정삼각형 테셀레이션
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1. 개요
정삼각형 테셀레이션은 평면을 정삼각형으로 완전히 덮는 것을 의미하며, 9가지의 균일 색칠이 존재한다. 이 타일링은 A2 격자, 즉 정삼각형 격자의 꼭짓점 배열과 관련 있으며, 가장 조밀한 원 채우기의 중심을 이룬다. 정삼각형 타일링은 정다면체, 슐레플리 기호 {3,n}인 정다면체, 카탈랑 다면체와 위상적으로 관련되며, 정육각형 타일링과의 위토프 구성을 통해 고른 타일링을 생성할 수 있다. 또한, 정삼각형 타일링의 꼭짓점을 공유하는 복합 정 무한각형과 세 종류의 라브스 테셀레이션이 존재한다.
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- 정다각형 타일링 - 정사각형 테셀레이션
정사각형 테셀레이션은 유클리드 평면을 정사각형으로 빈틈없이 덮는 테셀레이션으로, 위상적으로 동일한 다양한 사변형 테셀레이션을 만들 수 있으며, 균일 색칠, 정다면체 및 테셀레이션 수열, 원 채우기와 관련된다. - 정다각형 타일링 - 정다각형 테셀레이션
정다각형 테셀레이션은 평면을 정다각형으로 채우는 기하학의 한 분야이며, 정규, 준정규, k-균일 타일링 등으로 분류된다.
| 정삼각형 테셀레이션 | |
|---|---|
| 일반 정보 | |
 | |
| 종류 | 정규 타일링 |
| 슐레플리 기호 | {3,6} |
| 꼭짓점 배열 | 36 |
| |
| 대칭군 | p6m (p6) [*632] (632) |
| 쌍대 | 육각형 테셀레이션 |
| 속성 | 꼭짓점-추이적, 변-추이적, 면-추이적 |
| 관련 타일링 | |
| |
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| |
| |
2. 균일 색칠
정삼각형 타일링은 꼭짓점 주위의 6개 정삼각형에 칠해진 색깔을 기준으로 9가지의 균일 색칠이 가능하다.[6][1] 이 중 일부는 다른 색칠에서 같은 색을 써서 만들 수 있다. 111112(* 표시)는 아르키메데스 색칠이며, 1-균일이 아니고 특정한 패턴을 가진다.
2. 1. 균일 색칠의 종류
삼각형 타일링에는 9가지 균일 색칠이 있다. 꼭짓점 주위의 6개 정삼각형에 색을 붙여 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314와 같이 나타낸다. 이 중 111212와 111112는 121213에서 1과 3을 합쳐 만들 수 있고, 111213은 121314를 줄여 만들 수 있다.[6][1]111112(* 표시)는 아르키메데스 색칠이다. 아르키메데스 색칠은 1-균일이 아니며, 다른 모든 세 번째 정삼각형이 칠해진 정삼각형 열이 있다. 표시된 예는 2-균일이지만 열을 이동시킨 아르키메데스 색칠은 무한히 많다.
| 색상 | 명칭 | 이미지 | 대칭 |
|---|---|---|---|
| 111111 |  | p6m (*632) | |
| 121212 |  | p3m1 (*333) | |
| 111222 |  | cmm (2*22) | |
| 112122 |  | p2 (2222) | |
| 111112(*) |  | p2 (2222) | |
| 121213 |  | p31m (3*3) | |
| 111212 | |||
| 111112 | |||
| 121314 |  | p3 (333) | |
| 111213 |
정삼각형 타일링은 {3,6} 토폴로지(모든 꼭짓점 주변에 정삼각형이 6개가 있는 정다각형 타일링)의 다양한 기하학적 변형이 가능하다. 면과 점-전이성에 따라 5가지 변형이 존재한다. 아래의 대칭은 모든 면의 색이 같다고 가정한다.[9][4]
3. A2 격자와 원 채우기
정삼각형 격자의 꼭짓점 배열은 A 격자라고 불린다.[7] 이것은 단체 벌집의 2차원 경우이다.
A 격자(A라고도 함)는 A 격자 세 개의 결합으로 구성될 수 있으며, A 격자와 동일하다.
정삼각형 격자의 꼭짓점은 가장 조밀한 원 채우기의 중심들이다.[8] 모든 원은 채우기에 있는 다른 원 6개와 접촉한다(입맞춤 수). 채우기 밀도는 π/√12 또는 90.69%이다. A 격자 세 개의 결합은 여전히 A 격자이기 때문에, 원 채우기는 3색의 원으로 주어질 수 있다.
정삼각형 타일링의 보로노이 셀은 정육각형이고, 보로노이 테셀레이션인 정육각형 타일링은 원 채우기에 직접적으로 대응된다.A 격자 원 채우기 A 격자 원 채우기 
4. 기하학적 변형
4. 1. 기하학적 변형의 종류
정삼각형 채우기는 모든 꼭짓점 주변에 정삼각형이 6개 있는 정다각형 타일링으로, {3,6} 토폴로지를 가진다. 동일한 면(면-전이성)과 점-전이성을 가지는 5가지 변형이 존재한다. 아래의 대칭은 모든 면의 색이 같다고 가정한다.[9][4]
5. 관련 다면체와 타일링
삼각형 타일링은 다면체와 관련이 있다. 꼭짓점에 더 적은 수의 정삼각형을 놓으면 틈이 생겨 각뿔로 접을 수 있다. 이것은 정다면체로 확장될 수 있는데, 꼭짓점에 있는 정삼각형이 다섯 개, 네 개, 세 개일 때는 각각 정이십면체, 정팔면체, 정사면체를 정의한다.
이 타일링은 슐레플리 기호 {3,n}을 가지는 정다면체 및 쌍곡평면으로 계속되는 수열과 위상적으로 관련이 있다.
또한 꼭짓점 배치가 Vn.6.6이고 마찬가지로 쌍곡평면으로 계속되는 카탈랑의 다면체 수열의 일부와도 위상적으로 관련이 있다.
 V3.6.6 |  V4.6.6 |  V5.6.6 | V6.6.6 |  V7.6.6 |
6. 정육각형과 정삼각형 타일링에서 위토프 구성
정육각형 타일링과 정삼각형 타일링은 위토프 구성을 통해 8가지 고른 테셀레이션을 생성할 수 있다. 이 중 깎은 정삼각형 타일링은 정육각형 타일링과 위상적으로 동일하다.
| 고른 육각/삼각 타일링 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 기본 영역 | {6,3} | t{6,3} | r{6,3} | t{3,6} | {3,6} | rr{6,3} | tr{6,3} | sr{6,3} |
| 꼭짓점 배치 | 63 | 3.12.12 | (6.3)2 | 6.6.6 | 36 | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
| 그림 |  |  |  |  |  |  |  |  |
7. 관련된 복합 정 무한각형
정삼각형 테셀레이션의 꼭짓점을 공유하는 복합 정 무한각형에는 네 가지가 있다. 복합 정 무한각형은 꼭짓점과 모서리를 가지며, 모서리는 둘 이상의 꼭짓점을 포함한다. 정 무한각형 ''p''{''q''}''r''는 1/''p'' + 2/''q'' + 1/''r'' = 1로 구성된다. 모서리는 꼭짓점이 ''p''개가 있으며, 꼭짓점 도형은 ''r''각형이다.[10]
처음 것은 2-모서리로 이루어져 있고, 다음 두 개는 정삼각형의 모서리이며, 마지막은 정육각형 모서리와 겹친다.
 |  |  |  |
| 2{6}6 | 3{4}6 | 3{6}3 | 6{3}6 |
|---|
8. 다른 삼각형 타일링
한 종류의 삼각형으로 이루어진 세 종류의 라브스 테셀레이션이 있다.
| 타일링 | 종류 | 이미지 |
|---|---|---|
| 키스롬빌 | 30°-60°-90° 직각삼각형 |  |
| 키스쿼드릴 | 45°-45°-90° 직각삼각형 |  |
| 키스델타일 | 30°-30°-120° 이등변삼각형 |  |
참조
[1]
서적
Tilings and patterns
[2]
웹사이트
The Lattice A2
http://www.math.rwth[...]
[3]
서적
Order in Space: A design source book
[4]
서적
Tilings and Patterns
[5]
서적
Regular Complex Polytopes
[6]
서적
Tilings and Patterns
[7]
URL
http://www.math.rwth[...]
[8]
서적
Order in Space: A design source book
[9]
서적
Tilings and Patterns
[10]
서적
Regular Complex Polytopes
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