자이베르그 이중성

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1. 개요
2. 역사
3. 전개
4. 증거
5. 일반화
참조

1. 개요

자이베르그 이중성은 1994년 나탄 자이베르그가 발견한 현상으로, 특정 4차원 초대칭 게이지 이론에서 나타난다. SU($N_c$) 게이지 군과 $N_f$개의 맛깔을 가진 쿼크를 포함하는 이론(원래 이론)과 SU($\tilde{N_c}$) 게이지 군, $N_f$개의 이중 쿼크, 그리고 중간자 초장을 포함하는 또 다른 이론(이중 이론)이 낮은 에너지에서 동일한 물리학을 기술한다는 것이다. 두 이론은 서로 다른 게이지 군과 물질 구성을 가지지만, 저에너지 재규격화군 부동점에서 서로 같은 물리 현상을 보인다. 자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종으로, 원래 이론의 강한 결합 상수가 이중 이론에서는 약한 결합 상수에 대응된다. 이중성은 대칭성, 변칙 일치 조건, 모듈러스 공간의 일치 등을 통해 증명된다. 또한 SO(''N'')과 USp(2''N'') 게이지 군의 경우에도 일반화될 수 있으며, 화살통 게이지 이론 등 다양한 방향으로 확장되었다.

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자이베르그 이중성
자이베르그 이중성 정보
유형	물리 이론
하위 분야	끈 이론, 양자장론
관련된 개념	초대칭, 게이지 이론, 쌍대성
주요 내용
설명	'자이베르그 이중성(Seiberg duality)은 초대칭 게이지 이론에서 나타나는 현상으로, 동일한 저에너지 물리를 설명하는 서로 다른 두 개의 게이지 이론이 존재함을 의미한다. 이 두 이론은 자이베르그 쌍대(Seiberg dual)라고 불린다.'
특징	강하게 결합된 이론을 약하게 결합된 이론으로 변환할 수 있다. 이론의 풀이 및 분석을 용이하게 한다. 끈 이론 및 M 이론 연구에 중요한 도구로 사용된다.
관련 인물
주요 연구자	나탄 자이베르그
다른 연구자	케네스 인트릴리가토르
중요성
기여	초대칭 게이지 이론의 이해를 심화시켰다. 쌍대성 개념의 중요성을 부각시켰다. 끈 이론 및 M 이론 연구에 새로운 방향을 제시했다.
추가 정보
참고 문헌	[1]

2. 역사

나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.^[10]

3. 전개

자이베르그 이중성은 특정한 조건을 만족하는 4차원 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 게이지 이론에서 나타나는 현상으로, 서로 다른 두 이론이 낮은 에너지에서 동일한 물리학을 기술한다는 것을 의미한다.

원래 이론은 SU(N_c) 게이지 군과 $N_f$개의 플레버를 가진 쿼크를 포함하며, 이중 이론은 SU(Ñ) 게이지 군 ($\tilde{N_c} = N_f - N_c$), $N_f$개의 이중 쿼크, 그리고 중간자 초장을 포함한다. 두 이론은 게이지 군과 물질 구성은 다르지만, 저에너지 재규격화군 부동점에서는 같은 물리 현상을 보인다.

자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종으로, 원래 이론의 강한 결합 상수가 이중 이론에서는 약한 결합 상수에 대응되어 한쪽 이론에서 계산하기 어려운 현상이 다른 쪽 이론에서는 쉽게 계산될 수 있다.

두 이론의 대칭군은 $SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$로 동일하며, 관련 장들은 다음과 같다.

원래 이론과 이중 이론의 기본 입자와 합성 입자 비교
	원래 이론	이중 이론
게이지 군	SU(N_c)	SU(Ñ) ($\tilde{N_c} = N_f - N_c$)
글루온 (벡터 초장)	$A$ (딸림표현)	$\tilde A$ (이중 글루온, 딸림표현)
쿼크 (손지기 초장)	왼손 스쿼크 $Q$ (□), 왼손 반스쿼크 $Q^c$ ( )	이중 왼손 스쿼크 $\tilde Q$ (□), 이중 왼손 반스쿼크 $\tilde Q^c$ ( )
중간자 (손지기 초장)	$QQ^c$	$M$ (기본 입자)
중입자 (손지기 초장)	$\overbrace{QQ\dots Q}^N$	$\overbrace{\tilde Q\tilde Q\dots \tilde Q}^{\tilde N}$

자이베르그 이중성은 색전기장(글루온)과 색자기장(이중 게이지 그룹의 글루온)을 교환하고, 색전하(쿼크)와 비가환 't 호프트-폴리야코프 모노폴을 교환하며, 힉스 상은 가둠 상과 이중성을 가진다. 이는 이중 초전도 모델과 유사하다.

중간자와 중입자는 이중성에 의해 보존되지만, 전기 이론에서 중간자는 쿼크 이중선형($M \equiv Q^c Q$)이고 자기 이론에서는 기본 장이다. 두 이론 모두에서 중입자는 쿼크로 구성되지만, 중입자 내 쿼크 수는 두 이중 이론에서 다른 게이지 그룹의 랭크이다.

3. 1. 기본 개념: 초대칭 게이지 이론과 이중성

자이베르그 이중성은 특정한 조건을 만족하는 4차원

\mathcal{N}=1

초대칭 게이지 이론에서 나타나는 현상이다. 이 이중성은 SU(N_c) 게이지 군과

N_f

개의 플레버(flavor)를 가진 쿼크를 포함하는 이론(원래 이론)과, SU(Ñ) 게이지 군 (

\tilde{N_c} = N_f - N_c

),

N_f

개의 이중 쿼크, 그리고 중간자 초장을 포함하는 또 다른 이론(이중 이론)이 낮은 에너지에서 동일한 물리학을 기술한다는 것을 의미한다.

두 이론은 서로 다른 게이지 군과 물질 구성을 가지지만, 저에너지 재규격화군 부동점에서 서로 같은 물리 현상을 보인다. 이는 마치 동전의 양면처럼, 서로 다른 관점에서 동일한 현상을 바라보는 것과 같다.

자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종으로, 원래 이론의 강한 결합 상수가 이중 이론에서는 약한 결합 상수에 대응된다. 즉, 한쪽 이론에서 계산하기 어려운 현상이 다른 쪽 이론에서는 쉽게 계산될 수 있다는 것을 의미한다.

두 이론의 대칭군은

SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R

로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다.

원래 이론의 기본 입자와 합성 입자
기호	설명	SU(N)	SU(F)_L	SU(F)_R	중입자수 U(1)_B	R대칭 U(1)_R
$A$	글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
$Q$	왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/N_c	$(F-N)/F$
$Q^c$	왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)		1		−1/N	$(F-N)/F$
$QQ^c$	중간자 (손지기 초장)	1	□		0	$2(F-N)/F$
$\overbrace{QQ\dots Q}^N$	중입자 (손지기 초장)	1	$\textstyle\bigwedge^N\square$	1	1	$N(F-N)/F$
$\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
$\bar\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

이중 이론의 기본 입자와 합성 입자
기호	설명	SU(Ñ)	SU(F)_L	SU(F)_R	중입자수 U(1)_B	R대칭 U(1)_R
$\tilde A$	이중 글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
$\tilde Q$	이중 왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/(F−N)	$(F-\tilde N)/F$
$\tilde Q^c$	이중 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)	□	1		−1/Ñ	$(F-\tilde N)/F$
$M$	중간자 (손지기 초장)	1	□		0	$2\tilde N/F$
$\overbrace{QQ\dots Q}^{\tilde N}$	중입자 (손지기 초장)	1	$\textstyle\bigwedge^{\tilde N}\square$	1	1	$\tilde N(F-\tilde N)/F$
$\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
$\bar\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

자이베르그 이중성은 S-이중성이므로, 강결합 영역과 약결합 영역을 관련시키며, 색전기장(글루온)과 색자기장(이중 게이지 그룹의 글루온)을 교환하고, 색전하(쿼크)와 비가환 't 호프트-폴리야코프 모노폴을 교환한다. 특히, 힉스 상은 가둠 상과 이중성을 가지며, 이는 이중 초전도 모델과 같다.

중간자와 중입자는 이중성에 의해 보존된다. 그러나 전기 이론에서 중간자는 쿼크 이중선형( $M \equiv Q^c Q$ )이고, 자기 이론에서는 기본 장이다. 두 이론 모두에서 중입자는 쿼크로 구성되지만, 하나의 중입자 내 쿼크 수는 두 이중 이론에서 다른 게이지 그룹의 랭크이다.

3. 2. 원래 이론과 이중 이론

다음과 같은 4차원

\mathcal N=1

SU(''N'') 초대칭 게이지 이론을 생각하자.

SU(''N''_c) 벡터 초장 (글루온과 글루이노)
''F''개의 기본 표현 오른손 초장 $Q$ 및 왼손 초장 $Q^c$ (쿼크와 스쿼크)
초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다.

이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원

\mathcal N=1

SU(\tilde N)

초대칭 게이지 이론이다.

SU(''Ñ'') 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노)
''F''개의 기본 표현 오른손 초장 $Q$ 및 왼손 초장 $Q^c$ (이중 쿼크와 이중 스쿼크)
$F\otimes\bar F$ 맛깔 표현의 손지기 초장 $M$ (중간자)
초퍼텐셜 $\tilde W=M\tilde{Q^c}\tilde Q$ .

그렇다면 '''자이베르그 이중성'''에 따라,

N+\tilde N=F

인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다.

두 이론의 대칭군은

SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R

로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다.

원래 이론의 기본 입자와 합성 입자
기호	설명	SU(N)	SU(F)_L	SU(F)_R	중입자수 U(1)_B	R대칭 U(1)_R
$A$	글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
$Q$	왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/N_c	$(F-N)/F$
$Q^c$	왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)		1		−1/N	$(F-N)/F$
$QQ^c$	중간자 (손지기 초장)	1	□		0	$2(F-N)/F$
$\overbrace{QQ\dots Q}^N$	중입자 (손지기 초장)	1	$\textstyle\bigwedge^N\square$	1	1	$N(F-N)/F$
$\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
$\bar\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

이중 이론의 기본 입자와 합성 입자
기호	설명	SU(Ñ)	SU(F)_L	SU(F)_R	중입자수 U(1)_B	R대칭 U(1)_R
기호	설명	SU(Ñ)	SU(F)_L	SU(F)_R	중입자수 U(1)_B	R대칭 U(1)_R
$\tilde A$	이중 글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
$\tilde Q$	이중 왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/(F−N)	$(F-\tilde N)/F$
$\tilde Q^c$	이중 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)		1		−1/Ñ	$(F-\tilde N)/F$
$M$	중간자 (손지기 초장)	1	□		0	$2\tilde N/F$
$\overbrace{QQ\dots Q}^{\tilde N}$	중입자 (손지기 초장)	1	$\textstyle\bigwedge^{\tilde N}\square$	1	1	$\tilde N(F-\tilde N)/F$
$\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
$\bar\theta$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

자이베르그 이중성은 IR 고정점에서 SU(N_c)를 게이지 군으로 갖고, N_f 개의 플레버를 갖는 ''N''=1 이론과 기본 표현의 카이랄 초대칭 다중항 및 카이랄 극한(베어 질량 없음)에서 N_f 개의 반기본 표현의 카이랄 다중항, 그리고 N_f - N_c 색깔과 N_f 개의 플레버를 가진 N=1 카이랄 QCD 사이의 등가성을 말한다. 여기서 N_c와 N_f는 다음을 만족하는 양의 정수이다.

:: $N_f>N_c+1$ .

이중성의 더 강력한 버전은 카이랄 극한뿐만 아니라 이론의 전체 변형 공간도 관련짓는다. 다음의 특별한 경우

:: ${1\over 3}N_f < N_c < {2\over 3}N_f$

IR 고정점은 비자명한 상호작용하는 초등각 장론이다. 초등각 장론에서 카이랄 초대칭 다중항의 이상 스케일 차원은 $D=\frac{3}{2} R$ 이며, 여기서 R은 R-전하이다. 이는 정확한 결과이다.

이중 이론은 색깔 중립적이지만 플레버 대칭에 따라 쌍기본 표현으로 변환되는 기본 "메종" 카이랄 초대칭 다중항 M을 포함한다.

	SQCD	이중 이론
색깔 게이지 군	$SU(N_c)$	$SU(N_f-N_c)$
전역 내부 대칭	$SU(N_f)_L \times SU(N_f)_R \times U(1)_B \times U(1)_R$	$SU(N_f)_L \times SU(N_f)_R \times U(1)_B \times U(1)_R$
카이랄 초대칭 다중항	$Q\,(N_f,1)_{1/N_c,(N_f-N_c)/N_f}$	$\tilde{Q}\,(1,N_f)_{-1/(N_f-N_c),N_c/N_f}$
	$Q^c\,(1,\overline{N_f})_{-1/N_c,(N_f-N_c)/N_f}$	$\tilde{Q^c}\,(\overline{N_f},1)_{1/(N_f-N_c),N_c/N_f}$
		$M\,(N_f,\overline{N_f})_{0,2(N_f-N_c)/N_f}$

이중 이론은 슈퍼포텐셜 $W=\alpha M \tilde{Q^c}\tilde{Q}$ 를 포함한다.

3. 3. 대칭성과 보존량

두 이론은 $SU(N_f)_L \times SU(N_f)_R \times U(1)_B \times U(1)_R$의 동일한 대역적 대칭군을 갖는다. 각 이론의 기본 입자와 합성 입자(중간자, 중입자)들은 이 대칭에 대해 동일한 양자수를 가진다. 't Hooft 변칙 일치 조건(anomaly matching condition)을 만족한다.^[2] 즉, 두 이론에서 게이지 변칙이 일치한다.

't 호프트 변칙 일치 조건^[2]
변칙	SQCD	이중 이론
$SU(N_f)_L^3$	$N_c d^{(3)}(N_f)$	$N_c d^{(3)}(N_f)$
$SU(N_f)_L^2 U(1)_B$	$d^{(2)}(N_f)$	$d^{(2)}(N_f)$
$SU(N_f)_L^2 U(1)_R$	$-\frac{N_c^2}{N_f}d^{(2)}(N_f)$	$\frac{-N_c^2}{N_f}d^{(2)}(N_f)$
$U(1)_R$	$-N_c^2 -1$	$-N_c^2 -1$
$U(1)_R^3$	$-2\frac{N_c^4}{N_f^2} + N_c^2 -1$	$-2\frac{N_c^4}{N_f^2} + N_c^2 -1$
$U(1)_B^2 U(1)_R$	$-2$	$-2$

3. 4. 상(Phase) 구조

$N_f$와 $N_c$ 값에 따라, 초대칭 게이지 이론은 다양한 상을 가질 수 있다. 자이베르그 이중성은 $N_c + 2 \le N_f$인 경우에 적용되며, 원래 이론과 이중 이론의 상 구조는 다음과 같이 대응된다.^[6]^[7]

맛깔 수 $F$		원래 이론의 상	이중 이론의 상	원래 저에너지 자유도	이중 저에너지 자유도
$N\le F\le N+1$	$0\le\tilde N\le1$	가둠 상	(게이지 대칭 無)	복합 입자인 무질량 중간자와 중입자	기본 입자인 중간자와 중입자
$N+2\le F\le(3/2)N$	$6\le3\tilde N\le F$	자유 자기 상	자유 전기 상	무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤	이중 글루온 $\tilde A$ , 중간자 $M$ , 이중 쿼크 $\tilde Q$ , $\tilde Q^c$
$(3/2)N$	$(3/2)\tilde N$	쿨롱 상	쿨롱 상	$(A,Q,Q^c)$		$(\tilde A,\tilde Q,\tilde Q^c,M)$
$6\le3N\le F$	$\tilde N+2\le F\le (3/2)\tilde N$	자유 전기 상	자유 자기 상	글루온 $A$ , 스쿼크 $Q$ , $Q^c$	무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤

3. 5. 원래 이론과 이중 이론의 관계

자이베르그 이중성은 S-이중성의 한 종류이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 크면, 이중 이론에서는 결합 상수가 작아진다. 구체적으로 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.

원래 이론의 글루온은 이중 이론의 게이지 자기장이 된다. 이는 전기-자기 이중성의 한 종류이다.
원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다.
원래 이론의 중간자 $QQ^c$ 는 이중 이론에서 기본 입자 $M$ 에 대응된다.
원래 이론의 중입자 $Q\dots Q$ 는 이중 이론에서도 중입자 $\tilde Q\dots\tilde Q$ 가 되지만, 쿼크 수는 다르다(원래 이론은 ''N'', 이중 이론은 ''Ñ'').
원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다.
두 이론의 대역적인 대칭 $SU(F)_L\times SU(F)_R\times U(1)_B\times U(1)_R$ 은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수를 가진다.
두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 일치하지 않아도 된다.

이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(chiral perturbation theory|카이랄 섭동 이론^영어)에서 기본 중간자장

U=\exp(iM)

를 도입하는 것과 유사하다.

원래 이론이 가둠 상에 있으면, 이중 이론의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻는다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 1960년대부터 있었다.^[11]^[12] 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다.^[13]

4. 증거

자이베르그 이중성은 S-이중성이므로, 강결합 영역과 약결합 영역을 관련시키며, 색전기장(글루온)과 색자기장(이중 게이지 그룹의 글루온)을 교환하고, 색전하(쿼크)와 비가환 't 호프트-폴리야코프 모노폴을 교환한다. 특히, 힉스 상은 가둠 상과 이중성을 가지며, 이는 이중 초전도 모델과 같다.^[17]

중간자와 중입자는 이중성에 의해 보존된다. 그러나 전기 이론에서 중간자는 쿼크 이중선형( $M \equiv Q^c Q$ )이고, 자기 이론에서는 기본 장이다. 두 이론 모두에서 중입자는 쿼크로 구성되지만, 하나의 중입자 내 쿼크 수는 두 이중 이론에서 다른 게이지 그룹의 랭크이다.

이론의 게이지 대칭은 일치하지 않지만, 이는 게이지 대칭이 근본적인 물리학의 특징이 아닌, 공식화의 특징이기 때문에 문제가 되지 않는다. 전역 대칭은 별개의 물리적 구성을 관련시키므로, 모든 이중 설명에서 일치해야 한다. 이중 이론들의 모듈 공간은 동일하다.

전역 대칭과 중간자 및 중입자의 전하도 일치한다. 특정 경우에는 일반적인 전자기 쌍대성으로 축소된다.

끈 이론에서 교차하는 D-브레인으로 구성된 Hanany–Witten 브레인 만화를 통해 포함될 수 있다. 여기서 이는 보편성 클래스를 보존하는 것으로 추측되는 NS5-브레인의 움직임으로 실현된다.

이중성 양쪽에서 6개의 비자명한 이상 현상을 계산할 수 있으며, 이는 헤라르트 't 호프트의 이상 현상 일치 조건에 따라 일치해야 한다. 이중 이론에서 추가적인 기본 중간자 초장 M의 역할은 이상 현상을 일치시키는 데 매우 중요하다. 전역 중력 이상 현상 또한 일치하는데, 이는 키랄 장의 수의 패리티가 두 이론에서 동일하기 때문이다. 키랄 초장 내의 바일 페르미온의 R-전하는 초장의 R-전하보다 1 적다. 게이지노의 R-전하는 +1이다.

't 호프트 이상 현상 일치 조건
이상 현상	SQCD	이중 이론
$SU(N_f)_L^3$	$N_c d^{(3)}(N_f)$	$N_c d^{(3)}(N_f)$
$SU(N_f)_L^2 U(1)_B$	$d^{(2)}(N_f)$	$d^{(2)}(N_f)$
$SU(N_f)_L^2 U(1)_R$	$-\frac{N_c^2}{N_f}d^{(2)}(N_f)$	$\frac{-N_c^2}{N_f}d^{(2)}(N_f)$
$U(1)_R$	$-N_c^2 -1$	$-N_c^2 -1$
$U(1)_R^3$	$-2\frac{N_c^4}{N_f^2} + N_c^2 -1$	$-2\frac{N_c^4}{N_f^2} + N_c^2 -1$
$U(1)_B^2 U(1)_R$	$-2$	$-2$

자이베르그 이중성에 대한 또 다른 증거는 전하상과 자성상의 Witten 지수를 일반화한 초등각 지수를 식별하는 데서 비롯된다. 이러한 식별은 수학 문헌에서 연구된 복잡한 적분 항등식을 발생시킨다.^[2]

5. 일반화

SO(''N'')과 USp(2''N'') 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다. 자이베르그 이중성은 여러 방향으로 일반화되었다. 한 가지 일반화는 화살통 게이지 이론에 적용되며, 이 경우 향미 대칭성도 게이지화된다. 이 중 가장 간단한 것은 향미군이 게이지화되고 슈퍼포텐셜에 추가 항이 있는 슈퍼 QCD이다. 이는 이고르 클레바노프와 매튜 스트라슬러가 도입한 이중성 캐스케이드로 알려진 일련의 자이베르그 이중성을 이끈다.^[3]

자이베르그 이중성이 4개의 초전하만 있는 3차원 비가환 게이지 이론에 존재하는지는 알려져 있지 않지만, 천-사이먼스 항이 있는 몇몇 특수한 경우에는 추측되고 있다.^[4]

참조

_[1] 논문 Electric - magnetic duality in supersymmetric nonAbelian gauge theories 1995
_[2] 논문 Applications of the Superconformal Index for Protected Operators and q-Hypergeometric Identities to N=1 Dual Theories 2009
_[3] 논문 Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and chi SB resolution of naked singularities 2000
_[4] 논문 Fractional M2-branes 2008
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_[16] 저널 Moduli in exceptional supersymmetric gauge theories
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