 제한된다.

2차원 전자 기체의 경우, 사이클로트론 유효 질량은 하나의 자기장 방향(수직)에 대해서만 정의되며, 면 외 파동 벡터는 제외된다. 따라서 사이클로트론 유효 질량은 에너지의 함수일 뿐이며,

\scriptstyle g(E) \;=\; \frac{g_v m^*}{\pi \hbar^2}

관계를 통해 해당 에너지에서의 상태 밀도와 정확하게 관련되어 있다. 여기서 는 계곡 축퇴도이다. 이러한 간단한 관계는 3차원 물질에는 적용되지 않는다.

홀 효과나 드 하스-반 알펜 효과 등, 자기장을 이용하여 관측되는 전자의 유효 질량을 특히 「사이클로트론 질량」이라고 한다.^[18]^[19]^[20]

4. 3. 3. 상태 밀도 유효 질량 (저농도 도핑 반도체)

저농도 도핑된 반도체에서 전도대의 전자 농도는 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

:

n_\text{e} = N_\text{C} \exp\left(-\frac{E_\text{C} - E_\text{F}}{kT}\right)

여기서 는 페르미 준위, 는 전도대의 최소 에너지, 는 온도에 따라 달라지는 농도 계수이다. 이 관계식은 도핑이 약한 경우 () 모든 전도대 모양(비파라볼릭 비대칭 밴드 포함)에 적용되며, 이는 페르미-디랙 통계가 맥스웰-볼츠만 통계로 제한되는 결과이다.

의 온도 의존성을 모델링하기 위해 유효 질량 개념이 사용되며, 이를 통해 다양한 온도 범위에서 위의 관계식을 사용할 수 있다. 파라볼릭 밴드를 가진 이상적인 3차원 물질에서 농도 계수는 다음과 같이 주어진다.

:

\quad N_\text{C} = 2\left(\frac{2\pi m_\text{e}^* kT}{h^2}\right)^\frac{3}{2}

단순하지 않은 밴드 구조를 가진 반도체에서는 이 관계식을 사용하여 '''전자의 상태밀도 유효 질량'''을 정의한다. "상태밀도 유효 질량"이라는 이름은 위의 에 대한 식이 파라볼릭 밴드에 대한 상태 밀도를 통해 유도되기 때문에 사용된다.

실제로 이렇게 추출된 유효 질량은 온도에 따라 완전히 일정하지 않다(가 로 정확히 변하지 않음). 예를 들어 Si에서 이 유효 질량은 절대 영도와 상온 사이에서 몇 퍼센트 변하는데, 이는 밴드 구조 자체의 형태가 약간 변하기 때문이다. 이러한 밴드 구조의 왜곡은 전자-포논 상호 작용 에너지의 변화의 결과이며, 격자의 열팽창은 작은 역할을 한다.^[8]

마찬가지로, 원자가 밴드의 정공 수와 '''정공의 상태밀도 유효 질량'''은 다음과 같이 정의된다.

:

n_\text{h} = N_\text{V} \exp\left(-\frac{E_\text{F} - E_\text{V}}{kT}\right), \quad N_\text{V} = 2\left(\frac{2\pi m_\text{h}^* kT}{h^2}\right)^\frac{3}{2}

여기서 는 원자가 밴드의 최대 에너지이다. 실제로 이 유효 질량은 많은 물질에서 절대 영도와 상온 사이에서 크게 변하는 경향이 있다(예: 실리콘에서 2배).^[8] 이는 여러 개의 원자가 밴드가 서로 다른 그리고 상당히 비파라볼릭적인 특성을 가지고 있으며 모두 거의 같은 에너지에서 최고점에 도달하기 때문이다.

다양한 반도체의 상태밀도 유효 질량^[8]^[9]^[10]^[11]
물질	전자	정공
Si (4 K)	1.06	0.59
Si (300 K)	1.09	1.15
Ge	0.55	0.37
GaAs	0.067	0.45
InSb	0.013	0.6
ZnO	0.29	1.21
ZnSe	0.17	1.44

5. 유효 질량의 측정

유효 질량은 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동으로 관측할 수 있다. 홀 효과나 드 하스-반 알펜 효과 등, 자기장을 이용하여 관측되는 전자의 유효 질량을 특히 「사이클로트론 질량」이라고 부른다.^[12]^[13]

사이클로트론 운동 외에도 다음과 같은 방법으로 유효 질량을 확인할 수 있다.

전자의 분산 관계
플라즈마 진동
전기 전도도
열전능
전류 자기 효과

5. 1. 실험적 방법

전통적으로 유효 질량은 사이클로트론 공명을 이용하여 측정되었다. 이 방법은 자기장에 놓인 반도체의 마이크로파 흡수가 마이크로파 주파수가 사이클로트론 주파수와 같을 때 급격한 피크를 나타내는 방법이다. 최근에는 각분해 광전자 분광법(ARPES)이나 드 하스-반 알펜 효과와 같이 띠 구조를 직접 측정하여 유효 질량을 결정한다.

또한, 저온 전자 비열의 선형 항의 계수를 사용하여 유효 질량을 추정할 수 있다. 비열은 페르미 준위에서의 상태 밀도를 통해 유효 질량에 의존하며, 따라서 퇴화와 띠 곡률을 측정하는 것이다.

광학 홀 효과는 반도체의 자유 전하 캐리어 밀도, 유효 질량 및 이동도 매개변수를 측정하기 위한 새로운 기술이다. 광학 홀 효과는 전도성 및 복잡한 다층 물질에서 광학 주파수로 준 정적 전기장 유도 전기 홀 효과의 유사체를 측정한다. 또한 광학 홀 효과는 유효 질량 및 이동도 매개변수의 이방성(텐서 특성)을 특성화할 수 있게 해준다.^[12]^[13]

유효 질량의 관측 방법으로는, 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동이 있다. 이 홀 효과나 드 하스-반 알펜 효과 등, 자장을 이용하여 관측되는 전자의 유효 질량을 특히 「사이클로트론 질량」이라고 한다.

5. 2. 이론적 방법

밀도범함수이론, k·p 섭동이론 등 다양한 이론적 방법들이 실험 결과를 보완하고 유효 질량을 예측하는 데 사용된다. 이러한 이론적 방법들은 실험 데이터가 없는 경우에도 유효 질량을 ab initio^la 예측하는 데 사용될 수 있으며, 예를 들어 실험실에서 아직 생성되지 않은 재료를 연구하는 데 활용할 수 있다.^[18]^[19]^[20]

자유 전자의 정지 질량 *m*에 대해, 결정 내의 전자는 외관상 이와 다른 질량을 가지고 있는 것처럼 관측되는 경우가 있는데, 이를 '''유효 질량'''이라고 한다. 3차원의 경우, 유효 질량은 텐서로 표현된다.

전자를 파수로 생각하고, 그 가속도

\mathbf{a}

는 군 속도

\mathbf{v}_\text{g}

의 시간 미분으로 주어진다. 군 속도의 정의

\mathbf{v}_\text{g}=\nabla_k \omega(\mathbf{k})

를 이용하면, 가속도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathbf{a} = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\,\mathbf{v}_\text{g} = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\left(\nabla_k\,\omega\left(\mathbf{k}\right)\right) = \nabla_k\frac{\operatorname{d}\omega\left(\mathbf{k}\right)}{\operatorname{d}t} = \nabla_k\left(\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right)

운동 방정식과 결정 운동량의 정의

\mathbf{p}_{\text{crystal}}=\hbar\mathbf{k}

에서,

:

\mathbf{F} = \frac{\operatorname{d}\mathbf{p}_{\text{crystal}}}{\operatorname{d}t} = \hbar\frac{\operatorname{d}\mathbf{k}}{\operatorname{d}t}

이므로,

:

\mathbf{a} = \nabla_k\left(\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_k\,\omega(\mathbf{k})\right) = \frac{1}{\hbar^2}\nabla_k\left(\nabla_k\,E(\mathbf{k})\right)\mathbf{F}

라고 쓸 수 있다. 여기서 드 브로이 관계식

E=\hbar\omega

를 사용했다. 이것을 성분 표시하면,

:

a_i =  \left(\frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E\left(\mathbf{k}\right)}{\partial k_i \partial k_j}\right)\!F_j

여기서 *j*에 대해서는 아인슈타인의 축약 기호를 사용했다. 이것을 운동 방정식과 비교하면, 유효 질량은 다음과 같이 주어진다.

:

\left[M^{-1}\right]_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_i \partial k_j}

6. 유효 질량의 중요성

유효 질량은 전자 수송, 캐리어 밀도, 상태 밀도 계산 등에 사용된다. 높은 전도도와 제벡 계수가 동시에 필요한 열전 재료에서는 유효 질량의 차이가 중요하다.^[14]

갈륨 비소(GaAs)와 인듐 안티몬(InSb)은 실리콘(Si)보다 유효 질량이 훨씬 작다. 전자 수송의 드루드 모형에 따르면 전하 캐리어 속도는 유효 질량에 반비례하며, 집적 회로의 속도는 캐리어 속도에 의존한다. 따라서 낮은 유효 질량은 셀룰러 통신과 같은 고대역폭 응용 분야에서 GaAs와 InSb가 사용되는 근본적인 이유이다.^[15]

유효 질량은 홀 효과를 이용한 사이클로트론 운동으로 관측할 수 있으며, 전자의 분산 관계, 플라즈마 진동, 전기 전도도, 열전능, 전류 자기 효과 등에서도 나타난다.

N형 반도체에서는 첨가된 원소의 잉여 전자가 자유 전자처럼 이동하는데, 첨가 원자가 약한 양(+)전하를 띠어 전자를 약하게 속박하므로 전자는 반응이 둔해진다. 이를 무거워진 전자로 간주하여 유효 질량으로 설명한다.

반도체나 절연체에서는 유효 질량이 자유 전자의 질량과 크게 다를 수 있다. 란타노이드나 악티노이드 원소 화합물 중에는 무거운 전자계라 불리는, 유효 질량 비가 1000 정도인 경우도 있다. 반면, 알칼리 금속의 가전자 부분처럼 자유 전자로 간주되는 경우에는 유효 질량 비가 1에 가깝다.

7. 무거운 전자계

란타노이드나 악티노이드 원소 화합물 중에는 무거운 전자계라고 불리는, 유효 질량 비 (*m*/ *m*)가 때로는 1000 정도가 되는 물질도 있다.^[18]^[19]^[20]

참조

_[1] 서적 Introduction to Solid State Physics
_[2] 서적 op. cit
_[3] 논문 Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon
_[4] 웹사이트 Effective mass in semiconductors http://ecee.colorado[...] University of Colorado Electrical, Computer and Energy Engineering 2016-07-23
_[5] 서적 Quantum Theory of the Solid State https://archive.org/[...] Academic Press 1976
_[6] arXiv Bloch Oscillators: motion of wave-packets 2005
_[7] 논문 American Journal of Physics 87, 291 (2019)
_[8] 논문 Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon
_[9] 서적 Physics of Semiconductor Devices
_[10] 서적 Electronic Structure and the Properties of Solids
_[11] 웹사이트 This site gives the effective masses of Silicon at different temperatures http://www.semicondu[...]
_[12] 서적 Infrared Ellipsometry on Semiconductor Layer Structures: Phonons, Plasmons and Polaritons
_[13] 논문 The optical Hall effect – model description: tutorial
_[14] 논문 Electronic fitness function for screening semiconductors as thermoelectric materials
_[15] 논문 Transformation electronics: Tailoring the effective mass of electrons https://repository.u[...]
_[16] 논문 Negative-Mass Hydrodynamics in a Spin-Orbit–coupled Bose-Einstein Condensate
_[17] 웹사이트 http://spin100.imr.t[...]
_[18] 웹사이트 http://www.sci.osaka[...]
_[19] 서적 半導体デバイスの基礎 (上) 丸善出版 2012-01
_[20] 서적 固体物理の基礎上・1 固体電子論概論 (1) 吉岡書店 1981-01

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