일차 방정식

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1. 개요
2. 일변수 일차 방정식
- 2.1. 일반적인 형태와 풀이
- 2.2. 예시
3. 이변수 일차 방정식
- 3.1. 일반적인 꼴
- 3.2. 다양한 표현 방법
4. 다변수 일차 방정식
- 4.1. 일반적인 형태
- 4.2. 기하학적 의미
5. 선형 함수와의 관계
6. 일반화
참조

1. 개요

일차 방정식은 하나 이상의 변수를 포함하는 방정식으로, 각 변수의 차수가 1인 경우를 말한다. 일차 방정식은 변수의 개수에 따라 일변수, 이변수, 다변수 일차 방정식으로 분류된다. 일변수 일차 방정식은 해가 존재하거나, 존재하지 않거나, 무한히 많은 경우로 나뉜다. 이변수 일차 방정식은 평면 상의 직선을 나타내며, 다변수 일차 방정식은 아핀 초평면을 형성한다. 일차 방정식은 선형 함수와 밀접한 관련이 있으며, 실수, 복소수뿐만 아니라 일반적인 체에서도 정의될 수 있다.

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일차 방정식
개요
유형	대수학
변수의 수	n
차수	1
그래프	직선
형태
기울기-절편 형태	y = mx + b
표준 형태	Ax + By = C
점-기울기 형태	y - y₁ = m(x - x₁)
변수
변수	변수는 하나 이상의 변수를 포함하는 대수 방정식이다.
해	해는 방정식이 참이 되게 하는 변수에 대한 숫자 할당이다.
1차 방정식	1차 방정식은 한 개 이상의 변수를 포함하는 대수 방정식이며, 변수의 최고차항이 1차이다.
상수항	상수항은 변수를 포함하지 않는 항이다.
계수	계수는 변수에 곱해지는 숫자이다.
기타
관련 주제	선형 함수 선형 보간법 선형 회귀 선형 계획법

2. 일변수 일차 방정식

변수가 하나뿐인 일차 방정식은 식을 정리하여 풀 수 있다. 일변수 선형 방정식은 $ax+b=0$ ( $a\neq 0$ ) 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 해는 $x=-\frac ba$ 이다.

2. 1. 일반적인 형태와 풀이

변수가 하나뿐인 일차 방정식은 식을 정리하여 풀이할 수 있다. 하나의 변수

x

를 갖는 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

:

ax+b=0

그 풀이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.

만약 $a \ne 0$ 이라면, 유일한 해 $x=-b/a$ 를 가진다.
만약 $a = 0$ , $b \ne 0$ 이라면, 이 방정식은 어떤 해도 가지지 않는다. 즉, 불능 방정식이다.
만약 $a = 0$ , $b = 0$ 이라면, 이 방정식은 모든 수를 해로 가지며, 부정 방정식에 속한다.

일차 방정식의 예는 다음과 같다.

$-2x+5=-3x+45$ 의 해는 $x=40$ 이다.
$6x-5=6x-6$ 의 해는 존재하지 않는다.
$3x-3=3x-3$ 은 모든 수를 해로 한다. 따라서 해가 무한히 많다.

''a'', ''b''를 실수 상수라고 할 때,

:

ax+b=0

또는

ax=-b

의 형태를 취한다. 후자의 경우, ''a'' ≠ 0 이면 (''a''⁻¹ = 1/''a''가 존재하므로) 유일하게 풀리며, ''x'' = -b/a 가 해이다. ''a'' = 0 일 때, ''b'' ≠ 0 이면 불능, ''b'' = 0 이면 부정이다.

2. 2. 예시

2x + 5 = -3x + 45 의 해는 x = 40이다. 6x - 5 = 6x - 6 은 해가 존재하지 않는다. (불능 방정식) 3x - 3 = 3x - 3 은 모든 수가 해가 된다. (부정 방정식)

3. 이변수 일차 방정식

두 변수 x, y에 대한 일차 방정식은 평면 위의 직선을 나타낸다. 이 방정식은 x와 y에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, xy, x², y^1/3, sin x와 같은 비선형항은 포함하지 않는다.^[1] a와 b가 실수인 경우, 이 방정식은 무한히 많은 해를 갖는다. 각 해 (x, y)는 데카르트 좌표계의 점으로 볼 수 있으며, 이는 유클리드 평면 위의 점으로 간주된다. 따라서 a와 b가 모두 0이 아닌 경우, 방정식의 모든 해는 하나의 직선을 형성한다.

b ≠ 0이면, 방정식 ax + by + c = 0은 모든 x 값에 대해 y에 관한 일차 방정식이 되며, y에 대한 고유한 해를 갖는다. 이는 y = - (a/b)x - (c/b)로 표현할 수 있으며, 함수를 정의한다. 이 함수의 그래프는 직선이며, 기울기는 - (a/b)이고, y절편은 - (c/b)이다.

b = 0이면, 이 직선은 방정식 x = - (c/a)의 수직선이 된다. a ≠ 0이면, 이 직선은 y의 함수 그래프이며, a = 0이면, 방정식 y = - (c/b)의 수평선이 된다.

3. 1. 일반적인 꼴

두 변수 x, y에 대한 일차 방정식은 x와 y에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, xy, x², y^1/3, sin x와 같은 비선형항을 포함해서는 안된다.^[1] 모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

: ax + by + c = 0

여기서 a² + b² ≠ 0이어야 한다. 이 방정식은 행렬을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 복소평면으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍 (x, y) 대신 하나의 복소수 z로 쓸 수 있다. 이 경우 직선의 방정식의 일반 꼴을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: B̄z + Bz̄ + C = 0^영어

여기서 B는 0이 아닌 복소수, C는 실수, B̄는 B의 켤레 복소수이다.

3. 2. 다양한 표현 방법

두 변수 x, y에 대한 일차 방정식은 x와 y에 대한 일차항과 상수항만을 포함하며, xy, x², y^1/3, sin x와 같은 비선형항을 포함해서는 안된다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.

'''기울기''' m과 y절편 n이 결정하는 직선의 방정식:

:: y = mx + n

직선이 지나는 점 (x₁, y₁)과 기울기 m이 결정하는 직선의 방정식:

:: y - y₁ = m(x - x₁)

직선 위에 놓인 두 점 (x₁, y₁) ≠ (x₂, y₂)이 결정하는 직선의 방정식:

:: (y - y₁)(x₂ - x₁) = (x - x₁)(y₂ - y₁)

:: 또는

:: y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) * (x - x₁)

x절편 x₀와 y절편 y₀ (x₀ ≠ 0, y₀ ≠ 0)가 결정하는 직선의 방정식:

:: x/x₀ + y/y₀ = 1

점 P = (x₀, y₀)과 그 직선의 방향을 나타내는 벡터 u = (a, b)가 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식:

:: x = x₀ + at

:: y = y₀ + bt (t는 실수)

두 점 P = (x₁, y₁) ≠ Q = (x₂, y₂)이 결정하는 직선의 한 매개 변수 방정식:

:: x = (1 - t)x₁ + tx₂

:: y = (1 - t)y₁ + ty₂ (t는 실수)

4. 다변수 일차 방정식

일차 방정식은 두 개 이상의 변수를 가질 수도 있다. ''n''개의 변수에 대한 일차 방정식의 해는 ''n''차원 유클리드 공간의 아핀 초평면((''n''-1)차원 아핀 부분 공간)을 이루게 된다.^[4]^[5]

4. 1. 일반적인 형태

''n''개의 변수 ''x''₁, …, ''x''_n에 대한 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 표현된다.^[4]^[5]

: a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + aₙxₙ + b = 0

이는 일차 함수의 영점을 구하는 방정식이다.

4. 2. 기하학적 의미

일차 방정식의 각 해는 데카르트 좌표로 볼 수 있으며, 이는 유클리드 평면의 점으로 간주될 수 있다. 이러한 해석을 통해, 방정식의 모든 해는

a

와

b

가 모두 0이 아닌 경우 선을 형성한다.

마찬가지로, 세 변수의 경우

:

ax+by+cz=d

는 유클리드 공간 '''R'''³ 에서의 평면(공간 평면)을 나타낸다. 이것은 벡터 '''n''' := (''a'', ''b'', ''c'') 에 직교하고, 평면상의 한 점 '''x'''₀ 이 주어지면

:

n(x-x_0)=0

꼴로 다시 쓸 수 있다(평면의 경우의 "점-기울기 표준형"의 일반화). 단, 좌변은 벡터의 점곱이다.

이 벡터 방정식은 일반적인 ''n''-차원에서 생각하면, '''R'''^''n'' 내의 초평면(여차원 1의 아핀 부분 공간)을 나타낸다. 즉, ''n''-변수의 일차 방정식

:

a_1 x_1+\cdots +a_n x_n = b

는 초평면의 방정식이다.

5. 선형 함수와의 관계

$b \ne 0$ 이면, 다음 방정식

: $ax+by+c=0$

은 모든 $x$ 값에 대해 단일 변수 $y$ 에 관한 일차 방정식이다. 따라서 $y$ 에 대한 고유한 해를 가지며, 이는 다음과 같다.

: $y=-\frac ab x-\frac cb.$

이것은 함수를 정의한다. 이 함수의 그래프는 선이며, 기울기는 $-\frac ab$ 이고, -절편은 $-\frac cb$ 이다. 그래프가 선인 함수는 일반적으로 미적분학의 맥락에서 ''선형 함수''라고 불린다. 그러나 선형대수학에서 선형 함수는 합을 합의 이미지로 매핑하는 함수이다. 따라서 이 정의에 따르면, 위의 함수는 $c = 0$ 일 때, 즉 선이 원점을 지날 때만 선형이다. 혼동을 피하기 위해, 그래프가 임의의 선인 함수는 종종 ''아핀 함수''라고 불린다.^[1]

6. 일반화

일차 방정식의 이론은 계수와 해를 (실수나 복소수와 같은 수에 국한하지 않고) 일반적인 체로 간주해도 그대로 성립한다. 특히 계수가 체 ''K''인 일차 방정식이 확대체에서 해를 갖는다면, 이미 ''K''에서 해를 가지며, ''K''에서의 일반해가 그대로 ''L''에서의 일반해가 된다.

''A''가 행렬, ''x''가 벡터 값 변수, ''b''를 상수 벡터라고 할 때, 일차 방정식

: $Ax=b$

는 ''A''가 정칙 행렬이면 해를 구할 수 있으며, ''x'' = ''A''⁻¹''b''가 된다.

더 일반적으로, 집합 ''X''에 작용소의 집합 ''T''가 주어졌을 때, ''X'' 값의 변수 ''x''에 대하여 작용 τ ∈ ''T'' 및 상수 원소 ''b'' ∈ ''X''를 주면, 방정식

: $\tau x = b$

는 의미를 가지며, τ의 역작용소 τ⁻¹이 존재하면 ''x'' = τ⁻¹''b''가 된다. 특히 ''T''가 군 ''G''이고 ''X''가 ''G''-가군 ''M''일 때,

: $gx + b = 0\quad (g\in G, b\in M)$

등도 의미를 갖는다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 An Elementary Course in Theory of Equations https://books.google[...] J. Wiley & sons
_[5] 서적 Numbers Universalized: An Advanced Algebra https://books.google[...] American Book Company

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